Sistemas e Sinais - Poli - Lista 3A - Exercícios Conceituais

Prévia do material em texto

PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 3A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
Observac¸a˜o: O sinal 1(t) representa o degrau unita´rio e δ(t) o delta de Dirac.
Exerc´ıcio 1
Determine a forma exponencial complexa da se´rie de Fourier para cada um dos seguintes
sinais:
(a) s1(t) = cos(ω0t)
(b) s2(t) = cos(ω0t+
pi
4
)
(c) s3(t) = − cos(ω0t)
(d) s4(t) = cos
2(ω0t)
Exerc´ıcio 2
O objetivo deste exerc´ıcio e´ representar um sinal perio´dico em suas diversas representac¸o˜es
via se´rie de Fourier. Considere os sinais
• s1(t) = 5 cos(5t+ 30◦) + 5 cos(10t+ 60◦) + 5 cos(15t+ 90◦)
• s2(t) = 2 + 3 cos(2t) + 4 sin(2t) + 2 sin(3t+ 30◦)− cos(7t+ 150◦)
(a) Determine os per´ıodos dos sinais s1(t) e s2(t).
(b) Determine os coeficientes da expansa˜o em se´rie de Fourier de s1(t)
1
(1) Na forma trigonome´trica retangular.
(2) Na forma trigonome´trica polar.
(3) Esboce o espectro em mo´dulo e fase.
(c) Refac¸a o item anterior para o sinal s2(t).
Exerc´ıcio 3
Considere a onda perio´dica x(t) representada abaixo, em que A e T sa˜o constantes reais
maiores do que zero:
−2T −T −T
4
T
4
T 2T
A
2
A
t
x(t)
(a) Para o sinal x(t), determine a expansa˜o em se´rie de Fourier
• na forma exponencial complexa
• na forma trigonome´trica polar
(b) Seja s(t) = x(t− T
4
). Repita o item (a) para s(t) (use apenas as propriedades da se´rie
de Fourier e aproveite os resultados para x(t), na˜o e´ preciso calcular tudo novamente).
(c) Esboce o espectro em mo´dulo e fase para x(t) e s(t). Compare os resultados obtidos.
(d) Seja v(t) = 2x(t− T
4
)− A. Esboce os espectros de mo´dulo e fase de v(t).
(e) Compare os espectros de x(t), s(t) e v(t). Justifique as eventuais semelhanc¸as e
diferenc¸as, relacionando os sinais no domı´nio no tempo.
Exerc´ıcio 4
Neste exerc´ıcio voceˆ vai explorar as relac¸o˜es existentes entre a taxa de trabalho d
T
de uma
onda retangular e o espectro de raias da se´rie de Fourier associada a ela. Considere o
seguinte sinal:
2
−T d T 2T
A
2
A
t
x(t)
Pede-se:
(a) Para d
T
= 0.25, calcule os coeficientes |ck| da decomposic¸a˜o em se´rie de Fourier de
x(t). Esboce o mo´dulo e a fase do espectro de raias obtido.
(b) Repita o item (a) para d
T
= 0.125.
(c) Repita o item (a) para d
T
= 0.5.
(d) Compare os espectros obtidos nos itens (a), (b) e (c). Quais semelhanc¸as e diferenc¸as
voceˆ observa? Relacione os efeitos do espectro com os sinais no domı´nio no tempo.
(e) Para cada uma das situac¸o˜es dos itens anteriores, esboce um gra´fico para a seguinte
func¸a˜o:
P (N) =
N∑
k=−N
|ck|2
em que |ck| sa˜o os coeficientes da decomposic¸a˜o em se´rie de Fourier do sinal x(t) com
um determinado valor de taxa de trabalho. Calcule, tambe´m, a poteˆncia do sinal
x(t) em cada uma destas situac¸o˜es. Que semelhanc¸as e diferenc¸as voceˆ observa para
cada caso de taxa de trabalho?
Exerc´ıcio 5
(a) Sabendo que um sinal x(t) tem as seguintes propriedades:
• E´ um sinal real, sem n´ıvel DC e com simetria par;
• E´ perio´dico com per´ıodo T0 = 4;
• Na representac¸a˜o em exponenciais complexas possui coeficiente ck = 0 para
|k| > 1;
• 1
4
∫
T0
|x(t)|2dt = 13;
Determine o sinal x(t).
(b) A componente fundamental da ana´lise de Fourier de uma certa onda quadrada, sem
componente cont´ınua, e´
10
pi
cos(pit)
Desenha a onda quadrada.
3
(c) Um sinal retangular de frequeˆncia 1 kHz excursiona entre n´ıveis de +6 e -2 volts,
ficando mais tempo no n´ıvel baixo. Determine:
(1) A taxa de trabalho deste sinal para que sua componente cont´ınua seja nula;
(2) Os coeficientes Ak e as defasagens θk de sua expansa˜o em se´rie de Fourier, na
forma trigonome´trica polar, ate´ o primeiro zero do espectro, sabendo-se que para
t = 0 o sinal passa de -2V para +6V.
(d) Uma func¸a˜o e´ definida no intervalo (0, 2) por
s(t) =
{
2− 2t 0 ≤ t ≤ 1
0 1 ≤ t < 2
(1) Complete a definic¸a˜o desta func¸a˜o de modo que ela seja func¸a˜o par e perio´dica,
com per´ıodo 4.
(2) Determine as componentes da decomposic¸a˜o em se´rie de Fourier desta onda.
Exerc´ıcio 6
Este exerc´ıcio tem o objetivo de fazer o aluno explorar formas de aproveitar noc¸o˜es de
simetria par e impar para facilitar o ca´lculo de coeficientes da se´rie de Fourier de um sinal
perio´dico.
(a) Verifique que os coeficientes da expansa˜o em se´rie de Fourier, na forma trigonome´trica
retangular, de uma func¸a˜o f(t), definida no intervalo (−T0
2
,+T0
2
), calculam-se por:
a0 =
1
T0
+
T0
2∫
−T0
2
f(t)dt
ak =
2
T0
+
T0
2∫
−T0
2
f(t) cos(kω0t)dt ω0 =
2pi
T0
k > 0
bk =
2
T0
+
T0
2∫
−T0
2
f(t) sin(kω0t)dt ω0 =
2pi
T0
k > 0
(b) Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier trigonome´trica retangular da func¸a˜o:
s1(t) =
2A
T0
t − T0
2
≤ t ≤ +T0
2
A = constante
Fac¸a um gra´fico de s1(t) e use sua simetria para facilitar os ca´lculos da se´rie de
Fourier.
4
Observac¸a˜o: Lembre-se que∫
x sin(ax)dx =
1
a2
sin(ax)− x
a
cos(ax)
(c) Considere agora a func¸a˜o s3(t) = s1(t) + s2(t), em que
s2(t) =
 −A −
T0
2
≤ t ≤ 0
+A 0 ≤ t ≤ T0
2
Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier de s3(t).
Exerc´ıcio 7
Neste exerc´ıcio voceˆ vai calcular a decomposic¸a˜o em se´rie de Fourier de treˆs tipos de
sinais perio´dicos diferentes. Em seguida, estes sinais sera˜o usados como entrada em um
sistema passa-baixa. Voceˆ devera´ ser capaz de dizer qual sera´ a sa´ıda yi(t) para cada um
dos sinais ui(t) utilizados.
Comece considerando a onda triangular perio´dica u1(t) apresentada abaixo:
−2T0 −T0 −T0
2
T0
2
T0 2T0
A
t
u1(t)
(a) Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier na forma exponencial complexa de u1(t).
(b) Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier na forma trigonome´trica polar de u1(t).
Observac¸a˜o: Note que a derivada do sinal u1(t) e´ uma onda cuja decomposic¸a˜o em se´rie
de Fourier voceˆ ja´ conhece.
Considere agora o sinal u2(t) da figura abaixo:
5
−2T0 −T0 T0 2T0
A
t
u2(t)
(c) Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier na forma exponencial complexa de u2(t).
(d) Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier na forma trigonome´trica polar de u2(t).
Por fim, considere o sinal u3(t) da figura abaixo:
−2T0 −T0 T0 2T0
A
e−t
t
u3(t)
(e) Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier na forma exponencial complexa de u3(t).
(f) Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier na forma trigonome´trica polar de u3(t).
(g) Considere agora um sistema cuja relac¸a˜o entrada-sa´ıda pode ser descrita pela equac¸a˜o
diferencial:
y˙(t) + y(t) = u(t)
determine as sa´ıdas yi(t) quando colocamos ui(t) na entrada para i = 1, 2, 3.
6
Exerc´ıcio 8
Seja um sinal x(t) com mo´dulo e fase do espectro da se´rie de Fourier conforme repre-
sentado na figura abaixo. Os valores dos coeficientes ck na˜o representados na figura sa˜o
iguais a zero. O per´ıodo do sinal e´ T0 = 80pi ms.
-4 -2 +2 +4
10
20
k
|ck|
-4 -2 +2 +4
k
fase de ck
(a) Por inspec¸a˜o da figura, determine a expressa˜o do sinal x(t)
(b) Considere que o sinal x(t) e´ aplicado ao sistema
Hb(jω) =
{
30e−jω 40 < |ω| < 120 rad/s
0 para demais valores de ω
Determine a expressa˜o do sinal de sa´ıda v(t).
(c) Considere que o sinal x(t) e´ aplicado ao sistema
Hc(jω) =
{
30e−j(ω+
pi
4
) 40 < |ω| < 120 rad/s
0 para demais valores de ω
Determine a expressa˜o do sinal de sa´ıda y(t).
7
(d) Compare a entrada x(t) com a sa´ıda v(t) do sistema Hb(jω). Houve algumtipo
de distorc¸a˜o de fase ou distorc¸a˜o de amplitude (frequeˆncia) no sinal de entrada?
Justifique adequadamente sua resposta.
(e) Compare a entrada x(t) com a sa´ıda y(t) do sistema Hc(jω). Houve algum tipo
de distorc¸a˜o de fase ou distorc¸a˜o de amplitude (frequeˆncia) no sinal de entrada?
Justifique adequadamente sua resposta.
Exerc´ıcio 9
Um instrumento de medic¸a˜o ideal foi utilizado para medir uma grandeza f´ısica cujo sinal
pode ser descrito por:
s(t) = 10 sin(5t− 45◦)− 2 cos(15t+ 45◦) + 3 sin(2t− 90◦)
Pede-se:
(a) O espectro do sinal medido, apresentando em gra´fico de mo´dulo e fase, com eixos
horizontais em k e ω.
(b) A leitura do instrumento de medic¸a˜o se for um volt´ımetro (medidor de tensa˜o) em
valor eficaz verdadeiro.
(c) A leitura de medic¸a˜o se for um watt´ımetro (medidor de poteˆncia).
(d) Como mudariam as respostas dos 3 itens se os intrumentos de medic¸a˜o tivessem uma
resposta em frequeˆncia de 0 a 4 rad/s. Justifique sua resposta.
Exerc´ıcio 10
Durante uma aula de laborato´rio foi apresentado o seguinte circuito ele´trico:
vi(t) vg(t)
Rg L
C R vo(t)
Este circuito tem func¸a˜o de transfereˆncia dada por (verifique!):
H(s) =
Vo(s)
Vi(s)
=
R
s2RLC + s(RRgC + L) + (Rg +R)
e a sua resposta em frequeˆncia e´
H(jω) =
Vo(s)
Vi(s)
=
R
(Rg +R− ω2RLC) + jω(RRgC + L)
8
Sa˜o dados os valores Rg = 50 Ω, R = 50 Ω, L = 1 mH e C = 1 µF. Para obter alguns
pontos da resposta em frequeˆncia, foi utilizada como entrada uma onda retangular com
per´ıodo T0 = 0.01 s, taxa de trabalho de 80 % e amplitude variando de 0 V ate´ 5 V.
(a) Fac¸a um esboc¸o de vi(t).
(b) Calcule os coeficientes da forma exponencial complexa da Se´rie de Fourier de vi(t) e
fac¸a um esboc¸o de seu espectro.
(c) Calcule os coeficientes da forma retangular da Se´rie de Fourier de vi(t).
(d) Fac¸a um esboc¸o da magnitude e da fase da resposta em frequeˆncia do circuito.
(e) Qual e´ a atenuac¸a˜o em dB que a componente DC sofre ao passar pelo circuito?
(f) Determine os coeficientes na forma exponencial complexa da Se´rie de Fourier de vo(t).
(g) No caso de vo(t) os harmoˆnicos que possuem frequeˆncia superior a ω = 20000pi
rad/s teˆm amplitude desconsidera´vel em relac¸a˜o a`s outras componentes. Calcule a
amplitude do harmoˆnico de ω = 20000pi rad/s na forma polar.
Exerc´ıcio 11
Neste exerc´ıcio voceˆ vai explorar os efeitos que a na˜o-linearidade de um sistema tem no
espectro de raias de um sinal perio´dico.
(a) Considere um sistema cuja relac¸a˜o de entrada-sa´ıda e´ descrita pela equac¸a˜o:
y(t) = u(t) + αu2(t)
Seja a entrada do sistema um sinal u(t) = A cos(ω0t). Determine a distorc¸a˜o harmoˆnica
total na sa´ıda y(t) em func¸a˜o de α.
(b) Nas aulas de eletroˆnica ba´sica voceˆ aprendeu a analisar um circuito composto por um
gerador de tensa˜o senoidal em se´rie com um diodo ideal e um resistor. Considere que
temos um sistema cuja entrada e´ u(t) e a sa´ıda e´ y(t). Para um sinal u(t) = sin(t),
determine a expansa˜o em se´rie de Fourier do sinal y(t), definido como sendo a tensa˜o
sobre o resistor, conforme a figura abaixo. Calcule tambe´m a distorc¸a˜o harmoˆnica.
u(t) 1Ω y(t)
9
Exerc´ıcio 12
O sistema representado na figura abaixo e´ composto pela associac¸a˜o em se´rie de um
SLIT filtro passa-baixas ideal (FPB), com ganho unita´rio, defasagem nula para todas
frequeˆncias e frequeˆncia de corte 3000pi rad/s, e um sistema na˜o-linear (SNL) instantaˆneo,
cujo gra´fico de amplitudes de entrada e sa´ıda esta´ mostrado no gra´fico abaixo (ha´ des-
continuidade na origem).
FPB SNL
u(t) q(t) y(t)
+1
-1
Vin
Vout
Supondo:
u(t) = sin(2000pit− pi
4
) + sin(4000pit− pi
8
)
(a) Esboce o espectro de raias em mo´dulo e fase de q(t), marcando valores importantes
na abscissa e na ordenada.
(b) Esboce o espectro de raias em mo´dulo e fase de y(t), marcando valores importantes
na abscissa e na ordenada.
(c) Mostre, obrigatoriamente mediante a aplicac¸a˜o da entrada u(t) = sin(2000pit − pi
4
)
a ambos os sistemas, e com base em matema´tica, que um novo sistema, trocando a
ordem dos blocos, i.e., primeiro o SNL e depois o filtro passa-baixas ideal, e´ diferente
do original (isto e´, as sa´ıdas dos sistemas y(t) e z(t) sa˜o diferentes para um mesmo
sinal aplicado a` entrada).
Exerc´ıcio 13
Considere o seguinte sinal perio´dico de tempo cont´ınuo:
u(t) = 5 ·
+∞∑
n=−∞
δ(t− 3n)
Supondo que o sinal u(t) e´ a entrada de um SLIT com resposta ao impulso h(t), pede-se:
10
(a) Calcule os coeficientes da se´rie de Fourier de u(t) na forma exponencial complexa.
(b) Esboce o mo´dulo e a fase da resposta em frequeˆncia H1(jω) do SLIT que deve ser
utilizado para que na sa´ıda tenhamos:
y1(t) = sin(2pit)
(c) Determine a expressa˜o matema´tica da resposta ao impulso h2(t) do SLIT que deve
ser utilizado para que na sa´ıda tenhamos:
y2(t) = 5 ·
[ −1∑
n=−∞
δ(t− 3n) +
+∞∑
n=+1
δ(t− 3n)
]
Exerc´ıcio 14
Um sistema de comunicac¸a˜o de voz linear e invariante no tempo possui uma curva de
resposta em frequeˆncia equivalente a um filtro passa-faixa ideal, com ganho K diferente
de zero na faixa plana de 800 as 12000 Hz. Um locutor utilizando este sistema de
comunicac¸a˜o de voz emite um sinal de fala que pode ser descrito por:
s(t) = 6 sin(800pit+ 30◦) +
(
2
j
)
ej(16000pit−
pi
4
) − 8 cos(20000pit− 60◦) + (2j)ej pi4 e−j16000pit
Considerando todas estas informac¸o˜es, pede-se:
(a) Demonstrar que o sinal de fala pode ser escrito como sendo:
s(t) = 6 sin(800pit+ 30◦) + 4 sin(16000pit− pi
4
)− 8 cos(20000pit− 60◦)
(b) Desenhar os gra´ficos de mo´dulo e fase do espectro do sinal de fala s(t).
(c) Escrever uma expressa˜o anal´ıtica para o sinal de sa´ıda y(t) do sistema de comunicac¸a˜o
de voz.
(d) Determinar os poss´ıveis valores de K para que o sinal de sa´ıda y(t) do sistema de
comunicac¸a˜o de voz possua um valor ma´ximo de poteˆncia igual a 3600, possibilitando
a utilizac¸a˜o de caixas acu´sticas com alto falantes possuindo tal especificac¸a˜o.
(e) Um te´cnico calculou o que ele considerou ser a distorc¸a˜o harmoˆnica total DT (%) do
sistema de comunicac¸a˜o de voz. Avaliar conceitualmente se o valor nume´rico obtido
pelo te´cnico tem algum significado u´til ou relevante.
(f) Repetir o item (c) considerando que o sistema de comunicac¸a˜o de voz tenha um atraso
entre o sinal de entrada e o sinal de sa´ıda de 0.5 s.
11
PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 3A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Respostas
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
Exerc´ıcio 1
a) s1(t) = cos(ω0t) =
1
2
e−jωot + 1
2
ejωot
⇒ c−1 = 12 , c1 = 12
b) s2(t) = cos(ω0t+
pi
4
) = 1
2
e−j(ωot+
pi
4
) + 1
2
ej(ωot+
pi
4
)
⇒ c−1 = 12e−j
pi
4 , c1 =
1
2
ej
pi
4
c) s3(t) = − cos(ω0t)
⇒ c−1 = −12 , c1 = −12
d) s4(t) = cos
2(ω0t) =
1+cos(2ω0t)
2
= 1
4
e−j2ωot + 1
2
+ 1
4
ej2ωot
⇒ c−2 = 14 , c0 = 12 , c2 = 14
Exerc´ıcio 2
a) s1(t): ω0 = mdc(5, 10, 15) = 5
⇒ T0 = 2piω0 = 2pi5
s2(t): ω0 = mdc(2, 3, 7) = 1
⇒ T0 = 2piω0 = 2pi
b) 1) s1(t) = 5 cos(5t) cos(30
◦)−5 sin(5t) sin(30◦)+5 cos(10t) cos(60◦)−5 sin(10t) sin(60◦)+
5 cos(15t) cos(90◦)−5 sin(15t) sin(90◦) = 5
√
3
2
cos(5t)−5
2
sin(5t)+5
2
cos(10t)−5
√
3
2
sin(10t)−
5 sin(15t)
⇒ a1 = 5
√
3
2
, b1 =
−5
2
, a2 =
5
2
, b2 =
−5√3
2
, b3 = −5
2) s1(t) esta´ na forma polar. Utilizando as relac¸o˜es da apostila temos
c−3 = 52e
−j90◦ , c−2 = 52e
−j60◦ , c1 = 52e
−j30◦ , c1 = 52e
j30◦ , c2 =
5
2
ej60
◦
, c3 =
5
2
ej90
◦
1
3)
−5 −4−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
k
|c k
|
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−150
−100
−50
0
50
100
150
k
∠
 
c k
 
(gr
au
s)
c) 1) s2(t) = 2 + 3 cos(2t) + 4 sin(2t) + 2 sin(3t+ 30
◦)− cos(7t+ 150◦) = 2 + 3 cos(2t) +
4 sin(2t)+2 sin(30◦) cos(3t)+2 cos(30◦) sin(3t)−cos(150◦) cos(7t)+sin(150◦) sin(7t) =
2 + 3 cos(2t) + 4 sin(2t) + cos(3t) +
√
3 sin(3t) +
√
3
2
cos(7t) + 1
2
sin(7t)
⇒ a0 = 2, a2 = 3, b2 = 4, a3 = 1, b3 =
√
3, a7 =
√
3
2
, b7 =
1
2
2) c−7 = 12e
j30◦ , c−3 = ej60
◦
, c−2 = 52e
j tan−1( 4
3
), c0 = 2, c2 =
5
2
e−j tan
−1( 4
3
), c3 = e
−j60◦ ,
c7 =
1
2
e−j30
◦
3)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
k
|c k
|
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−150
−100
−50
0
50
100
150
k
∠
 
c k
 
(gr
au
s)
2
Exerc´ıcio 3
a)
ck =
1
T
T/2∫
−T/2
x(t)e−j
2pi
T
ktdt =
1
T
T/4∫
−T/4
A · e−j 2piT ktdt = A
T
· e
−j 2pi
T
k T
4 − ej 2piT k T4
−j 2pi
T
k
=
A
2
· sin(pi
k
2
)
pi k
2
ck =
A
2
sinc(
k
2
)
x(t) e´ par ⇒ bk = 0. Desta forma
a0 =
1
T
T/2∫
−T/2
x(t)dt =
A
2
ak =
2
T
T/2∫
−T/2
x(t) cos(
2pi
T
kt)dt =
2
T
T/4∫
−T/4
A cos(
2pi
T
kt)dt =
2A
T
· sin(
2pi
T
k T
4
)− sin(2pi
T
k−T
4
)
2pi
T
k
ak =
2A
T
2sin(pi k
2
)
2pi
T
k
= A
sin(pi k
2
)
pi k
2
= A · sinc(k
2
)
b)
c¯k = ck · e−j 2piT k T4 = ck · e−jpi k2
c) O espectro de x(t) para A = 1 e´
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
k
|c k
|
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
∠
 
c k
 
(ra
dia
no
s)
3
O espectro de s(t) para A = 1 e´
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
k
|c k
|
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
∠
 
c k
 
(ra
dia
no
s)
A magnitude de ck e c¯k e´ a mesma, enquanto que a fase difere como consequeˆncia de
uma propriedade da Se´rie de Fourier: um deslocamento no tempo causa mudanc¸as de
fase no espectro.
d) cˆ0 = 2c¯0 − A = 0
cˆk = 2c¯k, k 6= 0
O espectro para A = 1 e´
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k
|c k
|
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
∠
 
c k
 
(ra
dia
no
s)
e) Semelhanc¸as: a magnitude dos treˆs espectros segue um aspecto de sinc(k/2), e assim
so´ existem harmoˆnicos ı´mpares. x(t) e s(t) possuem a mesma magnitude. v(t) possui
harmoˆnicos com a mesma fase que os harmoˆnicos de s(t).
4
Diferenc¸as: a fase dos harmoˆnicos de x(t) e s(t) difere. v(t) na˜o possui a componente
cont´ınua e seus harmoˆnicos possuem o dobro da amplitude dos harmoˆnicos de x(t) e
s(t).
Exerc´ıcio 4
ck =
1
T
T∫
0
x(t)e−j
2pi
T
ktdt =
1
T
d∫
0
Ae−j
2pi
T
ktdt =
A
T
e−j
2pi
T
kt
−j 2pi
T
k
∣∣∣∣d
0
=
A
T
· e
−j 2pi
T
kd − 1
−j 2pi
T
k
ck =
Ae−j
2pi
T
k d
2
T
· e
−j 2pi
T
k d
2 − ej 2piT k d2
−j 2pi
T
k
=
Ae−j
2pi
T
k d
2
T
· −j2 sin(
2pi
T
k d
2
)
−j 2pi
T
k
=
Ae−j
2pi
T
k d
2
T
· d
2
· 2 sin(
2pi
T
k d
2
)
2pi
T
k d
2
ck = e
−jpik d
T · A · d
T
sinc(
d
T
k)
a) ck = e
−j0.25pik · 0.25 · A · sinc(0.25k)
O espectro para A = 1 e´
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
k
|c k
|
d/T = 0.25
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
∠
 
c k
 
(ra
dia
no
s)
b) ck = e
−j0.125pik · 0.125 · A · sinc(0.125k) O espectro para A = 1 e´
5
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
k
|c k
|
d/T = 0.125
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
∠
 
c k
 
(ra
dia
no
s)
c) ck = e
−j0.5pik · 0.5 · A · sinc(0.5k) O espectro para A = 1 e´
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
k
|c k
|
d/T = 0.5
−15 −10 −5 0 5 10 15
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
∠
 
c k
 
(ra
dia
no
s)
d) Os espectros de todos os sinais possuem como envolto´ria um sinc, entretanto cada um
deles a uma ”velocidade”diferente. Quanto menor o valor de d/T , mais largo o lo´bulo
principal e assim as componentes de frequeˆncia maior sa˜o mais relevantes. Nota-se
tambe´m que a amplitude da componente cont´ınua (e aquelas de frequeˆncia menor)
diminui com a diminuic¸a˜o de d/T . O comportamento esta´ de acordo com o esperado
uma vez que quando d/T se aproxima de 1, temos quase que uma constante de valor
A, e no caso inverso temos um pequeno pulso retangular, que por ser cada vez mais
ra´pido acaba tendo um espectro mais concentrado nas componentes de alta frequeˆncia.
e) Para A = 1 temos os seguintes gra´ficos de P(N)
6
0 5 10 15 20 25
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
N
P(
N)
d/T = 0.25
0 5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
N
P(
N)
d/T = 0.125
7
0 5 10 15 20 25
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
N
P(
N)
d/T = 0.5
A poteˆncia e´ dada por
Px = A
2 d
T
O valor de P(N) se aproxima da poteˆncia de x(t) quando N → ∞. Este resultado e´
conhecido como Teorema de Parseval.
Exerc´ıcio 5
a) Sem n´ıvel DC ⇒ c0 = 0
Simetria par e sinal real ⇒ ck real
ck = 0 para |k| > 1 ⇒ E´ necessa´rio determinar apenas c1 e c−1.
T0 = 4 e
1
4
∫
T0
|x(t)|2dt = Poteˆncia de x = 13⇒ |c−1|2+|c1|2 = 2c21 = 13⇒ c1 = ±
√
13
2
Tomamos c1 = c−1 =
√
13
2
.
x(t) =
√
13
2
e−j
2pi
4
t +
√
13
2
ej
2pi
4
t =
√
13 · 2 cos(2pi
4
t)
b) Para uma onda quadrada que oscila entre 0 e A com simetria par temos
Ak = Asinc(k/2)
A1 = A
sin(pi
2
)
pi
2
=
2A
pi
c1 =
10
pi
⇒ A = 5
8
Tambe´m da componente fundamental temos que pi = 2pi
T
⇒ T = 2. Uma vez que
a onda quadrada em questa˜o na˜o possui componente cont´ınua, basta subtrair A
2
do
desenho. Desta forma temos
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−3
−2
−1
0
1
2
3
t
x(t
)
c) O problema equivale a uma onda retangular que excursiona entre 0 e +8 volts subtra´ıdo
de sua componente cont´ınua. Para que a componente cont´ınua seja nula temos
1
T
(d · 6 + (T − d) · (−2)) = 8 · d− 2 · T
T
= 8
d
T
− 2 = 0
⇒ d
T
=
2
8
=
1
4
Os coeficientes para |k| > 0 valem
ck = e
−jpik d
T ·A · d
T
· sinc( d
T
k) = e−jpik0.25 ·8 ·0.25 · sinc(0.25k) = e−j0.25pik ·2 · sinc(0.25k)
Transformando para a forma polar, ate´ o primeiro nulo do espectro (em k = 4)
Ak = 4sinc(0.25k)
θk = −0.25pik
d)
s(t) =

0 −2 ≤ t ≤ −1
2 + 2t −1 ≤ t ≤ 0
2− 2t 0 ≤ t ≤ 1
0 1 ≤ t ≤ 2
9
A componente cont´ınua de s(t) vale 0.5. A derivada de s(t) e´ ˙s(t).
˙s(t) =

0 −2 ≤ t ≤ −1
2 −1 ≤ t ≤ 0
−2 0 ≤ t ≤ 1
0 1 ≤ t ≤ 2
Vamos utilizar a propriedade da derivada. ˙s(t) consiste da soma de dois sinais retan-
gulares com amplitudes distintas, cada um com com d
T
= 1
4
. Utilizando a se´rie para
sinais retangulares obtemos
c¯k = e
jpik 1
4 · 2 · 1
4
· sinc(k
4
) + e−jpik
1
4 · (−2) · 1
4
· sinc(k
4
) =
1
2
sinc(
k
4
)(ejpik
1
4 − e−jpik 14 )
c¯k = j · sinc(k
4
) · sin(pik
4
)
ck =
c¯k
j 2pi
4
k
=
j · sinc(k
4
) · sin(pi k
4
)
2jpi k
4
ck =
1
2
sinc2(
k
4
), |k| > 0
c0 = 0.5
Exerc´ıcio 6
b) Simetria impar ⇒ a0 = ak = 0
bk =
2
T0
T0
2∫
−T0
2
2A
T0
t sin(ω0kt)dt
bk = −4A · 12pik
cos(pik)
b) Primeiro determina-se a expansa˜o em se´rie de Fourier de s2(t). Pela simetria ı´mpar,
aˆk = 0.
bˆk =
2
T0
T0
2∫
−T0
2
s2(t)dt =
2
T0
· 2 ·
T0
2∫
0
A sin(ω0kt)dt = 4A · 1− cos(pik)
2pik
Desta forma
b¯k = bˆk + bk = 4A · ( 1
2pik
− 1
pik
cos(pik))
10
Exerc´ıcio 7
a) Da figura temos c0 =
A
2
. Derivando u1(t) obtemos uma onda quadrada que excursiona
entre −2A
T0
e 2A
T0
. Os coeficientes para k 6= 0 sa˜o dados por
c¯k =
2A
T0
sinc(k/2) · e−j0.5pik
Assim
ck =
c¯k
jω0k
=
A
jpik
sinc(k/2) · e−j0.5pik = A
pik
sinc(k/2) · e−j pi2 · e−j0.5pik, |k| > 0
c0 =
A
2
b) Basta utilizar as transformac¸o˜es dispon´ıveis na apostila.
A0 =
A
2
θ0 = 0
Ak = 2|ck|, k > 0
θk = ∠ck, k > 0
c) Da figura temos c0 =
A
2
. Derivando u2(t) obtemos uma constante somada de um trem
de impulsos.
˙u2(t) = −A
T0
+ A
+∞∑
n=−∞
δ(t− nT0) = −A
T0
+
A
T0
+∞∑
n=−∞
ejω0kt
˙u2(t) =
A
T0
−1∑
n=−∞
ejω0kt +
A
T0
+∞∑
n=1
ejω0kt
c¯k =
A
T0
, |k| > 0
ck =
c¯k
jω0k
=
A
j2pik
, |k| > 0
c0 =
A
2
d) Basta utilizar as transformac¸o˜es dispon´ıveis na apostila.
A0 =
A
2
θ0 = 0
Ak = 2|ck|, k > 0
θk = ∠ck, k > 0
11
e)
ck =
1
T0
T0∫
0
e−te−j
2pi
T
ktdt =
1
T0
· 1− e
−T0
jω0k + 1
=
1− e−T0
j2pik + T0
f) Basta utilizar as transformac¸o˜es dispon´ıveis na apostila.
A0 =
A
2
θ0 = 0
Ak = 2|ck|, k > 0
θk = ∠ck, k > 0
g) Aplicando a transformada de Laplace e encontrando a func¸a˜o de transfereˆncia
H(s) =
1
1 + s
A resposta em frequeˆncia vale
H(jω0k) =
1
1 + jω0k
=
1√
1 + ω20k
2
e−j tan
−1(ω0k)
Assim em todos os casos
c˘k = H(jω0k) · ck = 1
1 + jω0k
· ck
ou
|c˘k| = |H(jω0k)| · |ck| = 1√
1 + ω20k
2
· |ck|
∠c˘k = ∠ck − tan−1(ω0k)
Exerc´ıcio 8
a) x(t) = 10 + 10 cos(50t) + 10 cos(100t)
b) Somente o segundo e quarto harmoˆnicos passam (a componente cont´ınua na˜o).
v(t) = 300 cos(50t− 50) + 300 cos(100t− 100)
c) Somente o segundo e quarto harmoˆnicos passam (a componente cont´ınua na˜o).
v(t) = 300 cos(50t− 50− pi
4
) + 300 cos(100t− 100− pi
4
)
d) O aspecto da magnitude do espectro se manteve o mesmo, entretanto houve um ganho
de 30 vezes em relac¸a˜o a entrada. A fase sofreu distorc¸ao linear.
e) O aspecto da magnitude do espectro se manteve o mesmo, entretanto houve um ganho
de 30 vezes em relac¸a˜o a entrada. A fase sofreu distorc¸a˜o.
12
Exerc´ıcio 9
a)
s(t) = 10 sin(5t− 45◦)− 2 cos(15t+ 45◦) + 3 sin(2t− 90◦)
s(t) = 3 cos(2t− 180◦) + 10 cos(5t− 135◦) + 2 cos(15t− 135◦)
c−15 = ej135
◦
, c−5 = 5ej135
◦
, c−2 = 32e
j180◦ ,
c2 =
3
2
e−j180
◦
, c5 = 5e
−j135◦ , c15 = e−j135
◦
−15 −10 −5 0 5 10 15
0
1
2
3
4
5
k
|c k
|
−15 −10 −5 0 5 10 15
−150
−100
−50
0
50
100
150
k
∠
 
c k
 
(gr
au
s)
b) Vef =
√
9
2
+ 100
2
+ 4
2
=
√
113
2
c) P = 113
2
d) Somente o segundo harmoˆnico seria medido.
Vef =
√
9
2
P = 9
2
13
Exerc´ıcio 10
a)
−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
t
v i
(t)
b)
ck = 4sinc(0.8k)
c)
a0 = c0 = 4
ak = 8sinc(0.8k)
d)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ω [radianos]
|H(
jω)
|
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 105
−3
−2
−1
0
1
2
3
ω [radianos]
∠
 
H
(jω
) [r
ad
ian
os
]
14
e) A componente DC e´ atenuada para metade do valor original pois H(j0) = 0.5. Em
dB
A = −20log(0.5) = −3dB
f)
H(jω) =
50
(100− 5 · 10−8ω2) + j0.0035ω
H(jω0k) =
50
(100− 5 · 10−8(ω0k)2) + j0.0035(ω0k)
c¯k = H(jω0k) · ck = 4sinc(0.8k) · 50
(100− 5 · 10−8(ω0k)2) + j0.0035(ω0k)
c¯k =
200sinc(0.8k)
(100− 5 · 10−8(ω0k)2) + j0.0035(ω0k)
c¯k =
200sinc(0.8k)
(100− 5 · 10−8( 2pi
0.01
k)2) + j0.0035( 2pi
0.01
k)
g)
¯c100 =
200sinc(80)
(100− 5 · 10−8( 2pi
0.01
100)2) + j0.0035( 2pi
0.01
100)
¯c100 = 0
pois sinc(n) = 0, para n inteiro.
Como ¯c100 = 0, a amplitude do harmoˆnico e´ zero.
Exerc´ıcio 11
(a) DT = αA
2
(b) y(t) = 1
pi
+ 1
2
sin(t) +
∑∞
k=1
2
pi(1−4k2) cos(2kt)→ DT = 2
√
1
4
− 2
pi2
' 43, 52%
Exerc´ıcio 12
(a) O sinal q(t) e´ formado apenas pela seno´ide com frequeˆncia menor que a frequeˆncia de
corte. Ou seja, q(t) = sin(2000pit− pi
4
). O espectro de raias e´ simplesmente o espectro
desta seno´ide.
(b) O sinal y(t) e´ uma onda quadrada com frequeˆncia igual a` de q(t) e fase tambe´m igual.
Para k 6= 0, os coeficientes ck sa˜o
ck =
1
2
sin(kpi
2
)
kpi
2
e−jk
3pi
4
e c0 = 0.
15
Exerc´ıcio 13
(a) ck =
5
3
e ω0 =
2pi
3
(b) O filtro devera´ ser um filtro passa-faixa ideal, e devera´ deixa passar apenas as com-
ponentes da entrada com ωk = ±2pi rad/s, mas rejeitar todas as outras. Uma possi-
bilidade seria o filtro ter a seguinte resposta em frequeˆncia:
H(jω) =
3
5
para ω ∈ [+5pi
3
, +7pi
3
] ou ω ∈ [−7pi
3
, −5pi
3
]
H(jω) = 0 para todos os outros valores de ω
(c) A resposta y(t) e´ a entrada u(t) sem o n´ıvel DC. Assim sendo, h(t) deve ser um filtro
passa-altas que exclua somente o n´ıvel DC. A resposta impulsiva pode ser obtida por
um sistema passa-tudo com resposta impulsiva hpassa-tudo(t) = δ(t) subtraindo um
sistema passa-baixas que deixe passar somente o n´ıvel DC, ou seja, um sistema com
resposta impulsiva:
hpassa-baixa(t) =
W
pi
sinc
(
Wt
pi
)
com − 2pi
3
< W < +
2pi
3
Ou seja, h(t) = hpassa-tudo(t)− hpassa-baixa(t)
h(t) = δ(t)− W
pi
sinc
(
Wt
pi
)
Exerc´ıcio 14
(c) y(t) = 4K sin(16000pit− pi
4
)− 8K cos(20000pit− 60◦)
(d) A poteˆncia do sinal em func¸a˜o de K e´
P (K) =
16K2
2
+
64K2
2
= 40K2
Se quero uma poteˆncia menor do que 3600, enta˜o preciso que K < 3
√
10
(e) A conclusa˜o do te´cnico na˜o significado u´til relevante, pois na˜o houve gerac¸a˜o de
harmoˆnicos na sa´ıda do sistema, sa˜o apenas sinais senoidais.
(f) Para este valor exato de atraso, os resultados sera˜o exatamente iguais aos do item
(c), o que na˜o significa que ter´ıamos a mesma conclusa˜o em outros casos.
16