Mecânica I - Poli - P1 - 2010

Prévia do material em texto

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Prova P1 – 31 de agosto de 2010 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido o uso de calculadoras) 
 
 
 
QUESTÃO 1 (3 pontos). Considerando-se a estrutura OABC sujeita ao 
sistema de forças indicado na figura ao lado, onde FFi =
r
(para 
i = 1,2,3), pede-se: 
 
(a) calcular a resultante do sistema de forças; 
(b) calcular o momento do sistema de forças em relação ao polo O; 
(c) verificar se o sistema de forças é redutível a uma única força; 
(d) determinar o momento mínimo do sistema de forças e o seu eixo 
central. 
 
 
QUESTÃO 2 (3 pontos). A figura mostra um suporte AOB vinculado a 
uma parede vertical pela articulação A e pelo apoio simples bilateral O. A 
barra CD, de comprimento L, é presa na extremidade C a uma articulação, 
enquanto a extremidade D está inserida em um rasgo horizontal TU sem 
atrito. À extremidade D é aplicada uma força F horizontal. Supondo que 
todas as peças tenham peso desprezível, pedem-se: 
(a) as reações vinculares em A e O; 
(b) as reações vinculares em C e D. 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 (3 pontos). Para a treliça da figura, calcular: 
(a) as reações vinculares; 
(b) as forças nas barras, indicando se são de tração ou 
compressão. 
 
 
 
 
QUESTÃO 4 (1 ponto). Um suporte AOB em forma de “L”, com lados 
iguais a l , possui um rasgo horizontal TU de comprimento 2l 
conforme indicado na figura ao lado. Admitindo que o peso por unidade 
de comprimento dos segmentos AO e OB seja ρ e que uma peça feita com 
o mesmo material e as mesmas dimensões do rasgo TU teria peso igual a 
83 lρ , determinar a posição do baricentro do suporte. 
 
 
 
 
 
 
L 
L/2 
L 
A 
B O 
U T 
C 
D 
F
r
 
3P
6P
3L
4L4L
A B
C D E
l 
2l 
 
A 
O B 
l 
4l 
U T 
y 
x 
45a
23a
a2 
z 
y 
x 1
F
r
 
3F
r
 
2F
r
 
O 
C 
B 
A 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Prova P1 – 31 de agosto de 2010 
RESOLUÇÃO 
 
 
QUESTÃO 1 (3 pontos). Considerando-se a estrutura OABC sujeita ao 
sistema de forças indicado na figura ao lado, onde FFi =
r
(para i = 
1,2,3), pede-se: 
 
(a) calcular a resultante do sistema de forças; 
(b) calcular o momento do sistema de forças em relação ao pólo O; 
(c) verificar se o sistema de forças é redutível a uma única força; 
(d) determinar o momento mínimo do sistema de forças e o seu eixo 
central. 
 
 
 
(a) iFF rr −=1 , iFF
rr
=2 e kFF
rr
=3 
⇒++= 321 FFFR
rrrr
 
kFR
rr
=
 (0,5) 
 
(b) ( ) ( ) ( ) ⇒∧−+∧−+∧−= 321 FOBFOCFOAMO rrrr 
( ) ⇒∧





++∧





−++−∧= kFkaiaiFjakaiaiFiaMO
rrrrrrrrrr
2
32
4
5
2
322 kFajFaMO
rrr
4
5
2
+−=
 
 (1,0) 
(c) Invariante escalar 
4
5
.
2aFRMI O ==
rr
 (0,5) 
Como 0
rr
≠R e 0≠I , o sistema é redutível a uma força e um binário 
 
(d) Valor do momento mínimo: 
⇒= R
RR
RMM OE
r
rr
rr
r
.
. kFaM E
rr
4
5
=
 (0,5) 
 
Eixo de momento mínimo 
( ) ⇒+∧=− R
RR
MROE O
r
rr
rr
λ
.
kFiaE
rr
λ+=
2
 (0,5) 
45a
23a
a2 
z 
y 
x 1
F
r
 
3F
r
 
2F
r
 
O 
C 
B 
A 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
QUESTÃO 2 (3 pontos). A figura mostra um suporte AOB vinculado a 
uma parede vertical pela articulação A e pelo apoio simples bilateral O. A 
barra CD, de comprimento L, é presa na extremidade C a uma articulação, 
enquanto a extremidade D está inserida em um rasgo horizontal TU sem 
atrito. À extremidade D é aplicada uma força F horizontal. Supondo que 
todas as peças tenham peso desprezível, pedem-se: 
(a) as reações vinculares em A e O; 
(b) as reações vinculares em C e D. 
 
 
 
(a) Diagrama de corpo livre do sistema 
Equações de equilíbrio 
 
00 =−+⇒=∑ FXXF OAx 
 
(0,5) ⇒=∑ 0yF 0=AY (0,5) 
 
⇒=−⇒=∑ 00 FLLXM OA FXO = 
 
⇒ 0=AX (0,5) 
(b) Diagrama de corpo livre da barra CD 
Equações de equilíbrio 
 
⇒=−⇒=∑ 00 FXF Cx FXC = 
 
 (0,5) 00 =+⇒=∑ DCy YYF (0,5) 
 
0cos0 =−⇒=∑ θθ FLsenLYM DC , onde 2
1
cos =θ e 
2
3
=θsen ⇒ 3FYD = ⇒ 3FYC −= (0,5) 
 
Alternativamente: 
0cos0 =−⇒=∑ θθ FLsenLYM DC , onde 2
1
cos =θ e 
2
3
=θsen ⇒ 3FYD = 
 
θcos
FRC
−
= ⇒ FRC 2−= 
 
L 
L/2 
L 
A 
B O 
U T 
C 
D 
F
r
 
 
XA 
YA 
XO F 
 
F
 
YD 
XC 
YC 
θ 
 
F
 
YD 
RC 
θ 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 (3 pontos). Para a treliça da figura, calcular: 
(a) as reações vinculares; 
(b) as forças nas barras, indicando se são de tração ou 
compressão. 
 
 
 
 
(a) Como, para equilíbrio, os esforços na barra CD são na direção CD, 0=CY 
3P
6P
A B
C D E
XA
YA
XC
 
 
Equilíbrio global da treliça: 
00 =+⇒= CAx XXR 
⇒=−−⇒= 0360 PPYR Ay PYA 9=
 
 
⇒=⋅−⋅−⋅−⇒= 0834630 LPLPLXM ACz 
⇒ PX A 16−= ⇒ PXC 16= 
 (1,0) 
 
(b) (1,0) 
3P
6P
A B
X D E
A
B
B
B
A
C
D
D D
D
E
EC
XA
YA
C
FAB FAB
FBEFAD
FAD
FCD FCD
FBD
FBD
FDE FDE
FBE
 
 
 Equilíbrio do nó C: 
 
00 =+⇒= CDCx FXR 
 
⇒ PFCD 16−= 
 (compressão) 
 
 Equilíbrio do nó A: 
 
0
5
40 =++⇒= ADABAx FFXR
 
0
5
30 =+⇒= ADAy FYR 
 
⇒ PFAD 15= (tração) 
 
⇒ PFAB 4= (tração) 
 
 
 Equilíbrio do nó D: 
 
0
5
40 =−+−⇒= ADDECDx FFFR
 
0
5
30 =+⇒= ADBDy FFR 
 
⇒ PFDE 4−= (compressão) 
 
⇒ PFBD 9−= (compressão) 
 
 
 Equilíbrio do nó B: 
 
0
5
40 =+−⇒= BEABx FFR 
0
5
360 =−−−⇒= BEBDy FFPR
 
 
⇒ PFBE 5= (tração) 
 
(1,0) 
 
3P
6P
3L
4L4L
A B
C D E
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 4 (1 ponto). Um suporte AOB em forma de “L”, com lados 
iguais a l , possui um rasgo horizontal TU de comprimento 2l 
conforme indicado na figura ao lado. Admitindo que o peso por unidade 
de comprimento dos segmentos AO e OB seja ρ e que uma peça feita com 
o mesmo material e as mesmas dimensões do rasgo TU teria peso igual a 
83 lρ , determinar a posição do baricentro do suporte. 
 
 
 
⇒











−





+=





−+⇒−+=
28
3
2
0
8
3 llll
g
x
lll
g
xmxmxmxm GGTUGOBGAOGtotal TUOBAO
ρρ
26
5l
xG = (0,5) 
 
 
⇒





++





=





−+⇒−+= 00
28
3 ll
g
ylll
g
ymymymym GGTUGOBGAOGtotal TUOBAO
ρρ
13
4lyG = (0,5) 
 
 
 
 
l 
2l 
 
A 
O B 
l 
4l 
U T 
y 
x