Cap 2 EIXOS 2009 R1

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Capítulo 2 
 
 
 
 
EIXOS 
 
 
 
2.1 - INTRODUÇÃO E GENERALIDADES 
 
 
FINALIDADES E FUNÇÕES DOS EIXOS: 
 
- Apoiar componentes, suportar cargas à flexão ou torção, principalmente 
- Transmissão de forças ==> Flexão ou Torção 
 
- Torção em eixos ==> eixos de navios, lanchas, virabrequins com certa flexão ( desprezível ) 
 
A fabricação é feita com aços laminados, forjados ou trefilados (às vezes fundidos), 
dependendo das dimensões ou exigências específicas (barras ou pedaços). 
 
Os acabamentos dependerão das aplicações e precisão de projeto. Usam-se processos de 
torneamento ou retificação. 
 
Os eixos longos podem ser emendados considerando-se critérios adequados, como por 
exemplo, a soldagem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
solda com ângulos ~70 graus 
 
 
A construção e a forma dos eixos devem atender às condições favoráveis para se evitar 
concentração de tensões reduzindo desta forma os problemas com falhas devido ao fenômeno 
da fadiga. 
 
 
 27 
Os itens mencionados abaixo são os principais responsáveis por concentração de tensões nos 
eixos: 
 
- Roscas 
- Furos transversais para fixação ou para lubrificação 
- Cantos vivos (sem chanfros ou sem raios) 
- Canais para anéis elásticos e outros elementos 
- Redução da secção transversal 
- Existência de raios muito pequenos, tais como no caso de redução da secção transversal. 
- Rasgos de chaveta, ou para alojamento de outros elementos. 
 
 
Os pontos que geram concentração de tensões devem ser evitados. 
 
 
Em relação às dimensões dos eixos, pode-se observar: 
 
 
 
 Para eixos vazados: 
 
Com Di = 0,5 De (Di = diâmetro interno; De = diâmetro externo) 
 
 - o peso é aproximadamente 75% do peso do eixo maciço 
 
 - a resistência é aproximadamente 94% do maciço 
 
 
 
 Para eixos maciços: 
 
 
Wt = pi d3 / 16 = módulo de resistência à torção 
 
 Wf = pi d3 / 32 = módulo de resistência à flexão 
 
 
 
Para eixos vazados: 
 
 
Wt = pi ( De 4 - Di 4 ) / 16 d = módulo de resistência à torção 
 
 Wf = pi ( Re 4 - Ri 4 ) / 4 r = módulo de resistência à flexão 
 
 
 
 28 
Sempre há a necessidade de travamentos longitudinais, obtidos com rebaixos nas carcaças, 
buchas espaçadoras, degraus nos eixos, encostos de rolamentos, anéis elásticos, ou outros 
recursos apropriados. 
 
Quando as aplicações, envolvem "altas" rotações, deve-se determinar as velocidades críticas e 
prever condições de balanceamento. 
 
 
 
2.2 - DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO para eixos de secção circular 
 
 
 
 
 
d = diâmetro nominal necessário 
MC = Momento fletor combinado 
 σb = Tensão admissível 
 
 
 
 
 
Mfx = momento fletor na direção X, componente do momento fletor 
MfY = momento fletor na direção Y, componente do momento fletor 
 
 
Preliminarmente pode-se adotar o valor da tensão admissível usando-se um coeficiente de 
segurança S e a tensão de ruptura σr do material utilizado, simplificando o inicio dos 
cálculos: 
 
 
σb = σr / S 
 
 
S = coeficiente de segurança preliminar (S = 4 à 8 , sem considerar a fadiga) 
 
σr = Tensão de ruptura do material do eixo 
por exemplo : para aço SAE 1030 ==> σr =~ 50 kgf / mm2 
 
 
Para os cálculos definitivos deve-se determinar a tensão admissível σσσσb em função dos 
efeitos dos fatores da fadiga. 
 
317,2
b
MCd
σ
⋅=
22 MfyMfxMC +=
 29 
2.3 - DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO para eixos de secção circular 
 
 
 
 
 
Mt = Momento Torçor 
τt = Tensão admissível de torção 
 
valores iniciais de referência: 
 
τt = 120 Kgf / mm2 para transmissões com aço ST42.11 
τt = 200 á 400 Kgf / mm2 para máquinas de levantamento, com aço ST50.11 
τt = 50 á 60 Kgf / mm2 para eixos de roda d'água, com aço ST42.11 
 
Para os cálculos definitivos deve-se determinar a tensão admissível σσσσb em função dos 
efeitos dos fatores da fadiga. 
 
 
 
 
 
2.4 - DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO E TORÇÃO (FLEXO-TORÇÃO) para eixos 
de secção circular 
 
 
 
 
 
 
 
para eixos maciços � b = 1 
 
 
para eixos vazados � 
 
 
di = diâmetro do furo 
 
Mv = Momento equivalente flexo-torcional 
 
 
 
 
 
372,1
b
Mtd
σ
⋅=
tb τσ =
3
b
Mvb17,2d
σ
⋅
⋅=
4)
d
di(1
1b
−
=
22 )Mt
2
a(MCMv ⋅+=
 30 
a = σσσσfadm / ττττtadm 
 
 
a =~ 1 para : ττττt oscilante 
 σσσσf alternante 
 
a =~ 1,7 para : ττττt alternante 
 σσσσf alternante 
 
 
MC = Momento fletor combinado 
 
 
 
 
 
 
 σb = Tensão admissível 
 
 
Preliminarmente pode-se adotar o valor da tensão admissível usando-se um coeficiente de 
segurança S e a tensão de ruptura σr do material utilizado, simplificando o inicio dos 
cálculos: 
 
 
 σσσσb = σσσσrup / S 
 
 S = Coeficiente de segurança preliminar (S ~ 4 á 8 ) 
 Verificar sistemática para definir " S " 
 σrup = Tensão de ruptura do material do eixo 
 
 
Para os cálculos definitivos deve-se determinar a tensão admissível σσσσb em função dos 
efeitos dos fatores da fadiga. 
 
 
 
OBS. O dimensionamento de eixos pode ser feito considerando-se: 
 
a) a resistência dos materiais; 
b) a deflexão causada pelos esforços solicitantes; 
c) a rigidez e estabilidade do eixo em relação à velocidade crítica; 
d) outros fatores específicos que podem necessitar modificações nas dimensões do eixo 
tais como: grau de desbalanceamento, ação de outros elementos que funcionam no 
mesmo conjunto ( rolamentos, engrenagens etc. 
 
 
 
 
22 MfyMfxMC +=
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EIXOS - EXEMPLOS BÁSICOS
1 - Eixo em balanço submetido á esforços de flexão alternante.
Roda com cubo chavetado ou prensado
P = 2000 kgf
mancal rotativo livre
RA eixo girando
P no eixo
ponto crítico
flexão alternante
P no trilho
L = 11 cm
L1
L2
L3
RA
Σ Σ Σ Σ Fy = 0 = 0 = 0 = 0
P M Σ Σ Σ Σ Mf = 0 = 0 = 0 = 0
 +
Mf
+
Mf = P . L
MC = Mf = P . L = 2000 . 11 = 22000 kgf cm
Para aço SAE 1045 laminado sem tratamento térmico ==> σσσσrup ~= 65 kgf / mm2
σσσσb = σσσσrup / S Para S = 6
σσσσb = 65 / 6 = 10,833 kgf / mm2 = 1083,3 kgf / cm2
d = 2,17 ( 22000 / 1083,3 ) ^ (1/3) = 5,92 cm = 59,2 mm
Não foi considerado o efeito da fadiga mas é necessário , devido haver chaveta
ou eixo prensado e solicitação alternante.
Verificar também a tensão de cisalhamento
3
b
MC17,2d
σ
⋅=
� Carregamento total do sistema mecânico 
 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Eixo biapoiado submetido á esforços de flexão pulsante.
ponto crítico Roda com cubo girando livre
flexão pulsante
P = 2000 kgf
mancais fixos
RA RB eixo sem girar
P no eixo
P no trilho
L = 11 L = 11
L1
L2
L3
RA RB
Σ Σ Σ Σ Fy = 0 = 0 = 0 = 0
RA + RB = P
P
Σ Σ Σ Σ Mf = 0 = 0 = 0 = 0 +
+ + Σ Σ Σ Σ MA = 0 = 0 = 0 = 0
P . 11 = RB . 2 . 11
2000 . 11 = RB. 2 . 11
Mf = RA . L RB = RA = 1000 kgf 
MC = Mf = RA . L = 1000 . 11 = 11000 kgf cm
Para aço SAE 1045 laminado sem tratamento térmico ==> σσσσrup ~= 65 kgf / mm2
σσσσb = σσσσrup / S Para S = 6
σσσσb = 65 / 6 = 10,833 kgf / mm2 = 1083,3 kgf / cm2
d = 2,17 ( 11000 / 1083,3 ) ^ (1/3) = 4,70 cm = 47 mm
Também não foi considerado o efeito da fadiga mas é necessário ,
embora neste caso as condições são mais favoráveis, pela configuração 
ser com eixo livre sem ação de tensão causada por chaveta, prensagem
ou pino transversal.
3
b
MC17,2d
σ
⋅=
� Carregamento total do sistema mecânico 
 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Eixo biapoiado submetido á esforços de flexão alternante.
ponto crítico Roda com cubo chavetado
flexão alternante
P = 2000 kgf
mancal rotativo livre
RA RB eixo girando
P no eixo
P no trilho
L = 11 L = 11
L1
L2
L3
RA RB
Σ Σ Σ Σ Fy = 0 = 0 = 0 = 0
RA + RB = P
P
Σ Σ Σ Σ Mf = 0 = 0 = 0 = 0 +
+ + Σ Σ Σ Σ MA = 0 = 0 = 0 = 0
P . 11 = RB . 2 . 11
2000 . 11 = RB . 2 . 11
Mf = RA . L RB = RA = 1000 kgf 
MC = Mf = RA . L = 1000 . 11 = 11000 kgf cm
Para aço SAE 1045 laminado sem tratamento térmico ==> σσσσrup ~= 65 kgf / mm2
σσσσb = σσσσrup / S Para S = 6
σσσσb = 65 / 6 = 10,833 kgf / mm2 = 1083,3 kgf / cm2
d = 2,17 ( 11000 / 1083,3 ) ^ (1/3) = 4,70 cm = 47 mm
Também não foi considerado o efeito da fadiga mas é necessário ,
e neste caso as condições são mais desfavoráveis, pela configuração 
ser com eixo sob a ação de tensão de flexão alternante e cubo com chaveta
que agrava o fenomeno da fadiga.
3
b
MC17,2d
σ
⋅=
� Carregamento total do sistema mecânico 
 34 
Foram desprezadas a torção de arraste do mancal e o atrito da roda com o trilho. 
 
Dimensionamento considerando a segurança contra a falha devido aos efeitos contra da fadiga 
para os 3 exemplos resolvidos anteriormente teremos: 
 
 
Exemplo 1 
 
Ponto A : Solicitação ���� Flexão Alternante � Mf = 220 000 kgf mm 
 
 σb = σfN / ( SN . C ) = σfW / ( SN . C ) = σfW 10 . bo / ( SN . C ) 
 
Adotando-se SN = 2,2 , pois σr = é decisivo e C=1,3 
 
σfNW 10 =~ 27 kgf / mm2 
obtido pelo gráfico (curva 3): superfície retificada ou bem alisada pág. 11, capítulo 1 
 
Preliminarmente: σb = σfW 10 . bo / ( SN . C ) = 27 . 1 / ( 2,2 . 1,3 ) = 9,44 kgf/ mm2 
 dA = 2,17 . ( 220 000 / 9,44 )1/3 = 61,98 mm 
 
Interpolando para “bo” da tabela da página 11, capítulo 1 em função de “d” tem-se: 
 bo’ =~ 1,4965 . d-0,1828 = 1,4965 . 61,98-0,1828 =~ 0,704 (“d” em mm) 
recalculando: σb’ = σfW 10 . bo / ( SN . C ) = 27 . 0,704 / ( 2,2 . 1,3 ) = 6,65 kgf/ mm2 
 dA’ = 2,17 . ( 220 000 / 6,65 )1/3 = 69,66 mm 
 
Interpolando para “bo” da tabela da página 11, capítulo 1 em função de “d” tem-se: 
 bo’’ =~ 1,4965 . 69,66-0,1828 =~ 0,689 (cuidado: “d” em mm) 
recalculando: σb’’ = 27 . 0,689 / ( 2,2 . 1,3 ) = 6,50 kgf/ mm2 
 dA’’ = 2,17 . ( 220 000 / 6,50 )1/3 = 70,19 mm 
 
 bo’’’ =~ 1,4965 . 70,19-0,1828 =~ 0,688 (“d” em mm) 
recalculando: σb’’’ = 27 . 0,688 / ( 2,2 . 1,3 ) = 6,50 kgf/ mm2 
 dA’’’ = 2,17 . ( 220 000 / 6,50 )1/3 = 70,19 mm , que repetiu o valor 
 
Logo, poderemos adotar o diâmetro dA =~ 70 mm 
 
 
Ponto A : Solicitação ����Cisalhamento FA = 2000 kgf 
 
σfW10 = 27 kgf/ mm2 
 σb = σfN / ( SN . C ) = 0,7 . σfW10 / ( SN . C ) = 0,7 . 27 / ( 2,2 . 1,3 ) =~ 6,61 kgf/ mm2 
 dA = ( 4. FA / ( pi . σb) )1/2 = ( 4. 2000 / ( pi . 6,61) )1/2 =19,63 mm 
 
 
Ponto P : Solicitação ����Cisalhamento FP = 2000 kgf 
 
σfW10 = 12 kgf/ mm2 eixo com cubo: (curva 12): chavetado 
 σb = σfN / ( SN . C ) = 0,7 . σfW10 / ( SN . C ) = 0,7 . 12 / ( 2,2 . 1,3 ) =~ 2,94 kgf/ mm2 
 dP = ( 4. FP / ( pi . σb) )1/2 = ( 4. 2000 / ( pi . 2,94) )1/2 =29,43 mm 
 35 
Foram desprezadas a torção de arraste do mancal e o atrito da roda com o trilho. 
 
Dimensionamento considerando a segurança contra a falha devido aos efeitos contra da fadiga 
para os 3 exemplos resolvidos anteriormente teremos: 
 
 
Exemplo 2 
 
Ponto P : Solicitação ���� Flexão Pulsante / Oscilante � Mf = 110 000 kgf mm 
 
σb = σfN / ( SN . C ) = σfUr / ( SN . C ) = 1,8 . σ fW / ( SN . C ) = 1,8 . σfW 10 . bo / ( SN . C ) 
 
Adotando-se SN = 2,2 , pois σr = é decisivo e C=1,3 
 
σfNW 10 =~ 27 kgf / mm2 
obtido pelo gráfico (curva 12): superfície retificada ou bem alisada pág. 11, capítulo 1 
 
Preliminarmente: σb = 1,8 . σfW 10 . bo / ( SN . C ) = 1,8 . 27 . 1 / ( 2,2 . 1,3 ) = 16,99 kgf/ mm2 
 dP = 2,17 . ( 110 000 / 16,99 )1/3 = 40,44 mm 
 
Interpolando para “bo” da tabela da página 11, capítulo 1 em função de “d” tem-se: 
 bo’ =~ 1,4965 . d-0,1828 = 1,4965 . 40,44-0,1828 =~ 0,761 (“d” em mm) 
recalculando: σb’ = σfW 10 . bo / ( SN . C ) = 1,8 . 27 . 0,761 / ( 2,2 . 1,3 ) = 12,93 kgf/ mm2 
 dP’ = 2,17 . ( 110 000 / 12,93 )1/3 = 44,30 mm 
 
Interpolando para “bo” da tabela da página 11, capítulo 1 em função de “d” tem-se: 
 bo’’ =~ 1,4965 . 44,30-0,1828 =~ 0,748 (“d” em mm) 
recalculando: σb’’ = 1,8 . 27 . 0,748 / ( 2,2 . 1,3 ) = 12,711 kgf/ mm2 
 dP’’ = 2,17 . ( 110 000 / 612,711 )1/3 = 44,55 mm 
 
 bo’’’ =~ 1,4965 . 44,55-0,1828 =~ 0,747 (“d” em mm) 
recalculando: σb’’’ = 1,8 . 27 . 0,747 / ( 2,2 . 1,3 ) = 12,694 kgf/ mm2 
 dP’’’ = 2,17 . ( 110 000 / 12,694 )1/3 = 44,57 mm , que repetiu o valor 
 
Logo, poderemos adotar o diâmetro dP =~ 45 mm 
 
 
Pontos A e B : Solicitação ����Cisalhamento FA = FB = 1000 kgf 
 
σfW10 = 27 kgf/ mm2 
 σb = σfN / ( SN . C ) = 0,7 . σfW10 / ( SN . C ) = 0,7 . 27 / ( 2,2 . 1,3 ) =~ 6,61 kgf/ mm2 
 dA = ( 4. FA / ( pi . σb) )1/2 = ( 4. 1000 / ( pi . 6,61) )1/2 =13,88 mm 
 
Ponto P : Solicitação ����Cisalhamento FP = 2000 kgf 
 
σfW10 = 27 kgf/ mm2 eixo (curva 3): superfície retificada ou bem alisada 
 
σb = σfN / ( SN . C ) = 0,7 . σfW10 / ( SN . C ) = 0,7 . 27 / ( 2,2 . 1,3 ) =~ 6,61 kgf/ mm2 
 dP = ( 4. FP / ( pi . σb) )1/2 = ( 4. 2000 / ( pi . 6,61) )1/2 =19,63 mm 
 36 
 Foram desprezadas a torção de arraste do mancal e o atrito da roda com o trilho. 
 
Dimensionamento considerando a segurança contra a falha devido aos efeitos contra da fadiga 
para os 3 exemplos resolvidos anteriormente teremos: 
 
 
Exemplo 3 
 
Ponto P : Solicitação ���� Flexão Alternante � Mf = 110 000 kgf mm 
 
σb = σfN / ( SN . C ) = σfW / ( SN . C ) = σfW 10 . bo / ( SN . C ) 
 
Adotando-se SN = 2,2 , pois σr = é decisivo e C=1,3 
 
σfNW 10 =~ 12 kgf / mm2 
obtido pelo gráfico (curva 12): superfície retificada ou bem alisada pág. 11, capítulo 1 
 
Preliminarmente: σb = σfW 10 . bo / ( SN . C ) = 12 . 1 / ( 2,2 . 1,3 ) = 4,20 kgf/ mm2 
 dP = 2,17 . ( 110 000 / 4,20 )1/3 = 64,46 mm 
 
Interpolando para “bo” da tabela da página 11, capítulo 1 em função de “d” tem-se: 
 bo’ =~ 1,4965 . d-0,1828 = 1,4965 . 64,46-0,1828 =~ 0,70, (“d” em mm) 
recalculando: σb’ = σfW 10 . bo / ( SN . C ) = 12 . 0,70 / ( 2,2 . 1,3 ) = 2,93 kgf/ mm2dP’ = 2,17 . ( 110 000 / 2,93)1/3 = 72,65 mm 
 
Interpolando para “bo” da tabela da página 11, capítulo 1 em função de “d” tem-se: 
 bo’’ =~ 1,4965 . 72,65-0,1828 =~ 0,68 (“d” em mm) 
recalculando: σb’’ = 27 . 0,68 / ( 2,2 . 1,3 ) = 2,87 kgf/ mm2 
 dP’’ = 2,17 . ( 110 000 / 2,87 )1/3 = 73,18 mm 
 
 bo’’’ =~ 1,4965 . 73,18-0,1828 =~ 0,68 (“d” em mm) 
recalculando: σb’’’ = 27 . 0,68 / ( 2,2 . 1,3 ) = 2,86 kgf/ mm2 
 dP’’’ = 2,17 . ( 110 000 / 2,86 )1/3 = 73,21 mm , repetiu próximo do valor 
 
Logo, poderemos adotar o diâmetro dP =~ 74 mm 
 
 
Pontos A e B : Solicitação ����Cisalhamento FA = FB = 1000 kgf 
 
σfW10 = 27 kgf/ mm2 
 σb = σfN / ( SN . C ) = 0,7 . σfW10 / ( SN . C ) = 0,7 . 27 / ( 2,2 . 1,3 ) =~ 6,61 kgf/ mm2 
 dA = ( 4. FA / ( pi . σb) )1/2 = ( 4. 1000 / ( pi . 6,61) )1/2 =13,88 mm 
 
Ponto P : Solicitação ����Cisalhamento FP = 2000 kgf 
 
σfW10 = 12 kgf/ mm2 eixo (curva 12): eixo chavetado 
 
σb = σfN / ( SN . C ) = 0,7 . σfW10 / ( SN . C ) = 0,7 . 12 / ( 2,2 . 1,3 ) =~ 2,937 kgf/ mm2 
 dP = ( 4. FP / ( pi . σb) )1/2 = ( 4. 2000 / ( pi . 2,937) )1/2 =29,44 mm