Sistemas e Sinais - Poli - Psub - 2008

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2ª Questão 
a) Um gerador programável digital de sinais produz uma forma de onda senoidal 
filtrando uma aproximação por degraus periódica como a apresentada abaixo 
 
(Boulet, B., Fundamentals of signals and systems, Charles River Media, 2005, p.167) 
Baseado na representação em série de Fourier de )(tx , projete um filtro passa-
baixas ideal que produza uma forma de onda perfeitamente senoidal, 






= t
T
senty pi2)( , na sua saída, supondo que na entrada do filtro tenhamos 
)(tx , apresentado na figura acima. Esboce a resposta em freqüência do filtro e 
especifique seu ganho K e sua freqüência de corte cω . 
 
b) Calcule a transformada de Fourier )( ωjX do sinal )(tx apresentado abaixo. 
Apresente )( ωjX de forma que apareça um componente ( ).2sen e utilizando 
esta forma, determine o módulo e a fase de )( ωjX . 
 
2ª Questão 
a) ( )





+−





+





−= pi
pipi
pi
kkk
k
jA
ck cos13
2
cos
3
cos
2 
)(tx
 ímpar ⇒ kc são imaginários puros 
( ) ( )[ ]∑
∞
=
++=
1
000 cos2)(
k
kk tksenbtkaatx ωω T
pi
ω
2
0 = 
)(tx
 ímpar ⇒





=
−=
− kk
kk
bjc
bjc
2
2
 
( ) ( )tksenkkk
k
A
tx
k
0
1
cos1
3
2
cos
3
cos)( ωpipipi
pi
∑
∞
=






+−





+





−
−
=
 
 
TT c
pi
ω
pi 32
<<
 
AA
K
3
2
3
2
cos
3
cos
1
pipipipi
=





−





+





−
−
=
−
 
 
b) ( ) ∫ −=
T
tj dtetxjX
0
)( ωω 
( )
2
444
2
2 111
















−=







−=
−−−
TjTjTjTj
eeejejjX
ωωωω
ωω
ω 
( ) 22
4
4 Tj
e
T
senjjX ωω
ω
ω
−






= 
( ) 





=
4||
4|| 2 TsenjX ω
ω
ω ( )








=
<−−
>+−
=∠
00
0
22
0
22
ω
ω
pi
ω
ω
pi
ω
ω
T
T
jX 
 
3. Questão 
 
a) )( y(t) )( )( tutyty ++= αβ &&& → 
 
 
b) )3/1)(2/1(
1
6/1)6/5(
11
)(
)()( 22 ++=++=−−== sssssssU
sY
sH
αβ 
 
c) )3/1(
6
)2/1(
6
)3/1)(2/1(
1)(
+
−
+
+
=
++
=
ssss
sH → ))1((6)( 3/2/ teeth tt −− +−= 
 
d) )()( 1 txty = ; )()( 21 txtx =& ; )()( )( )( 122 tutxtxtx ++= αβ& 
 
→ )( 
1
0
)(
)(10
)(
)(
2
1
2
1 tu
tx
tx
tx
tx






+











=





βα&
&
 e [ ] 





= )(
)(
 01)(
2
1
tx
tx
ty 
 
e) Matriz de transição de estados: A= 





−−
=





6/56/1
1 0 10
βα 
Os autovalores podem ser determinados a partir das raízes do polinômio 
06/1)6/5( =++λλ , ou então, diretamente do item c) 
2/11 −=λ → 





−
=
2/1
1
1p ; 3/12 −=λ → 




−
=
1
3
2p 
 
f) Representando a matriz de transição de estados em termos dos autovalores e autovetores 
a descrição 





=





)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
tx
tx
tx
tx
A
&
&
 pode ser representada como 











=





)(
)(
0
0
)(
)(
2
1
2
1
2
1
tx
tx
tx
tx
λ
λ
&
&
 
sendo [ ] 





=





−
)(
)(
)(
)(
2
11
21
2
1
tx
tx
tx
tx
pp o vetor de estados transformado. 
 → [ ] 2211
2
1
21
2
1
 )( )()(
)(
 )(
)(
pppp txtx
tx
tx
tx
tx
+=





=





 
Usando a DICA temos 220110
2
1
 )(
)(
21 pp xexe
tx
tx λλ +=





. Portanto, o vetor de estados do 
sistema livre na base transformada é 





+





=





−−
1
3-
 
1/2-
1
 )(
)(
20
3/1
10
2/1
2
1
xexe
tx
tx
 
 
g) Os modos naturais tendem a zero quando t tende a infinito (autovalores negativos), logo, 
o sistema é estável. 
)( y(t) )( )( tutyty =−− αβ &&&