Circuitos Elétricos II - Poli - P2 2015

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PSI.3213 - CIRCUITOS ELÉTRICOS 11
l!Prova Semestral-14/10115
1a Questão: (4,0 pontos) GABARITO
(1,0) a) Forneça o esquema elétrico com valores dos componentes e indicação das correntes de
malha para as seguintes equações de análise de malhas.
[2~:3 30+;0+4] [::::J = [_:~:]
Para o itens de b) a d), considere o circuito da Figura 1>em condições iniciais nulas e com
Ri = 20, R2 = 30, L = 2H e r = 30.
i(t)
ri(t) :':}«()L
Figura 1
(0,5) b) Escreva as equações de análise de malhas no dominio de Laplace.
(0,5) c) Escreva as equações de análise de malhas deste circuito em regime permanente senoidal
com excitação es(t) = 5 cos( 2t - 45°) (V, s)
(0,5) d) Resolva o regime permanente do item c) para obter v(t).
Para os itens e) e f), considere o circuito da Figura 2 com condições iniciais nulas e Ri = 20,
{
LI = 1H -+ perfeitamente acoplados magneticamente, L3 = 2H que está
L2=8H
desacoplado de LI e L2.
Figura 2
(0,8) e) Escreva as equações de análise de malhas no domínio de Laplace.
(0,7) t) Com excitação es(t) = 5 cos ( 2t - 45°) (V, s), escreva as equações de análise de
malhas em regime permanente senoidal, reduzindo os elementos a simples números complexos.
~-------------- ~--~----~-----
i J.j
~#~~ ~#I1~Á'/'didlk~~
~ ~~}MÁ- ~~ -exJc/IUL. "
/;) ~I' t~J /~
/J r~t s]: -.rL -J;ú/ ~ [E[{r)'--
t..-íL ~ r": L17tr)j - [-r(1i6-)-~tF)):
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L--:,-2S' 1-~' .t:; (J) __ s: O
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Atenção: Preencher a folha ótica com seu nome, nº USP e opções escolhidas
para cada teste.
1 - O valor da indutância equivalente à associação paralela da Figura 3 é:
a) 4,6
LI = lOH
b) 7,4 •
c) 6,2 )IMI=3H Figura 3
@5,1 •
L2=6H
e) n.d.a
2 - Considere o circuito da Figura 4 com condições iniciais nulas.
A equação de análise de malhas da malha 1 é:
@ -Es+ 3s11 - 2sh = O
3H
5H .~. 5H
o ó.
2H"-o Ó.~H
2H t:\
, 12 J
b) - E, + 4s lt - 2s 12 = O
c) =E, + 7s 11 - 5s 12 = O R
d) E,+ 4s 11 + 6s h = O
e) n.d.a.
Figura 4
3 - Considere o circuito da Figura 5 com condições iniciais nulas.
A expressão da transformada de Laplace da corrente ic do capacitor é:
a) Es+Is
R + l/sC R
® Es+RIsR + l/se +
es(t) C t is(t)
c) Es+Is lc
R+sC
d) Es/R +Is -
sRC+l Figura 5
e) n.d.a.
4 - Considere o circuito da Figura 6 e unidades S.I.
A expressão analítica de i(t) para t> O é:
a) 4e-t/2O 1 R
1- - - - - - - - - - - - -
I
I nl
I
I
I
-=2
b) 4e-t/1O
I
n2
+
I
) vc
I
20
I
I
@ 2e-t/5
I C vc(O) = 5I
I
I
I
d)
I R=5
O
I e C=4
I
T.I. I
e) n.d.a.
I_____________ I
Figura 6
L'~2 ~t:_.~ AO.b-,J~_= 5j1 H
t, -Hl - 2/1'1,) 4~+6 -tG
.J
·C -:
.:~+R!~..~
I<-t 4~.c
5=-10
;: [ro)-:::. 20 {~ = :2-
S-
5 - Considere o circuito da Figura 7 com os valores dados.
O fasor da tensão, em volts, do gerador equivalente de Thévenin entre os pontos a e b é:
a) 10/Ji/-900 R a
@ 5/Ji/45° II R= 1000,
+
c) IO/Ji /-45° es(t) LI
LI =L2 = O,IH
IMI=0,05H
d) 5/Ji/+900 b
Vo(s) as
6 - A função ganho do circuito da Figura 8 pode ser escrita na forma Vi(s) = s+b
Os valores de a e b são respectivamente:
+
10kO z:@ -1 e 200
b) -1 e 100
c) -2 e 200
d) -2 e 100
e) n.d.a.
I::j/a
10'1 , JU:li~) i: - e-;:~-fiO -;;
!!--~)::- (~ ~I)
telA)
1/0/16) ~..
vo>-....1..----0
amp-op ideal
Figura 8
7 - Considere o circuito da Figura 9.
10 10 2F
+
v(t) ----
Figura 9I'z t: (~r ~).Za _
I) r '1ft>2 f 1~4
~ ~ ,;lÃ.
A função de rede H( s) = Vo(s)/ Io( s) do circuito apresenta:
a)
b)
c)
@
e)
Um polo simples na origem, além de outros polos e zeros.
Um zero e um polo simples na origem e mais um polo real. ~
-n
Um zero real e dois polos imaginários. ..?,ó
a Li/.:J4~Lf)
'Z.
c2,Alr 12~+1
O e -"7
-1'[: ,;ac J
4
Dois zeros reais e dois polos reais.
Ao menos um polo com parte real positiva.
8 - O circuito da Figura 10 é um modelo de amplificador a transistor. A tensão do gerador
equivalente de Thévenin entre os pontos a e b, transformada por Laplace é:
Dica: Use análise nodal em Laplace com condições iniciais nulas.
CI-lrx a
+
Vo VI
b
e) n.d.a.
[li t .ó (crt ~
l3"1 -"o s-
11; c LruC *Í<>~-& ...) .z:
/S 3-1 er f d zc;..,..(C11' +C.-)..,.,6 c-s- -yO 'l~
"--
Figura 10
Para os testes 9 e 10, considere o circuito da Figura 11 e a seguinte função de rede
v2(s) 10rnFGv(s) =
V1(S)
o I
VI(!)l rvi!)500
Figura 11
9 - Assinale a opção que contém a assíntota composta do módulo do diagrama de Bode de
Gv(jro).
b)
-1o ~ t···: .c..:.: ';"'" .. , ; ..: ':.11":.:; , .. : .. :.. , ":":" , .. , .. : .;. :"'"
iii'
-c :~
;-20~""";":';;~;"~"F~;"";;"''':'';':;';::;':''';':';:'~
~ -30~ :..·:..:··L';;· ,...: ..:·:·;,:·:i .. · .. O •• ,.: •• :.:,.:" ••••• "":":':';"'>1
-40 ~.:~,.;..;.:.,;.,:.,:;..:.;:.:.+ :..;..:.,.:.:.,+ ,";"":"':>1
1/:
-50 L-....--'--'-i..i...i.LL-"- ..•..•.•.........t...ü.---'-i. ...•.••..•.•."-'----'-'-' •.••.•.•.•.•.•
10.2 10.1 10° 101 102
ro (rad/s)
c)
-1o ~....: .:.~.;.:,.,:.:... -:-.:7.',.;,.,+ ....:... :..:..:,.,.,+ ... , ..:..:':';.,.~
~ /~
~_20~ ....;·i ..:;;;~c.; ..,.i';;i;....i...;.:;:;:+ .. ;...,.:.:.+~
S
~ 30~· ..:/·;i:';' .....;..:..;.:++ .. ;.i·:·;;+1····:..,··;·:';;~- )
-401I'1I ; :,.:.,:;" ,: ;.,.,.;i;,.; ;..., ..:.,.;:.:.:; : :..:.;.;,.:~
-50 L-....-'-'-i..4.i.li.--'- ...••..•...•.~--'--i...i...i..L~....J..-i. ...•...•..•....
10.2 10.1 10° 101 102
eo (radls)
d)
40~~~--~~~~~~~
30'~···:,;·:::,,··:·.;.·:;:,·;:,..;·::<;, .. :·:·,·,;·:;~
"
401\
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'\......•...•..••.•.--~
. : : .:) :::: :::~-1o L-....-'--'-'..t...lU---'-. .•....•.........u.iL-....o.......i............""."'--'-'--'-...........,
1~ 1~ 1if 1~ 1~
ro (radls)
-1o L-.....--'--'-'..i.U..o.L--'-. .•....•.........u.iL-....i.-.i.. ..•...•..•..•.•"'--~.o..i..WJ
1~ 1~ 1if 1d 1~
ee (radls)
e) n.d.a.
10 - Assinale a opção que contém a assíntota composta da fase do diagrama de Bode de
Gv(jro).
a) b)
: : ~:: 100 ~~~~:~::O
\80
-20
QI J QI 60::J ::J
til -40 til•.. •....9 / ..9 40.-.. âs -60'-' '-'e e
20
\-80 o : :::: : ::;-100
10210.
2 10·' 10° 10' 102 10.2 10·' 10° 10'
ro (radls) ro (radls)
c) @
: : ~~~~ 100 :~:~::O . ;. :V ~:80
-20
QI --'" 60::J ::Jtil -40 ai•.. •....9
V
..9
40.-.. --s -60 s'-' ---e e
20
-80
I ": o ::;:-100 . . ..10.2 10" 10° 10' 102 10.2 10·' 10° 10' 102
ro (rad/s) ro (radls)
e) n.d.a.
11 - O circuito RLC série da Figura 12 tem como entrada a tensão Ve do gerador e como
saída a tensão Vs do resistor.
O,OIF IR
Ve
Figura 12
Assinale a opção que contém a assíntota composta do módulo do diagrama de Bode rela-
. d fim d G ( ) -_ Vs(s)cionan o à ção de re e v s ( ) .v, S
a)
4Orv:
30
@' 20
\'-'s
~ 10
O
10.2 10.1 10° 101 102
ee (radls)
c)
" ••..". '-
,
O
-50ê:õ
~
S
~ -100
-150
1~ 1~ 1if 1~ 1~ 1~ 1~
ro (radls)
e) n.d.a.
1/-40 """""'.J.iliiU-'-'..Cl..UW..-'-'-'-,""",-..L..L.i.w""'-.....i-L.o..i.llhL...L..L.i.úulI10.2 10.1 10° 101 102 103 104
eo (rad/s)
d)
-40 r:IT~;;;;;:;;;":;;"";;;;:;;;;' i;í""p;;;rTT~T?i
\
-60 f..')f.::,::;···:,,;·;;,;;':;·:·:·;·:;:)i·,;·,-,i'A,,'·;·;·<;:,,,·'·:;;;;::1
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-160 L.W..4.i""----'--'-'.LUhL. ..••..•••.•..='-~~~'"--'-~
10~ 1~ 1if 1~ 1~ 1~ 1~
Q) (radls)
...----,-----------------------------_ .._---
12 - A assíntota composta do ganho de tensão de um circuito é mostrada na Figura 13.
M(ro) (dB)
° 1 10 ro(rad/s)
(log)
•.• Figura 13...
Assinale a opção que contém a função de rede do circuito, considerando que todos os
polos e zeros tem parte real menor ou igual a zero.
a) ± 17,78 s
s2 + 25,1s+ 2,5
b) ± 17,78 _8_
s+25
@ + 4446 s- , (s+0,1)(8+25)
d) ± 7,11 1
s2 (s+25)
e) n.d.a.
._-----r----------------------------------------
PSI3213 - Gabarito dos Testes 09 a 12 da P2 - 2015
9) e 10) Usando divisar de tensão em Laplace, obtemos
Dividindo essa expressão por VI (s) e multiplicando o numerador e o denominador por
sC, chega-se a
Gv(s) = V2(s) = sRC s--::-- s 1 s
lrí(s) sRC + 1 1 - s + 2 = 2 -s -+-1
s+ RC 2
A função de rede tem um zero na origem, ou seja, Zl = O e um pala real e negativo em
Pl = -2. A freqüência de canto (ou de quebra) é igual a Wl = 2 rad/s. Além disso,
temos um termo constante e igual a
20 log(1/2) ~ -6 dB.
A assíntota devido ao zero na origem sobe com taxa de 20 dB/década (ou 6 dB/oitva).
O módulo em W = 10-2 será
-6
~
termo constante
= -46 dB
Depois de duas décadas, ou seja, em W = 1 rad/s, temos
M(l) ~ -46 + 40= -6 dB
Como a frequência de canto está uma oitava acima da frequência w = 1 rad/s, obtém-se
M(2) ~ -6 + 6 = OdB
A partir dessa freqüência temos a contribuição da assíntota do pala que desce com
taxa igual a -20 dBjdécada, o que leva a um patamar constante, como mostrado na
figura abaixo. Lembre que quando consideramos a tensão do resistor como saída em
um circuito RC série, temos um filtro passa-altas como mostra a figura.
1
2
10.-----~----~----~--"-.-."~""
o ."
.: .:-:.:::_::_-o:.;' {.:::.:::. . .:. .:.: :::.::.:-. -... :-:.:-:.:::
-10 ""
íil-o
:::: -20 ""
8
~ -30 ""
-50~~~~~~~~--~--~~
10-2 10-1 10° 101 102
O) (radls)
A assíntota de fase devido ao zero é constante e igual a +90° para toda a faixa de
frequências. As assíntotas de fase devido ao polo satisfazem
{
O, W < 2 X 10-1 rad/s
<p(w) = -45°, W = 2 rad/s
-90°, W > 2 X 101 rad/a
No intervalo 0,2 < W < 20, temos uma assíntota que vai de ° para -90° passando em
-45°. Somando com a fase constante devido ao zero na origem, obtemos o gráfico da
figura abaixo.
80 "
8' 40
;e;-
20
. . . .O ""'"' """""""".""" .. " : : :: ::::" " ":" ",o ••• ".-" "",",,";"'...j
10-1 10°
O) (radls)
11) Usando novamente divisor de tensão em Laplace, obtemos a seguinte função de rede
Vs(s) R sRC
Ve(s) = R+sL+ 1C = s2LC+sRC+1
8
8 8= 1 01 = 101-----
, 0,0182 + 1,01s + 1 (s + 100)(8+ 1)
=1,01( s )
100 + 1 (s + 1)
8
3
o termo constante vale
201og(1,01) = 0,0864 dB,
ou seja aproximadamente OdB. Temos um zero na origem (Zl = O),um polo em p, =-1
e outro polo em P2 = -100. Portanto, temos duas freqüências de canto Wl = 1 rad/ s
e W2 = 100 rad/s. A assíntota devido ao zero cresce com taxa de 20 dB/década. As
assíntotas dos polos decrescem com taxa de -20 dB / década para frequências maiores
que as frequências de canto. O resultado da soma das assíntotas é mostrado na figura
a seguir.
íD -10 ':.:'::::::;,':'::::;:::'.:.:':'::::;:-.;'::,:;::::,,: ,::;:;::, : ':;::::
~
8 -20
:::i!
1~ 1~ 1if 1if 1if
O> (radls)
12) Do gráfico do módulo, podemos verificar que a função de rede tem um zero na origem
(Zl = O), pois a assíntota cresce com taxa de +20 dB/década em toda a escala de
freqüência. Na freqüência W = 0,01 rad/s, se o ganho da função de rede fosse unitário,
o módulo deveria ser igual a 20Iog(0,0l) = -40 dB. No entanto, constatamos no
gráfico que M(0,01) = 15 dB. Assim, o ganho da função de rede é de
-40 + 20 log IKI = -15 :::}20 log IKI = 25 :::} IKI = 1025/20 = 17,7828.
Na freqüência de canto W = 0,1 rad/s, o módulo fica constante e por isso, temos
um polo em Pl = -0,1. Em W = 25 rad/s, o módulo começa a cair com taxa de
-20 dB/década e por isso, há um outro polo em P2 = -25. Dessa forma, a função de
rede é dada por
Gv(s) = ±17, 7828 ( ) .
8 ( S )
01+1 25+1,
Multiplicando e dividindo essa expressão por 0, 1 x 25, chega-se a
Gv(s) = ±17,7828 x 0,1 x 25 ()s .
s ( s )0,1 ° 1 + 1 25 25 + 1,
e
8
Gv(S) = ±44,46 (s + 0, l)(s + 25)
Não se sabe o sinal da função de rede, pois não foi fornecida nenhuma informação sobre
a fase.