Circuitos Elétricos I - Poli - Lista 6 - Redes de 1ª Ordem e excitação impulsiva

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PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Lista 6: Redes de 1ª Ordem e Excitação Impulsiva 
 
Redes de 1ª Ordem 
 
1 – A equação diferencial y 4 y f t  b g admite as seguintes soluções para t > 0: 
 
a) para f(t) = f1(t), y(t) = 5 + e – 4 t 
b) para f(t) = f2(t), y(t) = e – 4 t – e –10 t 
 
Determine f1(t) e f2(t). 
 
2 – Para o circuito da Figura 1, sabe-se que: i = 10 e – 5 t , t  0, (A, s) 
 v = 400 e – 5 t , t  0, (V, s) 
 
Pedem-se os valores de: R, L,  (ms), da energia inicialmente armazenada no 
indutor e da quantidade de energia dissipada no resistor até t = 50 ms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
3 – Para o circuito da Figura 2, pedem-se: 
 
a) as equações de v(t) e iL(t) para t > 0, 
b) esboços à mão dos gráficos de v(t) e iL(t) (t > 0) para I = 2 A, R = 2  e L = 6 H. 
 
4 – Construa o dual do circuito da Figura 2 e determine a tensão em seu capacitor para 
t  0. 
 
5 – Para o circuito da Figura 3, determine graficamente as respostas v(t) e i(t) para t > 0. 
Forneça então as expressões analíticas destas respostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3 
I L t = 0 
iL 
R v L 
i 
R v 
i(t) 
v(t) 20 V 
1 3 
t = 0 
80 mH 
2 
 
6 – Para o circuito da Figura 4, sabe-se que não há energia armazenada em t = 0, e que 
vg(t) é a forma de onda da Figura 5. Pede-se determinar vc(t) e ic(t) gráfica e 
analiticamente para: 
 
 t < 0, 
 0 < t < 0,04 s e 
 t > 0,04 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 Figura 5 
 
 
Excitação Impulsiva 
 
1 – Mostre a validade das seguintes aplicações: 
 
a) f(t) = e-t.H(t)  f (t) = -e-t.H(t) + (t) 
b) f(t) = ( 1 - e-2t ).H(t)  f (t) = 2e-2t.H(t) 
 
NOTA: Lembre que 0.(t) = 0, pois trata-se de um impulso de área (ou amplitude) 
nula. 
 
2 – Calcule as seguintes integrais: 
 
a) I = t 4 t 4 t 2 dt32
4   z c h b g b g  
b) I = t t t 2,5 t 5 dt23
4   b g b g b g   z 
c) I =  1/2 2
1/2
(t 1) cos(t) δ(t) δ t π/3 dt

     
 
3 – O indutor da Figura 6 é atravessado pela corrente i ( t ) = [4H ( t ) – 2 H (t – 2)] (A, s). 
Qual é a expressão de v(t) ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3H 
i(t) 
v(t) 
Figura 6 
40 k 8 F 
iC 
vg vC 
10 k 2 k 
100 
t ( ms ) 
vg ( V ) 
40 
3 
 
4 – A tensão de excitação es(t) = cos ( 1000 t ) H(t) ( V, s ) é aplicada a um capacitor 
com capacitância de 100 F. Qual a potência p(t) que o capacitor recebe? 
 
5 – Considere o circuito da Figura 7, onde o gerador de corrente produz um sinal cuja 
forma de onda está representada na Figura 8. Esboce o gráfico da corrente iR no 
resistor de 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – Para o circuito da Figura 9, seja es(t) = (t) (V, s). Determine a resposta i(t), 
em estado zero, do circuito para t > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9 
 
 
Exercício com o Simulador Numérico 
 
Considere o Exercício 5 da Seção Redes de 1ª Ordem. 
 
 Instruções (para o Multisim 14.0): 
 Para conferir sua resposta, desenhe o seguinte circuito no schematic do Multisim 
14.0: 
i(t) es 
R1 
L1 
R2 
L2 
si 1H Lv (t) L2v (t) 2 
Figura 7 
Ri
t 
si (A)
I 
-I 
 
3 4 2 
Figura 8 
0 
4 
 
 Figura 10: Montagem do circuito elétrico. 
 
(a) Os componentes podem ser selecionados em Place → Component. 
 a chave pode ser encontrada no Group: Basic, Family: SWITCH, 
Component: TD_SW1. Configure o instante em que a chave é 
acionada (TON) para 1 ps, e o instante em que a chave é desligada 
(TOFF) para 1 s (em seguida, vamos configurar a simulação para 
terminar antes desse instante). 
(b) Para verificar a resposta do exercício, a simulação deve ser uma análise de 
transitório. Configure a simulação em Simulate → Analyses and simulation. 
Em Active Analysis, selecione Transient. 
 Na aba Analysis parameters, vá em Initial conditions e selecione 
Calculate DC operating point. Desse modo, o próprio simulador se 
encarregará de calcular as condições iniciais do circuito considerando 
que ele foi ligado há muito tempo com a chave aberta (antes de 
0t  ). Ajuste o End time (TSTOP) para 0.6 s, que corresponde a um 
pouco mais de 7 constantes de tempo do circuito R, L. 
 Na aba Output selecione as seguintes variáveis e clique em Add: 
I(L1) (corrente ( )i t ) e V(3) (tensão ( )v t ). Prossiga clicando em 
►Run. 
(c) A janela do Grapher View deverá mostrar os valores calculados de I(L1) e 
V(3) em função do tempo. 
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PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Solução da Lista 6: Redes de 1ª Ordem e Excitação Impulsiva 
 
Redes de 1ª Ordem 
 
1 – Temos que: 
   
    
R
S|
T|
 
   
4e 4e 20 f t
4e 10e 4e 4e f t
4t 4t
1
4t 10t 4t 10t
2
b g
b g
 
 
  f1(t) = 20, t > 0, f2(t) = 6e-10t, t > 0. 
 
2 – i(t) = i0 e-t/  i0 = 10 A  = 0,2 s = 200 ms 
 
v(t) = Ri0 e-t/  R = 40010 40   = 
L
R  L = 40 x 0,2 = 8 H 
 
Energia inicial: 12 Li
1
2 x 8 x 100 400 J0
2   
Em t = 50 ms  i = 7,788 A  WL = 12 Li 242,61 J
2  
Energia dissipada: 400 - 242,61 = 157,39 J 
 
3 – a) iL(0+) = iL(0-) = 0 (admitido) 
iL() = I 
 iL(t) = I( 1 - e-t/ ), t  0,  = L/R 
v(0+) = RI 
v() = 0 
 v(t) = RI e-t/, t > 0,  = L/R 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – 
 v 0 v 0 0 ( admitido )v E
c c
c
  
 
RS|T|
b g b g
b g 
 
 vc(t) = E( 1 - e-t/ ) , t  0, 
  = RC 
 
 = 3s 
0 
2 
t 
iL ( A ) 
0 
4 
t 
v ( V ) 
 = 3s 
t = 0 
E C vc 
R 
2 
 
5 – 
i 0 i 0 204 5A
i A
   
  
R
S||
T||
b g b g
b g 201 20
 
v 0 0
v 0 20 5 x 1 15V
v 0



  
 
R
S|
T|
b g
b g b g
b g
 
 3L 80 x 10τ 80 msR 1

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i(t) = ( 20 – 15e – 12,5 t ) (A, s) v(t) = 15 e – 12,5 t (V, s) 
 t  0 t > 0 
 
6 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = [ (10 // 40)K + 2K ]. 8 x 10 – 6 = 80 ms 
 
– Para 0 < t < 40 ms 
vc(0+) = vc(0-) = 0 
vc() = (100 x 40)/ 50 = 80 V 
vc(t) = -80e-t/80 + 80 (V, ms) 
 
 = 80ms 
0 
5 
t 
i ( t ) 
20 
0 
15 
t 
v ( t ) 
 = 80ms 
 
 
 
 
0 
31,48 
t(ms) 
vC ( V ) 
80 
40 
0 
8 
t(ms) 
4,85 
–3,15 
iC(mA) 
40 
3 
 
i 0 v 02 K
100 40K / / 2 K
10K 40K / / 2 K x
1
2 K 8 mAc
1

   b g
b g b g
b g 
 
ic() = 0  ic(t) = 8e-t/80 (mA, ms) 
 
– Para t = 40 ms 
vc(40-)= 31,48 V ic(40-) = 4,85 mA 
vc(40+) = vc(40-) ic(40+) = -31,48/10 K = -3,15 mA 
 
 
(Thévenin equivalente): t = 40+ 
 
 
 
 
 
 
 
– Para t > 40 ms: 
 
vc(t) = 31,48e-(t - 40)/80 (V, ms) 
ic(t) = -3,15e-(t - 40)/80 (mA, ms) 
 
 
Excitação Impulsiva 
 
1 – a) f tb g = -e –t H( t ) + e –t ( t ) = – e – t H( t ) + ( t ) 
 b) f tb g = ( t ) + 2e – 2 t H( t ) – e – 2 t ( t ) = 2e – 2 t H( t ) 
 
 
2 – a) I = 4 48 2
2
4
2
4  t dt t dtb g b g  zz  I = 52 
 
b) I = t t dt t t dt t t dt2
3
4 2
3
4 2
3
42 5 5  b g b g b g  z z z   , 
 
I = 0 + 6,25 + 0 = 6,25 
 
c) A integral  1/2 2
1/2
(t 1) cos(t) δ(t) δ t π/3 dt

     pode ser calculada da seguinte 
forma: 
 
   1/2 1/2 1/22 2 2
1/2 1/2 1/2
(t 1) cos(t) δ(t) δ t π/3 dt (t 1) cos(t)δ(t)dt (t 1) cos(t)δ t π/3 dt
  
           
 
Calculando cada uma das integrais da expressão anterior, temos: 
0,8vg 0V 31,48 
ic 8K 
31,48 
2K 
4 
 
 
1/2 1/2
2 2
t 01/2 1/21 1
1/2
2
1/2
(t 1)cos(t)δ(t)dt (t 1) cos(t) δ(t)dt 1
(t 1)cos(t)δ t π/3 dt 0. [Note que t = π/3 está fora do intervalo de integração]
  

   
  
 

 
 
Assim, a integral  1/2 2
1/2
(t 1) cos(t) δ(t) δ t π/3 dt

     é igual a 1. 
 
3 – v t L d id tb g   ( convenção do gerador ) 
 v(t) = – 12  ( t ) + 6  ( t – 2 ) ( V, s ) 
 
4 – A tensão entre os terminais do capacitor é es(t) = cos ( 1000 t ) H(t) e a corrente 
que o atravessa é: 
 
i t C ddt e t sen t H t t tsb g b g b g b g b g b g b g    10 1000 1000 10 1000
  cos 
 = – 0,1 sen ( 1000 t ) H(t) + 10 – 4 (t) 
 
Assim, a potência instantânea recebida pelo capacitor é 
 
p(t) = es(t) . i(t) = – 0,1 sen ( 1000 t ) cos ( 1000 t ) H(t) + 10 – 4 cos ( 1000 t ) H(t) (t) 
   0 12 2000 10
, sen t H t tb g b g b g  
Portanto, 
p(t) = – 0,05 sen ( 2000 t ) H(t) + 10 – 4 (t) 
 
5 – A corrente Ri no resistor é dada por 
 
R L L L s
R L R
v (t) 2v (t) di (t) di (t) di (t)i (t) v (t) i (t) LR 2 dt dt dt       
 
Basta calcular a derivada de si (t) , que está representada no gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( I ) 
Ri 
t 
 3 
4 
0 
I/ 
( I ) 
5 
 
6 –    
eq 1 2
i 0 i 0 L L L
 
     
 
 
   eq 1 2 1 2
eq 1 2
L L L R Rτ R R R
   
 
    1 2
t τi t eL L
   t > 0 
0