Métodos Numéricos - Poli - resumo - zeros de funções

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Resumo para a P1 de Numérico - 2013 
Resumo da P1 de Cálculo Numérico 
Conteúdo 
Resumo da P1 de Cálculo Numérico........................................................................................ 1 
1. Método da Dicotomia..................................................................................................... 2 
Procedimento ........................................................................................................................ 2 
Critérios de convergência ..................................................................................................... 2 
Análise do erro ..................................................................................................................... 2 
2. Método das Aproximações Sucessivas (M.A.S) ............................................................ 3 
Procedimento ........................................................................................................................ 3 
Critérios de convergência ..................................................................................................... 3 
3. Método de Newton ......................................................................................................... 4 
Procedimento ........................................................................................................................ 4 
Critérios de Convergência .................................................................................................... 5 
Chute de para Newton .................................................................................................... 6 
4. Análise de erros para qualquer método .......................................................................... 6 
Caso genérico ....................................................................................................................... 6 
Sequência oscilante .............................................................................................................. 7 
Sequência monotônica.......................................................................................................... 8 
Como saber se uma sequência é monotônica ou oscilante ................................................... 8 
 
 
 
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Resumo para a P1 de Numérico - 2013 
1. Método da Dicotomia 
Procedimento 
1. Determinar que contenha uma única raiz; 
2. Encontrar e (Um deve ter valor positivo e, o outro, negativo, senão está errado); 
3. Determinar 
 
 
 (o ponto médio entre e ) e ; 
4. Se ( e têm sinais opostos), então a raiz pertence a ; 
Se (têm sinais opostos), então a raiz pertence a ; 
5. Repetir o procedimento para esse novo intervalo que contém a raiz ( ou ), e 
repetir o processo até chegar perto o suficiente da raiz. 
Critérios de convergência 
1. é contínua em ; 
2. (os extremos têm sinais opostos); 
3. A raiz está isolada em (só há uma única raiz no intervalo escolhido). 
Análise do erro 
Se a raiz está no intervalo e é o 
ponto médio entre e , então pode-se dizer que a 
raiz está no intervalo 
 
 
 
 
 
 . 
Portanto, neste caso, o erro vale: 
 
 
 
 
Na próxima iteração, analogamente, o erro será 
 
 
 
 
 
, dependendo de onde a 
raiz está. Mas 
 
 
. Então: 
 
 
 
 
Após n iterações, teremos que: 
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Resumo para a P1 de Numérico - 2013 
 
 
 
 
Como saber se atingi a precisão pré-fixada? 
Imponha e resolva a inequação: 
 
 
 
2. Método das Aproximações Sucessivas (M.A.S) 
(Obs: a análise do erro do M.A.S. é o mesmo método para o Método de Newton. Portanto, a 
análise do erro está separada em um capítulo depois de Newton). 
Procedimento 
1. Igualar a função a zero: ; 
2. Isolar um dos que aparecem da expressão, a fim de obter ; 
3. Encontrar um intervalo que contenha uma raiz e verificar a convergência de 
nesse intervalo; 
4. Chutar um valor que pertença a e iterar para sempre rsrs. 
Critérios de convergência 
1. e são contínuas em ; 
2. no intervalo ; 
3. . 
Por que isso garante a convergência? 
Sejam: 
 
 
Subtraindo de : 
 
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Mas, lembra do TVM? Para quaisquer dois pontos e , existe um ponto tal que: 
 
 
 
Então, 
 
 
 
Assim, 
 
Mas, como é complicado e trabalhoso calcular para todo intervalo, adota-se que 
 . Então: 
 
Se considerarmos 
 
Temos que 
 
 
 
 
Para , como , tem-se que o erro tende a zero. 
3. Método de Newton 
Procedimento 
1. Encontrar um intervalo conveniente; 
2. Encontrar 
 
 
; 
3. Chutar convenientemente ; 
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Resumo para a P1 de Numérico - 2013 
 
De onde vem esse ? 
O método funciona assim: Chuta-se 
convenientemente um e, nesse ponto, encontra-se a 
reta tangente à função . Onde essa reta tangente 
cruzar o eixo , determina-se o ponto . Repete-se o 
processo para achar , , ..., . 
Comecemos com . A reta tangente no ponto 
 , pelo teorema do yoyomixoxo, rsrs, é 
 
No ponto em que a reta cruza o eixo , temos: 
 
 
Isolando : 
 
 
 
 
Analogamente, para qualquer ponto que se pegar, ter-se-á 
 
 
 
 
Critérios de Convergência 
1. (o intervalo contem uma raiz); 
2. para todo ; 
3. não troca de sinal em . 
Por que ? 
Imagine que você escolheu um ponto em que 
 . Sua reta tangente nunca cruzará o eixo para 
que haja um . 
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Por que não pode trocar de sinal? 
(Essa eu não consegui desenhar, tive que pegar da 
internet, rsrs) Se trocar de sinal, há chances de 
acontecer o que acontece na figura à direita. 
As iterações podem cair nesses mesmos dois 
pontos forever, rs. 
Chute de para Newton 
Escolher sempre o extremo "convexo" (O ponto que olha para o lado convexo da curva). Em 
termos formais: 
1. Se , escolher extremo maior (b); 
 
2. Se , escolher extremo menor (a). 
 
4. Análise de erros para qualquer método 
Caso genérico 
Sob as hipóteses do teorema da convergência, vale a seguinte desigualdade: 
 
 
 
 
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Quando se estabelece um erro , impõe-se: 
 
 
 
De onde vem essa fórmula cheia de betas? 
Sabe-se que 
 
Somando e subtraindo do segundo termo: 
 
Pela desigualdade triangular (http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_triangular), temos 
que: 
 
Então 
 
 
 
 
 
 
 
Sequência oscilante 
Como se pode notar, a raiz 
sempre se localiza entre 2 iterações. 
Sendo assim, o erro é semelhante ao da 
dicotomia: 
 
 
 
 
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Resumopara a P1 de Numérico - 2013 
Para valores de erro pré-fixados, impõe-se: 
 
 
 
Sequência monotônica 
Para isso, utiliza-se a aceleração no método das aproximações sucessivas. Seja e seja 
uma precisão pré-fixada. Consideraremos que: 
 
1. Se for crescente, cada iterada nos levará para um maior que o anterior. Ou seja, 
 . Suponha que seja o último iterado antes de se atingir a 
precisão. Isso significa que , mas . 
Iteremos . Como é convergente, vai fazer com que a iteração 'volte' para 
alcançar , ou seja, (o que é o contrário do que acontecia até então). 
Quando a desigualdade mudar de sentido, garantimos que e encontramos 
nosso esperado, . 
2. Se for decrescente, cada iterada nos levará para um menor que o anterior. Ou seja, 
 . Suponha que seja o último iterado antes de se atingir a 
precisão. Isso significa que , mas . 
Iteremos . Como é convergente, vai fazer com que a iteração 'suba' para 
alcançar , ou seja, . 
Quando a desigualdade mudar de sentido, garantimos que e encontramos 
nosso esperado, . 
Como saber se uma sequência é monotônica ou oscilante 
1. Se , a sequência é oscilante. 
Se , a sequência é monotônica. 
2. Itere 2 vezes e veja se tem caráter crescente, decrescente ou oscilante.