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semana13-Funções vetoriais de uma variavel real. Parametrização.Limite e continuidade

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2
∀t ∈ R e´ uma func¸a˜o bijetora e pode-se
verificar que x = 1
2
senh t ≥ 0 ∀t ≥ 0 e x = 1
2
senh t < 0 ∀t < 0.
Assim, α(t) recobre toda a extensa˜o do ramo superior da hipe´rbole.
Note que a hipe´rbole e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t
varia de −∞ a +∞.
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i
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i
i
i
SE
M
A
N
A
13
2
M
´ O
D
U
LO
2
Exercı´cio 13.15
Calcule os seguintes limites
a. lim
t→+∞
(
t
t2+1
,
2t−3√
t2 +4
)
b. lim
t→√2
(
t2−2
t−√2 ,
e
√
2− et
t3−2√2
)
(Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no2: b e c, res-
pectivamente)
c. lim
t→−∞
(
t
t2+1
,
2t−3√
t2 +4
)
Soluc¸a˜o:
a. lim
t→+∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
Observe que quando t → +∞, t
t2 +1
e´ uma forma indetermi-
nada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→+∞
t
t2 +1
L′H
= lim
t→+∞
1
2t
= 0.
Analogamente, quando t →+∞, 2t−3√
t2 +4
e´ uma forma indeter-
minada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar
a regra de L’Hoˆpital, pore´m algumas vezes a aplicac¸a˜o da regra
de L’Hoˆpital para calcular uma forma indeterminada nos leva a
situac¸o˜es estranhas.
(
Tente calcular lim
t→+∞
2t−3√
t2 +4
usando a re-
gra de L’Hoˆpital e descreva o que acontece!
)
Por outro lado, do
Ca´lculo I, sabemos que este limite pode ser facilmente calcu-
lado por me´todos alge´bricos. De fato,
lim
t→+∞
2t−3√
t2 +4
= lim
t→+∞
2t−3
t√
t2+4
t
(∗)
= lim
t→+∞
2− 3t√
t2+4√
t2
= lim
t→+∞
2− 3t√
1+ 4t2
= 2
(∗) Lembre-se que quando t →+∞⇒ t > 0 e t = |t|=
√
t1.
Assim, lim
t→+∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
= (0,2).
C E D E R J 203
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i
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i
i
Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
b. lim
t→√2
(
t2−2
t−√2 ,
e
√
2− et
t3−2√2
)
Observe que quando t →√2, t
2−2
t−√2 e´ uma forma indetermi-
nada da forma 00 . Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→√2
t2−2
t−√2
L′H
= lim
t→√2
2t
1
= 2
√
2
Analogamente, quando t →√2, e
√
2− et
t3−2√2 e´ uma forma indeter-
minada da forma 00. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→√2
e
√
2− et
t3−2√2
L′H
= lim
t→√2
−et
3t2 =
−e
√
2
3(2) =−
1
6e
√
2
Portanto,
lim
t→√2
(
t2−2
t−√2 ,
e
√
2− et
t3−2√2
)
=
(
2
√
2,−16e
√
2
)
c. lim
t→−∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
Observe que quando t →−∞, t
t2 +1
e´ uma forma indetermi-
nada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→−∞
t
t2 +1
L′H
= lim
t→−∞
1
2t
= 0
Analogamente, quando t →−∞, 2t−3√
t2 +4
e´ uma forma indeter-
minada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar
a regra de L’Hoˆpital, pore´m, como ja´ foi mencionado acima,
algumas vezes a aplicac¸a˜o da regra de L’Hoˆpital para calcular
uma forma indeterminada nos leva a situac¸o˜es estranhas. Por
outro lado, do Ca´lculo I, sabemos que este limite pode ser facil-
mente calculado por me´todos alge´bricos. De fato,
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SE
M
A
N
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M
´ O
D
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LO
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lim
t→−∞
2t−3√
t2 +4
= lim
t→−∞
2t−3
t√
t2+4
t
(∗)
= lim
t→−∞
2− 3t√
t2+4
−
√
t2
= lim
t→−∞−
2− 3t√
1+ 4t2
=−2
(∗) Lembre-se que quando t →−∞⇒ t < 0 e t =−|t|=−
√
t2.
Assim, lim
t→−∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
= (0,−2).
Exercı´cio 13.16
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva C : x2 = y−2, onde
−1
2
≤ x≤ 1. Uma vez parametrizada a curva esboce a mesma e
indique o sentido de percurso quando o paraˆmetro aumenta.
Soluc¸a˜o: Sabemos que sendo C : y = f (x), ∀x ∈ I o gra´fico de uma
func¸a˜o contı´nua f , uma parametrizac¸a˜o natural (ou trivial ou sim-
ples) de C e´ dada fazendo x = t e y = f (t), isto e´, C : α(t) = (t, f (t)),
t ∈ I.
Neste exercı´cio vamos usar a parametrizac¸a˜o natural. Note-se
que x2 = y− 2 ⇔ y = x2 + 2. Seja x = t e y = f (t) = t2 + 2 para
todo −1
2
≤ t ≤ 1, logo α(t) = (t, t2 + 2), t ∈
[
−1
2
,1
]
. Observe que
α
(
−1
2
)
=
(
−1
2
,
1
4
+2
)
=
(
−1
2
,
9
4
)
e α(1) = (1,1+2) = (1,3). O
esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.16. Note-se que a para´bola
e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de −1
2
a 1.
2
Figura 13.16
C E D E R J 205
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i
Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Exercı´cio 13.17
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a coˆnica
3x2 +4y2 +12x−8y+4 = 0.
Uma vez parametrizada a curva esboce a mesma e indique o
sentido de percurso quando o paraˆmetro aumenta.
Soluc¸a˜o: Dada a equac¸a˜o da coˆnica 3x2 + 4y2 + 12x− 8y+ 4 = 0,
completando quadrados temos (3x2+12x+ )+(4y2−8y+ )+4= 0,
isto e´, 3(x2 + 4x + 4) + 4(y2 − 2y + 1) = 12 + 4 − 4 ou
3(x + 2)2 + 4(y − 1)2 = 12, enta˜o (x+2)
2
4
+
(y−1)2
3
= 1 ⇔(
x+2
2
)2
+
(
y−1√
3
)2
= 1.
Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse(
x−h
a
)2
+
(
y− k
b
)2
= 1
e´ dada por α(t) = (h+ acos t,k+ bsen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Assim, para a
elipse
(
x+2
2
)2
+
(
y−1√
3
)2
= 1, temos h=−2, k= 1, a= 2, b=√3.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o desta elipse, e´ dada por
α(t) = (−2+2cos t,1+
√
3sen t), 0≤ t ≤ 2pi.
Observe que a elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t
varia de 0 a 2pi .
Com efeito, note-se que α(0) = (0,1), α
(pi
2
)
= (−2,1+√3) e
α(2pi) = (0,1). O esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.17.
( +2
)
x
( -1)y
Figura 13.17
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