Mecânica I - Poli - P3 - 2002

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2100 – MECÂNICA A
Terceira Prova – 06 de dezembro de 2002 – Duração: 100 minutos
(importante: não é permitida a utilização de calculadoras)
Nome: ______________________________________________________________________________________
Assinatura: ___________________________________________________________________________________
(5,0 pontos) Questão 1 – O vagão mostrado na figura é tracionado por uma força T a uma altura h dos eixos das ro-
das de maneira que os esforços nos dois eixos sejam iguais. A massa da carroceria do vagão é M e a massa de cada
uma das rodas é m, supostas homogêneas. A altura do baricentro da carroceria é H em relação ao eixo das rodas. Sa-
bendo que as rodas rolam sem escorregar, pede-se:
a) O diagrama de corpo livre do vagão e os diagra-
mas de corpo livre de cada roda. (½ + ½)
b) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular em uma
roda. (½ + ½)
c) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular no va-
gão. (½ + ½)
d) A aceleração do vagão. ( 1 )
e) A altura h do engate do vagão para que os esfor-
ços nos dois eixos sejam iguais. ( 1 )
Dado: para um disco homogêneo de centro de massa em C e raio R: 
2
2mRJ zC =
(5,0 pontos) Questão 2 – Um sólido é composto por uma barra AB, homogênea, de comprimento L e massa 3M e
dois pontos materiais de massa M cada um, rigidamente fixados nas extremidades A e B da barra. O sólido é articu-
lado sem atrito em A. Pede-se:
a) O momento de inércia do sólido em relação ao eixo paralelo
ao versor k
!
e que passa pelo ponto A.
b) A velocidade angular do sólido, em função de θ. Sabe-se
que ele é liberado em θ = 30o , partindo do repouso. Use o Teo-
rema da Energia Cinética
c) O diagrama de corpo livre do sólido na posição inicial,
θ = 30o, logo depois de liberado.
d) A aceleração angular do sólido, para θ = 30o , logo depois
de liberado. Use o Teorema do Momento Angular.
e) As reações da articulação A no sólido neste instante.
12
2mlJ zG = (para uma barra homogênea de massa m e comprimento l)
i
!
j
!
g
G
h
H
a a
R
T
A
B
L
g
k
!
i
!
j
!
θ
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2100 – MECÂNICA A
Terceira Prova – 06 de dezembro de 2002 – Gabarito
(5,0 pontos) Questão 1 – O vagão mostrado na figura é tracionado por uma força T a uma altura h dos eixos das ro-
das de maneira que os esforços nos dois eixos são iguais. A massa da carroceria do vagão é M e a massa de cada
uma das rodas é m, supostas homogêneas. A altura do baricentro da carroceria é H em relação ao eixo das rodas. Sa-
bendo que as rodas rolam sem escorregar, pede-se:
a) O diagrama de corpo livre do vagão e os diagra-
mas de corpo livre de cada roda.
b) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular em uma
roda.
c) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular no va-
gão.
d) A aceleração do vagão.
e) A altura h do engate do vagão para que os esfor-
ços nos dois eixos sejam iguais.
Para um disco homogêneo de centro de massa em C e raio R temos: 
2
2mRJ zC =
Solução:
Item (a)
O enunciado informa que os esforços nos dois eixos são iguais:
Diagrama de corpo livre do vagão: Diagramas de corpo livre das rodas:
Item (b)
Roda:
Teorema do Movimento do Baricentro:
aRx FFma −= (1)
mgNNma aRy −−= (2)
Teorema do Momento Angular:
RFJ aRR =ω" (3)
Item (c)
Vagão:
Teorema do Movimento do Baricentro:
FTMaGx 2−= (4)
MgNMaGy −= 2 (5)
Teorema do Momento Angular:
( )hHTFHJG −+−= 2ω" (6)
G
h
H
a a
T
Mg
F F
N N
N
Na
Fa
F
mg
N
Na
Fa
F
mg
i
!
j
!
g
G
h
H
a a
R
T
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Departamento de Engenharia Mecânica
Item (d):
Observando o movimento do vagão temos:
0== GyRy aa
Como não há escorregamento, e como o centro da roda translada com o vagão:
GGxRx aaa ==
Como:
R
aRx
R =ω"
então:
R
aG
R =ω" (7)
Usando (7) em (3):
RF
R
amR
a
G
=
2
2
2
G
a
maF = (8)
De (1) e (8):
aG FFma −=
2
G
GaG
mamaFmaF +=+=
2
3 GmaF = (9)
Aplicando (9) em (4):
( ) TamM
TmaMa
maT
ma
TFTMa
G
GG
G
G
G
=+
=+
−=−=−=
3
3
3
2
3
22
( )mM
TaG 3+
= (10)
Item (e)
Usando (9) e (10) em (6), e sabendo que 0=ω" :
( )
( )
( ) ( )
( )HmM
mhH
H
mM
TmhHT
HmahHT
FHhHT
G
3
3
3
3
3
2
+
=−
+
=−
=−
=−
( ) HmM
mh 


+
−=
3
31
( )HmM
Mh
3+
=
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Departamento de Engenharia Mecânica
(5,0 pontos) Questão 2 – Um sólido é composto por uma barra AB, homogênea, de comprimento L e massa 3M e
dois pontos materiais de massa M cada um, rigidamente fixados nas extremidades A e B da barra. O sólido é articu-
lado sem atrito em A. Pede-se:
a) O momento de inércia do sólido em relação ao eixo paralelo
ao versor k
!
e que passa pelo ponto A. (½ + ½)
b) A velocidade angular do sólido, em função de θ, sabendo
que ele é liberado em θ = 30o , partindo do repouso. Use o Teo-
rema da Energia Cinética (½ + ½)
c) O diagrama de corpo livre do sólido na posição θ = 30o, logo
depois de liberado. ( 1 )
d) A aceleração angular do sólido para θ = 30o , logo depois de
liberado. Use o Teorema do Momento Angular. (½ + ½)
e) As reações da articulação A no sólido neste instante. (½ + ½)
12
2mlJ zG = (para uma barra homogênea de massa m e comprimento l)
Solução:
Item (a)
( ) ( )
2
2222
2
22
22
22
2
12
24
12
1293
4
3
12
30
2
3
12
3
MLJ
MLMLMLMLMLMLMLMLMLMLMJ
Az
materiaispontos
barra
Az
=
=
++
=++=++


+= ##$##%&
### $### %&
Item (b)
Energia cinética:
222
22
2
2
2
θθθ ""
"
MLMLJE Az ===
Trabalho da força peso:
( ) 







−=


−= θθ cos
2
3
2
5cos30cos
2
5 LMgLMgW o
Teorema da energia cinética (o sólido parte do repouso):
WEWEE =−⇒=− 00








−= θθ cos
2
3
2
522 LMgML "
2
2
cos
2
3
2
5
ML
LMg 







−
=
θ
θ"
( )
L
g
4
cos2352 θθ −="
( )
L
g
4
cos235 θθ −="
A
B
L
g
k
!
i
!
j
!
θ
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Item (c)
Pela simetria, o baricentro do sólido está no centro da barra, e pelo enunciado, a massa do sólido é 5M.
Item (d)
Teorema do Momento Angular:
( )
L
g
MgLMLLMgJ Az 8
5
4
5
2
4
5 2 =⇒=⇒


= ωωω """
Item (e)
Teorema do Movimento do Baricentro:
( ) ( ) jMgYiXaM AAG !!! 55 +−+= (I)
Pela cinemática:
 ( ) ( )[ ]AGAGaa AG −∧∧+−∧+= ωωω !!"!!!
Como ω" é no sentido horário, k
L
g !"!
8
5
=ω , e considerando que o ponto A é fixo e que logo após a liberação da barra
temos 0
!!
=ω :
( ) jgMigMaM
jgiga
jLiLk
L
ga
G
G
G
!!!
!!!
!!!!
32
55
32
3555
32
5
32
35
4
3
48
5
+=
+=




−∧=
( ) jMgiMgaM G !!! 32
25
32
3255 += (II)
Comparando (I) e (II):
MgYMgMgY
MgX
AA
A
32
135
32
255
32
325
=⇒=+−
=
jMgY
iMgX
A
A
!!
!!
32
135
32
325
−=
=
A
B
5Mg
XA
YA



22
1 L



22
3 L
G
30o
k
!
i
!
j
!