Sistemas e Sinais - Poli - Lista 2C - Exercícios Computacionais

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PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 2C de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Computacionais
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
A presente lista e´ dividida em duas partes. A primeira parte e´ uma continuac¸a˜o
da lista de exerc´ıcios 1C, envolvendo o experimento registrado em v´ıdeo do sistema de
massa-mola amortecido. Ja´ a segunda parte conte´m exerc´ıcios teo´ricos e computacionais
relativos ao sistema de teste de amortecedor, comentado no cap´ıtulo 2 da apostila.
Parte 1: O sistema massa-mola amortecido
No site da disciplina esta´ dispon´ıvel o v´ıdeo da segunda parte do experimento envolvendo o
sistema massa-mola-amortecedor. Neste ensaio, voceˆ vera´ o sistema mola-massa oscilando
em resposta a uma varredura de frequeˆncia, que se inicia em 0.1 Hz e termina em 10 Hz,
em um intervalo de tempo de 30s.
Na janela a` direita, o sinal superior se refere ao movimento vertical do emissor de
infra-vermelho, que esta´ na sa´ıda do shaker (sinal de entrada ao sistema). Este emissor
de infra-vermelho na˜o esta´ vis´ıvel no v´ıdeo (mas pode ser visto no v´ıdeo da parte 1 do
experimento).
O sinal inferior da janela a` direita mostra a oscilac¸a˜o da massa, percebendo-se que ha´
uma faixa de frequeˆncias em que a oscilac¸a˜o tem maior amplitude, caracterizando uma
ressonaˆncia.
Idealmente, o sinal de entrada deveria ser uma seno´ide perfeita, mas nota-se pelo
sinal do emissor que ha´ claras distorc¸o˜es, provavelmente devido ao tempo de varredura
curto demais, que interfere com a resposta dinaˆmica do shaker ao sinal senoidal de tensa˜o
aplicada a` entrada do amplificador de poteˆncia.
Este experimento de varredura da frequeˆncia da seno´ide de entrada (sweep ou chirp,
em ingleˆs) e´ semelhante ao que foi utilizado no exemplo da apostila para avaliar a qua-
lidade de um amortecedor de carro. A medic¸a˜o das amplitudes de oscilac¸a˜o da sa´ıda
(supondo entrada senoidal sem distorc¸a˜o) para cada frequeˆncia fornece o ganho da func¸a˜o
resposta em frequeˆncia, enquanto a medida da defasagem entre as seno´ides de entrada e
sa´ıda fornece a curva de defasagem do sistema.
Ale´m dos v´ıdeos dos ensaios experimentais: pulso de curta durac¸a˜o (parte 1) e var-
redura de frequeˆncia (parte 2), os exerc´ıcios propostos utilizara˜o dois arquivos de dados
referentes a`s medic¸o˜es feitas.
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RespImpulso: E´ um array com treˆs colunas, sendo a primeira relativa ao tempo
(frequeˆncia de amostragem de 200 Hz), a segunda relativa a` entrada e a terceira
relativa a´ sa´ıda. As unidades dos sinais de entrada e sa´ıda sa˜o arbitra´rias, pois na˜o
houve uma calibrac¸a˜o do sistema de imagens.
RespFrequencia: Uma das varia´veis e´ o vetor contendo as frequeˆncias do sinal de
entrada (valores de 1Hz a 10Hz, com intervalos de 1Hz). Os outros dois sa˜o arrays
com 19 colunas, sendo a primeira relativa ao tempo e as demais relativas aos sinais
de entrada (em senoEntrada) ou sa´ıda (em senoSaida).
Observac¸a˜o: Para carregar os arquivos “.mat”no MATLAB, basta arrastar o mesmo ate´
a regia˜o denominada workspace. E´ poss´ıvel tambe´m utilizar o comando load na janela de
comandos.
Exerc´ıcio 1
De posse dos dados em RespImpulso e RespFrequencia, pede-se
(a) Plotar a resposta do sistema massa-mola a um pulso breve (aproximac¸a˜o para a
resposta impulsiva do sistema).
(b) Plotar a func¸a˜o resposta em frequeˆncia, em mo´dulo e fase, a partir dos dados de
RespFrequencia nas 18 frequeˆncias que foram utilizadas no experimento.
(c) Utilizando os resultados teo´ricos explicados no cap´ıtulo 2 da apostila, obtenha as
func¸o˜es anal´ıticas para a resposta impulsiva e a resposta em frequeˆncia do sistema
massa-mola amortecedor. Compare os gra´ficos obtidos nos item (a) e (b) com os
gra´ficos das func¸o˜es te´oricas obtidas. Os paraˆmetros do sistema experimental sa˜o:
m=0.338 kg, k= 119.8 N/m e b= 0.028 N/m2.
Parte 2: O sistema de teste de amortecedor de carro
Nos exerc´ıcios a seguir, tomaremos como base o sistema de teste de amortecedor de carro
apresentado no cap´ıtulo 2 da disciplina de Sistemas e Sinais I. Os valores dos paraˆmetros
a serem considerados no modelo sa˜o: massa m= 20 kg, constante ela´stica da mola k=
10000 N/m, e treˆs situac¸o˜es diferentes para o valor da constante de amortecimento b: b1=
100 Ns/m, b2= 300 Ns/m e b3 = 600 Ns/m.
Exerc´ıcio 2.1
Monte o diagrama de simulac¸a˜o deste sistema, resolvendo a equac¸a˜o diferencial do modelo
de forma anal´ıtica e tambe´m nume´rica.
Exerc´ıcio 2.2
Simule o caso em que se tem um pulso breve na entrada. O sinal obtido correspondera´ a
uma aproximac¸a˜o da resposta impulsiva do sistema. Fac¸a o teste para os treˆs valores da
constante de amortecimento b.
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(a) Observando os treˆs sinais obtidos, escolha aquele que tiver o comportamento mais
oscilato´rio e estime a frequeˆncia natural ωn do sistema (supondo que
√
1− ζ2 ' 1).
Compare com o valor teo´rico, usando os paraˆmetros dados no enunciado.
(b) A partir das treˆs respostas ao impulso, qual amortecedor esta´ em melhores condic¸o˜es
para ser usado no carro? Justifique.
Exerc´ıcio 2.3
Simule agora o caso em que se tem um “chirp”na entrada, fazendo uma varredura lenta
de 0.5 Hz a 10 Hz, com durac¸a˜o de 30 segundos.
(a) Compare a sa´ıda dos treˆs sistemas (para cada um dos valores da constante de amor-
tecimento). E´ poss´ıvel dizer qual amortecedor esta´ em melhores condic¸o˜es de uso?
(b) Verifique se o valor do ganho a 0.5 Hz representa bem o valor que se obteria a uma
frequeˆncia nula, isto e´, o ganho DC. Obtenha uma estimativa de k a partir deste
valor de ganho e compare com o valor teo´rico de k.
(c) Usando o valor de k obtido no item anterior, e sabendo que o pico de ressonaˆncia da
resposta em frequeˆncia ocorre no valor ωr = ωn
√
1− 2ζ2, calcule aproximadamente
o valor do coeficiente de amortecimento ζ para cada um dos sistemas. Compare com
os valors teo´ricos.
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