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Universidade Federal do Piauí Departamento de Matemática Prof. José Francisco de Oliveira Cálculo III LISTA 2 1. Diga o que é uma função de n variáveis reais com valores reais. Dê exemplos de situações práticas nas quais aparecem funções de várias variáveis. 2. Considere a relação dada por z = 1 x2+y2 . (a) Determine maior conjunto D ⊂ R2 para o qual esta define uma função f . (b) Considere f definida em D e desenhe as curvas de nível. (c) Esboce o gráfico. (Use ajuda computacional se necessário) 3. Considere a função de três variáveis f(x, y, z) = x. Desenhe a superfície de nível de f correspondente ao nível c = 1. 4. Calcule, caso exista. (a) lim (x,y)→(0,0) x sen 1 x2 + y2 (b) lim (x,y)→(0,0) xy y − x3 5. Considere o seguinte fato: Suponha lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = a e lim u→a g(u) = L, onde g não é definida em a e Imf ⊂ Dg. Então lim (x,y)→(x0,y0) g(f(x, y)) = lim u→a g(u). Use esse fato para calcular lim(x,y)→(0,0) sen(x2+y2) x2+y2 . 6. Determine os pontos de continuidade. (a) f(x, y) = ln x−y x2+y2 (b) f(x, y) = { sen(x2+y2) x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 1 se (x, y) = (0, 0) 7. A função f(x, y) = { xy2 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é contínua em (0, 0)? Será que f é diferenciável em R2? 8. Seja f : R → R uma função diferenciável e considere g(x, y, z) = f(r) onde r = ‖(x, y, z)‖. Verifique que x ∂g ∂x + y ∂g ∂y + z ∂g ∂z = rf ′(r). 9. Determine a equação geral do plano tangente à superfície no ponto especificado. (a) z = 4x2 − y2 + 2y e P = (−1, 2, 4) (b) z = y lnx e P = (1, 4, 0) (c) z = y cos (x− y) e P = (2, 2, 2) 10. Determine um plano que seja paralelo ao plano z = 2x+3y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x2+xy. 11. Determine a equação do plano tangente à superfície (elipsóide) de equação x2 4 + y2 9 + z2 = 1 no ponto (0, 0, 1). 12. Considere f : R2 → R definida por f(x, y) = { xy x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (a) Verifique que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f não é diferenciável em (0, 0). (b) Explique porque fx e fy não são contínuas em (0, 0). 13. Determine a equação geral do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = √ 1− x2 − y2 no ponto ( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 ). Podemos afirmar que essa função é diferenciável em ( 1√ 3 , 1√ 3 )? Justifique. 14. Considere f : R2 → R definida por f(x, y) = { xy+x−2y−2√ x2+y2−4x+2y+5 se (x, y) 6= (2,−1) 1 se (x, y) = (2,−1) . (a) Determine, caso exista, o valor do limite lim(x,y)→(2,−1) f(x, y). (b) A função f(x, y) é contínua em (2,−1)? (c) A função f(x, y) é diferenciável em (0, 0)? . 15. Determine ∂f∂x e ∂f ∂y sendo f(x, y) = { x+y4 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . 16. Determine o conjunto de todos os pontos nos quais a função dada é diferenciável. (a) f(x, y) = { xy x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (b) f(x, y) = { x3 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (c) f(x, y) = { xy3 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) .
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