Mecânica I - Poli - P2- 2002

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 2100 – MECÂNICA A 
Segunda Prova – 25 de outubro de 2002 – Duração: 100 minutos 
(importante: não é permitida a utilização de calculadoras) 
GABARITO 
 
 
(3,0 pontos) Questão 1 – Aplica-se uma força F horizontal 
num sólido homogêneo de massa m, conforme mostrado na fi-
gura. O coeficiente de atrito entre o sólido e o solo é m. Pede-
se: 
a) O diagrama de corpo livre do sólido. 
b) A força F máxima para que não ocorra escorregamento e 
nem pivotamento em torno do ponto O. 
c) A relação entre a, m e h para que a eminência de escorrega-
mento e pivotamento em torno do ponto O aconteçam simulta-
neamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
a5
a3
)a(
2
a
)a2(a
x
2
22
G =
+
= 
 
 
 
 
Equações de equilíbrio: 
 
å
å
å
×-×=×Þ=
=Þ=
=Þ=
dN
6
a5
mghF0M
mgN0F
FF0F
zO
y
atx
 
 
Para que não ocorra escorregamento – Lei de Coulomb Þm£ NFat mgF m£ 
Para que não ocorra pivotamento: Na iminência do pivotamento d=0, portanto, do equilíbrio de 
momentos, 
h6
mga5
F = 
 
Para que não ocorra escorregamento e nem pivotamento: 
þ
ý
ü
î
í
ìm=
h6
mga5
;mgmínFmáx 
 
Para que o escorregamento e o pivotamento ocorram simultaneamente: 
h6
a5
=m 
 
h 
a 
a 
a 
a 
2a 
2a 
F 
O 
g 
N 
Fat 
d 
xG 
F 
O 
mg 
G 
h 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
(3,5 pontos) Questão 2 – O sistema é composto pela barra 
AB, de comprimento L, articulada em suas extremidades 
nos centros geométricos dos discos de raio R, que rolam 
sem escorregar. O vetor de rotação do disco de centro B é 
kB
rr
ww -= . Na posição mostrada na figura: 
a) Determine a velocidade Bv
r
 do ponto B. 
b) Localize graficamente o CIR da barra AB. 
c) Determine o vetor de rotação W
r
 da barra AB. 
d) Determine a velocidade Av
r
 do ponto A e o vetor de rota-
ção Aw
r
 do disco de centro A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iRvB
rr
w= 
j)cos(senL)CIRB(
r
q+q-=- 
Þq+qW=wÞ-ÙW= i)cos(senLiR)CIRB(kvB
rrrr
 k
)cos(senL
R rr
q+q
w
=W 
)jsenLicosL(k
)cos(senL
R
iR)BA(kvv BA
rrrrrrr
q+q-Ù
q+q
w
+w=-ÙW+= 
Þ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
q+q
qw
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
q+q
qw
-w= j
)cos(sen
cosR
i
)cos(sen
senR
RvA
rrr
 ( )ji
)cos(sen
cosR
vA
rrr
-
q+q
qw
= 
2
R2
)cossen(
cosR
)ji(
2
R2
k)ji(
)cossen(
cosR
)CA(kv AAAA
w
-=
q+q
qw
Þ+Ùw=-
q+q
qw
Þ-Ùw=
rrrrrrr
 
Þ k
)cossen(
cos2
A
rr
q+q
qw
-=w 
L 
R 
R q 
45o 
A 
B 
i
r
j
r
Lsenq 
q 
45o 
A 
B 
i
r
j
r
Lcosq 
CIR da barra 
Lcosq 
45o 
Direção da ve-
locidade de B Direção da velocidade 
de A (paralela ao 
 plano inclinado) 
L 
C 
 
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(3,5 pontos) Questão 3 –As barras AB e DE têm o mesmo comprimento L e mesmo vetor de rotação k
rr
ww -= (constan-
te). O motor elétrico aciona um disco de raio R, de tal forma que seu vetor de rotação em relação à plataforma BE é 
i
rr
W=W (constante em relação à plataforma). Considerando a plataforma BE como referencial móvel, pede-se, na posição 
mostrada na figura: 
a) A velocidade Bv
r
 do ponto B, e as velocidades de 
arrastamento arrPv ,
r
, relativa relPv ,
r
 e absoluta absPv ,
r
 
do ponto P. 
b) A aceleração Ba
r
 do ponto B. 
c) As acelerações relativa relPa ,
r
, de arrastamento 
arrPa ,
r
, de Coriolis CorPa ,
r
 e absoluta absPa ,
r
 do pon-
to P. 
Obs.: use o sistemas de coordenadas kjiO
rrr
, fixo 
na plataforma BE, para escrever as grandezas cine-
máticas solicitadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Þq+q-Ùw-=-Ùw-= )jcosi(senLk)AB(kvB
rrrrr
 )jsenicos(LvB
rrr
q+q-w= 
 
Observando que a plataforma está em translação curvilínea, tem-se que todos os seus pontos têm a 
mesma velocidade, portanto: 
Þ= Barr,P vv
rr )jsenicos(Lv arr,P
rrr
q+q-w= 
Para a velocidade relativa: ÞÙW= jRiv rel,P
rrr
 kRv rel,P
rr
W= 
 
A velocidade absoluta resulta em: Þ+= rel,Parr,PP vvv
rrr
 kR)jsenicos(LvP
rrrr
W+q+q-w= 
 
Sendo w constante: 
[ ] ( )[ ]Þq-q-ÙÙw=-ÙÙw= jcosLisenLkk)AB(kka 22B
rrrrrrr
 ( )jcosisenLa 2B
rrr
q+qw= 
 
Observando novamente que a plataforma está em translação curvilínea, tem-se que todos os seus 
pontos têm a mesma velocidade e também mesma aceleração, portanto: 
Þ= Barr,P aa
rr
 ( )jcosisenLa 2arr,P
rrr
q+qw= 
 
Sendo W constante, tem-se para a aceleração relativa: 
[ ] [ ]ÞÙÙW=-ÙÙW= jRii)CP(iia 22rel,P
rrrrrr
 jRa 2rel,P
rr
W-= 
 
Sendo a plataforma o referencial móvel e estando o mesmo em translação curvilínea, tem-se que a 
aceleração de Coriolis é nula. 
A aceleração absoluta resulta em: Þ++= cor,Prel,Parr,PP aaaa
rrrr
 ( ) jRcosLisenLa 222P
rrr
W-qw+qw= 
 
R 
A 
B 
P 
E 
D 
L 
a 
a 
O 
j
r
q 
w 
W 
i
r
C 
Motor elétrico 
Disco 
Plataforma