fisica do zero

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Curso Física do Zero 
FÍSICA PARA CONCURSOS 
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CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 
CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 Revisão Matemática 
1. Potenciação .................................................................................................................................................................... 6 
2. Radiciação ....................................................................................................................................................................... 8 
3. Geometria no triângulo ................................................................................................................................................. 11 
 
 Cinemática Escalar 
1. Velocidade Média, M.R.U e M.R.U.V. ........................................................................................................................... 16 
2. Gráfico no UM e MUV ................................................................................................................................................... 16 
 
 Decomposição do Movimento 
1. Lançamentos verticais, horizontais e oblíquos.............................................................................................................. 34 
2. Lançamento Horizontal ................................................................................................................................................ 34 
3. Lançamento Oblíquo .................................................................................................................................................... 35 
4. Movimento Circular ...................................................................................................................................................... 36 
 
 Dinâmica 
1. Leis de Newton ............................................................................................................................................................. 46 
2. Força de Atrito .............................................................................................................................................................. 54 
3. Forças em trajetórias circulares ................................................................................................................................... 55 
4. Trabalho de uma força .................................................................................................................................................. 63 
5. Energia e sua conservação ........................................................................................................................................... 70 
6. Quantidade de movimento, Impulso e Teorema do Impulso ....................................................................................... 75 
7. Conservação da Quantidade de movimento ................................................................................................................. 75 
8. Colisões ......................................................................................................................................................................... 75 
 
 
 
 
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EDITAL VERTICALIZADO 2009 
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POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL PRF - 2009 
FÍSICA APLICADA À 
PERÍCIA DE 
ACIDENTES 
RODOVIÁRIOS 
LIVRO 
E/OU 
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VIDEOAULAS RESUMOS EXERCÍCIOS REVISÕES 
Mecânica 
 
Movimentos: tipos, 
classificação, velocidade 
média e aceleração média; 
Queda e arremesso. 
 
Forças: noções básicas 
de vetores, classificação, 
resultante de sistemas 
simples de forças e 
unidades no S.I. Princípios 
da Dinâmica. 
 
Trabalho. Potência. 
Rendimento. Energia. 
Quantidade de Movimento. 
Impulso. Choque 
Mecânico. 
 
Hidrostática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PERÍCIA DE 
ACIDENTES 
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VIDEOAULAS RESUMOS EXERCÍCIOS REVISÕES 
1.Mecânica 
1.1 Cinemática escalar, 
cinemática vetorial. 
 
 
1.2 Movimento circular. 
 
 
1.3 Leis de Newton e suas 
aplicações. 
 
 
1.4 Trabalho. 
 
 
1.5 Potência. 
 
 
1.6 Energia cinética, energia 
potencial, atrito. 
 
 
1.7 Conservação de energia e 
suas transformações. 
 
 
1.8 Quantidade de movimento 
e conservação da quantidade 
de movimento, impulso. 
 
 
1.9 Colisões. 
 
 
1.10 Estática dos corpos 
rígidos. 
 
 
1.11 Estática dos fluidos. 
 
 
1.12 Princípios de Pascal, 
Arquimedes e Stevin. 
 
 
2.Ondulatória 
2.1 Movimento harmônico 
simples. 
 
 
2.2 Oscilações livres, 
amortecidas e forçadas. 
 
 
2.3. Ondas. 
 
 
2.3.1 Ondas sonoras, efeito 
doppler e ondas 
eletromagnéticas. 
 
 
2.3.2 Frequências naturais e 
ressonância. 
 
 
3.Ótica 
3. Óptica geométrica: reflexão 
e refração da luz. 
3.1 Instrumentos ópticos: 
características e aplicações. 
 
 
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VIDEOAULAS RESUMOS EXERCÍCIOS REVISÕES 
Mecânica 
1.1 Cinemática escalar, 
cinemática vetorial. 
 
1.2 Movimento circular. 
1.3 Leis de Newton e suas 
aplicações. 
 
1.4 Trabalho. 
1.5 Potência. 
1.6 Energia cinética, energia 
potencial, atrito. 
 
1.7 Conservação de energia e 
suas transformações. 
 
1.8 Quantidade de movimento 
e conservação da quantidade 
de movimento, impulso. 
 
1.9 Colisões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
 
CONCURSO: FÍSICA DO ZERO PARA PRF 
 
ASSUNTO: 
 
REVISÃO MATEMÁTICA 
1. Potenciação 
2. Radiciação 
3. Geometria no triângulo 
 
 
 
1. POTENCIAÇÃO 
 
1.1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO 
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. 
Por exemplo, o produto 3 . 3 .3 . 3 pode ser indicado na 
forma 34. Assim, o símbolo an, sendo aum número inteiro e 
num número natural maior que 1, significa o produto de 
nfatores iguais a a: 
𝑎𝑛 = 𝑎 .  𝑎 .  𝑎 .   . . .   .  𝑎 ⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
 
- a é a base; 
- n é o expediente; 
- o resultado é a potência. 
 
Por definição temos que: a0 = 1 e a1 = a 
 
Exemplos: 
a) 33 = 3 . 3 .3 = 27 
b) (−2)2 = (−2) . (−2) = 4 
c) (−2)3 = (−2) . (−2) . (−2) = −8 
d) (
3
4
)
2
=
3
4
   . 
3
4
=
916
 
 
CUIDADO!! 
Cuidado com os sinais. 
▪ Número negativo elevado a expoente par fica positivo. 
Exemplos: 
 
 (−2)4 = (−2) . (−2) . (−2) . (−2) = 16 
 (−3)2 = (−3) . (−3) = 9 
 
▪ Número negativo elevado a expoente ímpar fica 
negativo. Exemplo: 
 (−2)3 = (−2) . (−2) . (−2)⏟ 
3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
 
             4  .  (−2) = −8   
▪ Se x = 2, qual será o valor de “−x2”? 
 Observe: −(2)2 = −4 , pois o sinal negativo não está 
elevado ao quadrado. 
 −𝑥2 = −(2)2 = −4→ os parênteses devem ser 
usados, porque o sinal negativo “−” não deve ser 
elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o 
valor de x. 
 
1.2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
Quadro resumo das propriedades 
 
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
√𝑎𝑛
𝑚
= 𝑎
𝑛
𝑚 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
(
𝑎
𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
 
(𝑎 .  𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
;   𝑐𝑜𝑚   𝑏 ≠ 0 
 
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar 
o uso das propriedades: 
a) 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛  =  𝑎𝑚+𝑛 Nesta propriedade vemos que 
quando tivermos multiplicação de potencias de 
bases iguais temos que conservar a base e somar 
os expoentes. 
 Ex. 1.: 2x . 22 = 2x+2 
 Ex. 2: a4 . a7 = a4+7 = a11 
 Ex. 3.: 42 . 34→ neste caso devemos primeiramente 
resolver as potências para depois multiplicar os 
resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. 
 42 . 34 = 16 . 81 = 1296 
 
Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é 
válida nos dois sentidos 
Assim: 
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛  𝑜𝑢  𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 
Exemplo: 𝑎7+𝑛 = 𝑎7 . 𝑎𝑛 
 
b) 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 Nesta propriedade vemos que 
quando tivermos divisão de potencias de bases 
iguais temos que conservar a base e subtrair os 
expoentes. 
𝐸𝑥.  1: 
34
3𝑥
= 34−𝑥 
𝐸𝑥.  2:
𝑎4
𝑎5
= 𝑎4−5 = 𝑎−1 
 
 
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7 
 
Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois 
sentidos, ou seja 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛  𝑜𝑢  𝑎𝑚−𝑛 =
𝑎𝑚
𝑎𝑛
    
Exemplo: 𝑎4−𝑥 =
𝑎4
𝑎𝑥
 
 
c) (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑛 Nesta propriedade temos uma 
potencia elevada a um outro expoente, para 
resolver temos que conservar a base e multiplicar 
os expoentes. 
 
d) 𝐸𝑥.  1: (43)2 = 43 . 2 = 46 
 𝐸𝑥.  2: (𝑏𝑥)4 = 𝑏𝑥.4 = 𝑏4 . 𝑥 
 
Obs.: Esta propriedade também é válida nosdois 
sentidos, ou seja 
(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑛  𝑜𝑢  𝑎𝑚 . 𝑛 = (𝑎𝑚)𝑛    
𝐸𝑥. : 34𝑥 = (34)𝑥𝑜𝑢 (3𝑥)4 
 
d) √𝑎𝑛
𝑚
= 𝑎
𝑛
𝑚 Esta propriedade nos mostra que 
todo radical pode se transformado numa potência 
de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o 
denominador do expoente. 
 𝐸𝑥.  1: √𝑥 = √𝑥1
2
= 𝑥
1
2 
𝐸𝑥.  2: √𝑥7
3
= 𝑥
7
3 
𝐸𝑥.  3: 25
1
2 = √25 = 5 
𝐸𝑥.  4: 𝑥
8
3 = √𝑥8
3
 
Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois 
sentidos, ou seja 
√𝑎𝑛
𝑚
= 𝑎
𝑛
𝑚  𝑜𝑢  𝑎
𝑛
𝑚 = √𝑎𝑛
𝑚
   
𝐸𝑥. :  𝑎
5
2 = √𝑎5 
 
e) (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
,  𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 𝐸𝑥.  1: (
2
3
) =
22
32
=
4
9
 
𝐸𝑥. 2: (
1
5
)
2
=
12
52
=
1
25
 
 
Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois 
sentidos, ou seja 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑎𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛
   
𝐸𝑥. :
√2
√3
=
2
1
2
3
1
2
= (
2
3
)
1
2
= √
2
3
 
 
f) (𝑎 .  𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 
 𝐸𝑥.  1: (𝑥 .  𝑎)2 = 𝑥2 . 𝑎2 
𝐸𝑥.  2: (4𝑥)3 = 43 . 𝑥3 = 64𝑥3 
𝐸𝑥.  3: (3√𝑥)4 = 34 . (√𝑥)4 = 34 . (𝑥
1
2)
4
= 34 . 𝑥2 = 81𝑥2 
Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois 
sentidos, ou seja 
 (𝑎 .  𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛  𝑜𝑢  𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 = (𝑎 .  𝑏)𝑛     
𝐸𝑥. : √𝑥 . √𝑦 = 𝑥
1
2 . 𝑦
1
2 = (𝑥 .  𝑦)
1
2 = √𝑥 .  𝑦 
 
g) 𝑎− 𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
 𝐸𝑥.  1: 𝑎−3 = (
1
𝑎
)
3
=
13
𝑎3
=
1
𝑎3
 
𝐸𝑥.  2: (
2
3
)
−2
= (
3
2
)
2
=
32
22
=
9
4
 
𝐸𝑥. 3: (−4)−1 = (−
1
4
)
1
= −
1
4
 
 O sinal negativo no expoente indica que a base da 
potência deve ser invertida e simultaneamente 
devemos eliminar o sinal negativo do expoente. 
 
Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois 
sentidos, ou seja 𝑎− 𝑛 =
1
𝑎𝑛
 𝑜𝑢 
1
𝑎𝑛
= 𝑎− 𝑛 
Ex.: 
a) 
1
𝑥2
= 𝑥−2 
b) 
2
3𝑥3
=
2
3
  . 
1
𝑥3
=
2
3
  . 𝑥−3 
 
CUIDADO !!! 
• (−2)−3 = (−
1
2
)
3
=
(−1)3
(2)3
=
−1
8
 
• (3)−3 = (
1
3
)
3
=
13
33
=
1
27
 
• (
1
𝑎
)
−3
= (
𝑎
1
)
3
=
𝑎3
13
= 𝑎3 
 Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente 
invertendo a base. 
 
 Obs.: É importante colocar que nos três exemplos 
acima o sinal negativo do expoente não interferiu no 
sinal do resultado final, pois esta não é a sua função. 
 
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8 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Calcule as potências: 
a) 26 i) (−
3
2
)
4
 
b) (−6)2 j) (−
3
2
)
3
 
c) −62 
d) (−2)3 k) 028 
e) −23 l) 132 
f) 50 m) (−1)20 
g) (−8)0 n) (−1)17 
h) (
3
2
)
4
 o) (−
3
5
)
2
 
 
2. O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é: 
a) 16 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
3. Qual é a forma mais simples de escrever: 
a) (a . b)3 .b . (b . c)2 
b) 
𝑥3 . 𝑦2 . 𝑦5. 𝑥 . 𝑥4
𝑦7
 
 
4. Sendo a = 27 .38 .7 e b = 25 . 36, o quociente de a por b 
é: 
a) 252 
b) 36 
c) 126 
 
5. Calcule o valor da expressão: 
𝐴 = (
2
3
)
−2
− (
1
2
)
−1
+ (−
1
4
)
−2
 
 
6. Simplificando a expressão 
3 . (−
1
2
)
2
+
1
4
3 . (−
1
2
)
2
−
3
2
 , obtemos o 
número: 
a) −
4
3
 d) 
3
4
 
b) −
3
4
 e) −
5
7
 
c) 
4
3
 
7. Quando 𝑎 = −
1
3
 𝑒 𝑏 = −3, qual o valor numérico da 
expressão a2− ab + b2? 
 
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes 
potências: 
a) 2−3 = 
b) 10−2 = 
c) 4−1 = 
 
9. Efetue: 
a) a6 . a4 = 
b) 
𝑎8
𝑎3
= 
c) (
2𝑎𝑏2
𝑐3
)
2
 . (
𝑎2𝑐
𝑏
)
3
= 
d) 
(
3𝑥2𝑦
𝑎3𝑏3
)
2
(
3𝑥𝑦2
2𝑎2𝑏2
)
3 = 
e) (3𝑥)4 
f) (𝑥3)5 = 
 
10. Sabendo que 𝑎 = (−2 +
4
5
)
−2
, determine o valor de a. 
 
2. RADICIAÇÃO 
2.1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO 
 
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De 
modo geral podemos escrever: 
 
√𝑎
𝑛
= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎  (𝑛 ∈ ℕ  𝑒  𝑛 ≥ 1) 
 
𝐸𝑥.  1: √4 = 2    𝑝𝑜𝑖𝑠   22 = 4 
𝐸𝑥.  2:  √8
3
= 2    𝑝𝑜𝑖𝑠   23 = 8 
Na raiz √𝑎
𝑛
, temos: 
− O número n é chamado índice; 
− O número a é chamado radicando. 
 
2.2. CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO 
2.2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
a) √𝑎𝑝
𝑛
⇔ 𝑎
𝑝
𝑛 Essa propriedade mostra que 
todo radical pode ser escrito 
na forma de uma potência. 
 Ex. 1: √2
3
   = 2
1
3 
𝐸𝑥.  2: √43 = 4
3
2 
𝐸𝑥.  3:  √62
5
 = 6
2
5 
 
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade 
também é muito usada no sentido contrário ou seja 
𝑎
𝑝
𝑛 = √𝑎𝑝
𝑛
(o denominador “n” do expoente fracionário 
é o índice do radical). 
Exemplo: 2
3
5 = √23
5
. 
 
b) √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎
𝑛
𝑛 = 𝑎1 = 𝑎      𝐸𝑥. : √23
3
= 2
3
3 = 21 = 2 
 
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9 
 
c) √𝑎 .  𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
 .  √𝑏
𝑛
    
𝐸𝑥. :  √𝑎3 . 𝑏6
3
= √𝑎3
3
 .  √𝑏6
3
= 𝑎
3
3 . 𝑏
6
3 = 𝑎 . 𝑏2 
 
d) √
𝑎
𝑏
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
𝑛
    𝐸𝑥. : √
𝑎6
𝑏5
=
√𝑎6
√𝑏5
=
𝑎
6
2
𝑏
5
2
=
𝑎3
𝑏
5
2
  𝑜𝑢  
𝑎3
√𝑏5
 
 
e) (√𝑏
𝑛
)
𝑚
= (𝑏
1
𝑛)
𝑚
= 𝑏
1
𝑛
 . 𝑚 = 𝑏
1
𝑛
 . 
𝑚
1 = 𝑏
𝑚
𝑛 
 𝐸𝑥. : (√5)3 = (5
1
2)
3
= 5
1
2
 . 3 = 5
1
2
 . 
3
1 = 5
3
2 
f) √ √𝑎
𝑚𝑛
= √𝑎
𝑚 . 𝑛
   𝐸𝑥. :  √√3
23
= √3
3 . 2
= √3
6
 
 
EXERCÍCIOS 
11. Dê o valor das expressõese apresente o resultado na 
forma fracionária: 
a) √
1
100
= d) −√0,01 = 
b) −√
1
16
= e) √0,81 = 
c) √
4
9
= f) √2,25 = 
 
12. Calcule a raiz indicada: 
a) √𝑎3
9
 
b) √48
3
 
c) √𝑡7 
d) √𝑡12
4
 
 
13. Escreva na forma de potência com expoente 
fracionário: 
a) √7 = d) √𝑎5
6
= 
b) √23
4
= e) √𝑥2
3
= 
c) √32
5
= f) 
1
√3
= 
 
14. Escreva na forma de radical: 
a) 2
1
5 = f) (𝑎3𝑏)
1
4 = 
b) 4
2
3 = g) (𝑚2𝑛)−
1
5 = 
c) 𝑥
1
4 = h) 𝑚−
3
4 = 
d) 8−
1
2 = 
e) 𝑎
5
7 = 
 
15. De que forma escrevemos o número racional 0,001, 
usando expoente inteiro negativo? 
a) 10−1 
b) 10−2 
c) 10−3 
d) 10−4 
e) 1−10 
 
 
2.2.2. RAÍZES NUMÉRICAS 
 
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o 
radical. 
2.3. RAÍZES LITERAIS 
a) √𝑥9 = 𝑥
9
2 
 
Escrever o radical √𝑥9 na forma de expoente 
fracionário 𝑥
9
2 não resolve o problema, pois nove não é 
divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da 
seguinte forma: 9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o 
índice da raiz. 
Assim teremos: 
√𝑥9 = √𝑥8+1 = √𝑥8 . 𝑥1 = √𝑥8 . √𝑥 = 𝑥
8
2 . √𝑥
= 𝑥4 . √𝑥 
 
b) √𝑥14
3
= √𝑥12+2
3
 pois 12 é divisível por 3 (índice da 
raiz). 
 = √𝑥12 . 𝑥2
3
 
= √𝑥12
3
 .  √𝑥2
3
 
= 𝑥
12
3  .  √𝑥2
3
 
= 𝑥4 .  √𝑥2
3
 
 
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10 
 
 
16. Calcule: 
a) √125
3
= f) √7
1
= 
b) √243
5
= g) √−125
3
= 
c) √36 = h) √−32
5
= 
d) √1
5
= i) √−1
7
= 
e) √0
6
= 
 
17. Calcule a raiz indicada: 
a) √4𝑎2 = 
b) √36𝑎2𝑏6 = 
c) √
4
9
𝑎2𝑏4 = 
d) √
𝑥2
100
= 
e) √
16𝑎10
25
= 
f) √100𝑥2
4
= 
 
GABARITOS EXERCÍCIOS 
1. 
a)64 
b) 36 
c) – 36 
d) – 8 
e) – 8 
f) 1 
g) 1 
h) 81 16⁄ 
i) 81 16⁄ 
j) − 27 8⁄ 
k) 0 
l) 1 
m) 1 
n) – 1 
o) 9 25⁄ 
 
 
2. D 
3. 
a) a3b6c2 
b) x8 
 
4. A 
5.𝐴 = 65 4⁄ 
6. A 
7.73 9⁄ 
8. 
a) 0,125 
b) 0,01 
c) 0,25 
 
9. 
a) a10 
b) a5 
c) 
4𝑎8𝑏
𝑐3
 
d) 
8𝑥
3𝑦4
 
e) 81 x4 
f) x15 
 
10.𝑎 =
25
36
 
 
11. 
a) 1 10⁄ 
b) − 1 4⁄ 
c) 2 3⁄ 
d) −1 10⁄ 
e) 9 10⁄ 
f) 15 10⁄ 
 
12. 
a) √𝑎
3
 
b) 2√6
3
 
c) 𝑡3√𝑡 
d) 𝑡3 
 
13. 
a) 71/2 
b) 23/4 
c) 32/5 
d) 𝑎5/6 
e) 𝑥2/3 
f) (3)− 1/2 
 
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11 
 
14. 
a) √2
5
 
b) √42
3
 
c) √𝑥
4
 
d) 1
√8
⁄ 
e) √𝑎5
7
 
f) √𝑎3𝑏
4
 
g) 1
√𝑚2𝑛
5⁄ 
h)1
√𝑚3
4⁄ 
 
15. C 
16. 
a) 5 
b) 3 
c) 6 
d) 1 
e) 0 
f) 7 
g) – 5 
h) – 2 
i) – 1 
 
17. 
a) 2a 
b) 6ab3 
c) 
2
3
 𝑎𝑏2 
d) 𝑥 10⁄ 
e) 4𝑎
5
5⁄ 
f) √10𝑥 
 
3. GEOMETRIA NO TRIÂNGULO 
3.1. BREVE REVISÃO DE GEOMETRIA PARA AJUDAR NO 
ESTUDO DOS VETORES 
É importante que o aluno esteja bem familiarizado 
com as propriedades usuais da geometria plana, tais como 
Lei dossenos, Lei dos cossenos, Teorema de Pitágoras, 
Propriedades dos triângulos retângulos, a fim de operar 
com os vetoressem maiores dificuldades. Vamos a uma 
pequena revisão: 
Geometria no triângulo retângulo: 
 Hipotenusa: lado oposto ao ângulo de 90º num 
triângulo retângulo. Somente triângulos retângulos 
tem hipotenusas. 
 Catetos: lados opostos aos ângulos agudos no 
triângulo retângulo. 
 
Relações matemáticas que você deve saber 
Pitágoras: a² = b² + c² 
(válido só para triângulos retângulos) 
 
 
 
Todo estudante deve saber memorizado o seno, o cosseno 
e a tangente dos ângulos mais comuns que aparecem na 
tabela abaixo. Normalmente o aluno acaba memorizando 
com o uso e a prática, fazendo exercícios: 
 
 
Geometria no triângulo qualquer 
Lei dos Cossenos: calcula o 3º lado de um triângulo, do qual 
se conhecem dois lados e um ângulo. 
 
 
 Note que, na lei dos cossenos, o lado a que aparece no 
1º membro da fórmula é sempre o lado oposto ao 
ângulo a. 
 Para exemplificar o uso da Lei dos cossenos, 
determinaremos, a seguir, o comprimento do 3º lado 
de um triângulo do qual conhecemos dois lados e um 
ângulo. 
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 Chamaremos de  o ângulo de 60o do triângulo. O 
lado oposto ao ângulo  é sempre o lado a na lei dos 
cossenos e, nesse exercício, será nessa incógnita. Os 
lados b e c podem ser escolhidos em qualquer ordem. 
Assim, temos: 
 
 Assim, o lado a desconhecido tem um comprimento de 
7 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13 
 
ANOTAÇÕES 
 
EXERCÍCIOS 
18. Um observador, estando a x metros da base de uma torre, vê o topo sob 
um ângulo de 60°. Afastando-se 100 m em linha reta, passa a vê-lo sob um 
ângulo de 30°. A altura da torre corresponde, em metros, a: 
 
 
19. A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da 
superfície da água de um lago (figura 1). Quando a brisa a faz balançar, 
essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10√3do 
local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, encontrava-se 
inicialmente (figura 2). Considere 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 𝑒 𝐵𝐶segmentos de retas e 
oarco AB uma trajetória do movimento planta. 
 
 Pode-se afirmar que a profundidade do lago no ponto O em que se 
encontra a raiz da planta, em centímetros, é: 
 
 
20. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o 
solo, um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). 
Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião? 
 
21. (Cefet – PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas 
retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30°. O posto de gasolina 
Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado 
cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre 
oposto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros? 
 
 
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14 
 
ANOTAÇÕES 
 
22. Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A 
correnteza faz com que ele atraque no ponto B da outra margem, 240 m abaixo 
do ponto A. Se ele percorreu 300 m, qual a largura do rio? 
 
23. Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de 6 m do 
poste onde a pipa engalhou. Renata notou que ângulo a formado entre a linha 
da pipa e a rua era 60°, como mostra a figura. Calcule a altura do poste. 
 
 
 
24. Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, 
conforme mostra a figura abaixo: 
 
 
Se ela caminhar 120 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de 
ondepoderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela 
deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, 
para que possa enxergar o topo do prédio sob umângulo de 30°? 
 
25. Um avião está a 600 m de altura quando se vê a cabeceira da pista sob um 
ângulo de declive de 30°. A que distância x o avião está da cabeceira da 
pista? 
 
 
26. Determine os valores de x, y, w e z em cada caso: 
 
 
27. Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e 
da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3cm e o outro mede 
√3 𝑐𝑚. 
 
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15 
 
ANOTAÇÕES 
 
28. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 
30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se 
verticalmente de: 
a) 6√3 𝑚. 
b) 12 𝑚. 
c) 13,6 𝑚. 
d) 9√3 𝑚. 
e) 18 𝑚. 
 
29. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a 
e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado 
é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO EXERCÍCIOS 
18 19 20 21 22 23 24 25 
D C * * * * * * 
26 27 28 29 
* * E B 
 
20. 500 m 
21. 2 km 
22. 180 m 
23. 6√3 𝑚 
24. 240m + 120m = 360 m 
25. 1200 m 
26. 
a) 
32
√3
 
b) 𝑦 = 30° 
c) 9√3 
d) 20√2 
 
27. Ângulos: 30° e 60°. 
 Hipotenusa: 2√3 
 
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CURSO: FÍSICA DO ZERO PARA PRF – MECÂNICA 
 
ASSUNTO: 
 
CINEMÁTICA ESCALAR 
1. Velocidade Média, M.R.U. e M.R.U.V. 
2. Gráficos no MU e MUV 
 
 
 
CINEMÁTICA ESCALAR 
 
Nosso mundo tem, como característica fundamental, 
o movimento. Tudo se move; mesmo corpos que estão em 
aparente repouso num referencial, não o estão em relação 
a outros. Sentados em nossos sofás, confortavelmente 
instalados em frente aos nossos aparelhos de TV, temos a 
impressão que tudo está em repouso ao nosso redor, no 
entanto, a Terra se move no espaço, e nós juntamente com 
ela. A Lua move-se ao redor da Terra. Caso estivéssemos 
sentados num avião, em pleno voo, tudo dentro da 
aeronave também pareceria parado em relação a nós, mas 
em movimento em relação ao solo. Portanto, a noção de 
movimento ou repouso é relativa; depende do referencial 
que se adota. 
1. VELOCIDADE MÉDIA, M.R.U. E M.R.U.V. 
I. Velocidade média 
 
Tabela de conversão 
 
5 m/s = 18 km/h 
10 m/s = 36 km/h 
15 m/s = 54 km/h 
20 m/s = 72 km/h 
25 m/s = 90 km/h 
30 m/s = 108 km/h 
 
 
 
II. Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) 
 
No movimento uniforme, o móvel percorrerá 
distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. 
 
O desenvolvimento da equação v = s/t resulta 
em: 
𝑣 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
=
𝑠−𝑠0
𝑡−𝑡0
; assumindo que t0 = 0 s, temos: 
 
 
III. Movimento Retilíneo Uniforme Variado 
(M.R.U.V.) 
 
 
 
Como em um MUV o valor da aceleração é 
constante, podemos escrever que 𝑎 =
𝛥𝑣
𝛥𝑡
=
𝑣2−𝑣1
𝑡2−𝑡1
. 
Desenvolvendo a igualdade, teremos: 
 
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
v v
a v v a(t t ) v v a(t t )
t t
−
=  − = −  = + −
−
 
 
Assumindo que t1 = 0, temos que v2 = v1 + at2, ou 
simplesmente: 
 
 
 
 
 
2. GRÁFICOS no MU e MUV 
 
2.1. GRÁFICOS s x t 
 
a) Movimento Uniforme: s = s0 +vt 
 
 
 
 
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b) Movimento Uniformemente Variado: 
 s = s0 +v0t + 
𝑎𝑡2
2
 
 
 
2.2. GRÁFICOS v x t 
a) Movimento Uniforme: v = constante 
 
 
 
b) Movimento Uniformemente Variado: a = constante 
 Função:v = v0 + at 
 
 
 
 
c) Propriedades: 
I. A área sob a curva dá o valor do s 
II. A aceleração pode ser calculada por 
2.3. GRÁFICOS a x t 
a) Movimento Uniforme: a = 0 
 
 
b) Movimento Uniformemente Variado: a  0 
 
 
 
c) Propriedade: 
 
 
 
 
 
 
 
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ANOTAÇÕES 
 
 
1. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um automóvel deslocou-se durante 
1 h com velocidade constante de 60 km/h e, a seguir, por mais meia hora, 
com velocidade constante de 42 km/h. A velocidade escalar média do 
automóvel nesse intervalo de 1 h 30 min foi de 15m/s. (C/E) 
 
2. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Em uma passagem de nível, a 
cancela é fechada automaticamente quando o trem está a 100 m do início 
do cruzamento. O trem, de comprimento 200m, move-se com velocidade 
constante de 
36 km/h. Assim que o último vagão passa pelo final do cruzamento, a 
cancela se abre, liberando o tráfego de veículos. 
 
 
 
 Considerando que a rua tem largura de 20 m, o tempo que o trânsito fica 
contido desde o início do fechamento da cancela até o início de sua 
abertura, será superior a 30 segundos. (C/E) 
 
3. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) João está parado em um posto de 
gasolina quando vê o carro de seu amigo passando por um ponto P, na 
estrada, a 60 km/h. Pretendendo alcançá-lo, João parte com seu carro e 
passa pelo mesmo ponto P, depois de 4 minutos, já a 80 km/h. Considere 
que ambos dirigem com velocidades constantes. Medindo o tempo, a 
partir de sua passagem pelo ponto P, João deverá alcançar seu amigo, em 
menos de 25 minutos. (C/E) 
 
4. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) A figura a seguir mostra o esquema 
simplificado de um dispositivo colocado em uma rua para controle de 
velocidade de automóveis (dispositivo popularmente chamado de radar). 
 
 
 
 
 Os sensores S1 e S2 e a câmera estão ligados a um computador. Os 
sensores enviam um sinal ao computador sempre que são pressionados 
pelas rodas de um veículo. Se a velocidade do veículo está acima da 
permitida, o computador envia um sinal para que a câmera fotografe sua 
placa traseira no momento em que esta estiver sobre a linha tracejada. 
Para certo veículo, os sinais dos sensores foram os seguintes: 
 
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ANOTAÇÕES 
 
 
 
 Podemos concluir que a velocidade do veículo foi superior a 80 km/h. (C/E) 
 
5. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Marta e Pedro combinaram 
encontrar-se em um certo ponto de uma autoestrada plana, para 
seguirem viagem juntos. Marta, ao passar pelo marco zero da estrada, 
constatou que, mantendo uma velocidade média de 80 km/h, chegaria 
na hora certa ao ponto de encontro combinado. No entanto, quando 
ela já estava no marco do quilômetro 10, ficou sabendo que Pedro 
tinha se atrasado e, só então, estava passando pelo marco zero, 
pretendendo continuar sua viagem a uma velocidade média de 100 
km/h. Mantendo essas velocidades, seria previsível que os dois amigos 
se encontrassem próximos a um marco da estrada com indicação de 
quilômetro 50. (C/E) 
 
6. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Na pista de testes de uma 
montadora de automóveis, foram feitas medições do comprimento da 
pista e do tempo gasto por um certo veículo para percorrê-la. Os 
valores obtidos foram, respectivamente, 1030,0m e 25,0s. Levando-se 
em conta a precisão das medidas efetuadas, é correto afirmar que a 
velocidade média desenvolvida pelo citado veículofoi menor que 30 
m/s. (C/E) 
 
7. Dois automóveis A e B encontram-se estacionados paralelamente ao 
marco zero de uma estrada. Em um dado instante, o automóvel A parte, 
movimentando-se com velocidade escalar constante VA= 80 km/h. Depois 
de certo intervalo de tempo Δt, o automóvel B parte no encalço de A com 
velocidade escalar constante VB= 100 km/h. Após 2 h de viagem, o 
motorista de A verifica que B se encontra 10 km atrás e conclui que o 
intervalo Δt, em que o motorista B ainda permaneceu estacionado 45 min. 
(C/E) 
 
8. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um motorista apressado passa em 
alta velocidade por uma base da Polícia Rodoviária, com velocidade constante 
de módulo 90 km/h. Dez segundos depois, uma viatura parte em perseguição 
desse carro e o alcança nos próximos 30 segundos. A velocidade escalar média 
da viatura, em todo o percurso, será de 120 km/h. (C/E) 
 
9. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um corredor velocista corre a prova 
dos 100 m rasos em, aproximadamente, 10 s. Considerando-se que o 
corredor parte do repouso, tendo aceleração constante, e atinge sua 
velocidade máxima no final dos 100 m, a aceleração do corredor durante a 
prova, é 3 m/s2. (C/E) 
 
10. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um carro corre a uma velocidade de 
20 m/s quando o motorista vê um obstáculo 50 m à sua frente. A 
desaceleração mínima constante que deve ser dada ao carro para que não 
haja choque é de 4 m/s2. (C/E) 
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20 
 
ANOTAÇÕES 
 
11. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Uma motocicleta com velocidade 
constante de 20m/s ultrapassa um trem de comprimento 100 m e 
velocidade 15m/s. A duração da ultrapassagem é de 25s. (C/E) 
 
(Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
O enunciado abaixo refere-se às questões 12 e 13. 
Numa determinada avenida onde a velocidade máxima permitida é de 60km/h, 
um motorista dirigindo a 54km/h vê que o semáforo, distante a 63m, fica 
amarelo e decide não parar. 
 
12. Sabendo-se que o sinal amarelo permanece aceso durante 3 segundos 
aproximadamente, esse motorista, se não quiser passar no sinal vermelho, 
deverá imprimir ao veículo uma aceleração mínima de 4 m/s2. (C/E) 
 
13. O resultado é que esse motorista não será multado, pois não avançou o 
sinal e nem superou a velocidade máxima permitida na via. (C/E) 
 
 
14. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) O engavetamento é um tipo comum 
de acidente que ocorre quando motoristas deliberadamente mantêm uma 
curta distância do carro que se encontra à sua frente e este último 
repentinamente diminui sua velocidade. Em um trecho retilíneo de uma 
estrada, um automóvel e o caminhão, que o segue, trafegam no mesmo 
sentido e na mesma faixa de trânsito, desenvolvendo, ambos, velocidade 
de 108 km/h. Num dado momento, os motoristas veem um cavalo 
entrando na pista. Assustados, pisam simultaneamente nos freios de seus 
veículos aplicando, respectivamente, acelerações de intensidades 3m/s2 e 
2m/s2. Supondo desacelerações constantes, a distância inicial mínima de 
separação entre o para-choque do carro (traseiro) e o do caminhão 
(dianteiro), suficiente para que os veículos parem, sem que ocorra uma 
colisão, é de 50m. (C/E) 
 
15. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF)Em um teste para uma revista 
especializada, um automóvel acelera de 0 a 90km/h em 10 segundos. 
Nesses 10 segundos, o automóvel percorre 125m. (C/E) 
 
16. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Uma motocicleta, com velocidade 
de 90km/h, tem seus freios acionados bruscamente e para após 25s. O 
módulo da aceleração que os freios aplicaram à motocicleta foi de 1m/s2. 
(C/E) 
 
17. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um automóvel parte do repouso e é 
submetido a uma aceleração média de 5m/s2 durante 4s. A desaceleração 
que ele deve sofrer, a partir desse instante, para voltar ao repouso a 140m 
da posição inicial, em módulo será 2m/s2. (C/E) 
 
18. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) No momento em que um motorista 
vê a luz vermelha de um semáforo, ele freia o seu carro, o máximo 
possível, até parar. A “distância de parada” pode ser considerada como 
“distância de reação” do motorista, percorrida com velocidade constante, 
mais “distância de frenagem”, percorrida com desaceleração constante. 
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21 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
Velocidade Inicial 
(km/h) 
Distância de reação 
(m) 
Distância de 
frenagem (m) 
72 15 20 
 
 Para os valores fornecidos na tabela, o tempo decorrido para o motorista 
conseguir parar completamente o seu carro superior a 3,0s. (C/E) 
 
19. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Certo piloto de kart é avaliado 
durante uma prova, ao longo de um trecho retilíneo de 200m de 
comprimento. O tempo gasto nesse deslocamento foi 20s e a velocidade 
escalar do veículo variou segundo o diagrama abaixo. 
 
 
 
 Nesse caso, a medida de V no instante em que o kart concluiu o trecho foi 
de 90km/h. (C/E) 
 
20. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) O semáforo é um dos recursos 
utilizados para organizar o tráfego de veículos e de pedestres nas grandes 
cidades. Considere que um carro trafega em um trecho de uma via 
retilínea, em que temos 3 semáforos. O gráfico abaixo mostra a velocidade 
do carro, em função do tempo, ao passar por esse trecho em que o carro 
teve que parar nos três semáforos. 
 
 
 
 A distância entre o primeiro e o terceiro semáforo é de 330m. (C/E) 
 
21. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) O gráfico representa a variação da 
velocidade de um automóvel ao frear. 
 
 
 
 Se nos 4s da frenagem o automóvel deslocou 40m então a velocidade em 
que se encontrava no instante em que começou a desacelerar era de 
108 km/h. (C/E) 
 
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22 
 
ANOTAÇÕES 
 
22. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um motorista dirigia por uma 
estrada plana e retilínea quando, por causa de obras, foi obrigado a 
desacelerar seu veículo, reduzindo sua velocidade de 90 km/h para 
54km/h. Depois de passado o trecho em obras, retornou à velocidade 
inicial de 90 km/h. O gráfico representa como variou a velocidade escalar 
do veículo em função do tempo, enquanto ele passou por esse trecho da 
rodovia. 
 
 
 
 
 Caso não tivesse reduzido a velocidade devido às obras, mas mantido sua 
velocidade constante de 90 km/h durante os 80 s representados no gráfico, a 
distância adicional que teria percorrido nessa estrada seria de 350m. (C/E) 
 
23. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Seja o gráfico da velocidade em 
função do tempo de um corpo em movimento retilíneo uniformemente 
variado representado abaixo. 
 
 
 
 Considerando a posição inicial desse movimento igual a 46 m, então a 
posição do corpo no instante t = 8 s é 62m. (C/E) 
 
24. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Este gráfico, velocidade versus 
tempo, representa o movimento de um automóvel ao longo de uma 
estrada reta. 
 
 
 
 A distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 12 s foi inferior a 
144m. (C/E) 
 
 
25. (Fatec-SP) Dois móveis, M e N, partem de um mesmo ponto e percorrem a 
mesma trajetória. Suas velocidades variam com o tempo, como mostra o 
gráfico a seguir. 
 
 
 
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23 
 
ANOTAÇÕES 
 
Analise as seguintes afirmações a respeito desses móveis: 
I. Os dois descrevem movimento uniforme. 
II. Os dois se encontram no instante t = 10 s. 
III. No instante do encontro, a velocidade de M será 32 m/s. 
Deve-se afirmar que apenas: 
a) I é correta. 
b) II é correta. 
c) III é correta. 
d) I e II são corretas. 
e) II e III são corretas. 
 
26. (PC-PE - 2006 – Perito Criminal)O gráfico abaixo mostra as velocidades de 
dois carros, A e B, que trafegam no mesmo sentido ao longo de uma via 
plana e reta. No instante t = 0 os carros estão alinhados num mesmo 
semáforo. Após quanto tempo o carro B alcançará o carro A? 
 
 
a) t = 1 s 
b) t = 2 s 
c) t = 3 s 
d) t = 4 s 
e) t = 5 s 
 
27. (UPE – POLÍCIA CIVIL – PE – AUXILIAR DE PERÍCIA CRIMINAL) 
 
 Um corpo que se movimenta em trajetória retilínea tem sua velocidade 
variando em função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo. 
 
 Analise os itens a seguir. 
I. No intervalo entre to e t1, o movimento é uniforme. 
II. No intervalo entre t1 e t2, a aceleração aumenta. 
III. A distância percorrida pelo corpo no intervalo de tempo t2 e t3 vale 
V2. (t3– t2). 
IV. Nos intervalos entre t1 e t2 , o movimento é progressivo e acelerado. 
 
Sobre eles, pode-se afirmar que 
a) os itens I e II estão corretos. 
b) todos os itens estão incorretos. 
c) todos os itens estão corretos. 
d) apenas os itens I e III estão corretos. 
e) o item IV está correto. 
 
 
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ANOTAÇÕES 
 
 O enunciado abaixo refere-se às questões 28 a 32. 
 (CESPE/UnB)O gráfico abaixo representa as velocidades em função do 
tempo para dois carros, A e B, em uma estrada reta. Em t = 0 eles se 
encontram no quilômetro zero. 
 
 
28. A velocidade média desenvolvida pelo carro A nas primeiras duas horas da 
viagem é 70km/h. (C/E) 
 
29. Ao final das primeiras duas horas de viagem, o carro B ultrapassa o carro A. 
(C/E) 
 
30. Durante as primeiras quatro horas de viagem, cada carro se desloca em 
movimento uniformemente acelerado. (C/E) 
 
31. Nas primeiras duas horas de viagem, a aceleração do carro B é maior do 
que a aceleração do carro A. (C/E) 
 
32. Ao final das primeiras quatro horas de viagem, a distância entre os dois 
carros é de 20km. (C/E) 
 
33. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) O gráfico representa o movimento 
de um carro durante certo percurso. Podemos afirmar que a velocidade 
média do carro nesse percurso foi de 64km/h. (C/E) 
 
 
 
34. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um carro viaja 5h a uma velocidade 
que varia conforme o gráfico. Podemos afirmar que a velocidade média do 
veículo durante a viagem foi superior a 54km/h. (C/E) 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
ANOTAÇÕES 
 
35. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um automóvel faz uma viagem em 6 
horas e sua velocidade escalar varia em função do tempo 
aproximadamente como mostra o gráfico. A velocidade escalar média do 
automóvel na viagem é de 48km/h. (C/E) 
 
 
 
36. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Os movimentos de dois móveis, A e 
B, são descritos pelos gráficos abaixo. O instante e a posição do encontro 
dos móveis são, respectivamente, 14s e 40m. (C/E) 
 
 
 
37. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Para os móveis do gráfico abaixo, o 
instante e a posição do encontro são respectivamente 12s e 2m. (C/E) 
 
 
 
(Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
O enunciado abaixo refere-se às questões 38 a 40. 
Duas partículas A e B movem-se numa mesma trajetória, e o gráfico a seguir 
indica suas posições (s) em função do tempo (t). 
 
38. Pelo gráfico, podemos afirmar que as partículas encontram-se inicialmente 
a 35m de distância uma da outra. (C/E) 
 
 
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26 
 
ANOTAÇÕES 
 
39. Podemos afirmar que as partículas possuem a mesma velocidade no 
instante t=5s. (C/E) 
 
40. Após 10s, podemos afirmar que as partículas encontram-se afastadas com 
a mesma distância registrada no início do movimento. (C/E) 
 
41. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
Um móvel se desloca, em movimento uniforme, sobre o eixo xdurante o 
intervalo de tempo de t0 = 0 a t = 30 s. O gráfico representa a posição x, 
em função do tempo t, para o intervalo de t0 = 0 s a t = 5,0 s. O instante 
em que o móvel passa pela posição - 30 m, é exatamente igual a 25s. (C/E) 
 
 
 
 (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
O enunciado abaixo refere-se às questões 42 a 44. 
O movimento de um corpo ocorre sobre um eixo x, de acordo com o 
gráfico, em que as distâncias são dadas em metros e o tempo, em 
segundos. 
 
 
 
42. A distância percorrida em 1 segundo entre o instante t1 = 0,5s e t2 = 1,5s 
foi de 20m. (C/E) 
 
43. A velocidade média do corpo entre t1 = 0,0 s e t2 = 2,0 s foi superior a 20 
m/s. (C/E) 
44. A velocidade instantânea no instante t1 = 1,5 s é superior à velocidade 
instantânea no instante t2 = 0,5 s. (C/E) 
 
45. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
Um móvel se desloca em MRU, cujo gráfico v x t está representado no 
gráfico. O valor do deslocamento do móvel entre os instantes t1 = 2,0 s e 
t2 = 3,0 s é de 30m. (C/E) 
 
 
 
 
 
 
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27 
 
ANOTAÇÕES 
 
46. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) A figura mostra um gráfico da 
velocidade em função do tempo para um veículo que realiza um 
movimento composto de movimentos retilíneos uniformes. Sabendo-se 
que em t = 0 a posição do veículo é x0 = + 50 km. A posição do veículo no 
instante t = 4,0 h é 25km. (C/E) 
 
 
 
47. O gráfico representa a variação das posições de um móvel em função do 
tempo. O gráfico de v x t que melhor representa o movimento dado, é: 
 
 
 
 
 
 
(Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
 O enunciado abaixo refere-se às questões 48 a 50. 
Este gráfico mostra como varia a posição em função do tempo para um 
carro que se desloca em linha reta. 
 
 
 
 
 
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28 
 
ANOTAÇÕES 
 
48. Podemos afirmar que após 40s, o movimento é considerado acelerado. 
(C/E) 
 
49. No instante t = 60 s, a velocidade do carro é 36 km/h. (C/E) 
 
50. Na posição 600m, a velocidade é maior que no instante 50s. (C/E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO EXERCÍCIOS 
01 02 03 04 05 06 07 08 
C C C E C E E C 
09 10 11 12 13 14 15 16 
E C E C E E C C 
17 18 19 20 21 22 23 24 
C E C C E C C E 
25 26 27 28 29 30 31 32 
C D E C E E C E 
33 34 35 36 37 38 39 40 
C E E C C C E C 
41 42 43 44 45 46 47 48 
C C E E E C B E 
49 50 
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29 
 
ANOTAÇÕES 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
01. (CBM-PA/2003 - CESPE) Cinemática - que vem da palavra grega kínema e significa 
movimento - é uma área da Física que estuda os movimentos sem se preocupar com suas 
causas ou seus efeitos. Ela faz uma análise apenas descritiva do movimento, em que o 
referencial tem uma função importante. Tendo por referência a cinemática, julgue os itens 
subsequentes. 
1.1 Em uma análise acerca do movimento ou repouso de um corpo, as conclusões 
dependem do referencial em relação ao qual a análise está sendo feita. (C/E) 
1.2. Desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre caem com a 
mesma aceleração. (C/E) 
1.3. Se, em uma corrida de Fórmula 1, um piloto desenvolveu a velocidade média de 
387 km/h, conclui-se que ele manteve essa velocidade em pelo menos 50% do 
tempo da corrida. (C/E) 
 
02. (Perito Polícia Civil - PE) Um carro de polícia partiu do Recife às 10h40min e chegou a 
Vitória de Santo Antão às 11h20min. Se a distância total percorrida foi de 56 km, determine 
a velocidade média do veículo. 
a) 82 km/h 
b) 84 km/h 
c) 86 km/h 
d) 88 km/h 
e) 90 km/h 
 
03. (CESGRANRIO - 2012 - PETROBRÁS - TÉC. OPERAÇÃO Jr.) Um móvel percorre a 
trajetória retilínea apresentada na figura a seguir. 
 
 
 
 As velocidades médias do móvel nos trechos 1 e 2 são, respectivamente, iguais a 1,0 m/s e 
6,0 m/s. Qual é, aproximadamente, em m/s, a velocidade média do móvel no percurso todo 
(trechos 1 e 2)? 
a) 2,0 
b) 2,7 
c) 3,0 
d) 3,5 
e) 4,7 
 
04. (CESPE/2006 - SEDUC-PA - PROFESSOR DE FÍSICA) Considere que dois automóveis 
separados a uma distância de 375 km inicialmente, deslocam se um ao encontro do outro 
com velocidades constantes e iguais a 60 km/h e 90 km/h, respectivamente. Nessa situação, 
os automóveis se encontrarão após: 
a) 1 h. 
b) 1 h e 30 min. 
c) 2 h. 
d) 2 h e 30 min. 
 
05. (VUNESP/2012 SEDUC-SP - PROFESSOR DE FÍSICA) Numa academia de musculação, 
um atleta corre em uma esteira elétrica com velocidade constante. Após 15 minutos de 
corrida, ele percebe que percorreu uma distância de 2,2 km. Contudo, como recebeu uma 
orientação de seu treinador para correr 10 km num ritmo de 1 km a cada 6 minutos, para 
atingir sua meta, o atleta deve: 
a) manter sua velocidade. 
b) aumentar sua velocidade em 2,4 km/h e mantê-la constante até o fim. 
c) aumentar sua velocidade em 1,6 km/h e mantê-la constante até o fim. 
d) diminuir sua velocidade em 2,4 km/h e mantê-la constante até o fim. 
e) diminuir sua velocidade em 1,6 km/h e mantê-la constante até o fim. 
 
 
 
 
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30 
 
ANOTAÇÕES 
 
06. (VUNESP/2011 - PREF. SÃO CARLOS - PROFESSOR DE FÍSICA) O gráfico representa o 
movimento de um objeto. 
 
 
 
 A velocidade média desse objeto, em m/s, é de 
a) 0,2. 
b) 2. 
c) 5. 
d) 20. 
e) 50. 
 
07. (VUNESP/2012 - SEDUC/SP - PROFESSOR DE FÍSICA) No gráfico, está representada a 
distância (S) em função do tempo (t) em que o sinal do sonar de um submarino atinge o 
casco de um navio naufragado e retorna ao ponto de origem após reflexão. 
 
 
 De acordo com o gráfico, a distância entre o navio e o submarino e a velocidade de 
propagação do som são, respectivamente: 
a) 3,3 km e 0,165 m/s. 
b) 3,3 km e 0,33 m/s. 
c) 3,3 km e 330 m/s. 
d) 6,6 km e 330 m/s. 
e) 330 km e 33 m/s. 
 
08. (SEDUC-ES-CESPE) Suponha que, simultaneamente, um carro parta de São Paulo para o 
Rio de Janeiro com velocidade constante de 120km/h, e outro, do Rio de Janeiro para São 
Paulo com velocidade constante de 100km/h, ambos seguindo a mesma estrada. Com base 
nessas informações e sabendo que a distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de 
400km, julgue os itens a seguir. 
8.1. Os carros deverão se encontrar após 1h e 49min. (C/E) 
8.2. Se o carro que partiu de São Paulo percorrer 100km com uma velocidade de 
100km/h e 200km com uma velocidade de 50km/h, então, para conseguir perfazer o 
trajeto em 5h e 30min, o motorista, no último trecho deverá desenvolver uma 
velocidade superior a 180km/h. (C/E) 
8.3. Se o carro que partiu do Rio de Janeiro gastar 3 horas para ir até São Paulo na 
mesma estrada, a velocidade média desenvolvida por ele deverá ser superior a 
160km/h. (C/E) 
8.4. Para o controle da velocidade nas estradas, os radares dos policiais rodoviários 
medem as velocidades médias dos carros. (C/E) 
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31 
 
ANOTAÇÕES 
 
09. (CESPE-UNB - CEFET-PA - DIVERSOS CARGOS). 
 
 Os gráficos acima, referentes ao deslocamento em função do tempo, representam 
movimentos unidimensionais de um corpo em quatro situações diferentes W, X, Y e Z. 
Julgue os itens a seguir, com base nesses gráficos e nos conceitos de movimento. 
I. Nas quatro situações representadas nos gráficos, as velocidades médias são 
iguais. 
II. Nas situações representadas, os gráficos W, X e Y mostram que os valores 
absolutos das velocidades máximas são iguais. 
III. Os movimentos representados pelos gráficos W, X e Y são uniformemente variados 
e o movimento representado pelo gráfico Z é uniforme. 
IV. Pelo gráfico Z, é correto concluir que, no instante de tempo igual a b/2, o 
deslocamento do corpo foi de 2a. 
 
 A quantidade de itens certos é igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
 
10. (IPAD - PC-PE - 2006 - Perito Criminal) A posição de um móvel em movimento retilíneo é 
dada pela função horária x = 4 + 20t - 2t2, onde x está em metros e t em segundos. 
Podemos afirmar que a velocidade do corpo é igual à zero, no instante: 
a) t = 1 s 
b) t = 2 s 
c) t = 3 s 
d) t = 4 s 
e) t = 5 s 
 
11. (FDRH - PC/RS - 2008 - Perito Criminal) Um automóvel, em eficiência máxima, é capaz de 
aumentar sua velocidade de 0 a 90 km/h num intervalo de tempo de 12s. Supondo que esse 
automóvel movimente-se com aceleração constante ao longo de uma pista de corridas 
retilínea, a distância percorrida por ele para atingir a velocidade final é de, 
aproximadamente, 
a) 7,50 m. 
b) 43,3 m. 
c) 150 m. 
d) 300 m. 
e) 540 m. 
 
12. (CESPE/UNB - CEFET - PA - 2003) No Manual de Formação de Condutores, do Código de 
Trânsito Brasileiro, consta um curso de direção defensiva que se baseia no seguinte slogan: 
o bom motorista é aquele que dirige para si e para os outros. Uma das recomendações 
importantes desse curso é que o motorista mantenha seu veículo a uma distância segura do 
veículo que vai à sua frente, a fim de evitar colisão em caso de parada ou mesmo de desvio 
de percurso repentino. Essa distância segura é definida tendo como base condições típicas 
de frenagem. Para avaliar esse problema, considere a situação representada na figura 
abaixo. 
 
 
 
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ANOTAÇÕES 
 
Nessa situação, as distâncias indicadas apresentam os seguintes significados físicos: 
distância de reação - é aquela que o veículo percorre desde o instante em que o motorista 
percebe a situaçãode perigo até o momento em que aciona o pedal do freio; distância de 
frenagem - é aquela que o veículo percorre desde o instante em que o motorista pisou no 
freio até o momento da parada total do veículo; distância de parada - é aquela que o veículo 
percorre desde o instante em que o motorista percebe o perigo e decide parar até a parada 
total do veículo, ficando a uma distância segura do outro veículo, pedestre ou qualquer 
objeto na via. A partir das informações acima e com relação à situação apresentada, julgue 
os itens a seguir, considerando que o caminhão mostrado na figura pare repentinamente. 
I. O gráfico abaixo poderia representar corretamente o comportamento da velocidade 
do carro v em função do tempo t do instante em que o motorista do carro percebe a 
parada do caminhão até a sua parada total. 
 
 
 
II. Se a velocidade inicial do carro fosse duplicada, a distância de parada também 
seria duplicada, caso fossem mantidas as condições de frenagem típicas. 
III. Na situação apresentada, a distância de reação independe da velocidade inicial do 
carro. 
IV. Nas condições estabelecidas, a distância de frenagem depende da velocidade 
inicial do carro. 
 
Estão certos apenas os itens 
a) I e III. 
b) I e IV. 
c) II e III. 
d) I, II e IV. 
e) II, III e IV. 
 
13. (PC-MG - 2002 - Perito Criminal) O gráfico abaixo representa o movimento de uma partícula 
com aceleração constante ao longo do eixo x. 
 
 
 
 Qual é o valor dessa aceleração em m/s2? 
a) 4 
b) 2 
c) 8 
d) 3 
 
 
 
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ANOTAÇÕES 
 
14. (Polícia Civil - SP - Perito Criminal - FCC) O gráfico qualitativo da velocidade (v), em função 
do tempo (t), da figura a seguir representa o movimento de um carro que se desloca em 
linha reta. 
 
 
 Considerando que sua posição inicial era o marco zero da trajetória, o correspondente 
gráfico horário de sua posição (S), em função do tempo (t), é 
 
 
15. (COMVEST - POLÍCIA CIVIL/PB - PERITO CRIMINAL) No instante em que a luz verde do 
semáforo acende, um carro ali parado, parte com aceleração constante de 2,0 m/s2. Um 
caminhão, que circula na mesma direção e no mesmo sentido, com velocidade constante de 
10 m/s, passa por ele no exato momento da partida. Podemos, considerando os dados 
numéricos fornecidos, afirmar que: 
a) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo 
b) o carro não alcança o caminhão 
c) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo 
d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo. 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
 
 
 
01. C C E 
08. C C E E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 
* B B D C B C * 
09 10 11 12 13 14 15 
A E C B A E A 
 
 
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34 
 
 
CURSO: FÍSICA DO ZERO PARA PRF - MECÂNICA 
 
ASSUNTO: 
 
DECOMPOSIÇÃO DO MOVIMENTO 
1. Lançamentos verticais, horizontais e oblíquos 
2. lançamento horizontal 
3. Lançamento oblíquo 
4. Movimento circular 
 
 
 
DECOMPOSIÇÃO DO MOVIMENTO 
 
Sabemos que, para alterar a velocidade de um objeto, é 
necessária a ação de uma aceleração. Esse é um dos 
fundamentos das Leis de Newton que estudaremos 
posteriormente. Portanto, somente a ação de uma força pode 
alterar o módulo ou a direção da velocidade de um objeto. 
Se não houvesse gravidade ou resistência do ar, uma 
esfera que rolasse sobre uma mesa e a abandonasse 
continuaria a se mover com velocidade constante, 
percorrendo distâncias iguais em intervalos de tempos 
iguais, apresentando um movimento retilíneo uniforme. 
As equações e as características vetoriais para os 
movimentos mencionados já foram estudadas em módulos 
anteriores, devendo ser, agora, aplicadas conjuntamente. 
Na direção horizontal, como o movimento é uniforme, 
o vetor velocidade permanece constante em módulo, direção 
e sentido. Na direção vertical, como o movimento é 
uniformemente acelerado, o vetor velocidade possui direção 
vertical, sentido para baixo e módulo crescente, de acordo 
com as equações já estudadas. O quadro a seguir apresenta o 
vetor velocidade para cada um dos movimentos 
componentes do movimento da esfera e as características 
associadas a eles. 
 
1. LANÇAMENTOS VERTICAIS, HORIZONTAIS E 
OBLÍQUOS 
1.1. MOVIMENTOS NO PLANO VERTIVAL 
a) Queda livre → é um MRUV acelerado 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Lançamento vertical → é um MRUV retardado 
 
 
2. LANÇAMENTO HORIZONTAL 
 
 
 
É importante observar que o vetor velocidade V de 
um corpo é sempre tangente à trajetória deste, em 
qualquer posição. 
 
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3. LANÇAMENTO OBLÍQUO 
O lançamento oblíquo nada mais é do que uma 
extensão do lançamento horizontal estudado no tópico 
anterior. Nessa nova situação, o lançamento é feito com 
velocidade vertical inicial diferente de zero. Dessa forma, 
devemos analisar o movimento vertical na subida e na 
descida, mas isso não representará grande dificuldade, já 
que a descrição física e matemática dos movimentos 
verticais de subida e descida são análogas. 
A figura a seguir mostra as características do vetor 
velocidade nas direções vertical e horizontal durante todo o 
movimento. É importante notar que o movimento segundo 
o eixo Oy equivale a um lançamento vertical para cima, com 
velocidade inicial v0y e aceleração de valor 
–10 m/s2. 
Como já dito, enquanto o projétil sobe, seu 
movimento é desacelerado e, ao descer, acelerado. 
 
 
 
Vamos apresentar separadamente as características de 
cada parte do movimento e suas respectivas equações, 
considerando como positivos os sentidos coincidentes com os 
sentidos dos eixos coordenados: 
 
Durante a subida: 
• a componente vertical da velocidade é positiva; 
• o módulo da componente vertical da velocidade 
diminui (movimento uniformemente desacelerado); 
• o módulo da velocidade horizontal não se altera; 
• o valor da aceleração devido à gravidade é de – 9,8 m/s2; 
• v = v0 + gt // h = v0t + ½(gt2) // v2 = v20 + 2gd; 
 
Analisando-se o movimento total de subida, o valor da 
velocidade vertical inicial, v0, é o valor da componente 
vertical da velocidade de lançamento (v0y = v0.sen θ), e a 
velocidade final é zero. 
 
 
No ponto mais alto da trajetória: 
• o valor da componente vertical da velocidade é nulo; 
• o intervalo de tempo gasto no movimento de subida 
será igual ao intervalo de tempo gasto no movimento 
de descida; 
• o valor da altura máxima atingida pelo projétil pode ser 
determinado a partir da análise do movimento 
uniformemente desacelerado, na direção vertical; 
• o valor da distância horizontal percorrida pode ser 
determinado a partir da análise do movimento 
uniforme, na direção horizontal, utilizando-se a 
velocidade horizontal inicial e o intervalo de tempo 
gasto na subida. 
Durante a descida: 
• a componente vertical da velocidade é negativa; 
• o módulo da velocidade vertical aumenta (movimento 
uniformemente acelerado); 
• o valor da componente horizontal da velocidade 
permanece constante e igual ao valor da componente 
horizontal da velocidade no momento do lançamento; 
• o valor da aceleração devido à gravidade é de –9,8 m/s2; 
• v = v0 + gt // d = v0t + (½)gt2 // v2 = v02 + 2gd; 
• analisando-se o movimento de descida, ovalor 
• da velocidade vertical inicial v0 é zero, e o valor da 
velocidade final possui o mesmo módulo da 
• componente vertical da velocidade de lançamento (v0y 
= v0.sen θ), porém, com sinal negativo. 
TEMPO TOTAL DE MOVIMENTO 
Podemos determinar o tempo total de permanência 
do projétil no ar, realizando os cálculos do tempo de subida 
e de descida separadamente, ou então, efetuar os cálculos 
considerando a velocidade inicial de subida e a velocidade 
final de descida. 
O tempo de subida pode ser determinado, 
utilizando-se a equação vy = v0y + gt. No instante em que o 
projétil atinge o ponto mais alto da trajetória, vy = 0. 
 
ALTURA MÁXIMA (hMÁX.) 
O valor da altura máxima (hMÁX.) atingida pelo 
projétil, em relação ao solo, pode ser determinado, 
lembrando-se que hMÁX. é o valor da altura vertical quando 
Vy se anula. Na direção vertical, durante a subida, o 
movimento é uniformemente desacelerado. 
 
ALCANCE HORIZONTAL 
 
O alcance horizontal (A) é a distância percorrida pelo 
projétil, na horizontal, desde o instante do lançamento até 
o momento em que o projétil toca o solo. Seu valor é igual 
ao deslocamento horizontal do projétil durante o intervalo 
de tempo total do movimento. 
 
 
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4. MOVIMENTO CIRCULAR 
 
VELOCIDADE ANGULAR 
Um objeto pode girar mais depressa que outro. O 
ponteiro de segundos de um relógio gira mais rápido que o 
de minutos, e este, mais rápido que o de horas. Para 
estudarmos o movimento circular, é necessário definir uma 
grandeza que meça essa “rapidez” de giro, que é a 
velocidade angular. 
 
 
 
 
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
Se uma partícula executa um movimento cuja 
trajetória é uma circunferência e cujo módulo da velocidade 
linear é constante, dizemos que essa partícula executa um 
movimento circular uniforme (MCU). Isso ocorre, por 
exemplo, com os ponteiros de um relógio ou com as 
engrenagens encontradas em diversos dispositivos. O 
movimento da Terra ao redor do Sol também pode ser 
considerado, com boa aproximação, um movimento circular 
uniforme. 
 
 
No MCU, os módulos das velocidades angular e linear são constantes. Já a 
direção do vetor velocidade linear é variável. 
Duas grandezas complementares são muito 
importantes para caracterizarmos o MCU; são elas: o 
período (T) e a frequência (f). Período é o intervalo de 
tempo necessário para que um corpo, em MCU, efetue uma 
volta completa em torno de uma circunferência. Por 
exemplo, o período de revolução da Terra ao redor do Sol é 
de 1 ano, o período de um ponteiro de segundos é de 1 
minuto, o período da broca de uma furadeira elétrica é da 
ordem de 0,01 s, etc. 
Já a frequência está associada ao número de voltas 
efetuadas pela partícula a cada unidade de tempo. Por 
exemplo, se você amarrar um barbante a uma pedra e girá-
los, de modo que eles efetuem um MCU, obrigando a pedra 
a efetuar 50 voltas em 10 s, a frequência desse movimento 
será de 5 voltas/segundo ou 5 hertz (5 Hz). 
Por definição, 1 hertz representa uma volta ou 
revolução por segundo. O hertz é a unidade de frequência 
utilizada pelo Sistema Internacional de Unidades. 
De acordo com as definições de período e de 
frequência apresentadas, no MCU, uma volta completada 
está para um intervalo de tempo igual a T, assim como f 
voltas completadas estão para um intervalo de tempo 
unitário (1 s, 1 min, 1 h, etc). Portanto, podemos escrever a 
seguinte igualdade de razões e deduzir uma equação de 
recorrência entre T e f: 
1
𝑇
=
𝑓
1
⇒ 𝑇 =
1
𝑓
 
Há também uma relação entre a velocidade angular 
de um corpo em MCU e a frequência desse movimento. Ao 
efetuar uma volta completa, o corpo descreve um ângulo 
de 2π radianos em um intervalo de tempo T (período do 
movimento). Logo, utilizando a definição de velocidade 
angular e a relação entre o período e a frequência, temos: 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
⇒ 𝜔 = 2𝜋𝑓 
Naturalmente, há também uma relação entre a 
velocidade linear e a frequência. Lembrando que, durante 
um período T, uma partícula em movimento circular 
uniforme de raio R percorre um perímetro igual a 2πR e 
usando a definição da velocidade linear, concluímos que o 
módulo dessa velocidade é dado por: 
𝑉 =
2𝜋𝑅
𝑇
= 2𝜋𝑅𝑓 
Comparando essa equação com a equação da 
velocidade angular, obtida anteriormente, obtemos a 
seguinte expressão de recorrência entre essas duas 
velocidades: 
 
𝑉 = 𝜔𝑅 
 
TRANSMISSÃO DE VELOCIDADES NO MOVIMENTO 
CIRCULAR 
É muito comum a transmissão do movimento 
circular de um disco (ou de uma roldana, ou de uma polia) a 
outro objeto, por meio do contato direto entre eles ou por 
meio do uso de correias ou de eixos. A seguir, discutiremos 
cada um desses casos. 
 
TRANSMISSÃO POR CONTATO 
Quando há transmissão de movimento circular de 
um disco a outro por meio do contato direto entre eles, os 
dois discos apresentam a mesma velocidade linear, desde 
que não haja deslizamento entre eles. 
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Dessa forma, temos: 
 
νA= νB⇒ ωARA= ωBRB 
Considerando a figura anterior, temos que RA> RB. 
Logo, A<B, ou seja, o disco B gira mais rápido que o disco 
A. Consequentemente, a frequência do disco A é menor que 
a frequência do disco B. Em outras palavras, como v/R =  = 
2f, e lembrando que v é constante, concluímos que a 
velocidade angular  e a frequência f são inversamente 
proporcionais ao raio. Assim, por exemplo, se na figura 
anterior RAfor igual a 2RB, então, fAserá igual a fB/2. No caso 
de engrenagens, em que o acoplamento se dá por encaixe 
entre os dentes, o raciocínio é o mesmo. Como última nota 
sobre esse tipo de transmissões de movimentos, é 
importante perceber que os dois discos (ou engrenagens) 
giram em sentidos opostos, como pode ser observado na 
figura anterior. 
 
 
 
 
TRANSMISSÃO POR EIXO 
Nesse tipo de acoplamento, todas as engrenagens 
encontram-se presas a um único eixo que, ao girar, faz com 
que essas engrenagens girem com a mesma velocidade 
angular. Consequentemente, as engrenagens apresentarão, 
também, a mesma frequência de rotação que o eixo. 
 
 
 
Sendo assim, temos que: 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 ⇒
𝑣𝐴
𝑅𝐴
=
𝑣𝐵
𝑅𝐵
 
Essa equação mostra que a velocidade escalar v e o 
raio R do disco são grandezas diretamente proporcionais. 
Por exemplo, na figura anterior, veja que A é um ponto na 
periferia de uma roda dentada maior e que B é um ponto na 
periferia de uma roda dentada menor. Então, RA>RB. 
Consequentemente, vA> vB. Podemos estender esse 
raciocínio para um ponto na periferia do pneu. Quanto 
maior for o raio do pneu em relação ao raio das rodas 
dentadas centrais (catracas), maior será o aumento da 
velocidade. Na verdade, a velocidade escalar na periferia do 
pneu representa a própria velocidade de translação da 
bicicleta. Por isso, para proporcionar maiores velocidades, 
os diâmetros dos pneus de bicicletas são, em geral, muito 
grandes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANOTAÇÕES 
 
EXERCÍCIOS: 
 
01. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
 Um corpo é abandonado de uma altura de 20 m num local onde a 
aceleração da gravidade da Terra é dada por g = 10 m/s2. Desprezando o 
atrito, o corpo tocao solo com velocidade iguala 20km/h. (C/E) 
 
02. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial 
de v0 = 30 m/s. Sendo g = 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar 
podemos afirmar que a velocidade do corpo, 2,0 s após o lançamento, será 
10 m/s. (C/E) 
 
03. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
Em relação às informações do texto da questão anterior, a altura máxima 
alcançada pelo corpo será 55m. (C/E) 
 
04. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
Um corpo em queda livre sujeita-se à aceleração gravitacional 
g = 10 m/s2. Ele passa por um ponto A com velocidade 10 m/s e por um 
ponto B com velocidade de 50 m/s. A distância entre os pontos A e B é 
superior a 115m. (C/E) 
 
 (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Quanto ao movimento de um corpo 
lançado verticalmente para cima e submetido somente à ação da 
gravidade, analise as assertivas de 05 a 09. 
 
05. A velocidade do corpo no ponto de altura máxima é zero 
instantaneamente. (C/E) 
 
06. A velocidade do corpo é constante para todo o percurso. (C/E) 
 
07. O tempo necessário para a subida é igual ao tempo de descida, sempre 
que o corpo é lançado de um ponto e retorna ao mesmo ponto. (C/E) 
 
08. A aceleração do corpo é maior na descida do que na subida. (C/E) 
 
09. Para um dado ponto na trajetória, a velocidade tem os mesmos valores, 
em módulo, na subida e na descida. (C/E) 
 
10. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) A velocidade de um projétil lançado 
verticalmente para cima varia de acordo com o gráfico da figura. A altura 
máxima atingida pelo projétil, considerando que esse lançamento se dá 
em um local onde o campo gravitacional é diferente do da Terra é de 50m. 
(C/E) 
 
 
 
11. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Foi veiculada na televisão uma 
propaganda de uma marca de biscoitos com a seguinte cena: um jovem 
casal está num mirante sobre um rio e alguém deixa cair lá de cima um 
biscoito. Passados alguns segundos, o rapaz se atira do mesmo lugar de 
onde caiu o biscoito e consegue agarrá-lo no ar. 
 
 
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39 
 
ANOTAÇÕES 
 
Em ambos os casos, a queda é livre, as velocidades iniciais são nulas, a 
altura da queda é a mesma e a resistência do ar é nula. 
 Para Galileu Galilei, a situação física desse comercial seria interpretada 
como impossível, porque a aceleração da gravidade não depende da 
massa dos corpos. (C/E) 
 
12. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um menino lança uma bola 
verticalmente para cima do nível da rua. Uma pessoa que está numa 
sacada a 10 m acima do solo apanha essa bola quando está a caminho do 
chão. 
Sabendo-se que a velocidade inicial da bola é de 15 m/s, pode-se dizer que 
a velocidade da bola, ao ser apanhada pela pessoa, era de 8 m/s. (C/E) 
 
 
 
13. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Uma equipe de resgate se encontra 
num helicóptero, parado em relação ao solo a 305 m de altura. Um 
paraquedista abandona o helicóptero e cai livremente durante 1,0 s, 
quando abre-se o paraquedas. A partir desse instante, mantendo 
constante seu vetor velocidade, o paraquedista atingirá o solo exatamente 
em 30s. (C/E) 
 (Dado: g = 10 m/s2) 
 
 
14. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um balão em movimento vertical 
ascendente à velocidade constante de 10 m/s está a 75 m da Terra, 
quando dele se desprende um objeto. Considerando a aceleração da 
gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, o tempo, em que 
o objeto chegará a Terra, é superior a 8s. (C/E) 
 
 Texto para questões 15 e 16. 
 (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) Um paraquedista radical pretende 
atingir a velocidade do som. Para isso, seu plano é saltar de um balão 
estacionário na alta atmosfera, equipado com roupas pressurizadas. Como 
nessa altitude o ar é muito rarefeito, a força de resistência do ar é 
desprezível. Suponha que a velocidade inicial do paraquedista em relação 
ao balão seja nula e que a aceleração da gravidade seja igual a 10 m/s2. A 
velocidade do som nessa altitude é 300 m/s. 
 
15. O paraquedista atingirá a velocidade do som em 30s. (C/E) 
 
16. A distância percorrida até atingir a velocidade do som é de 4500m. (C/E) 
 
 
 
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40 
 
ANOTAÇÕES 
 
17. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF)Uma bola é lançada horizontalmente 
com velocidade inicial v0. Ao percorrer horizontalmente 30 m, ela cai 
verticalmente 20 m, conforme mostrado no gráfico a seguir. Considere a 
aceleração da gravidade igual a 10 m/s2e despreze a resistência do ar. 
 
 
 É correto afirmar que o módulo da velocidade de lançamento v0é superior 
a 12m/s. (C/E) 
 
18. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF)Um projétil é lançado 
horizontalmente de uma altura de 20 m, com uma velocidade inicial de 
módulo igual a 15 m/s. Desprezando-se a resistência do ar e considerando 
o módulo da aceleração gravitacional como 10 m/s2, é corretoafirmar que 
o projétil atingirá o solo após ter percorrido uma distância horizontal igual 
a 30m. (C/E) 
 
19. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF)Um aluno do ANPRF, em uma partida 
de futebol, lança uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo 
de 60° com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura máxima é 20 
m/s, podemos afirmar que a velocidade de lançamento da bola, foi de 
40m/s. (C/E) 
 
 Texto para questões 20 e 21. 
 (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
 Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade de 18 m/s, por 
um rapaz situado em um skate que avança segundo uma reta horizontal, a 
5,0 m/s.Depois de atravessar um pequeno túnel, o rapaz volta a recolher a 
bola, a qual acaba de descrever uma parábola, conforme a figura. 
 
 Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. 
 
20. A altura máxima h alcançada pela bola foi superior a 16m. (C/E) 
 
21. O deslocamento horizontal até atingir novamente o solo foi 19m. (C/E) 
 
22. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
 Um malabarista lança uma de suas bolinhas com velocidade inicial v = 3 
m/s com ângulo α = 45° em relação à horizontal, conforme representado a 
seguir. 
 
 
 Desprezando a resistência do ar, é corretoafirmar que o alcance 
horizontal máximo d é 90 m. (C/E) 
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41 
 
ANOTAÇÕES 
 
23. (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF)Um super atleta de salto em 
distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se 
ele se lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo 
um ângulo de 45° em relação à horizontal, podemosafirmar que o alcance 
atingido pelo atleta no salto é superior a 9,5m. (C/E) 
 (Considere g = 10 m/s2) 
 
 Este enunciado refere-se aos exercícios 24 a 31. 
 (Prof. Alysson Pacau – AdaptadaPRF) 
 Um projétil é lançado em certa direção com velocidade inicial v0, cujas 
componentes vertical e horizontal são iguais, respectivamente, a 80 m/s e 
60 m/s. A trajetória descrita é uma parábola e o projétil atinge o solo 
horizontal do ponto A. 
 
 
24. O módulo da velocidade inicial vale 100 m/s. (C/E) 
25. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil tem módulo igual a 
60m/s. (C/E) 
26. Em um ponto qualquer da trajetória entre o ponto de lançamento e o ponto A, 
o módulo da velocidade do projétil tem