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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa Inicialmente estudamos o movimento de um ponto material para um sistema de eixos coordenados fixos. Depois estudamos o movimento do ponto material para um sistema de eixos normal, tangencial e binormal, com origem no próprio ponto material a cada instante. Em alguns problemas de engenharia, no entanto, é mais conveniente estudar o movimento de um ponto material em termos de coordenadas cilíndricas, ou seja o sistema de coordenadas polares (r, ) mais o eixo z. Estudemos inicialmente o movimento plano ◦ Coordenadas: para o movimento plano serão duas: Coordenada radial r que se estende para fora a partir da origem fixa O até a partícula; Coordenada transversal que é o ângulo no sentido anti- horário entre uma linha de referência fixa e o eixo r; ◦ Vetores unitários: seguindo o procedimento comum a álgebra vetorial definimos dois vetores unitários nas direções dos eixos usados: Vetor ur, na direção do aumento de r, quando é mantido fixo; Vetor u , na direção do aumento do ângulo , quando r é mantido fixo; Posição ◦ Em cada instante a posição do ponto P é definida pelo vetor de posição: ◦ Onde r é a coordenada r; ur é o vetor unitário na direção do aumento do eixo r. rr ur Velocidade ◦ A velocidade instantânea é dada pela derivada temporal do vetor de posição. Uma vez que o vetor ur varia ao longo da trajetória da partícula, temos: ◦ Onde: rr r rr dt rd uur )u( v .de direção na unitário vetor do temporal derivada a é ; coordenada da temporal derivada a é r rr r u Pergunta: Como determinar dur/dt ? ◦ Seguindo um procedimento semelhante ao método empregado no cálculo da variação temporal do vetor tangente, podemos escrever o seguinte diagrama vetorial: ◦ Ou seja, uma variação fará o vetor ur mudar para u’r, vetorialmente temos: ◦ Portanto a variação de ur é ur. rrr uuu' ◦ Para ângulos pequenos, como os vetores são unitários, o módulo de ur, pode ser aproximado por: ◦ Observe, pela diagrama, que o vetor ur tem mesma direção e sentido do vetor u , portanto: 1ru uur ◦ Se dividirmos ur por t e fizermos t tender a zero teremos dur/dt, ou seja: uu u u u r t r t r tt limlim 00 ◦ Agora o vetor velocidade pode ser escrito como: ◦ Onde: vr é a componente radial do vetor velocidade; v é a componente transversal do vetor velocidade; rv rv vv rr r rr rr ; uuv uuv ◦ A intensidade da velocidade é simplesmente: ◦ A direção do vetor velocidade é sempre tangente a trajetória da partícula; rvrv vvv r r ; 22 Aceleração ◦ A aceleração é dada pela derivada temporal do vetor velocidade, logo: ◦ Onde: uuuuua uuv a rrrrr dt rrd dt d rr r .de direção na unitário vetor do temporal derivada a é u Pergunta: Como determinar du /dt ? ◦ Seguindo um procedimento semelhante ao método empregado no cálculo da variação temporal do vetor ur, podemos escrever o seguinte diagrama vetorial: ◦ Ou seja uma variação fará o vetor u mudar para u’ , vetorialmente temos: ◦ Portanto a variação de u é u . uuu' ◦ Para ângulos pequenos, como os vetores são unitários, o módulo de u , pode ser aproximado por: ◦ Observe, pelo diagrama, que o vetor u tem mesma direção mas sentido contrário ao vetor ur, portanto: 1u ruu ◦ Se dividirmos u por t e fizermos t tender a zero teremos du /dt, ou seja: r r tt tt uu u u u limlim 00 ◦ Finalmente o vetor aceleração pode ser reescrito, agora que encontramos todos os seus termos, como: ◦ Onde: ar é a componente radial do vetor aceleração; a é a componente transversal do vetor aceleração; rra rra aa r rr 2 2 uua ◦ A intensidade da aceleração é dado por: ◦ Já a direção do vetor aceleração é determinada pela soma vetorial das duas componente e não é tangente a trajetória. rra rra aaa r r 2 2 22 Se o ponto material se move ao longo de uma curva espacial então sua posição pode ser especificada pelas três coordenadas cilíndricas r, e z. Sendo a coordenada z igual a usado no sistema de coordenadas cartesianas Posição Velocidade Aceleração zr zr uur uuuv zrr r zr zrrrr uuua 2 2 Um radar de rastreamento situa-se no plano vertical da trajetória de um foguete que está se deslocando em vôo sem propulsão acima da atmosfera. Para o instante em que =30°, os dados de rastreamento fornecem r=8.104m, dr/dt=1200m/s, e d /dt=0,80 graus/s. A aceleração do foguete é devida apenas a atração gravitacional e para sua altitude em particular é 9,20m/s2 verticalmente para baixo. Para essas condições determine: ; erv
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