Mecânica I - Poli - P1 - 2012 - Reoferecimento

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
QUESTÃO 1 (3,0 pontos). A placa não plana ABCDE, de peso 
desprezível, é construída mediante soldagem das placas ABC e ABE à 
placa quadrada BCDE, de lado l conforme ilustrado na figura. O 
comprimento da aresta AB é l e a placa está sujeita ao sistema de forças 
indicado. Pede-se: 
(a) determinar a resultante do sistema de forças e o momento resultante em 
relação ao pólo B; (0,5 + 0,5 ponto) 
(b) determinar o momento resultante do sistema de forças em relação à 
aresta BC; (0,5 ponto) 
(c) verificar se o sistema é redutível a uma única força; (0,5 ponto) 
(d) determinar o momento mínimo do sistema de forças; (1,0 ponto) 
 
QUESTÃO 2 (3,5 pontos). Conforme indicado na figura, a 
estrutura constituída por 6 barras de peso desprezível, 
articuladas em A, B, C, D e E, está sujeita a uma carga externa 
aplicada em C, por meio de um cabo inextensível passante 
sobre uma polia articulada em O, de raio R e peso desprezível. 
Admitindo-se que seja µ o coeficiente de atrito entre o chão e o 
suporte ao qual a articulação A está fixada, pede-se: 
(a) as reações em O e a força no cabo; (0,5 ponto) 
(b) as reações em A e em E; (1,0 ponto) 
(c) o valor mínimo do coeficiente de atrito para que não ocorra 
escorregamento do apoio A. (0,5 ponto) 
(d) as forças nas barras AB, BC, DB, AD, CE. (1,5 ponto) 
 
QUESTÃO 3 (3,5 pontos). A placa retangular 
ABCD e lados l e 2 l está vinculada a uma 
articulação A, a um anel m D e à barra CE, por meio 
da articulação C, conforme se indica na figura. A 
placa e a barra, ambas têm peso P. No ponto B da 
placa atua uma força jPr . Pede-se: 
(a) desenhar os diagramas de corpo livre da placa 
ABCD e da barra CE; (1,0 ponto) 
(b) determinar as reações na articulação A e no anel 
D; (1,5 ponto) 
(c) determinar as forças atuantes na barra CE. (1,0 
ponto) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C D 
E 
l 
l 
l 
i
r
 
jr 
k
r
 
F
r
 F
r
2 
F
r
 
F
r
 
E 
45° 
A i
r
 
jr 
k
r
 
B 
C 
D 
45° 
2l l 
P
r
 
A 
B 
l 
P 45° C 
D E 
O 
l 
45° 
 
 
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QUESTÃO 1. RESOLUÇÃO 
 
A resultante do sistema de forças dado, é: 
kFjFiFkFiFkFjFjFR
rrrrrrrrr








−++−=+−−−= 1
2
2
2
2
2
2
2
22 
O momento resultante em relação ao pólo B, é: 
( )








+−=−=








++−∧=








++−∧−= kjFjFkFkFjFiFikFjFiFBEM B
rr
l
r
l
r
l
rrrr
l
rrrr
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
2
 
Resposta (a) 
O momento resultante do sistema de forças em relação ao eixo BC, é: 
l
rr
FjMM BBC 2
2
−=⋅= 
Resposta (b) 
O invariante escalar do sistema de forças dado, é: 
02
2
22
2
21
2
2
2
22
2
2 22 ≠








−=








+−=
















−++−⋅








+−=⋅= ll
rrrrr
l
rr
FFkFjFiFkjFRMI B 
Sendo 0
rr
≠R mas 0≠I conslui-se que o sistema de forças dado não é redutível a uma única força. 
Resposta (c) 
O momento mínimo do sistema de forças dado, é: 
( )( ) R
kFjFiF
kFjFiFF
R
RIR
R
RMM B
rl
rrr
rrr
l
r
r
r
r
rr
r
26
42
1
2
2
2
2
1
2
2
2
22
2
2
2
2
22min
−
−
=
















−++−
















−++−








−
=
⋅
=
⋅
= 
Resposta (d) 
 
 
QUESTÃO 2. RESOLUÇÃO 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio ao diagrama de corpo livre da 
polia, obtêm-se: 
 
PTRPRT =⇒=⋅− 0. (1) 
2
20
2
2 PHHT OO =⇒=+− (2) 








+=⇒=+−− 1
2
20
2
2 PVVTP OO (3) 
Resposta (a) 
 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio à treliça ABCDE, obtêm-se: 
 
002
2
20 =⇒=⇒= CECEAz FFM l 
P 
O 
T VO 
HO 
45° 
A 
B C 
D E 
l 
l 
45° 
P 
VA 
HA 
FCE 
 
 
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2
20
2
2
2
2 PHFPH ACEA −=⇒=−+ 
2
20
2
2
2
2 PVFPV ACEA −=⇒=++ 
Portanto, as reações em A e em E são: 
0
2
2
2
2
rr
rrr
=
−−=
E
A
R
jPiPR
 
 Resposta (b) 
 
Para que não haja escorregamento do apoio A, é necessário que: 
1
2
2
2
2 ≥⇒≤⇒≤ µµµ PPVH AA 
Resposta (c) 
 
As equações de equilíbrio do nó C 
fornecem: 
 
2
20
2
2 PFPF BCBC =⇒=+− 
2
20
2
2 PFPF CDCD =⇒=+− 
 
 
 
 
As equações de equilíbrio do nó B fornecem: 
 
 
 
 
 
 
 
PPFFFF BCBDBDBC −=−=−=⇒=+
2
2
2
2
2
20
2
2
 
2
2
2
20
2
2 PFFFF BDABBDAB =−=⇒=−− 
 
 
As equações de equilíbrio do nó A fornecem: 
 
2
20
2
2 PFPF ADAD =⇒=− 
 
Resposta (d) 
 
45° 
C 
P 
FCD 
FBC 
B FBC 
FAB 
FBD 
2
2P
 
B C 
2
2P
 
C 
D 
2
2P 
2
2P 
(tração) 
(tração) 
2
2P 
2
2P 
B 
A 
B 
D 
P 
P 
(tração) (compressão) 
A 2
2P 
2
2P 2
2P 
FAD 2
2P 
A D 
2
2P (tração) 
 
 
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QUESTÃO 3. RESOLUÇÃO 
 
Os diagramas de corpo livre da placa ABCD e da barra CE são esboçados nas figuras abaixo: 
 
 
 
Resposta (a) 
 
As condições de equilíbrio aplicadas à barra CE fornecem: 
 
0=− EC XX (1) 
0=−+− PZZ EC (2) 
0220
4
2
2
2
2
2
=++−⇒=⋅+⋅+⋅− PZXPZX CCCC
lll
 (3) 
O equilíbrio da placa ABCD fornece as seguintes equações: 
 
0=++ DCA XXX (4) 
PYPY AA −=⇒=+ 0 (5) 
0=−++ PZZZ DCA (6) 
( ) 02244022
2
2
=+−+⇒=⋅+⋅+⋅−⋅− PZZZZPP DCDC lll
l
 (7) 
0220
2
2
2
2
4
2
=−+⇒=⋅+⋅+⋅− PZXZXP CCCC
lll
 (8) 
0244022
2
2
=−+⇒=⋅−⋅−⋅− PXXZXP DCDC ll
l
 (9) 
Somando-se (3) e (8), obtém-se: 
0=CZ (10) 
Substituindo-se (10) em (3), resulta: 
2
PX C = (11) 
Substituindo-se (10) em (7), resulta: 
4
22 +
⋅= PZD (12) 
Substituindo-se (11) em (9), resulta: 
P
r
 
D 
ZC 
45° 
A 
B 
C 
XA YA 
ZA 
ZD 
XD 
XC G 
P 
plano xz E 
C 
ZC 
XC P 
ZE 
XE 
OBS.: A barra está em equilíbrio sob a ação de 3 forças; 
logo, elas são coplanares e, no caso, pertencem ao plano xz. 
 
 
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4
2
⋅= PX D (13) 
Substituindo-se (10) em (2) resulta: 
PZ E = (14) 
Substituindo-se (11) em (1), resulta: 
2
PX E = (15) 
Substituindo-se (11) e (12) em (6), resulta: 
4
22
4
22 −
⋅=
+
⋅−= PPPZ A (16) 
Substituindo-se (11) e (13) em (4), resulta: 
4
22
4
2
2
+
⋅−=−−= PPPX A (17) 
 
As forças atuantes ativas e reativas na placa ABCD e na barra CE são apresentadas nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas (b) e (c) 
 
P
r
 
4
2P 
4
22 +P 
D 
45° 
A 
B 
C 
P 
4
22 −P 
4
22 +P 
2P G 
P 
plano xz E 
C 
P 
P 
2P
2P