Sistemas e Sinais - Poli - Lista 1A (Exercícios Conceituais)

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PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 1A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
A presente lista e´ dividida em quatro partes: (1) Sistemas, (2) Sinais e (3) Revisa˜o
matema´tica. O aluno que na˜o se sentir seguro com a manipulac¸a˜o das ferramentas
matema´ticas do curso e´ recomendado a comec¸ar a resoluc¸a˜o da lista pela parte (3).
Observac¸a˜o: O sinal 1(t) representa o degrau unita´rio e δ(t) o delta de Dirac.
Parte I: Classificac¸a˜o e propriedades de sistemas
Exerc´ıcio 1.1
Dados os sistemas definidos pelas relac¸o˜es entrada-sa´ıda indicadas, determine quais dentre
eles teˆm memo´ria, quais sa˜o na˜o-causais e quais sa˜o na˜o lineares. O sinal y(t) representa
a sa´ıda e o sinal u(t) representa a entrada dos sistemas:
(a) y(t) = 5u(t)
(b) y(t) = sin(u(t))
(c) y(t) = sin(u(t)) + sin(u(t− 1))
(d) y(t) = sin(u(t)) + sin(u(t+ 1))
(e) y(t) = sin(t)u(t)
(f) y(t) = sin(t)u(t− 1)
(g) y(t) = u(sin(t))
Refereˆncia: Exerc´ıcio 1.1 adaptado de [5]
1
Exerc´ıcio 1.2
No cap´ıtulo 1 da apostila de PTC2307, diversas propriedades de sistemas foram apresen-
tadas. De modo particular, um sistema pode ou na˜o ser:
• Sem memo´ria
• Invariante no tempo
• Linear
• Causal
• Esta´vel
Determine quais dessas propriedades sa˜o va´lidas e quais na˜o sa˜o para cada um dos sis-
temas de tempo cont´ınuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t)
representa a sa´ıda do sistema, e u(t) e´ a entrada do sistema.
(a) y(t) = u(t− 2) + u(2− t)
(b) y(t) = [cos(3t)]u(t)
(c) y(t) =
∫ 2t
−∞ u(τ)dτ
(d) y(t) =
{
0, t < 0
u(t) + u(t− 2), t ≥ 0
(e) y(t) =
{
0, u(t) < 0
u(t) + u(t− 2), u(t) ≥ 0
(f) y(t) = u(t/3)
(g) y(t) = u(t) + b
Refereˆncia: Exerc´ıcio 1.2 retirado de [6]
Exerc´ıcio 1.3
Deseja-se verificar as propriedades de linearidade e invariaˆncia no tempo de um dado
sistema S, a partir de treˆs relac¸o˜es entrada-sa´ıda. Para tanto, os seguintes resultados
ba´sicos envolvendo o delta de Dirac sera˜o u´teis:
• Amostragem no instante zero: Seja f(·) uma func¸a˜o qualquer. E´ poss´ıvel
utilizar o delta de Dirac δ(t) para obter o valor de f(t) em t = 0.∫ +∞
−∞
f(t)δ(t)dt = f(0)
• Amostragem em qualquer instante ∆: Generalizando o resultado do item
anterior, temos: ∫ +∞
−∞
f(t)δ(t−∆)dt = f(∆)
2
• Decomposic¸a˜o de uma func¸a˜o f(t): A partir do resultado anterior, pode-se
decompor uma func¸a˜o f(t) da seguinte forma:
f(t) =
∫ +∞
−∞
f(τ)δ(t− τ)dτ
Suponha que seja poss´ıvel gerar fisicamente a func¸a˜o delta de Dirac, δ(t), e que ela possa
ser usada como entrada do sistema S considerado. Verifica-se que, para uma entrada
u1(t) = δ(t), o sistema S fornece como sa´ıda
y1(t) = T (u1(t)) = T (δ(t)) = h(t)
sendo h(t) uma func¸a˜o associada ao sistema S.
Ja´ para uma entrada u2(t) = δ(t−∆), o sistema S fornece como sa´ıda:
y2(t) = T (u2(t)) = T (δ(t−∆)) = h(t−∆)
para qualquer valor de ∆.
Verifica-se tambe´m que, para uma entrada u3(t) = a1u1(t) + a2u2(t), o sistema S tem
como sa´ıda o sinal:
y3(t) = a1y1(t) + a2y2(t)
(a) Diante das informac¸o˜es dadas no enunciado, o que se pode dizer sobre as propriedades
de linearidade e invariaˆncia no tempo do sistema S? Justifique sua resposta.
(b) Suponha que tive´ssemos y2(t) 6= h(t −∆). Voceˆ mudaria sua resposta ao item (a)?
Justifique.
(c) Usando as informac¸o˜es dadas no enunciado, e considerando as condic¸o˜es do item (a),
demonstre a seguinte relac¸a˜o entrada-sa´ıda
y(t) =
∫ +∞
−∞
u(τ)h(t− τ)dτ
Explicite as condic¸o˜es que devem ser impostas ao sistema para chegar nesta expressa˜o.
Dica: Lembre-se que, em sistemas lineares invariantes no tempo, temos: y(t) =
T (u(t)) e h(t− τ) = T (δ(t− τ))
3
Parte II: Manipulac¸a˜o de sinais
Exerc´ıcio 2.1
Um sinal de tempo cont´ınuo x(t) e´ mostrado na Figura 1. Esboce e coloque a escala
cuidadosamente para cada um dos seguintes sinais:
(a) x(t− 1)
(b) x(2− t)
(c) x(2t+ 1)
(d) x(4− t/2)
(e) [x(t) + x(−t)] · 1(t)
(f) x(t) · [δ(t+ 3/2)− δ(t− 3/2)]
Figura 1: Sinal x(t)
Exerc´ıcio 2.2
Um sinal de tempo cont´ınuo x(t) e´ mostrado na Figura 2. Esboce, com detalhes, cada
um dos seguintes sinais:
(a) x(t) · 1(1− t)
(b) x(t) · [1(t)− 1(t− 1)]
(c) x(t) · δ(t− 3/2)
4
Figura 2: Sinal x(t)
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.2 retirado de [1]
Exerc´ıcio 2.3
Seja x(t) o sinal representado na Figura 3. Consideraremos que o sinal x(t) e´ zero para
todos os valores de t fora do intervalo (−2, 2).
Figura 3: Sinal x(t)
(a) O gra´fico da Figura 4 representa y1(t), que e´ um sinal obtido a partir de trans-
formac¸o˜es do sinal x(t). Determine a expressa˜o de y1(t) em termos de x(·).
5
Figura 4: Sinal y1(t)
(b) O gra´fico da figura 5 representa y2(t), que e´ um sinal obtido a partir de transformac¸o˜es
do sinal x(t). Determine a expressa˜o de y2(t) em termos de x(·).
Figura 5: Sinal y2(t)
(c) Seja y3(t) = x(2t+ 3). Determine todos os valores de t para os quais y3(t) = 1.
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.3 retirado de [2]
Exerc´ıcio 2.4
O sinal triangular com paraˆmetro a > 0 e´ definida da seguinte maneira:
Λa(t) = Λ(t/a) =
{
1− 1
a
|t|, |t| ≤ a
0, |t| > a
Seu gra´fico e´ como o da Figura 6. O paraˆmetro a especifica a largura do sinal triangular,
que vale 2a. Visto de outro modo, a determina as inclinac¸o˜es de cada um dos lados
6
do sinal: o lado esquerdo tem uma inclinac¸a˜o dada por 1/a e o lado direito tem uma
inclinac¸a˜o dada por −1/a.
Figura 6: Gra´fico do sinal Λa(t)
Podemos modificar o sinal mudando sua altura e deslocando-o horizontalmente, for-
mando enta˜o bΛa(t − c). As inclinac¸o˜es dos lados da nova func¸a˜o passam a ser enta˜o
±b/a, como visto na figura 7.
Figura 7: Gra´fico do sinal bΛa(t− c)
Expresse cada um dos sinais abaixo na forma de uma combinac¸a˜o linear de dois
sinais triangulares: b1Λa1(t− c1) + b2Λa2(t− c2). Pense na decomposic¸a˜o como sendo um
“triaˆngulo-esquerdo”somado a um “triaˆngulo-direito”.
• Item (a)
Figura 8: Sinal x1(t)
7
• Item (b)
Figura 9: Sinal x2(t)
• Item (c)
Figura 10: Sinal x3(t)
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.4 retirado de [3]
Exerc´ıcio 2.5
Determine se cada um dos seguintes sinais e´ perio´dico ou na˜o. Se o sinal for perio´dico,
determine seu per´ıodo fundamental (No item (f), as constantes p e q sa˜o nu´meros racio-
nais, que podem ser escritas nas formas p = m/r e q = n/s, em que m, r, n, s sa˜o nu´meros
inteiros):
(a) x(t) = cos(t+ pi/4)
(b) x(t) = cos(pi
3
t) + sin(pi
4
t)
(c) x(t) = cos(t) + sin(
√
2t)
(d) x(t) = sin2(t)
(e) x(t) = 2 cos(10t+ 1)− sin(4t− 1)
(f) y(t) = sin(2pipt) + sin(2piqt)
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.5 retirado de [1]
Exerc´ıcio 2.6
Um conceito bastante importante do curso de Sistemas e Sinais e´ o conceito de sinais de
energia e sinais de poteˆncia. Neste exerc´ıcio estudaremos algumas de suas implicac¸o˜es.
Seja x(t) um sinal de tempo cont´ınuo qualquer. Definimos a energia do sinal como sendo:
Ex =
∫ +∞
−∞
|x(τ)|2dτ
8
Se Ex <∞, x(t) e´ um sinal de energia.
Pode-se, tambe´m, definir a poteˆncia de um sinal x(t) como sendo:
Px = lim
τ→∞
1
2τ
∫ +τ
−τ
|x(t)|2dt
Se Px <∞, x(t) e´ um sinal de poteˆncia.
Note que podem existir sinais que na˜o sa˜o nem de poteˆncia nem de energia.
Dadas as definic¸o˜es iniciais, pede-se que o aluno responda a` seguintes questo˜es:
(a) Seja x(t) um sinal de poteˆncia com periodicidade T .
Mostre que a poteˆncia Px pode ser calculada pela integral
Px =
1
T
∫ T/2
−T/2
|x(t)|2dt
(b) Seja x(t) = e−λt · 1(t), em que λ = a+ j9 e a ∈ R.
Para cada valor poss´ıveldo paraˆmetro a, determine se o sinal e´ de energia, poteˆncia
ou nenhum dos dois. Caso seja de energia, deˆ o valor de Ex. Se for de poteˆncia, deˆ
o valor de Px.
(c) Seja x(t) = t · 1(t)
Determine se o sinal e´ de energia, poteˆncia ou nenhum dos dois. Caso seja de energia,
deˆ o valor de Ex. Se for de poteˆncia, deˆ o valor de Px.
Exerc´ıcio 2.7
O sinal analo´gico s(t) = 10 cos(100t + 30◦) − 5 sin(220t − 50◦) necessita ser processado
digitalmente e foi amostrado com uma frequeˆncia de 1kHz. Pede-se
(a) O sinal analo´gico e´ perio´dico? Em caso afirmativo, qual e´ a sua frequeˆncia funda-
mental?
(b) Qual e´ a expressa˜o anal´ıtica do sinal amostrado s[k]?
(c) Fornecer a energia e/ou poteˆncia do sinal s(t).
(d) Expresse s(t) em termos de exponenciais complexas.
Observac¸a˜o: Um sinal de tempo discreto x[k] e´ definido para valores de k ∈ Z. Para
cada valor de k, o valor de x[k] corresponde ao valor do sinal de tempo cont´ınuo
x(t) no instante t = kT , em que T e´ o per´ıodo de amostragem. Ou seja, temos que:
x[k] = x(kT ), k ∈ Z.
Refereˆncia: Exerc´ıcio 2.7 retirado de [4]
9
Exerc´ıcio 2.8
Em alguns cursos, particularmente no ao longo do curso de Sistemas e Sinais, reconhecer
a existeˆncia de algum tipo de simetria na forma de onda de um sinal pode simplificar a
sua ana´lise e um eventual processamento do mesmo.
Dentre os va´rios tipos de simetria que um sinal x(t) pode ter, podemos destacar:
• Simetria par: o sinal x(t) e´ tal que x(t) = x(−t)
• Simetria impar: o sinal x(t) e´ tal que x(t) = −x(−t)
Por exemplo, conhecer tais simetrias pode ser u´til quando e´ necessa´rio calcular uma
integral envolvendo um sinal x(t). A raza˜o para isso vem do fato de podermos contar
com treˆs resultados fundamentais, que pedimos que o aluno demonstre.
(a) Mostre que, para um sinal x(t) com simetria par, temos∫ +∞
−∞
x(τ)dτ = 2 ·
∫ +∞
0
x(τ)dτ
(b) Mostre que, para um sinal x(t) com simetria impar, temos∫ +∞
−∞
x(τ)dτ = 0
(c) Com qualquer sinal x(t) (dotado de algum tipo de simetria ou na˜o) e´ poss´ıvel construir
outro sinal y(t) com simetria par ou impar. Mostre que:
ypar(t) =
x(t) + x(−t)
2
yimpar(t) =
x(t)− x(−t)
2
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Parte III: Revisa˜o matema´tica
Estara˜o dispon´ıveis no Moodle da disciplina alguns materiais de revisa˜o de nu´meros
complexos, em especial a manipulac¸a˜o de exponenciais complexas e sua relac¸a˜o com
func¸o˜es senoidais. Os exerc´ıcios a seguir partem do pressuposto de que o aluno ja´ domina
de forma satisfato´ria os conceitos mencionados.
Exerc´ıcio 3.1
Calcule as partes real e imagina´ria do nu´mero complexo (1 + j)100
Exerc´ıcio 3.2
Mostre que as relac¸o˜es
|zp| = |z|p
|zw| = |z| · |w|
Valem para quaisquer complexos z e w e qualquer inteiro p. Use estes resultados para
calcular o mo´dulo e a fase do nu´mero complexo∣∣∣∣∣ 1(3 + j4)(6 + j8)
∣∣∣∣∣
Refereˆncia: Exerc´ıcio 3.1 retirado de [8]
Exerc´ıcio 3.3
Expresse a parte real dos sinais a seguir na forma Ae−at cos(ωt + φ), sendo A, a, ω e φ
nu´meros reais com A > 0 e −pi < φ ≤ pi:
(a) x1(t) = −2
(b) x2(t) =
√
2ejpi/4 cos(3t+ 2pi)
(c) x3(t) = e
−t sin(3t+ pi)
(d) x4(t) = je
(−2+j100)t
Refereˆncia: Exerc´ıcio 3.3 retirado de [6]
Exerc´ıcio 3.4
Calcule as seguintes integrais (δ(t) e´ a func¸a˜o delta de Dirac):
(a)
∫ +1
−1 (3t
2 + 1)δ(t)dt
(b)
∫ 2
1
(3t2 + 1)δ(t)dt
(c)
∫ +∞
−∞ [t
2 + cos(pit)]δ(t− 1)dt
(d)
∫ +∞
−∞ exp(−t)δ(2t− 2)dt
Refereˆncia: Exerc´ıcio 3.4 retirado de [1]
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Exerc´ıcio 3.5
Durante a o curso de Sistemas e Sinais I, alguns resultados ba´sicos da soma de se´ries
geome´tricas sera˜o u´teis. Por isso, o exerc´ıcio a seguir visa habituar o aluno com alguns
resultados importantes:
(a) Se w e´ um nu´mero real ou complexo, w 6= 1, e p e q sa˜o quaisquer inteiros, mostre
que:
q∑
n=p
wn =
wp − wq+1
1− w
(E´ evidente que, para w = 1, a soma
q∑
n=p
1 = q + 1− p)
(b) Deˆ o valor da soma
N−1∑
n=0
e2pijn/N
Explique o resultado de forma geome´trica (lembre-se que a soma de nu´meros com-
plexos pode ser vista como sendo uma soma de vetores, em que cada vetor z e´ dado
por z = a+ bj).
(c) Deduza a fo´rmula
N∑
k=−N
ejωkt =
sin(ω(N + 1/2)t)
sin(ωt/2)
Dica: note que multiplicar uma frac¸a˜o por uma exponencial complexa em cima e
embaixo na˜o muda a expressa˜o obtida.
Refereˆncia: Exerc´ıcio 3.5 retirado de [3]
Exerc´ıcio 3.6
Calcule as seguintes integrais, deixando o resultado em func¸a˜o de ω e k, sendo ω um
nu´mero real e k um nu´mero inteiro. Diga o que acontece com o resultado obtido para os
casos em que k e´ impar ou par:
(a) ∫ +pi/ω
−pi/ω
exp(−jkωt)dt
(b) ∫ +pi/ω
−pi/ω
t exp(−jkωt)dt
(c) ∫ +pi/ω
−pi/ω
t2 exp(−jkωt)dt
As integrais que voceˆ calculou neste exerc´ıcio sera˜o u´teis para a demonstrac¸a˜o de va´rios
resultados envolvendo se´ries de Fourier e transformadas de Fourier.
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Exerc´ıcio 3.7
Determinar a transformada de Laplace inversa das expresso˜es abaixo:
(a)
7s− 6
s2 − s− 6
(b)
4
s2 + 9
(c)
5
s(s2 + 4)
(d)
10
(s+ 2)3
(e)
s+ 3 + 5e−2s
(s+ 1)(s+ 2)
Refereˆncia: Exerc´ıcio 3.7 adaptado de [7]
Refereˆncias
[1] H.P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995.
[2] Exerc´ıcio proposto no curso “Signals and Systems”do MIT
http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-003-
signals-and-systems-fall-2011
(Visitado em: 19/01/2014).
[3] Exerc´ıcio proposto no curso “Fourier transform and its applications”de Stanford
http://see.stanford.edu/materials/lsoftaee261/PS-1-2007.pdf
(Visitado em: 19/01/2014).
[4] Parte de um exerc´ıcio proposto na P1 de PTC2307 em 2000.
[5] C.T. Chen, Syst. and Signal Analysis, Sounders, 1989.
[6] Allan V. Oppenheim, Sinais e Sistemas, Prentice Hall Brasil, 2ed, 2010.
[7] B.P. Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, 2a Ed., Bookman, 2007.
[8] Steiglitz, K. A Digital Signal Processing Primer, Prentice Hall, 1996.
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PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 1A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Respostas
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
Parte I: Classificac¸a˜o de sistemas
Exerc´ıcio 1.1
(a) Sem memo´ria, causal, linear.
(b) Sem memo´ria, causal, na˜o-linear.
(c) Com memo´ria, causal, na˜o-linear.
(d) Com memo´ria, na˜o-causal, na˜o-linear.
(e) Sem memo´ria, causal, linear.
(f) Com memo´ria, causal, linear.
(g) Com memo´ria, na˜o-causal, linear.
Exerc´ıcio 1.2
Apenas as propriedades va´lidas de cada sistema esta˜o listadas. Sem memo´ria, invariante
no tempo, linear, causal, esta´vel.
(a) Com memo´ria, Variante no tempo, Linear, Na˜o-causal, Esta´vel.
(b) Sem memo´ria, Variante no tempo, Linear, Causal, Esta´vel.
(c) Com memo´ria, Variante no tempo, Linear, Na˜o-causal, Na˜o-esta´vel.
(d) Com memo´ria, Variante no tempo, Linear, Causal, Esta´vel.
(e) Com memo´ria, Invariante no tempo, Na˜o-linear, Causal, Esta´vel.
(f) Com memo´ria, Variante no tempo, Linear, Na˜o-causal, Esta´vel.
(g) Sem memo´ria, Invariante no tempo, Na˜o-Linear, Causal, Esta´vel.
1
Exerc´ıcio 1.3
(a) O sistema e´ linear e invariante no tempo.
(b) Sim, pois o sistema deixa de ser invariante no tempo.
Parte II: Manipulac¸a˜o de sinais
Exerc´ıcio 2.1
Exerc´ıcio 2.2
Exerc´ıcio 2.3
(a) y1(t) = x(2t+ 2)
(b) y2(t) = x(1− t)
(c) −3
2
≤ t < −1
2
Exerc´ıcio 2.4
(a) Λ2(t) + Λ2(t− 2)
(b) 2Λ2(t) + 2Λ2(t− 3)
(c) 6Λ2(t− 3) + 3Λ2(t− 5)
Exerc´ıcio 2.5
(a) Perio´dico. T = 2pi
(b) Perio´dico. T = 24
(c) Na˜o perio´dico.
(d) Perio´dico. T = pi
(e) Perio´dico. T = pi
(f) Perio´dico. T = mmc(r,s)
mdc(m,n)Exerc´ıcio 2.6
(a) Se a > 0: O sinal e´ de energia com Ex =
1
2
. Ale´m disso, o sinal tem poteˆncia Px = 0.
Se a < 0: O sinal na˜o e´ de energia. O sinal tambe´m na˜o e´ de poteˆncia.
Se a = 0: O sinal na˜o e´ de energia mas e´ de poteˆncia, com Px =
1
2
.
(b) O sinal na˜o e´ nem de energia nem de poteˆncia.
2
Exerc´ıcio 2.7
(a) T = 18
(b) s[k] = 10 cos
(
1
10
k + 30◦
)− 5 sin (11
50
k − 50◦)
(c) s(t) e´ um sinal de poteˆncia, com poteˆncia Ps = 62.5
(d) s(t) = 10
2
[exp (α(t)j) + exp (−α(t)j)]− 5
2j
[exp (β(t)j)− exp (−β(t)j)]
tal que: α(t) = 100t+ pi
6
e β(t) = 220t− 5pi
18
Exerc´ıcio 2.8
Parte III: Revisa˜o matema´tica
Exerc´ıcio 3.1
Somente parte real, igual a −250
Exerc´ıcio 3.2
Mo´dulo igual a 0.02 e fase −106.26◦
Exerc´ıcio 3.3
(a) Re {x1(t)} = −2 = 2e0t cos(0t+ pi)
(b) Re {x2(t)} =
√
2 cos
(
pi
4
)
cos(3t+ 2pi) = cos(3t) = e0t cos(3t+ 0)
(c) Re {x3(t)} = e−t sin (3t+ pi) = e−t cos
(
3t+ pi
2
)
(d) Re {x4(t)} = −e−2t sin(100t) = e−2t sin(100t+ pi) = e−2t cos(100t+ pi2 )
Exerc´ıcio 3.4
(a) 1
(b) 0
(c) 0
(d) 1
2
e
Exerc´ıcio 3.6
(a) 0 ∀k, ω
(b) 2jpi
kω2
cos(kpi)
(c) 4pi
k2ω3
cos(kpi)
3
Exerc´ıcio 3.7
(a) (4e−2t + 3e3t) 1(t)
(b) 4
3
sin(3t)1(t)
(c) 5
4
(1− cos(2t))1(t)
(d) 5 exp(−2t)t21(t)
(e) (2e−t − e−2t) 1(t) + 5 (e−(t−2) − e−2(t−2))1(t− 2)
4