Lista de Exercícios - Lei de Gauss - UNICAMP

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Exercícios sobre Lei de Gauss 
Exercícios para serem entregues: 2, 4, 10, 13, 16 e 18 
 
1. Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão: 
zcxybzxayE ˆˆˆ ++=
!
, 
onde a, b e c são constantes. 
Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano xy e 
com dois lados indo de x = 0 até x = w e y = 0 até y = h. 
 
 
2. Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, carregada com carga 
Q1 = +q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e mesmo comprimento L, carregada com uma 
carga Q2 = -2q. Use a lei de Gauss para determinar: 
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial r > R2; 
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1 < r < R2; 
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca. 
 
 
3. Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um 
cilindro muito longo de raio R. 
a) mostre que para uma distância r do eixo do cilindro e com r < R, temos : 
 
02ε
ρ rE = , 
onde ρ é a densidade volumétrica de cargas no cilindro. 
b) Escreva uma expressão para E quando r > R . 
 
 
4. Uma placa espessa plana de espessura d possui uma densidade de carga 
volumétrica uniforme ρ. Determine a intensidade do campo elétrico em todos os 
pontos do espaço: 
a) tanto dentro 
b) quanto fora da placa, em termos de x, com esta distância medida a partir do 
centro da placa. 
5. Uma superfície fechada com dimensões a = b = 0,4 m e c = 0,6 m 
está localizada como na figura ao lado. O campo elétrico nessa região é 
não-uniforme e é dado pela expressão xxE ˆ)0,20,3( 2+=! N/C, onde x em 
metros. Calcule: 
a) o fluxo de Eφ através da superfície; 
b) a carga elétrica total contida na superfície. 
 
 
6. A figura mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro e 
do lado de fora de uma esfera com uma distribuição de cargas positivas 
em função da distância ao centro da esfera. A escala do eixo vertical é 
definida por Es = 5,0 x 107 N/C. Qual a carga da esfera? 
 
 
7. Em uma região específica da atmosfera da Terra, o campo 
elétrico acima da superfície foi medido e registraram-se os seguintes 
valores: 150 N/C orientado para baixo a uma altitude de 250 m e 170 N/C 
orientado para baixo a uma altitude de 400 m. Calcule a densidade 
volumétrica de carga da atmosfera admitindo que seja uniforme entre 250 
e 400 m. (Pode-se desprezar a curvatura da Terra? Por quê?) 
 
 
8. A figura ao lado mostra a seção reta de duas esferas de raio R, com 
distribuições volumétricas uniformes de cargas. O ponto P está sobre a reta que 
liga os centros das esferas e se encontra a uma distância R/2 do centro da 
esfera 1. Se o campo elétrico no ponto P é zero, qual é a razão q1/q2 entre a 
carga da esfera 1 e a carga da esfera 2? 
 
 
9. Um antigo (incorreto) modelo do átomo de hidrogênio, sugerido por J. J. Thompson, 
propunha que uma nuvem positiva de carga +e era uniformemente distribuída no volume de uma 
esfera de raio R, com uma carga negativa puntiforme –e no centro da esfera. 
a) utilizando a lei de Gauss, mostre que o elétron estaria em equilíbrio no centro da esfera e, se 
fosse deslocado do centro a uma distância r < R, ficaria sujeito a uma força restauradora do tipo 
,rF Κ−= onde Κ é uma constante; 
b) mostre que 3
2
R
ek=Κ ; 
c) ache uma expressão para a frequência f de oscilações harmônicas simples que um elétron de 
massa me executaria se fosse deslocado de uma pequena distância do centro da esfera e abandonado; 
d) calcule o valor numérico de R que produziria numa frequência de vibração igual a 2,47 x 1015 
Hz, que é a frequência da luz da linha mais intensa do espectro do átomo de hidrogênio.
 
( )jn ˆˆ
( )jn ˆˆ−
Terra 
m400
m250
 
iE
!
h 
fE
!
A 
10. Uma esfera não condutora de raio 2a tem uma densidade de cargas uniforme 
ρ. Uma cavidade esférica de raio a é removida da esfera, como mostrado na figura 
ao lado. Mostre que o campo elétrico dentro da cavidade é uniforme e é dado por 
0=xE e 
03ε
ρ aE y = . (sugestão: utilize o princípio da superposição). 
 
 
11. Uma esfera de raio R envolve uma partícula de carga Q, localizada no seu centro. 
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com 
meio-ângulo θ ( figura ) é igual a: 
 ( )θ
ε
φ cos12 0
−= QE 
b) Qual é o fluxo para θ = π/2?e para θ = π? 
 
 
12. Uma carga puntiforme Q está sobre o eixo de um disco de raio R a 
uma distância b do plano do disco, conforme figura ao lado. Mostre que se ¼ 
do fluxo do campo elétrico da carga atravessa o disco, então bR 3= . 
(sugestão: use o resultado do problema anterior) 
 
 
13. Um fio infinitamente longo, tendo uma densidade linear de cargas λ , 
está a uma distância d de um ponto O, como na figura ao lado. Determine o 
fluxo total do campo elétrico produzido pelo fio através da superfície de uma 
esfera de raio R, centrada no ponto O. Considere ambos os casos: R < d e R > d. 
 
 
14. Considere uma esfera e uma camada esférica concêntricas, ambas 
condutoras. A camada externa é oca e tem inicialmente uma carga de -7Q. A esfera interna é 
maciça e tem carga de +2Q. 
a) Como é a distribuição da carga na camada? Isto é, quais os valores das cargas nas suas 
faces interna e externa da camada? 
b) Calcule o campo entre elétrico entre a esfera e a camada. 
c) Suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o 
equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada esférica? 
d) Aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item c) e, 
em seguida desconectando-a, qual o valor total da carga na camada? 
e) Quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada? 
 
15. A figura mostra uma camada esférica com uma densidade volumétrica de cargas 
uniforme ρ = 1,8 nC/m3, raio interno a = 10 cm e raio externo b = 20 cm. 
Determine o módulo do campo elétrico em: 
a) r = 0; 
b) r = a; 
c) r = 1,5a; 
d) r = b; 
e) r = 3b. 
 
 
16. Uma esfera sólida isolante de raio a está carregada com densidade 
volumétrica ρ uniforme e carga total Q. Concêntrica a esta esfera existe uma 
camada condutora de raios b e c, conforme figura ao lado. 
a) Calcule o vetor campo elétrico para as seguintes regiões: r < a, a < r < b, b 
< r < c e r > c; 
b) Determine a carga induzida por unidade de área sobre as superfícies interna 
e externa da camada condutora. 
 
 
17. Uma esfera sólida condutora de raio a tem uma carga positiva igual 2Q. 
Uma camada condutora de raio interno igual a b e raio externo igual a c é 
concêntrica à esfera, conforme figura ao lado. Esta camada possui uma carga 
igual a – Q. 
a) Usando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico nas regiões 1, 2, 3, 
e 4; 
b) Determine a distribuição de carga nas superfícies interna externa da 
camada, quando o sistema está em equilíbrio eletrostático. 
 
 
18. Na figura ao lado temos uma esfera central isolante de raio a e carga 3Q. Concêntrica a esta 
esfera temos uma camada, também isolante, com raios interno e externo iguais respectivamente a b e 
c e carregada com uma carga igual –Q. Usando a lei de Gauss calcule o vetor campo elétrico para: 
a) r < a; 
b) a < r < b; 
c) b < r < c; 
d) r > c. 
 
 
19. a) Mostre que num plano infinito de cargas e numa superfície esférica, o 
campo elétrico é descontínuo na região das cargas superficiais, e a descontinuidade é 0/σ ε . 
b) Prove que, em geral, quando há uma densidade superficial de carga σ , a descontinuidade do 
campo vale 0/σ ε . 
Faça a demonstração construindo uma superfície gaussiana cilíndrica,com as faces planas de um e 
outro lado da superfície e a parte cilíndrica normal à superfície. Utilize a lei de Gauss para calcular 
2 1E E− , onde 2E e E1 são as componentes normais de E
! de um lado e de outro da superfície.