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semana13-Funções vetoriais de uma variavel real. Parametrização.Limite e continuidade

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func¸o˜es coordenadas sa˜o func¸o˜es afins. Ou seja, as
func¸o˜es coordenadas sa˜o do tipo αi(t) = ait +bi, onde ai
e bi sa˜o nu´meros reais. Sabemos tambe´m de la´ que “se
existe pelo menos um i, tal que ai 6= 0, o trac¸o da func¸a˜o
sera´ uma reta”.
Soluc¸a˜o:
a. α(t) = (2t,3t +1) t ∈ [0,1]
Observe, neste caso, que as func¸o˜es coordenadas x(t) = 2t e
y(t) = 3t +1 sa˜o func¸o˜es afins e basta que um dos coeficientes
a1 e a2 seja diferente de zero (neste caso, os dois coeficientes
a1 = 2 e a2 = 3 sa˜o diferentes de zero). Assim, o trac¸o da func¸a˜o
e´ uma reta. Como t ∈ [0,1], α(0) = (0,1) e α(1) = (2,4), pode-
mos afirmar que a curva e´ um segmento de reta de ponto inicial
α(0) = (0,1) e ponto final α(1) = (2,4), como mostrado na
Figura 13.11.
Figura 13.11
192 C E D E R J
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SE
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2
M
´ O
D
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LO
2
Outra forma de esboc¸ar a curva e´ por eliminac¸a˜o do paraˆmetro.
As func¸o˜es coordenadas como sabemos sa˜o x(t) = 2t e
y(t) = 3t + 1. Neste caso, podemos facilmente eliminar o
paraˆmetro t:
x
2
= t e y = 3t +1.
Obtemos assim uma equac¸a˜o apenas em termos das varia´veis
cartesianas: y = 3
2
x+1.
A equac¸a˜o cartesiana y = 3
2
x+1 e´ definida para todos os valo-
res de x. Mas das equac¸o˜es parame´tricas sabemos que t ∈ [0,1].
Isto implica que devemos ajustar o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana
resultante.
Note-se que t ∈ [0,1], isto e´, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2t︸︷︷︸
x
≤ 2 ⇒
0≤ x≤ 2. Assim, resulta a equac¸a˜o cartesiana da curva
C :

 y =
3
2
x+1
0≤ x≤ 2
A qual corresponde ao segmento (de reta) acima indicado.
b. γ(t) = (5cos 2t,−2sen 2t) t ∈
[
0, pi
2
]
As func¸o˜es coordenadas sa˜o x(t) = 5cos2t e y(t) = −2sen2t
t ∈
[
0, pi
2
]
.
Para determinar o trac¸o desta curva, podemos usar o mesmo
expediente que foi usado no exemplo anterior: “eliminar o
paraˆmetro”.
As func¸o˜es coordenadas como sabemos sa˜o x(t) = 5cos2t e
y(t) =−2sen 2t t ∈
[
0, pi
2
]
.
Neste caso, para eliminar o paraˆmetro t fazemos o seguinte:
x
5 = cos2t e
y
−2 = sen2t ⇒
( x
5
)2
= cos22t e
(
y
−2
)2
= sen22t,
assim ⇒
(x
5
)2
+
(
y
−2
)2
= cos22t + sen22t = 1.
Obtemos assim uma equac¸a˜o apenas em termos das varia´veis
cartesianas: x
2
25 +
y2
4
= 1 que e´ a equac¸a˜o de uma elipse cen-
trada em (0,0) com eixo maior de ve´rtices em (−5,0) e (5,0)
e eixo menor de comprimento 2b = 4. Mas das equac¸o˜es pa-
rame´tricas podemos ver que a curva esta´ definida apenas para
t ∈
[
0, pi
2
]
. Por outro lado, do Ca´lculo I, sabemos que a func¸a˜o
C E D E R J 193
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i
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i
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i
i
Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
sen2t e´ uma compressa˜o horizontal da func¸a˜o sen t, logo pode-
mos ver que para t ∈
[
0, pi
2
]
resulta que 0 ≤ sen2t ≤ 1. Assim,
0 ≥ −2sen 2t︸ ︷︷ ︸
y
≥ −2, isto e´, −2 ≤ y ≤ 0. Isso implica que o
gra´fico da curva esta´ restrito somente a` parte inferior da elipse.
Ou seja, a semi-elipse C :


x2
25 +
y2
4
= 1
−2≤ y≤ 0
.
Observe que para t = 0: x(0) = 5cos 0= 5 e y(0) =−2sen0= 0
⇒ P0 = (5,0).
Para t =
pi
4
x
(pi
4
)
= 5cos 2pi
4
= 0 e y
(pi
4
)
=−2sen 2pi
4
=−2
⇒ P1 = (0,−2).
Para t =
pi
2
x
(pi
2
)
= 5cos 2pi
2
=−5 e y
(pi
2
)
=−2sen2pi
2
= 0
⇒ P2 = (−5,0).
A medida que t aumenta de 0 para pi
2
, o ponto comec¸a em
P0 = (5,0), passa pelo ponto P1 = (0,−2) e termina no ponto
P2 = (−5,0). Note-se enta˜o que a semi-elipse e´ percorrida no
sentido hora´rio conforme t varia de 0 a pi
2
, como mostrado na
Figura 13.12.
Figura 13.12
c. δ (t) = (t2−1, t3 +1) t ∈ [−2,2]
As func¸o˜es coordenadas sa˜o x(t) = t2 − 1 e y(t) = t3 + 1
t ∈ [−2,2].
Para determinar o trac¸o desta curva, podemos usar o mesmo
expediente que foi usado no exemplo anterior: “eliminar o
paraˆmetro” e apo´s a eliminac¸a˜o do paraˆmetro ajustaremos o
domı´nio da equac¸a˜o cartesiana resultante.
Neste caso, para eliminar o paraˆmetro t fazemos o seguinte:
x = t2−1⇒ x+1 = t2 t ∈ [−2,2] (13.3)
y = t3 +1⇒ y−1 = t3 ⇒ t = (y−1) 13 t ∈ [−2,2] (13.4)
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Substituindo 13.4 em 13.3, temos a equac¸a˜o cartesiana
x+1 = (y−1) 23 ou (x+1)3 = (y−1)2 (13.5)
Observe que a equac¸a˜o cartesiana x+ 1 = (y− 1) 23 e´ definida
para todos os valores de x ≥ −1 (de fato, note que como
(x+1)3 = (y−1)2 e o segundo membro desta igualdade sempre
sera´ maior que zero, resulta que (x+ 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ −1). Mas
da definic¸a˜o da curva δ (t) = (t2 − 1, t3 + 1) sabemos que ela
esta´ definida apenas para t ∈ [−2,2]. Isto implica que devemos
restringir o domı´nio para os valores de x, tal que t ∈ [−2,2].
De fato, −2≤ t ≤ 2⇔ |t| ≤ 2⇔ 0≤ |t|2 ≤ 4 ⇔ 0 ≤ t2 ≤ 4 ⇔
−1≤ t2−1︸ ︷︷ ︸
x
≤ 3. Assim, x ∈ [−1,3].
De 13.5 segue enta˜o que (x+1) 32 = (y−1) ou y = 1+(x+1) 32 ,
para x ∈ [−1,3].
Por outro lado, note-se que:
Para t = −2: x(−2) = (−2)2 − 1 = 4− 1 = 3 e y(−2) =
(−2)3 +1 =−8+1 =−7⇒ P0 = (3,−7).
Para t = 0: x(0) = 0 − 1 = −1 e y(0) = 0 + 1 = 1 ⇒
P1 = (−1,1).
Para t = 2: x(2) = (2)2 − 1 = 4− 1 = 3 e y(2) = (2)3 + 1 =
8+1 = 9⇒ P2 = (3,9).
Ou seja, a medida que t aumenta de −2 para 2, o ponto comec¸a
em P0 = (3,−7) e termina no ponto P2 = (3,9). Note-se que a
curva e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de
−2 a 2, como mostrado na Figura 13.13.
Figura 13.13
C E D E R J 195
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Exercı´cio 13.5
Determine uma parametrizac¸a˜o para cada uma das seguintes
curvas:
a. x−3 =−(y+1)2;
b. (x+3)2 +(y−2)2 = 4;
c. 9(x−1)2 +4(y+2)2 = 36.
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no 10: a, b e d,
respectivamente)
Soluc¸a˜o:
a. Como x− 3 = −(y + 1)2, enta˜o x = 3− (y + 1)2. Fazendo
y = t, enta˜o x = 3− (t + 1)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o da
para´bola x−3 =−(y+1)2 e´ dada por γ(t) = (3− (t +1)2, t),
t ∈ R.
b. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
(x−h)2+(y−k)2 = a2 e´ dada por α(t)= (h+acos t,k+asen t),
0≤ t ≤ 2pi . Assim, para a circunfereˆncia (x+3)2+(y−2)2 = 4,
temos h = −3, k = 2 e a = 2. Logo, α(t) = (−3 + 2cos t,
2+ 2sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi , e´ uma parametrizac¸a˜o para a circun-
fereˆncia dada.
c. Dada 9(x−1)2+4(y+2)2 = 36, enta˜o 9(x−1)
2
36 +
4(y+2)2
36 =
1⇔ (x−1)
2
4
+
(y+2)2
9 = 1⇔
(
x−1
2
)2
+
(
y+2
3
)2
= 1.
Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse
(
x−h
a
)2
+(
y− k
b
)2
= 1 e´ dada por α(t) = (h + acos t,k + bsen t),
0 ≤ t ≤ 2pi . Assim, para a elipse
(
x−1
2
)2
+
(
y+2
3
)2
= 1,
temos h = 1, k =−2, a = 2 e b = 3. Portanto, uma parametriza-
c¸a˜o desta elipse, e´ dada por α(t) = (1+ 2cos t,−2+ 3sen t),
0≤ t ≤ 2pi .
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Exercı´cio 13.6
Ache uma parametrizac¸a˜o para a reta que e´ a intersec¸a˜o dos
planos x− y+ z =−3 e 2x+ y−2z = 6.
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no6)
Soluc¸a˜o: A reta L e´ a intersec¸a˜o dos planos
{
x− y+ z =−3
2x+ y−2z = 6 .
Consideremos separadamente as equac¸o˜es dos planos:
x− y+ z =−3 (13.6)
2x+ y−2z = 6 (13.7)
De 13.6 segue que
z =−3− x+ y (13.8)
Substituindo 13.8 em 13.7, resulta 2x+ y−2(−3− x+ y) = 6, ou
seja, 2x+ y+6+2x−2y = 6 de onde simplificando, temos
4x− y = 0 (13.9)
De 13.8 e 13.9 temos enta˜o um novo sistema que representa L
L :
{
z =−3− x+ y
4x− y = 0 ou L :
{
z =−3− x+ y
y = 4x (13.10)
Neste

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