Mecânica I - Poli - P2 - 2009

Prévia do material em texto

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Segunda Prova – 30 de outubro de 2009 
Duração da Prova: 120 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
1ª Questão (3,5 pontos) No sistema mostrado na 
figura, a polia de centro fixo A tem raio R e a polia de 
centro fixo B tem raio 2R. Estas polias estão em 
contato com uma correia, sendo que o mesmo ocorre 
sem escorregamento. Sabe-se que o vetor de rotação 
da polia com centro A é k
rr
11 ωω = , constante. Os 
contatos do disco rígido de centro C com a correia 
(em Q) e com a superfície fixa (em P) também 
ocorrem sem escorregamento. O raio do disco vale 2R 
e o centro C do mesmo está articulado a uma barra 
dobrada em forma de L, na qual a distância EC e CD 
valem 4R. Sabendo que o movimento do ponto D 
ocorre sempre na vertical, pede-se: 
 
a) Calcular o vetor de rotação da polia com centro B; 
b) Calcular a velocidade CV
r
 do centro do disco e sua velocidade angular; 
c) Calcular a aceleração DiscoQa
r do ponto Q pertencente ao disco e 
a aceleração CorreiaQa
r do ponto Q pertencente à correia; 
d) Determinar graficamente a posição do CIR da barra em L; 
e) Calcular a velocidade EV
r do ponto E. 
 
2ª Questão (3,5 pontos) A placa RSTW gira 
em torno do eixo RW com vetor de rotação 2ω
r 
de módulo constante. Sustentado por mancais 
solidários à placa em C e D, o eixo CED possui 
vetor de rotação 1ω
r de módulo constante em 
relação a placa. A barra EH é soldada ao eixo 
CED e sustenta, em H, um tubo paralelo ao eixo 
CED. No interior do tubo o êmbolo F de um 
cilindro hidráulico desloca-se com velocidade de 
módulo V, constante em relação ao tubo. 
Determinar, para o instante mostrado na figura e 
representando os vetores na base vetorial 
solidária a placa RSTW: 
 
a) O vetor rotação absoluta Ωr da peça CDEH; 
b) O vetor aceleração rotacional absoluta Ω&
r
 da peça CDEH; 
c) O vetor velocidade absoluta do ponto F do êmbolo; 
d) O vetor aceleração absoluta do ponto F do êmbolo; 
Dados: aEM 5= ; aHE 3= ; iaHF r=− )( 
 E 
ω1 
x 
y 
A B 
C 
D 
P 
θ 
Q 
2R 
 
W 
R 
S 
T 
C D 
E 
F 
H V 
ω2 
ω1 
x 
z 
y 
M 
a 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
3ª Questão (3,0 pontos) 
 
O prisma de inclinação β da figura desloca-se sobre 
uma superfície fixa com velocidade W
r
 constante. A 
barra BA está articulada no ponto A que se desloca 
sobre uma guia para a esquerda com velocidade V
r
 
constante. Determinar a velocidade do ponto B da barra 
que se apóia sobre o prisma no instante em que ela faz o 
ângulo α com a vertical. 
 
 
 
 
 
4ª Questão Opcional (1,0 ponto) 
 
 
Em um dado instante t um sólido movimenta-se de modo a que três de seus pontos - P1, P2 e P3, 
apresentem a mesma velocidade. Supondo que esses pontos não estejam alinhados, determine qual é o 
tipo de movimento realizado pelo sólido no instante dado, justificando. 
 
 
x 
y B 
→ 
W 
G 
α 
β 
→ 
V 
A 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
Resolução da 1ª Questão (3,5 pontos) 
Na polia de centro A: 
( ) iRjRk0AAvv 111AA
rrrrrrr
ω−=∧ω+=−ʹ′∧ω+=ʹ′ 
Na polia de centro B: 
( ) iR2jR2k0BBvv 222BB
rrrrrrr
ω−=∧ω+=−ʹ′∧ω+=ʹ′ 
AB vv ʹ′ʹ′ =
rr 
⇒ω−=ω− iRiR2 12
rr
⇒
ω
=ω 2
1
2 k2
1
2
rr ω
=ω (0,5) 
 
( ) ( )jR4k0PQvv DDiscoPQ
rrrrrr
−∧ω+=−∧ω+= 
iR4v DiscoQ
rr
ω= 
AQ vv ʹ′=
rr 
⇒ω−=ω iRiR4 1Disco
rr
⇒
ω
−=ω 4
1
Disco k4
1
Disco
rr ω
−=ω (0,5) 
 
( ) ⇒∧ω−ω−=−∧ω+= jR2k4iRQCvv
1
1DiscoQC
rrrrrr i2
Rv 1C
rr ω
−= (0,5) 
 
0acorreiaQ
rr
= trecho reto da correia está em translação uniforme (0,5) 
i2
Rv 1C
rr ω
−= (constante)  0aC
rr
= 
k4
1
Disco
rr ω
−=ω (constante)  0Disco
r
&r =ω 
 
( ) ( )[ ]
( )iRka
CQCQaa
Disco
Q
DiscoDiscoDiscoC
Disco
Q
rrrrr
rr&rrr
21600
2
1 ∧++=
−∧∧+−∧+=
ω
ωωω
 
j8
Ra
2
1Disco
Q
rr ω
= (0,5) 
 
( ) ( ) isenRjRsenkCIRCv BarraBarraBarraC
rrrrr
θωθωω 440 =−∧=−∧+= 
⇒=−⇒ isenRiR Barra
rr
θω
ω 42
1 
θ
ω
ω senBarra 8
1−= (0,5) 
( ) ( ) ( )jsenisen
RiRjisenRkseniRCEvv BarraCE
rrrrrrrrr
θθ
θ
ωω
θθ
θ
ωω
ω ++−=+−∧−−=−∧+= cos22cos482
1111 






+




 −
θ
θω
= ji1sen
cos
2
Rv 1E
rrr (0,5) 
 
 E 
ω1 
x 
y 
A B 
C 
D 
P 
θ 
Q 
2R 
CIR D 
C 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
Resolução da 2ª Questão 
 
 
Utilizando composição de movimento, sendo a 
placa o referencial móvel: 
relarr ω+ω=Ω
rrr 
ik 12
rrr
ω+ω=Ω (0,5) 
 
relarrrelarr ω∧ω+ω+ω=Ω
rr&r&r&
r
⇒ω∧ω++=Ω ik00 12
rrrr&r j21
r&r ωω=Ω (1,0) 
 
Utilizando composição de movimento, sendo a 
peça CEDH o referencial móvel: 
 
rel,Farr,FF vvv
rrr
+= 
( ) ( ) ( ) ia3ja6ka3ja3ia6ki0MFvv 22121Marr,F
rrrrrrrrrrr
ω−ω+ω=+∧ω+ω+=−∧Ω+= 
ivv rel,F
rr
= 
( ) ka3ja6ia3vv 122F
rrrr
ω+ω+ω−= (1,0) 
 
( ) ( )[ ]MFMFaa Marr,F −∧Ω∧Ω+−∧Ω+=
rr&rrr 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]ja3ia6kikija3ia6j0a 212121arr,F
rrrrrrrrrrr
+∧ω+ω∧ω+ω++∧ωω+= 
( ) ( )[ ]ia3ja6ka3kika6a 2212121arr,F
rrrrrrr
ω−ω+ω∧ω+ω+ωω−= 
( )ja3ia6ka6ja3ka6a 2222212121arr,F
rrrrrr
ω−ω−ωω+ω−+ωω−= 
( )ja3ia6a 222122arr,F
rrr
ω+ω−ω−= 
0a rel,F
rr
= 
( ) jv2ivki2a 221cor,F
rrrrr
ω=∧ω+ω= 
 
( )ja3a3v2ia6a 2221222F
rrr
ω−ω−ω+ω−= (1,0) 
 
 
 
 
 
 
W 
R 
S 
T 
C D 
E 
F 
H V 
ω2 
ω1 
x 
z 
y 
M 
a 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
Resolução da 3ª Questão (3,0 pontos) 
 
 
Utilizando composição de movimentos, adotando o 
prisma como referencial móvel: 
 
rel,Barr,BB vvv
rrr
+= 
 
( )jsenicosviWv relB
rrrr
β+β−+= (1) (1,0) 
 
Aplicando a propriedade fundamental do corpo rígido 
na barra: 
 
)AB(v)AB(v BA −⋅=−⋅
rr 
 
( )[ ] )jcosisen(jsenicosviW)jcosisen(iv rel
rrrrrrrr
α−α⋅β+β−+=α−α⋅− 
 
( )
( )
( )β+α
α+
=⇒
αβ−αβ−+α=α−
sen
senvWv
cossensencosvWsenvsen
rel
rel
 (1,0) 
 
Substituindo em (1): 
 
( )
( )
( )jsenicossen
senvWiWvB
rrrr
β+β−
β+α
α+
+= 
 
( )
( )
( )
jsen
sensenvWisen
cosvsensencosWvB
rrr
β+α
βα+
+
β+α
βα−βα
= (1,0) 
 
 
 
 
 
x 
y B→ 
W 
G 
α 
β 
→ 
V 
A 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
Resolução da 4ª Questão Opcional (1,0 ponto) 
 
Em um dado instante t um sólido movimenta-se de modo a que três de seus pontos - P1, P2 e P3, 
apresentem a mesma velocidade. Supondo que esses pontos não estejam alinhados, determine qual é o 
tipo de movimento realizado pelo sólido no instante dado, justificando. 
 
 
 
3P2P1P vvv
rrr
== = vr 
 
( ) ( ) 02P1P2P1Pvv 2P1P
rrrrr
=−∧ω⇒−∧ω+= 
( ) ( ) 03P1P3P1Pvv 3P1P
rrrrr
=−∧ω⇒−∧ω+= 
( ) ( ) 03P2P3P2Pvv 3P2P
rrrrr
=−∧ω⇒−∧ω+= 
 
Então: 
0
rr
=ω 
ou 
)3P2P(//)3P1P(//)2P1P(// −−−ωr , o que não é verdadeiro já que P1, P2 e P3 não estão alinhados. 
 
Sendo assim, 0
rr
=ω e o sólido está em ato de movimento de translação.