Mecânica I - Poli - Prec - 2005

Prévia do material em texto

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
g 
R 
C 
G 
M 
PME 2100 - Mecânica A - Prova de Recuperação – 14/02/2006 – Duração 100 min. 
No USP:__________ Nome:___________________________Ass.:_______________________ 
 
Questão 1 (3,0 pontos) A polia de raio L/2 é ligada à barra 
ABC de comprimento 2L através de uma articulação em C. Um 
fio flexível e inextensível passa pela polia e tem uma das 
extremidades presa em B e a outra presa a um bloco de peso P. 
A estrutura é vinculada por uma articulação em A e por um 
apoio simples em B. Considerando a barra, a polia e o fio com 
pesos desprezíveis, determine as reações vinculares em A e B. 
 
 
 
Questão 2 (4,0 pontos) O disco de raio R rola sem 
escorregar sobre a barra AB; é dada a velocidade 
ivv rO
rr
=, (de módulo v constante) do centro O do 
disco em relação à barra. A barra AB gira ao redor da 
articulação A com velocidade angular j& constante. 
Adotando o sistema de coordenadas (A, x,y,z) solidário à 
barra, e sabendo que no instante 0=t a coordenada x 
do ponto O é Ox , pede-se, para um instante t qualquer: 
a) A velocidade Cv
r
 do ponto de contato entre o disco e a 
barra; 
b) A velocidade Ov
r
 do centro do disco; 
c) A velocidade angular w do disco; 
d) As acelerações dos pontos O e C do disco. 
 
 
Questão 3 (3,0 pontos) Um binário de momento M é aplicado a um cilindro de raio R e massa m. O coeficiente de 
atrito entre o cilindro e a superfície é µ e a aceleração da gravidade é g. Considerando que o cilindro parte do repouso, 
determine a aceleração angular do cilindro w& para os seguintes casos: 
a) o cilindro rola e escorrega; 
b) o cilindro rola sem escorregar. 
 
Dado o momento de inércia do cilindro com relação a um eixo de direção normal ao plano da figura e que passa pelo 
seu baricentro G: 
2
2mR
J G = . 
 
 
 
O 
R 
C 
A 
B 
y 
x 
j&
i
rj
r
 
A B C 
P 
L L 
2
L 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
(1,0) 
(1,0) 
(1,0) 
PME 2100 - Mecânica A - Prova de Recuperação – 14/02/2006 – Duração 100 min. 
GABARITO 
 
Questão 1 (3,0 pontos) A polia de raio L/2 é ligada à barra 
ABC de comprimento 2L através de uma articulação em C. Um 
fio flexível e inextensível passa pela polia e tem uma das 
extremidades presa em B e a outra presa a um bloco de peso P. 
A estrutura é vinculada por uma articulação em A e por um 
apoio simples em B. Considerando a barra, a polia e o fio com 
pesos desprezíveis, determine as reações vinculares em A e B. 
 
 
 
 
 
RESPOSTA 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
Equações de equilíbrio: 
PV
PV
L
LPLVM
PVVF
HF
A
B
BA
BAV
AH
2
3
2
5
0
2
20
00
00
-=
=
=÷
ø
öç
è
æ +-Þ=
=-+Þ=
=Þ=
å
å
å
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C 
P 
L L 
2
L 
HA 
VA VB 
P 
P
2
5
P 
P
2
3
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
(1,0) 
(0,5) 
(0,5) 
(0,5) 
(0,5) 
(0,5) 
Questão 2 (4,0 pontos) O disco de raio R rola sem 
escorregar sobre a barra AB; é dada a velocidade 
ivv rO
rr
=, (de módulo v constante) do centro O do 
disco em relação à barra. A barra AB gira ao redor da 
articulação A com velocidade angular j& constante. 
Adotando o sistema de coordenadas (A, x,y,z) solidário à 
barra, e sabendo que no instante 0=t a coordenada x 
do ponto O é Ox , pede-se, para um instante t qualquer: 
a) A velocidade Cv
r
 do ponto de contato entre o dis co e a 
barra; 
b) A velocidade Ov
r
 do centro do disco; 
c) A velocidade angular w do disco; 
d) As acelerações dos pontos O e C do disco. 
 
 
 
RESPOSTA 
 
a) { ( ) ( ) ( ) ( ) jvtxvivtxACACkvv OCOAC
r
&r
rr
&rr
r
+=®+=--Ù+= jj ;
0
 (0,5) 
 
b) 
( ) ( )
( ) ( ) jvtxiRvv
iRjvtxvCOkvvivvvvv
OO
OaO
jR
CaOrOaOrOO
r
&
r
&r
r
&
r
&r321
r
&rr
rrrrr
r
++-=\
-+=®-Ù+==+=
jj
jjj .;; ,,,,,
 
 
c) 
( )
R
v
k
R
v
k
R
v
COkivv
arrrel
relrelrO
-=Þ÷
ø
ö
ç
è
æ -=®+=
-=®-Ù==
jwjwwww
ww
&
r
&rrrr
rrrrr
;,
 
 
d) 
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( )[ ] ( ) .
;2;22
;;;0;
2
2
22
,,
2
,,,,,,
j
R
v
ivtxaOCaa
jRvivtxajvaivka
jRivtxaAOkkaaaaaa
OCOC
OOcOcO
OaOaOrOcOaOrOO
rr
&
rrrrr
r
&&
r
&r
r
&r
rr
&r
rr
&r
r
&
r
&r
rrrrrr
++-=®-ÙÙ+=
-++-=\=®Ù=
++-=®-ÙÙ==++=
jww
jjjjj
jjj
 
 
 
 
O 
R 
C 
A 
B 
y 
x 
j&
i
rj
r
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
g 
R 
C 
G 
M 
(1,0) 
(0,5) 
(1,5) 
(1,0) 
(1,0) 
Questão 3 (3,0 pontos) Um binário de momento M é aplicado a um cilindro de raio R e massa m. O coeficiente de 
atrito entre o cilindro e a superfície é µ e a aceleração da gravidade é g. Considerando que o cilindro parte do repouso, 
determine a aceleração angular do cilindro w& para os seguintes casos: 
a) o cilindro rola e escorrega; 
b) o cilindro rola sem escorregar. 
 
Dado o momento de inércia do cilindro com relação a um eixo de direção normal ao plano da figura e que passa pelo 
seu baricentro G: 
2
2mR
J G = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA 
Sendo F a força de atrito e N a reação normal da superfície. 
a) Rola e escorrega - Teorema do Momento Angular com pólo em G 
( )
2
2
mR
mgRM
mgNF
FRMJ
MH
G
Ext
GG
m
w
mm
w
-
=
==
-=
=
&
&
r&r
 
b) Rola sem escorregar – Teorema do Momento Angular com pólo em C 
( )
2
2
3
2
2
3
//
mR
M
MmR
MH
CGa
Ext
CC
c
=
=
=
-
w
w
&
&
r&r
r
 ou 
 
 
F 
mg 
C 
G 
M 
N 
( )
( )
2
2
3
2
2
::
:
,
MR
M
RFRMR
mR
MHGpóloTMA
jmgNiFiRmTMB
iRaiRv
GG
GG
=
+-=-
=-
-+=
==
w
w
w
ww
&
rr
&
r&r
rrr
&
r
&r
rr