Sistemas e Sinais - Poli - Psub - 2009

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2a Questão 
A resposta impulsiva de um circuito RC que relaciona a tensão de entrada com a tensão no capacitor é 
 
)1(1)( te
RC
th RC
t−
=
 
sendo segundosRC 8
1
=
. 
 
a) Encontre a resposta em freqüência do sistema; 
b) Faça o esboço do módulo e fase da resposta em freqüência; 
c) Considere uma onda periódica retangular )(tu com período 10 =T e uma taxa de trabalho de 
4
1
. Determine a expressão para )(tu em termos de um somatório de exponenciais complexas 
com os parâmetros especificados; 
d) Encontre a representação de Fourier para a tensão no capacitor, ou seja, a saída do sistema quando 
a tensão de entrada é a onda retangular periódica do item c). 
Solução 
a) 
ω ja
a
 
+
↔− )1(tea at ∴ 
ωω
ω
 j8
8
 j1
1/(RC)
+
=
+
= )/()( RCjH 
b) Módulo: 
2
 64
8
 
ω
ω
+
=|)(| jH ; Fase: θ(ω) = -arctg(ω/8) 
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.5
1
ωωωω
|H(j ω)|
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-2
-1
0
1
2
ωωωω
Fase
8
8
 
c) ∑
∞
−∞=
=
k
tkj oekctu ω)()( ; pipiω 220 == oT/ ; 
)/(
/
)/(
/
)/()( 4sinc
4
1
4
4
4
1 k
k
ksen
Tk
Tksen
T
Akc
o
o
o
===
pi
pi
piτ
piττ
 
∑
∞
−∞=
=
k
tjk
estu 2 inc(k/4)
4
1 pi)( 
d) ∑∑
∞
−∞=
+
∞
−∞=
==
k
ktkj
o
k
tkj
o
ooo ekckjHekckjHty )()(|)(|)()()( ωθωω ωω ( 
=)( okωθ -arctg(k 2pi /8)= -arctg(k pi/4) 
∑
∞
−∞=
+
+
=
k
ktkjeks
k
ty ))(
)
)( piθpi
pi
2 2 ( 
2
 /4)inc( 
4
1
2 ( 64
8
∑
∞
−∞=
+
+
=
k
ktkje
k
ks ))(
)
piθpi
pi
2 2 ( 
2
 
 ( 16
/4)inc(