Sistemas e Sinais - Poli - Lista 2A - Exercícios Conceituais

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PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 2A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
A presente lista e´ dividida em quatro partes: (1) Convoluc¸a˜o, (2) Resposta ao impulso
unita´rio, (3) Func¸a˜o de transfereˆncia e (4) Exerc´ıcios contextualizados.
Nota: A func¸a˜o 1(t) corresponde ao degrau unita´rio (func¸a˜o de Heaviside) e a func¸a˜o
δ(t) representa o impulso unita´rio (delta de Dirac).
Parte I: Convoluc¸a˜o
Exerc´ıcio 1.1
As figuras abaixo mostram treˆs pares de sinais u(t) e h(t).
Para cada par, esboce o sinal y(t) = h(t) ∗ u(t).
1
Refereˆncia: Exerc´ıcio 1.1 adaptado de [1]
Exerc´ıcio 1.2
Calcule a convoluc¸a˜o y(t) = u(t) ∗ h(t) para os seguintes pares de sinais:
2
(a)
u(t) =
{
1, se −a < t ≤ a
0, para demais valores
h(t) =
{
−1, se −a < t ≤ a
0, para demais valores
(b)
u(t) =
{
t, se 0 < t ≤ T
0, para demais valores
h(t) =
{
1, se 0 < t ≤ 2T
0, para demais valores
(c)
u(t) = 1(t− 1) h(t) = e−3t1(t)
Refereˆncia: Exerc´ıcio 1.2 retirado de [1]
Exerc´ıcio 1.3
Considere os seguintes sinais:
Determine se cada um dos sinais representados abaixo podem ser constru´ıdos a partir
da convoluc¸a˜o do sinal (a, b ou c) com o sinal (a, b ou c). Se na˜o for poss´ıvel, marque os
retaˆngulos com um X.
3
Refereˆncia: Exerc´ıcio 1.3 retirado de [2]
4
Parte II: Resposta de um sistema ao impulso unita´rio
Exerc´ıcio 2.1
Sejam S1 e S2 dois sistemas lineares e invariantes no tempo, com respostas ao impulso
unita´rio dadas por g1(t) e g2(t). Considere que associamos S1 e S2 em cascata, como
indicado na Figura 1. Sabendo que:
g1(t) = e
−t · 1(t)
Determine a resposta ao impulso unita´rio da associac¸a˜o quando:
(a) g2(t) = e
−αt · 1(t), α ∈ R e α > 0
(b) g2(t) = te
−t · 1(t)
Nota: Use a transformada de Laplace e suas propriedades.
Figura 1: Diagrama de blocos do sistema
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.1 retirado de [9]
Exerc´ıcio 2.2
Considere o sinal u(t) = Bδ(t+ 1) + Cδ(t− 3).
Seja S um sistema linear e invariante no tempo com a seguinte resposta ao impulso
unita´rio:
h(t) = A
[
1(t+ 5)− 1(t+ 2)
]
em que A,B e C sa˜o constantes.
Calcule a resposta deste sistema para o sinal de entrada u(t).
Exerc´ıcio 2.3
Considere um SLIT de tempo cont´ınuo cuja resposta ao degrau unita´rio e´ dado por:
s(t) = e−t1(t)
Determine e esboce a sa´ıda deste sistema para a entrada u(t) apresentada na Figura 2.
5
Figura 2: Sinal u(t)
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.3 retirado de [1]
Exerc´ıcio 2.4
Seja um sistema linear e invariante no tempo, com resposta impulsiva h(t) e sinal de
entrada u(t) indicadas na figura seguinte.
(a) Justifique adequadamente se a frase e´ verdadeira ou falsa.
“O sistema na˜o e´ causal porque sua sa´ıda tera´ valores diferentes de zero para uma
entrada que comec¸a em valores negativos”.
(b) Considere os sinais de entrada u1(t) e u2(t) mostrados na figura abaixo.
Seja y1(t) a sa´ıda para o sinal de entrada u1(t) e y2(t) o sinal de sa´ıda para a entrada
u2(t). Obtenha as expresso˜es relacionando:
(b1) y2(t) em func¸a˜o de y1(t).
(b2) y(t) em func¸a˜o de y2(t).
(b3) y(t) em func¸a˜o de y1(t).
(c) Determine a expressa˜o de y(t).
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.4 retirado de [4]
6
Exerc´ıcio 2.5
Esboce um diagrama de blocos para o sistema cuja resposta ao impulso unita´rio e´ dada
por:
h(t) =
(
1− te−t) e−2t1(t)
O diagrama de blocos deve conter apenas somadores, multiplicadores e integradores.
Exerc´ıcio 2.6
Os sistemas S1 e S2 possuem as respostas ao impulso unita´rio dadas por:
h1(t) = (1− t)
[
1(t)− 1(t− 1)
]
h2(t) = t
[
1(t+ 2)− 1(t− 2)
]
(a) Esboce os sinais h1(t) e h2(t)
(b) Esboce a resposta ao impulso unita´rio resultante dos dois sistemas conectados em
paralelo.
(c) Esboce a resposta ao impulso unita´rio resultante dos dois sistemas conectados em
se´rie.
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.6 retirado de [7]
7
Parte III: Func¸a˜o de transfereˆncia e resposta em frequeˆncia
Exerc´ıcio 3.1
A partir das equac¸o˜es diferenciais abaixo, determine, se poss´ıvel, as func¸o˜es de trans-
fereˆncia dos sistemas correspondentes. Nos casos em que seja poss´ıvel definir uma func¸a˜o
de transfereˆncia, determine os po´los do sistema.
(a) y¨(t) + 2y˙(t) + 5y(t) = u(t)
(b) y¨(t) + 7y˙(t) + 10y(t) = 2u(t)
(c) y¨(t) + 7y(t)y˙(t) + 9y(t) = u(t)
(d)
...
y (t) + 7y¨(t) + 12y˙(t) + 8y(t) = 5u˙(t) + u(t)
Determine o sinal y(t) que se obte´m na sa´ıda do sistema do item (a) quando aplicamos
um sinal u(t) dado por
(e) u(t) = e−t1(t)
(f) u(t) = 1(t)
Considere condic¸o˜es iniciais nulas.
Considerando agora o sistema dado pelo item (b), pede-se:
(g) A resposta ao impulso unita´rio do sistema.
(h) A sa´ıda y(t) no caso em que a entrada e´ dada por u(t) = 1(t). Considere condic¸o˜es
iniciais iguais a: y(0) = 1 e y˙(0) = 2.
Exerc´ıcio 3.2
Considere o sistema linear invariante no tempo (SLIT), com entrada u(t) e sa´ıda y(t),
constitu´ıdo pelo arranjo em cascata de dois outros SLIT’s com func¸o˜es de transfereˆncia
H1(s) e H2(s), conforme a figura abaixo:
H1(s) =
1
s+ 1
H2(s) =
s+ 2
s2 + 2s+ 2
(a) Determine a resposta ao impulso unita´rio do sub-sistema com func¸a˜o de transfereˆncia
H1(s).
(b) Determine a equac¸a˜o diferencial que rege o sistema completo.
(c) Determine os modos naturais do sistema completo.
(d) Determine a sa´ıda y(t) quando a entrada e´ u(t) = 12 sin
(
2pit− pi
8
)
.
8
Exerc´ıcio 3.3
Deseja-se estudar as propriedades de diferentes sistemas lineares invariantes no tempo
(SLIT) por meio de um sinal de entrada u(t) = cos(ωmt).
Determine o valor de ωm que maximiza o mo´dulo da resposta em frequeˆncia de cada um
dos sistemas, descritos por meio de suas func¸o˜es de transfereˆncia:
(a) H1(s) =
1
1+s+s2
(b) H2(s) =
s
1+s+s2
(c) H3(s) =
s2
1+s+s2
Compare os valores obtidos em cada item e explique qualitativamente as diferenc¸as e
semelhanc¸as dos resultados.
Observac¸a˜o: Lembre-se que |H(jω)| = √H(jω)H∗(jω).
Refereˆncia: Exerc´ıcio 3.3 retirado de [2]
Exerc´ıcio 3.4
Um sistema dinaˆmico causal possui uma curva de resposta em frequeˆncia definida como
na figura a seguir:
O seguinte sinal e´ aplicado na entrada do sistema:
u(t) = 2 sin (100t− 30◦)− cos2 (200t+ 45◦)
Pede-se o sinal de sa´ıda y(t) do sistema nas seguintes condic¸o˜es:
(a) a = 0, b = 300
(b) a = 0, b = 500
(c) a = 150, b = 1000
(d) a = 500, b = 1000
9
Exerc´ıcio 3.5
Um sistema de quarta ordem e´ realizado pela associac¸a˜o se´rie de dois sub-sistemas de
segunda ordem, com numeradores constantes e ganhos DC iguais a 2.5 e 4.0, respecti-
vamente. Os dois sub-sistemas teˆm ζ = 2 e ωn = 1333pi. Determine, usando as curvas
do Cap´ıtulo 2 da apostila, qual a expressa˜o do sinal y(t) de sa´ıda quando a entrada do
sistema e´ um sinal u(t) tal que
u(t) = 3.9 sin(2000pit+ pi
6
)
Impreciso˜es na leitura dos gra´ficos sa˜o esperadas.
Observac¸a˜o: Um dos exerc´ıcios computacionais dispon´ıveis no site da disciplina envolve
leituras de gra´ficos como esse que voceˆ usou neste exerc´ıcio. E´ importante que o aluno
seja capaz de escrever uma equac¸a˜o diferencial em uma forma padra˜o, usando paraˆmetros
comumente utilizados na literatura da a´rea de vibrac¸o˜es mecaˆnicas.
Exerc´ıcio 3.6
Deseja-se avaliar o comportamento de dois sistemas LIT de tempo cont´ınuo com func¸o˜es
de transfereˆncia dadas por
H1(s) =
13
s2 + 23s+ 100
H2(s) =
13
s2 + 2s+ 16
(a) Utilizando as curvas de mo´dulo e fase normalizadas das figuras do Cap´ıtulo 2 da
apostila, expressea forma da resposta ao impulso unita´rio em termos de ζ e ωn para
cada sistema.
(b) Considere que as func¸o˜es de transfereˆncia H1(s) e H2(s) sa˜o provenientes de uma
equac¸a˜o diferencial de segunda ordem usada para descrever o sistema de teste de
amortecedor de um carro, ou seja
my¨(t) + βy˙ + ky(t) = f(t)
Fornec¸a os valores de m (massa do sistema concentrada na roda), β (constante do
amortecedor) e k (constante da mola) para cada um dos sistemas.
(c) Qual dos sistemas representa o carro com melhor sistema de amortecimento? Justi-
fique sua resposta.
(d) Considere que o sinal de entrada
u(t) = 170 cos(3t+ pi
6
) t ∈ (−∞,+∞)
e´ aplicado no sistema
H(s) =
s− 3
s2 + 2s+ 16
Determine a sa´ıda do sistema.
10
Exerc´ıcio 3.7
Existem va´rias definic¸o˜es para a estabilidade de um sistema, sendo uma delas a estabili-
dade BIBO (Bounded Input - Bounded Output), que nos diz que: “Um sistema e´ BIBO
esta´vel se, ao aplicarmos um sinal de entrada limitado, o sinal de sa´ıda tambe´m e´ limi-
tado”.
Um SLIT com func¸a˜o de transfereˆncia H(s) dada por
H(s) =
N(s)
D(s)
sera´ BIBO esta´vel se qualquer uma das seguintes afirmac¸o˜es for verdadeira:
• Os zeros do polinoˆmio D(s) teˆm todos parte real negativa.
• Se todos os po´los de H(S) tiverem parte real negativa.
• Todos os modos naturais do sistema tendem a zero quando t→ +∞.
Dito isso, pede-se que o aluno determine se as func¸o˜es de transfereˆncia representadas
abaixo sa˜o associadas a sistemas BIBO esta´vel ou na˜o.
(a) Ha(s) =
1
s2+4s+3
(b) Hb(s) =
1
s2+2s+2
(c) Hc(s) =
1
s2+s−2
Para responder os itens (d), (e) e (f), considere o sistema com realimentac¸a˜o negativa da
figura abaixo, em que fixaremos a func¸a˜o de transfereˆncia H(s) como sendo H(s) = Hc(s).
O ganho de realimentac¸a˜o K e´ uma constante real.
(d) Mostre que a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) do sistema realimentado e´ dada por:
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
H(s)
1 +KH(s)
(e) Determine os valores de K para os quais o sistema realimentado e´ BIBO esta´vel.
(f) Determine os valores de K para os quais os po´los do sistema realimentado sa˜o reais.
Refereˆncia: Exerc´ıcio 3.7 retirado de [2]
11
Exerc´ıcio 3.8
Considere que desejamos analisar o sistema S1, cuja entrada e´ denotada pelo sinal u(t)
e a sa´ıda e´ dada por y(t). A relac¸a˜o de entrada-sa´ıda do sistema pode ser descrita pela
seguinte equac¸a˜o diferencial:
y¨(t) + 4y(t) = u(t)
Pede-se:
(a) Qual e´ a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema? E a resposta ao impulso unita´rio?
(b) Qual e´ a resposta em frequeˆncia deste sistema?
Suponha que temos um sinal senoidal na entrada do sistema S1, isto e´:
u(t) = sin(ωt)
(c) Qual e´ a poteˆncia do sinal u(t)? E a do sinal y(t)?
(d) Qual deve ser o valor da frequeˆncia ω em u(t) para que a poteˆncia do sinal de sa´ıda
y(t) seja ma´xima?
A frequeˆncia obtida no item (d) e´ chamada de frequeˆncia de ressonaˆncia do sistema S1 e
iremos denota´-la por ωr1.
Considere agora um outro sistema, que chamaremos de S2. A relac¸a˜o de entrada-sa´ıda
deste sistema pode ser descrita pela equac¸a˜o diferencial:
y¨(t) + 2y˙(t) + 4y(t) = u(t)
(e) Qual e´ a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema? E a resposta ao impulso unita´rio?
(f) Qual e´ a resposta em frequeˆncia deste sistema?
(g) Quais semelhanc¸as voceˆ nota entre os sistemas S1 e S2? E diferenc¸as?
Considerando novamente um sinal senoidal na entrada do sistema, pede-se:
(h) Qual e´ a poteˆncia do sinal y(t), na sa´ıda do sistema S2, em func¸a˜o da frequeˆncia ω?
(i) Qual deve ser o valor da frequeˆncia ω em u(t) para que a poteˆncia do sinal de sa´ıda
y(t) seja ma´xima? Denote este valor por ωr2.
As frequeˆncias de ressonaˆncia ωr1 e ωr2 sa˜o grandezas bastante para a compreensa˜o do
comportamento dos sistemas S1 e S2. Por meio destes valores, um projetista tem a
informac¸a˜o de qual frequeˆncia o sinal de entrada deve ter para que haja a melhor trans-
missa˜o de poteˆncia poss´ıvel atrave´s do sistema.
12
Parte IV: Exerc´ıcios contextualizados
Observac¸a˜o: Os exerc´ıcios desta parte da lista podem ser resolvidos com aux´ılio compu-
tacional. As listas 1B e 2B, dispon´ıveis no site da disciplina, podera˜o ser u´teis aos alunos
que na˜o sabem como usar o Matlab para resolver equac¸o˜es diferenciais e/ou analisar
sistemas lineares invariantes no tempo.
Exerc´ıcio 4.1
Neste exerc´ıcio iremos utilizar um modelo simplificado de um sino para tentar de entender
o que acontece quando usamos um martelo para fazeˆ-lo soar.
Considere que o modelo simplificado do sino em questa˜o e´ dado pela pela seguinte equac¸a˜o
diferencial:
y¨(t) + 0.2y˙(t) + 100.01y(t) = u(t)
em que y(t) representa a amplitude de vibrac¸a˜o de cada um dos pontos do sino no
instante de tempo t e u(t) e´ uma entrada causada por um agente externo. Note que
o som caracter´ıstico do sino e´ diretamente relacionado aos valores de y(t) ao longo do
tempo. Considerando condic¸o˜es iniciais nulas, pede-se:
(a) Qual e´ a resposta ao impulso unita´rio do sistema descrito pela equac¸a˜o diferencial?
(b) Considere que um agente externo martelou o sino durante um per´ıodo de tempo
bastante curto, de tal modo que possamos modelar seu efeito por meio da func¸a˜o
u(t) = 10δ(t). Qual e´ a expressa˜o do sinal y(t)?
(c) Ainda nas condic¸o˜es do item anterior, determine quanto tempo levara´ para que a
amplitude do sinal de som decaia 95% em relac¸a˜o ao seu valor ma´ximo.
Exerc´ıcio 4.2
Em diversos produtos eletroˆnicos atuais, a interface de usua´rio e´ feita usando uma tela
sens´ıvel ao toque. Os circuitos eletroˆnicos responsa´veis por tal interface devem ser ca-
pazes de mapear a posic¸a˜o na qual o dedo do usua´rio tocou na tela. Existem diversas
formas de abordar este problema e neste exerc´ıcio iremos considerar uma poss´ıvel soluc¸a˜o
simplificada.
Comec¸aremos considerando um circuito RLC.
Usando os conceitos aprendidos no curso de circuitos ele´tricos, e´ poss´ıvel obter a seguinte
equac¸a˜o diferencial para descrever a carga ele´trica q(t) no circuito:
v(t) = Lq¨(t) +Rq˙(t) +
1
C
q(t)
em que v(t) e´ a tensa˜o de entrada do circuito. Sabe-se, tambe´m, que a corrente ele´trica
que circula no circuito e´ dada por i(t) = q˙(t). Pede-se:
13
(a) Considerando a tensa˜o v(t) como entrada e a corrente ele´trica i(t) como sa´ıda do
sistema associado ao circuito ele´trico, determine a func¸a˜o de transfereˆncia H(s) do
sistema. Determine, tambe´m, a resposta em frequeˆncia H(jω).
(b) Suponha que v(t) = A cos(ωt + φ). Para qual valor de ω a amplitude da corrente
ele´trica i(t) sera´ ma´xima? Denote esta frequeˆncia por ωr.
Considere, agora, que por baixo de uma tela sens´ıvel ao toque, temos diversos circuitos
RLC dispostos em uma matriz. Cada circuito desses e´ responsa´vel pela monitorac¸a˜o de
uma pequena regia˜o da tela, sendo diretamente interligado a uma entrada de um sistema
digital de controle. Sabe-se que, ao tocar em alguma parte da tela, o dedo do usua´rio
ira´, de alguma forma, influenciar no valor da capacitaˆncia daquela regia˜o. Sendo assim,
uma forma de monitorar qual foi o local da tela tocado pelo usua´rio e´ fazer com o que o
circuito RLC de cada regia˜o tenha seu valor de C pass´ıvel de ser alterado ao ser tocado.
(c) Suponha que os sinais v(t) aplicados em cada um desses pequenos circuitos RLC
seja sempre o mesmo, dado por v(t) = A cos(ωt + φ). Ao variarmos o valor de C
neste circuito RLC, espera-se que a amplitude da corrente ele´trica i(t) tambe´m varie.
Denotando a amplitude do sinal i(t) por |I(jω)|, mostre que:
∂|I(jω)|
∂C
=
Aω
(Cω)3
[
R2 +
(
ω2LC − 1
ωC
)2]−32
(1− LCω2)
(d) Considere os seguintes valores para os paraˆmetros dos circuitos RLC:
• R = 12Ω
• L = 0.15H
• C = 100µF
Considere, tambe´m, A = 1. Usando o Matlab, plote o gra´fico de |I(jω)| e de sua
derivadaem relac¸a˜o a C, obtida no item (c). De que forma a corrente ira´ variar
quando alteramos C com ω = ωr? Para qual valor de ω a amplitude |I(jω)| tera´
a maior sensibilidade para variac¸o˜es de C? (obtenha esse valor no Matlab, na˜o e´
necessa´rio chegar ao resultado analiticamente).
Os resultados que voceˆ obteve neste exerc´ıcio mostram a sensibilidade do circuito RLC em
termos da variac¸a˜o do paraˆmetro C, de capacitaˆncia. A partir disso, e´ poss´ıvel construir
um sistema digital que monitore as variac¸o˜es de corrente ele´trica em cada ponto da tela,
de modo a identificar em qual ponto o usua´rio tocou.
Exerc´ıcio 4.3
Os n´ıveis de chuva em Sa˜o Paulo durante os anos de 2014 e 2015 esta˜o entre os mais
baixos da histo´ria e a sua soluc¸a˜o representa um desafio para a engenharia. Sabe-se que
a seguinte equac¸a˜o modela o n´ıvel de um dos reservato´rio,
n(t) + 2 · 106 · dn
dt
(t) = 40000 · c(t)
no qual n(t) representa o n´ıvel do reservato´rio e c(t) e´ proporcional ao volume de chuvas.
14
(a) Determine a func¸a˜o de transfereˆncia H(s) = N(s)
C(s)
.
(b) Determine a resposta ao impulso unita´rio do sistema.
(c) Determine o comportamento do reservato´rio caso
(1) c(t) = 1(t), n(0) = 0.
(2) c(t) = 1(t− 2)− 1(t− 10), n(0) = 0.
(3) c(t) = 1(t− 7)− 0.5 · 1(t− 15)− 0.5 · 1(t− 23), n(0) = 0.
(4) c(t) = 5 · δ(t), n(0) = 5.
(d) Qual o n´ıvel ma´ximo assumido pelo reservato´rio caso seja considerado:
c(t) =
50
36000
(
1(t)− 1(t− 36000)
)
n(0) = 0
Exerc´ıcio 4.4
As indu´strias automobil´ısticas utilizam prensas em diversas etapas do processo de fa-
bricac¸a˜o, visando ganhos de desempenho e qualidade. Uma prensa pode ser modelada,
simplificadamente, atrave´s da seguinte figura:
F (t) representa a forc¸a aplicada pela prensa e x(t) representa o quanto o material foi
prensado. Tal modelo resulta em uma func¸a˜o de transfereˆncia de segunda ordem:
H(s) =
X(s)
F (s)
=
202
1000000s2 + 400000s+ 4040000
Pede-se:
(a) A equac¸a˜o diferencial que rege o sistema.
15
(b) Os po´los e zeros da func¸a˜o de transfereˆncia.
(c) A resposta ao impulso unita´rio do sistema.
(d) O deslocamento x(t) quando e´ aplicada uma forc¸a de de 5000 N.
(e) O deslocamento x(t) quando
F (t) =
1
a
(
1(t+ 0.5a)− 1(t− 0.5a)
)
(f) O que acontece no Item (c) quando a→ 0? Nessas condic¸o˜es, qual e´ o x(t) resultante?
Refereˆncia: A figura do Exerc´ıcio 4.4 foi retirada de [10]
Exerc´ıcio 4.5
No projeto de sistemas de controle, e´ importante que se fac¸a um modelo suficientemente
fiel do sistema em estudo, de forma que o controlador a ser projetado desempenhe sua
func¸a˜o corretamente. Na disciplina de Laborato´rio de Controle, e´ utilizado um motor
ele´trico acoplado a diversos eixos, que resultam em duas sa´ıdas: velocidade angular e
posic¸a˜o angular. Seja u(t) a tensa˜o aplicada ao motor, yv(t) a velocidade angular e yp(t)
a posic¸a˜o angular. As seguintes func¸o˜es de transfereˆncia sa˜o obtidas a partir de um
modelamento do motor:
Hv(s) =
Yv(s)
U(s)
=
45
0.25s+ 1
Ha(s) =
Ya(s)
U(s)
=
5
s(0.25s+ 1)
Pede-se
(a) A equac¸a˜o diferencial que rege a relac¸a˜o entre u(t) e yv(t).
(b) As respostas ao impulso unita´rio hv(t) e ha(t).
(c) A resposta ao degrau para ambas as sa´ıdas.
(d) A constante de tempo do motor. Dica: a constante de tempo e´ o instante de tempo no
qual o motor atinge e−1 do valor final de yv(t) quando e´ aplicada um degrau unita´rio
na entrada do sistema.
(e) Quanto tempo o motor demora para atingir 98% do valor final quando u(t) = 5 ·1(t)?
Dica: -ln(1-0.98) ≈ 4
(f) Qual a func¸a˜o de transfereˆncia de yv(t) para ya(t)? Esboce a resposta impulsiva.
(g) Uma vez que a velocidade angular e a posic¸a˜o angular sa˜o obtidas em eixos diferentes,
determine a relac¸a˜o r entre as velocidades angulares nos dois eixos.
16
Exerc´ıcio 4.6
Na explorac¸a˜o de petro´leo e outros recursos minerais, costuma-se utilizar um modelo
em camadas para a Terra. Para caracterizar o modelo e revelar caracter´ısticas locais, e´
utilizado o me´todo da reflexa˜o sismolo´gica, que consiste em:
• Uma fonte de energia s´ısmica (por exemplo: explosivos).
• Propagac¸a˜o do sinal s´ısmico da fonte pelas diversas camadas.
• Reflexa˜o das ondas s´ısmicas nas camadas que dividem um tipo de material e outro.
• Gravac¸a˜o dos sinais que retornam a` superf´ıcie.
O modelo pode ser visualizado atrave´s da seguinte imagem:
Em uma certa regia˜o de Sa˜o Paulo foi verificado que, para um sinal emitido u(t),
recebe-se um sinal
y(t) = 0.8 · u(t− 0.2) + 0.5 · u(t− 1) + 0.4 · u(t− 1.5) + 0.1 · u(t− 2)
Pede-se:
17
(a) A resposta ao impulso unita´rio do sistema S cuja entrada seja u(t) e a sa´ıda y(t).
(b) A resposta em frequeˆncia do sistema S.
(c) A resposta do sistema S quando u(t) = sin(10pit) ·
(
1(t)− 1(t− 0.2)
)
.
(d) A resposta do sistema S quando u(t) =
(
1(t)− 1(t− 0.1)
)
∗
(
1(t)− 1(t− 0.1)
)
.
(e) A resposta em regime permanente senoidal do sistema S quando u(t) = sin(10pit).
(f) Determine quantas camadas a regia˜o possui e qual a distaˆncia de cada camada ate´ a
superf´ıcie, supondo que a velocidade de propagac¸a˜o do sinal s´ısmico seja de 150 m/s.
Suponha que o modelo de uma regia˜o com camadas igualmente espac¸adas seja dado por:
h(t) = αδ
(
t− 2d
v
)
+ α2δ
(
t− 2 · 2d
v
)
+ α3δ
(
t− 3 · 2d
v
)
+ · · · =
N∑
k=1
αkδ
(
t− k2d
v
)
no qual α e´ uma constante (|α| < 1), d representa a distaˆncia entre camadas e v a
velocidade de propagac¸a˜o. Pede-se:
(g) A func¸a˜o de transfereˆncia H(s) na forma fechada. Dica:
M∑
l=L
βl = β
L−βM+1
1−β
(h) A func¸a˜o de transfereˆncia para N →∞.
(i) A resposta em frequeˆncia do sistema para N →∞.
(j) Um esboc¸o da resposta do sistema para N →∞, α = 0.5, d = 30m, v = 150m/s e
u(t) =
(
1(t)− 1(t− 0.1)
)
∗
(
1(t)− 1(t− 0.1)
)
Refereˆncia: A figura do Exerc´ıcio 4.6 foi retirada de [11]
18
Refereˆncias
[1] H.P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995.
[2] Exerc´ıcio proposto no curso “Signals and Systems”do MIT
http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-003-
signals-and-systems-fall-2011
(Visitado em: 19/01/2014).
[3] Exerc´ıcio proposto no curso “Fourier transform and its applications”de Stanford
http://see.stanford.edu/materials/lsoftaee261/PS-1-2007.pdf
(Visitado em: 19/01/2014).
[4] Exerc´ıcio proposto na prova P1 de PTC2307 em 2012
[5] C.T. Chen, Syst. and Signal Analysis, Sounders, 1989.
[6] Allan V. Oppenheim, Sinais e Sistemas, Prentice Hall Brasil, 2ed, 2010.
[7] B.P. Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, 2a Ed., Bookman, 2007.
[8] Steiglitz, K., A Digital Signal Processing Primer, Prentice Hall, 1996.
[9] Phillips, C., Parr, J. and Riskin, A., Signals, Systems, and Transforms Prentice Hall,
2004.
[10] Rao, Singiresu, Vibrac¸o˜es Mecaˆnicas, 4a. Ed, Pearson Prentice Hall, 2008.
[11] Haykin, Simon, Adaptive Filter Theory, 3a. Ed, Prentice Hall, 1996
19
PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 2A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Respostas
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
Parte I: Convoluc¸a˜o
Exerc´ıcio 1.1
Figuras esta˜o na pro´xima pa´gina.
Exerc´ıcio 1.2
(a) y(t) = �2a ·
✓
1� | t2a |
◆
· ⇥1(t+ 2a)� 1(t� 2a)⇤
(b) y(t) =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
0 t < 0
t2
2 0  t < T
T 2
2 T  t < 2T
� t22 + 2Tt� 32T 2 2T  t  3T
0 t > 3T
(c) y(t) = 13

1� exp�3(t�1)
�
1(t� 1)
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Plot de u(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.5
00.5
1
1.5
2
2.5
Plot de h(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Plot de y(t)
Figura 1: Exerc´ıcio 1.1(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Plot de u(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Plot de h(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Plot de y(t)
Figura 2: Exerc´ıcio 1.1(b)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Plot de u(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Plot de h(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−2
−1
0
1
2
Plot de y(t)
Figura 3: Exerc´ıcio 1.1(c)13
Exerc´ıcio 1.3
(1) b(t) ⇤ b(t)
(2) a(t) ⇤ b(t) ou b(t) ⇤ a(t)
(3) X e X
(4) a(t) ⇤ a(t)
(5) a(t) ⇤ c(t) ou c(t) ⇤ a(t)
(6) X e X
Parte II: Resposta de um sistema ao impulso unita´rio
Exerc´ıcio 2.1
(a) g(t) = g1(t) ⇤ g2(t) = 1↵�1e�t1(t) + 11�↵e�↵t1(t)
(b) g(t) = g1(t) ⇤ g2(t) = 12t2e�t1(t)
Exerc´ıcio 2.2
y(t) = B · h(t+ 1) + C · h(t� 3)
Exerc´ıcio 2.3
y(t) = s(t� 1)� s(t� 3)
Exerc´ıcio 2.4
(a) A frase e´ falsa, pois o sistema e´ causal.
(b) y2(t) = �2y1(t), y(t) = y2(t+ 10) e y(t) = �2y1(t+ 10)
(c) O sinal y(t) esta´ no gra´fico dispon´ıvel na pro´xima pa´gina.
Exerc´ıcio 2.5
H(s) = H1(s)�
⇣
H2(s)
⌘2
= 1s+2 �
�
1
s+3
�2
Exerc´ıcio 2.6
As figuras esta˜o dispon´ıveis na pro´xima pa´gina.
2
−10 −9.5 −9 −8.5 −8 −7.5 −7 −6.5 −6
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Plot de y(t)
Figura 4: Exerc´ıcio 2.4(a)
14
Figura 5: Exerc´ıcio 2.6(a)
Figura 6: Exerc´ıcio 2.6(b)
Figura 7: Exerc´ıcio 2.6(c)
15
Parte III: Func¸a˜o de transfereˆncia
Exerc´ıcio 3.1
(a) H(s) =
1
s2 + 2s+ 5
Os po´los sa˜o: p1 = �1 + 2j e p2 = �1� 2j
(b) H(s) =
2
s2 + 7s+ 10
Os po´los sa˜o: p1 = �2 e p2 = �5
(c) Na˜o e´ um SLIT.
(d) H(s) =
5s+ 1
s3 + 7s2 + 12s+ 8
Os po´los sa˜o: p1 = �4.8751, p2 = �1.06244� 0.71569j e p3 = �1.06244+ 0.71569j
(e) y(t) = 14e
�t
✓
1� cos(2t)
◆
1(t)
(f) y(t) =
✓
1
5 � 110e�t
⇥
sin(2t) + 2 cos(2t)
⇤◆
1(t)
(g) h(t) = 23e
�2t1(t)� 23e�5t1(t)
(h) y(t) =
✓
1
5 + 2e
�2t � 65e�5t
◆
1(t)
Exerc´ıcio 3.2
(a) h(t) = e�t1(t)
(b)
...
y (t) + 3y¨(t) + 4y˙(t) + 2y(t) = u˙(t) + 2u(t)
(c) e�t e�t cos(t)
(d) y(t) = 0.3146 · sin(2⇡t� 3.3611)
Exerc´ıcio 3.3
(1) !m =
q
1
2
(2) !m = 1
(3) !m =
p
2
3
Exerc´ıcio 3.4
(a) y(t) = �12 + 2 · sin(100t� 30�)
(b) y(t) = u(t)
(c) y(t) = �12 · cos(400t+ 90�)
(d) y(t) = 0
Exerc´ıcio 3.5
Ambos os sistemas teˆm o mesmo ⇣ e o mesmo !n.
y(t) = 1.56 · sin(2000⇡t� 2.9764)
Exerc´ıcio 3.6
(a) ⇣1 = 1.15, !n1 = 10 e ganho DC do sistema G1DC = 0.13
⇣2 = 0.25, !n2 = 4 e ganho DC do sistema G2DC = 0.8125
h1(t) = 0.13 · 8.8045
⇣
e�5.821t � e�17.179t
⌘
· 1(t)
h2(t) = 0.8125 · 4.1314 · e�t · sin(3.8727t) · 1(t)
(b) m1 =
1
13 kg, k1 =
100
13 N/m e �1 =
23
13 N/m.s
m2 =
1
13 kg, k2 =
16
13 N/m e �2 =
2
13 N/m.s
(c) O sistema 1 e´ o melhor, pois tem o valor de ⇣ mais elevado.
(d) y(t) =
����3+3j7+j6 ��� · 170 · cos⇣3t+ ⇡6 + arg⇣�3+3j7+j6 ⌘⌘
Exerc´ıcio 3.7
(a) Esta´vel.
(b) Esta´vel.
(c) Insta´vel.
(e) Para K > 2.
(f) Para �1 < K < 94 .
Exerc´ıcio 3.8
(a) H(s) =
1
s2 + 4
h(t) = 12 sin(2t)1(t)
(b) H(j!) =
1
4� !2
4
(c) Pu =
1
2
Py =
1
2
· 1
4� !2
(d) Py sera´ ma´ximo quando ! ! 2. !r1 = 2.
(e) H(s) =
1
s2 + 2s+ 4
h(t) =
p
3
3 e
�t sin(
p
3t)1(t)
(f) H(j!) =
1
(4� !2) + 2j!
(g) Ambos sa˜o sistemas de segunda ordem. A resposta ao impulso do sistema S1 e´
puramente oscilato´ria, ao passo que a do sistema S2 apresenta um amortecimento.
(h) y(t) =
1p
(4� !2)2 + 4!2 sin(!t+ �) Py =
1
2
· 1
(4� !2)2 + 4!2
(i) !r2 =
p
2.
Exerc´ıcio 4.1
(a) h(t) = 110e
�0.1t sin(10t)1(t)
(b) y(t) = 10h(t)
(c) t ' 30.12 s
Exerc´ıcio 4.2
(a) H(s) =
Cs
LCs2 +RCs+ 1
H(j!) =
jC!
(1� LC!2) + jRC!
(b) !r =
1p
LC
(d) O gra´fico esta´ na pro´xima pa´gina.
Exerc´ıcio 4.3
a) Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados e considerando as condic¸o˜es
iniciais nulas
N(s) + 2 · 106sN(s) = 4000C(s)
(1 + 2 · 106s)N(s) = 4000C(s)
Desta forma
H(s) =
4000
1 + 2 · 106s =
4000
2 · 106
1
(s+ 12·106 )
b) Utilizando a tabela de pares transformados
h(t) =
4000
2 · 106 e
( �t
2·106 )1(t)
5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Plot da amplitude de i(t) em funcao de w − | I(w) |
w
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−1000
−500
0
500
1000
1500
Plot da derivada de |I(w)| em relacao a C em funcao de w
w
Figura 8: Exerc´ıcio 4.2(d)
16
c) 1) A transformada do degrau unita´rio e´
1
s
. Utilizando a propriedade de que a con-
voluc¸a˜o no domı´nio do tempo e´ equivalente a` multiplicac¸a˜o no outro domı´nio,
temos
N1(s) = H(s)C(s) =
4000
2 · 106 (
1
1
2·106 + s
)(
1
s
) =
4000
2 · 106 (
�2 · 106
s+ 12·106
+
2 · 106
s
) =
N1(s) = 4000(
1
s
� 1
s+ 12·106
)
Utilizando a tabela de pares transformados
n1(t) = (4000� 4000e( �t2·106 ))1(t)
2) Utilizando o item anterior
n2(t) = n1(t� 2)� n1(t� 10)
3) Utilizando o item anterior
n3(t) = n1(t� 7)� 0.5n1(t� 15)� 0.5n1(t� 23)
4) Neste item podemos resolver o problema atrave´s da transformada de Laplace (e
posterior inversa˜o) considerando as condic¸o˜es iniciais.
n4(t) + 2 · 106dn4(t)
dt
= 4000c(t) = 4000 · 5�(t)
Tomando a transformada de Laplace
N4(s) + 2 · 106(sN4(s)� n4(0)) = 4000 · 5
(1 + 2 · 106s)N4(s)� 2 · 106 · 5 = 20000
N4(s) =
107 + 20000
2 · 106
1
1
2·106 + s
= 5.01
1
1
2·106 + s
Utilizando a tabela de pares transformados
n4(t) = 5.01e
( �t
2·106 )1(t)
d) O n´ıvel do reservato´rio n(t) e´ dado pela convoluc¸a˜o entre c(t) e h(t). Nota-se que o
n´ıvel ma´ximo e´ atingido para t = 36000
max{n(t)} = n(36000) =
36000Z
0
50
36000
h(t)dt =
36000Z
0
50
36000
4000
2 · 106 e
( �t
2·106 )dt
max{n(t)} = 50
36000
4000
2 · 106
1
� 12·106
(e
�36000
2·106 � 1) = 50
9
(1� e(�18103 ))
6
Exerc´ıcio 4.4
a) Invertendo a func¸a˜o de transfereˆncia
1000000 ¨x(t) + 400000 ˙x(t) + 4040000x(t) = 202F (t)
b) Os polos sa˜o obtidos a partir do denominador da func¸a˜o de transfereˆncia.
1000000�2 + 400000�+ 4040000 = 0
�1 = �0.2 + j2
�2 = �0.2� j2
Polos: {�0.2 + j2,�0.2� j2}
Zeros: {?}
c) Podemos ”completar”o quadrado no denominador e encontrar a antitransformada a
partir dos pares transformados, ou utilizar a expansa˜o em frac¸o˜es parciais
H(s) =
202
106
1
s2 + 0.4s+ 4.04
=
202
106
1
s� (�0.2 + j2)
1
s� (�0.2� j2)
H(s) =
202
106
(
1
j4
s� (�0.2 + j2) +
1
�j4
s� (�0.2� j2))
H(s) =
202
106
1
2
1
j2
(
1
s� (�0.2 + j2) +
�1
s� (�0.2� j2))
Utilizando a tabela de pares transformados
h(t) =
202
106
1
2
1
j2
(e(�0.2+j2)t � e(�0.2�j2)t)1(t) = 202
106
1
2
e�0.2t
1
j2
(ej2t � e�j2t)1(t)
h(t) =
101
106
e�0.2t sin(2t)1(t)
d) A resposta e´ dada pela convoluc¸a˜o entre 50001(t) e h(t).
x(t) =
tZ
0
5000
101
106
e�0.2x sin(2x)dx1(t) = 0.505
tZ
0
e�0.2x sin(2x)dx1(t)
Tal integral pode ser encontrada em uma tabela de integrais, e assim
x(t) = (
5 · 101
1000
5
101
(10� e�0.2t(sin(2t) + 10 cos(2t))))1(t)
x(t) = (0.025(10� e�0.2t(sin(2t) + 10 cos(2t))))1(t)
e) A resposta ao degrau e´ obtida de forma ana´loga ao exerc´ıcio anterior, e e´ dada por
xd(t) = (0.000005(10� e�0.2t(sin(2t) + 10 cos(2t))))1(t)
E assim a resposta ao F(t) dado e´
x(t) =
1
a
(xd(t+ 0.5a)� xd(t� 0.5a))f) Quando a! 0, pela definic¸a˜o de �(t), F (t)! �(t). Desta forma x(t)! h(t).
7
Exerc´ıcio 4.5
a) Invertendo a func¸a˜o de transfereˆncia
45u(t) = 0.25 ˙yv(t) + yv(t)
b) Antitransformando as func¸o˜es de transfereˆncia utilizando a tabela
Hv(s) =
45
0.25
1
s+ 4
$ hv(t) = 180e�4t1(t)
Ha(s) = 20
1
s(s+ 4)
= 20(
1
4
s
�
1
4
s+ 4
)$ ha(t) = 5(1� e�4t)1(t)
c)
ydv(t) =
tZ
0
180e�4xdx1(t) = 45(1� e�4t)1(t)
yda(t) =
tZ
0
5(1� e�4x)dx = (5t+ 5
4
(1� e�4t))1(t)
d) O valor final de ydv(t) e´ 45. e�1 e´ atingido para t = 14 = 0.25s. A constante de tempo
e´ T = 0.25s.
e) A resposta a u(t) e´ dada por yv(t) = 225(1� e�4t)1(t)
225(1� e�4t) = 225 · 0.98
1� e�4t = 0.98
1� 0.98 = e�4t
ln(1� 0.98) = �4t
�4 = �4t
t = 1s
O motor demora 1s para atingir 98% da velocidade final.
f) Basta dividir as func¸o˜es de transfereˆncia
Hav(s) =
Ha(s)
Hv(s)
=
1
9s
hav(t) =
1
9
1(t)
8
g) Uma vez que a posic¸a˜o angular se trata da integral da velocidade angular, no eixo da
posic¸a˜o angular temos
Hv2(s) = Ha(s) · s
Para obter a relac¸a˜o entre as velocidades, basta dividir esta func¸a˜o de transfereˆncia
pela primeira
r =
Hv2(s)
Hv(s)
=
1
9
Exerc´ıcio 4.6
a)
h(t) = 0.8�(t� 0.2) + 0.5�(t� 1) + 0.4�(t� 1.5) + 0.1�(t� 2)
b)
H(j!) = 0.8e�j!0.2 + 0.5e�j!1 + 0.4e�j!1.5 + 0.1e�j!2
c) Os gra´ficos de u(t) e y(t) sa˜o os seguintes
9
d) Os gra´ficos de u(t) e y(t) sa˜o os seguintes
10
e) A resposta em frequeˆncia em ! = 10⇡ e´
H(j10⇡) = 0.8e�j10⇡·0.2 + 0.5e�j10⇡·1 + 0.4e�j10⇡·1.5 + 0.1e�j10⇡·2
H(j10⇡) = 0.8e�j2⇡ + 0.5e�j10⇡ + 0.4e�j15⇡ + 0.1e�j20⇡
H(j10⇡) = 0.8 + 0.5� 0.4 + 0.1 = 1
Desta forma o sistema S na˜o modifica nem a fase e nem o mo´dulo da func¸a˜o de entrada
em regime permanente.
yp(t) = sin(10⇡t)
f) Considerando que o sinal propagada e reflete em um certo ponto, temos a seguinte
tabela
Camada Tempo de propagac¸a˜o (2d/v) [s] Distaˆncia [m]
1 0.2 15
2 1 75
3 1.5 112.5
4 2 150
g)
H(s) =
NX
k=1
↵ke�sk
2d
v =
NX
k=1
(↵ · e�s 2dv )k
Utilizando a fo´rmula fornecida
H(s) =
↵ · e�s 2dv � (↵ · e�s 2dv )N+1
1� ↵ · e�s 2dv
h) Para N !1 temos que (↵ · e�s 2dv )N+1 ! 0. Desta forma
H(s) =
↵ · e�s 2dv
1� ↵ · e�s 2dv
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i) Basta substituir s = j! (note que o denominador na˜o possui polos pois |↵| < 1).
H(j!) =
↵ · e�j! 2dv
1� ↵ · e�j! 2dv
j) Um esboc¸o de u(t) e das 5 primeiras reflexo˜es que aparecem em y(t) e´ dado por
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