Circuitos Elétricos I - Poli - Lista 2 - Função de Excitação e Números Complexos

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PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Lista 2: Funções de Excitação e Números Complexos 
 
Funções de Excitação 
 
1 – A forma de onda de corrente, mostrada na Figura 1, é aplicada a um capacitor de 
capacitância 0,2 F, inicialmente descarregado. Pede-se: 
a) Determine uma expressão analítica de i(t), utilizando a função de Heaviside, 
H(t). 
b) Calcule a energia armazenada no capacitor por esta corrente. 
c) Desenhe a forma de onda da tensão no capacitor (em convenção do receptor), e 
calcule a carga e a tensão no capacitor em t = 35 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
2 – No circuito da Figura 2 aplica-se a corrente i(t) e mede-se v(t). 
a) Demonstre que este circuito é um integrador. 
b) Suponha i(t) = 5.H(t) (ampéres, segundos), v(0) = 5 V e C = 1 F. Quais as 
expressões de v(t) e da potência instantânea pc(t) no capacitor, para os 
instantes t > 0 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2 
 
3 – Um diodo de junção com característica i = 10 –12 ( e40V – 1 ), (mA, V), é 
submetido a uma tensão v(t) = 0,8cos10t volts. Determine os valores máximo, 
mínimo e médio da corrente através do diodo. 
 
 
10 25 50 
20 
30 
i ( mA ) 
t ( s ) 
2 
1F i(t) 
 
 
v(t) 
2 
 
 
4 – Use funções degrau para representar matematicamente as funções indicadas. Isto é, 
obtenha expressões analíticas para as funções. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
5 – Faça um gráfico da função: 
 f(t) = – ( 20t + 400 ) H( t + 20 ) + ( 40t + 400 ) H( t + 10 ) + 
 + ( 400 – 40t ) H ( t –10 ) + ( 20 t – 400 ) H ( t – 20 ) para – 25 s ≤ t ≤ 25 s. 
 
6 – As funções degrau podem ser usadas para definir uma função janela. Por exemplo: a 
função H ( t –1 ) – H ( t – 4 ) representa uma janela com uma unidade de altura e 
três unidades de largura, localizada entre os instantes t = 1 e t = 4. 
Uma função f(t) é definida da seguinte forma: 
 
 0 , t ≤ 0 
 30t , 0 ≤ t ≤ 2 s 
 60 , 2 s ≤ t ≤ 4 s 
 60 cos ( πt/4 – π ) , 4 s ≤ t ≤ 8 s 
 30t – 300 , 8 s ≤ t ≤ 10 s 
0 , 10 s ≤ t ≤ ∞. 
 
a) Faça o gráfico de f(t) no intervalo –2 s ≤ t ≤ 12 s. 
b) Use o conceito de função janela para escrever uma expressão para f(t). 
 
7 – O gerador de tensão do circuito da Figura 3 produz um sinal cuja forma de onda está 
representada na Figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se : 
 
a) Escreva a expressão analítica da excitação eg(t) utilizando a função de Heaviside. 
 
b) Supondo a chave na posição 1, esboce o gráfico da potência instantânea, pR(t), 
dissipada no resistor, indicando todos os valores significativos. 
 
iL ( 0 ) = 0 
 vc ( 0 ) = 0 
Figura 3 
eg(t) 
C = 100F R =100  
1 
L = 10 mH 
iL 
2 3 
vC 
t(s) 1 2 3 4 5 
eg(t) ( V ) 
1 
2 
3 
Figura 4 
f(t) = 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Supondo a chave na posição 2, calcule a energia armazenada no capacitor no 
intervalo de 0 a 2,5 s. 
 
d) Supondo a chave na posição 3, esboce o gráfico de iL(t), indicando todos os 
valores significativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Supondo agora eg(t) = 2 cos ( 5 t – 30o ) ( V, s ), e a chave na posição 3, 
determine a expressão da corrente iL(t), em regime permanente senoidal. 
 
 
 
Operação com números complexos 
 
1 – Verifique as seguintes conversões da forma cartesiana à forma polar ou vice-versa: 
 
a) 3 + j4 = 5e j53,13 b) -3 + j4 = 5 126,87o 
c) 3 – j4 = 5,0 -53,13o d) 10 - j10 = 14,1 - 45o 
e) 10e j30 = 8,66 + j5,0 f ) 10e-j120 = - 5,0 - j8,66 
g) 10e j = - 10 h) e j/2 =  j1 
i )  e j = - 3,14 j ) e j1 = 0,54 + j0,84 
t(s) 1 2 3 4 5 
 iL(t) (A) 
t(s) 1 2 3 4 5 
 
pR(t) (mW ) 
5 
 
 
2 – Dados A = 3 + j2, B = 1 – j3, C = - 2 + j1 
 Mostre que 
 
a) j ( A + B ) ( 3 + 2C ) = - 9 - j2 b) ( A + A* ) ( B – B* ).C.C* = - j180 
 
c) A BB C

 = - 0,4 + j1,8 d) A.B/( B + C ) = 1 + j5 = 5,099 78,69
o 
 
3 – Calcule: 
 
a) 28,6 137 6,93 23,702,34 j3,45
 

 
 ( = - 8,09 - j2,40 ) 
b) ( 0,65 - j1,05 )4 ( = -1,4009 + j1,8563 ) 
c) ( -1,4009 + j1,8563 )1/4 (só a raiz principal) ( = 1,0500 + j0,6500 ) 
d) cos ( -3 + j0,2 ) ( = -1,0099 + j0,0284 ) 
 
4 – Determine, se existirem, os fasores que representam as seguintes funções: 
 
a) i(t) = - 8cos ( 10t + 240o ) 
b) v(t) = 5sen ( 10t + 30o ) - 8cos ( 10t + 90o ) 
c) v(t) = 10sen10t + 20cos20t 
d) p(t) = 10cos20t . 5sen20t 
e) v(t) = 5cos377t + 10cos ( 1585t + 30o ) 
 
5 – Determine os valores instantâneos das grandezas (com frequência angular 10 rad/s) 
representadas pelos seguintes fasores: 
 
a) Vˆ = 100e j2,5 b) Iˆ = 5 82o 
c) Vˆ = ( 5 + j5 ).10.e j30 d) Vˆ = 3 j25 j5
 
 
 
6 – Dada a função de variável complexa 
 
  23 2s 2s 5F s s 6s 11s 6
     , 
 Verifique que 
F( j1 ) = 0,4472 - 63,43o 
F( j2 ) = 0,1808 - 66,16o 
 
7 – Demonstre que o fasor representativo da soma de n cossenoides de mesma 
frequência (sincronizadas) é igual à soma dos fasores de cada uma das cossenoides. 
 
8 – Verifique que se v(t) = v1(t) . v2(t) onde v1(t) = A1cos ( t + 1 ) e 
v2(t) = A2cos ( t + 2 ) , então Vˆ  1 2ˆ ˆV V. . 
 
6 
 
 
9 – Dado o fasor de corrente Iˆ = 30 – j10 mA, com  = 1 krd/s, e considerando 
convenção de receptor, determinar o fasor de tensão: 
 
a) num resistor de 40 ; 
b) num indutor de 30 mH; 
c) num capacitor de 40 F. 
 
10 – Para cada item do Exercício 9 dessa seção, determine a tensão em cada elemento 
em t = 1 ms. 
 
11 – O circuito da Figura 5 está ligado há muito tempo. O gerador de tensão fornece 
uma tensão representada pelo fasor sEˆ = 10 30o volts, na frequência  = 10 rad/s. 
Determine: 
 
a) o fasor Iˆ representativo de i(t); 
b) a corrente i(t). 
 
 
 
 
 
 
Exercício com o Simulador Numérico 
 
Considere o Exercício 3 da Seção Funções de Excitação. 
 
 
Instruções (para o Multisim 14.0): 
 Para conferir sua resposta, desenhe o seguinte circuito composto por uma fonte 
de corrente controlada por tensão (que modela a corrente no diodo) excitado por 
um gerador de tensão senoidal no schematic do Multisim 14.0: 
 Figura 6: Montagem do circuito elétrico 
 
Observação: Essa simulação pode ser feita utilizando o modelo do diodo existente no Multisim 
(ou PSpice). Para isso, seria necessário ajustar os parâmetros do diodo na simulação para gerar a 
expressão da corrente fornecida. Como o funcionamento do diodo será abordado nas disciplinas 
de Eletrônica, vamos simplificar a simulação aqui, utilizando uma fonte de corrente controlada 
por tensão. 
 
(a) Os componentes podem ser selecionados em Place → Component. 
5 0,2F e(t) 
Figura 5 
i(t)7 
 
 a fonte de corrente controlada pode ser encontrada no Group: 
Sources, Family: CONTROLLED_CURRENT_SOURCES, 
Component: ABM_CURRENT. Para rodar o componente até que a 
corrente esteja no sentido correto, digite CTRL+R. 
(b) Clique duas vezes sobre os componentes e, na aba Value, defina os valores 
correspondentes ao exercício. 
 Defina a corrente da fonte controlada como a seguinte expressão, que 
corresponde à corrente do diodo em função da tensão da fonte V(1): 
1e-12*(exp(40*V(1))-1)*1e-3. 
(c) A simulação deve ser uma análise de transitório. A configuração da 
simulação pode ser feita em Simulate → Analyses and simulation. Em Active 
Analysis, selecione Transient. 
 Na aba Analysis parameters, vá em Initial conditions e selecione 
User-defined. Ajuste o End time (TSTOP) para possibilitar a 
visualização de um pouco mais de 1 ciclo da corrente no diodo. 
Selecione maximum time step (TMAX) e insira o valor de 1e-006 s. 
 Na aba Output são selecionadas as variáveis para análise. Selecione a 
seguinte variável e clique em Add: I(BI1) (corrente no diodo). Para 
adicionar o valor médio da corrente, clique em Add expression... e 
digite no campo Expression: a expressão integral(I(BI1)/time ou 
avg(I(BI1). 
 Prossiga clicando em ►Run. 
 
(d) A janela do Grapher View deverá mostrar os gráficos das duas variáveis 
selecionadas para análise no intervalo de tempo escolhido. 
 Para verificar suas respostas obtidas anteriormente, ative Cursor → 
Show cursors. Clique sobre o gráfico que deseja verificar. Selecione 
o cursor (1 ou 2) e digite CTRL+2 (CTRL+3) para pular para o 
próximo máximo (mínimo) local. Verifique os valores de abscissa e 
ordenada na janela Cursor. 
 O valor médio da corrente pode ser encontrado ajustando o cursor 
para o instante de tempo em que ocorre o segundo pico da corrente 
(quando o sinal de corrente completa um período). Visualize o valor 
assumido nesse instante por integral(I(BI1)/time ou avg(I(BI1) na 
janela Cursor. 
1 
 
 
PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Solução da Lista 2: Funções de Excitação e Números Complexos 
 
Funções de Excitação 
 
1 – a) i(t) = 2t[ H(t) – H( t – 10 ) ] + 20[ H( t – 10 ) - H( t – 25 ) ] + 
 + ( 60 – 1,2t ) [ H( t – 25 ) – H( t – 50 ) ] ( mA, s ) 
 ou: 
 i(t) = 2t H(t) + ( 20 – 2t ) H( t – 10 ) + ( 40 – 1,2t ) H( t – 25 ) + 
 + ( 1,2t – 60 ) H( t – 50 ) ( mA, s ) 
 
b) carga armazenada = idt = área do gráfico 
 20 10 30 25q 15 202 2
     
. .
. . 10 -9 = 775.10 -9 C = 0,775 C 
 Mas q = Cv  vfinal = q 0,775C 0,2 = 3,875 V 
 W = 2 201 1C v C v2 2 = 1,5 J 
 
 
c) v(t) = 01 idt vC  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i ( 35 ) = 2 . 35 + ( 20 – 20 . 35 ) + ( 40 – 1,2 . 35 ) = 18 mA 
 q ( 35 ) = 9 710 20 10 1215 20 10 18 10 6,4 10 C2 2
       
. .
. . . . 
 v ( 35 ) =  q 35C = 3,2 V 
 
2 – a) vc = 
0
t
c 0t
1 i dt vC   vc =  0
t
0t
1 i d vC    
 ( a tensão de saída é proporcional à 
 integral da tensão de entrada ) 
0 
0 
 
 
v ( V ) 
3,875 
3,2 
2 
0,5 
10 25 35 50 
t ( s ) 
2 
 
 
b) v(t) = 5t + 5 ( V ) p = v . i = ( 5 t + 5 ) . 5H(t) ( t > 0 ) 
 pc(t) = 25t + 25 ( W ) 
 
3 – imáx = 10 -12 ( e32 – 1 )  78,9 mA T = 210
 = 0,6283 
 imin = 10 –12 ( e –32 – 1 )  -10 -12 mA 
 
 imédio =   por solução numérica3,513 m A , por computadorT
    = 5,5911 mA 
 
4 – a) f(t) = 5t [ H(t) – H ( t – 2 ) ] + 10 [ H ( t – 2 ) – H ( t – 6 ) ] + 
 + ( – 5 t + 40 ) [ H ( t – 6 ) – H ( t – 8 ) ] 
b) f(t) = 50 sen ( t π/2 ) [ H(t) – H( t – 4 )] 
c) f(t) = 4t [ H(t) – H ( t – 5 ) ] 
d) f(t) = ( 30t + 120 ) H( t + 4) – 60t H(t) + (60t – 480) H( t – 8 ) + 
 + (–30t + 360 )H(t –12) 
 
5 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – a) 
 
b) f(t) = 30 t [ H(t) – H ( t – 2 ) ] + 60 [ H ( t – 2 ) – H ( t – 4 ) ] + 
 + 60 cos ( πt/4 – π ) [ H ( t – 4 ) – H ( t – 8 ) ] + 
 + ( 30 t – 300 ) [ H ( t – 8 ) – H ( t –10 ) ] 
 
 
3 
 
 
7 – a) eg(t) = [H(t) – H (t – 1)] + 3 [H (t – 1) – H (t – 2)] + 
 + 2 [H (t – 2) – H (t – 3)] + 3 [ H (t – 3) – H (t – 4)] + 
 + [ H (t – 4) – H (t – 5)] 
 
 ou, juntando os termos comuns: 
 
 eg(t) = H(t) + 2H ( t – 1 ) – H ( t – 2 ) + H ( t – 3 ) – 2H ( t – 4 ) + 
 – H ( t – 5 ) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)    2 2C C C1 1w C v 2,5 C v 02 2  
    2 6 2C C g1 1w C v 2,5 100 10 e 2,52 2    x x x 
 
 wC = 2 x 10 – 4 J 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t(s) 1 2 3 4 5 
 
pR(t) (mW ) 
10 
40 
90 
   2gR e tp t R
0 
( 2 )2 
1 2 3 4 5 
 100 
t(s) 1 2 3 4 5 
 iL(t) (A) 
 200 
 300 
 400 
 500 
 600 
 700 
 800 
 900 
 1000 
4 
 
 
        L g L g1i t e t dt i 0 100 e t dtL    
 
 Calcula-se a integral graficamente ( área ). 
 
e) 
o o
g
L 3 o
Eˆ 2 30 2 30Iˆ j L j.5.10.10 0,05 90
    
 oLIˆ 40 120 A  
 iL(t) = 40 cos ( 5 t – 120o ) ( A, s ) 
 
 
Operação com números complexos 
 
4 – a) Iˆ = 8 60o  = 10 rd/s 
b) Vˆ = 12,581 -78,54o  = 10 rd/s 
c) Não existe ( soma de duas senoides de frequências diferentes ) 
d) Pˆ = 25 -90o  = 40 rd/s 
e) Não existe. 
 
5 – a) v(t) = 100cos ( 10t + 90o ) 
b) i(t) = 5cos ( 10t + 82o ) 
c) v(t) = 70,71cos ( 10t + 75o ) 
d) v(t) = 0,51cos ( 10t - 191,31o ) 
 
7 – Seja    n k k
k 1
s t A cos t 

  
 Sˆ = fasor correspondente a s(t) 
 kAˆ = fasor correspondente a cada senoide 
 Então: 
      1 1 2 2 n ns(t) A cos t A cos t A cos t           . . . . . 
 1 2 nj j j j te 1 2 n
n1 2
R A e A e ..... A e e
ˆ ˆ ˆA A A
   
              
   
 
   j te 1 2 nˆ ˆ ˆR A A ...... A e     
 Portanto: 1 2 nˆ ˆ ˆ ˆS A A ..... A    
 
8 – v(t) = A1cos (  t +  1 ) . A2cos (  t +  2 ) 
 =    1 2 1 21 2 1 2A A A Acos cos 2 t2 2       . 
  não existe Vˆ que represente v(t), já que o sinal não é uma 
cossenoide unicamente. 
0 
5 
 
 
Já  1 21 2 jj j1 2 1 2 1 2ˆ ˆV V A e A e A A e     . . que representa a função: 
A1A2 cos (  t +  1 +  2 ), no domínio do tempo, que é diferente de v(t) 
representada acima. 
 
9 – a) ˆ ˆV RI 1,2 j0,4 V   
b) ˆ ˆV j L I 0,3 j0,9 V   
c) IˆVˆ 0,25 j0,75 Vj C    
 
10 – a) v ( t ) = 1,2649cos (  t - 18,43o ) 
 v ( 1 ) = 0,9849 V 
 
b) v ( t ) = 0,9487cos (  t + 71,56o ) 
 v ( 1 ) = - 0,5952 V 
 
c) v ( t ) = 0,7906cos (  t - 108,43o ) 
 v ( 1 ) = 0,4960 V 
 
11 – RIˆ = 2 30o , CIˆ = 20 120o 
 R Cˆ ˆ ˆI I I  Iˆ = 20,1 114,28o 
 i(t) = 20,1cos ( 10t + 114,28o) (A, s)