Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 6 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 6 – 22/03/2017 
Tópicos da aula: 
 
......Discussão sobre o exercício da última aula 
 
1) REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
2) DEFINIÇÃO DE FASORES 
 
 
 
Exercício sobre divisor de corrente 
Calcule iR(t), iC(t) e i0(t) 
Cálculo do iR(t): 
 
iR(t) = (1/R).es(t)  
 
iR(t) = 0,180 cos(2..60.t+30
o) 
Cálculo do iC(t)  𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
, então: 
 
iC(t) = - 1.10
-6.180.2..60.sen(2..60.t+30o), 
 
Ou: iC(t) = 0,0679.cos(2..60.t-240
o) 
io(t) = iR(t)+iC(t) 
 
Io(t)=Io.cos(2..60.t + ) 
 
Como determinar Io e ? 
Revisão de Números Complexos 
• Número imaginário  notação usual em 
Engenharia: j = −𝟏 
. Número complexo z é composto por: 
 Parte real e parte imaginária: 
 z= a + jb 
 sendo Re{z} = a 
 e Im{z} = b 
 Complexo conjugado: z* = a - jb 
Representação Gráfica de um 
Número Complexo no Plano Complexo 
Coordenadas retangulares e polares 
O ponto z no plano complexo pode ser representado como: 
Em coordenadas polares temos: 
 
𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝑎 = 𝑟. cos ∅ 
𝑏 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛 ∅ 
∅ = arctan⁡(𝑏, 𝑎) 
 
Em coordenadas retangulares temos: 
 
𝒛 = 𝒂 + 𝒋𝒃 
 
 
 
𝒛 = 𝒓⁡|∅ 
A função arctan2(b,a) ou arctg2(b,a) 
• A função arctan (ou arctg) usual não diferencia pontos do 1º quadrante de 
pontos simétricos do 3º quadrante! 
• Ela também não diferencia pontos do 2º quadrante de pontos simétricos 
do 4º quadrante. 
Exemplo: 
 Dado z = 1 + j1, quanto vale o arctan(1,1)? 
Dado z = -1 - j1, quanto vale o arctan(-1,-1)? 
Resposta = 45o 
Resposta = 45o resposta errada !!!!! 
 
Sabemos que deveria ser 225o ou -135o 
A função arctan2(b,a) ou arctg2(b,a) 
 = arctan(b, a), se a > 0 
 
 = arctan(b, a) – sinal (b/a).180o, se a < 0, 
 
 𝝓 = arctan2 (b, a) = 90o, se a = 0 e b > 0 
 
 = -90o, se a = 0 e b < 0 
 
 = 0, se a = b = 0 
 
Exemplo: 
a = -1 e b = -1  assim temos que: 𝝓 = arctan(-1, -1) - (-1/-1).180o  
 𝝓 = 45o – 180o = - 135o 
Operações com números complexos 
Soma e subtração 
 
Dica: 
OPTE POR COORDENADAS 
RETANGULARES 
 
Exemplo: 
 
z1= a1 + jb1 
 
z2 = a2 + jb2 
 
z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2) 
Produto e divisão 
 
Dica: 
OPTER POR COORDENADAS POLARES 
 
Exemplo: 
 
z1 = 𝒓𝟏|∅𝟏 e z2= 𝒓𝟐|∅𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Série de Maclaurin 
A série de Taylor de uma função f(x) em torno de “a” é: 
Para o caso especial de a = 0, a função f(x) torna-se uma série de Maclaurin: 
Representação das funções: seno, co-seno 
e exponencial em série de Maclaurin 
Se considerarmos o expoente z = j x, temos: 
𝒆𝒋𝒙 = 1 + 𝑗𝑥 +
𝑗𝑥 2
2!
+
𝑗𝑥 3
3!
+
𝑗𝑥 4
4!
… . . = cos (x) + j sen (x) 
Representação Exponencial de um 
número complexo 
Dado o número complexo z = a + jb; 
 
Como 𝑎 = 𝑟. cos ∅ e 𝑏 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛 ∅ 
 
Temos que  z = r.(cos ∅ ⁡+ j 𝑠𝑒𝑛 ∅ ) 
 
Logo: z = r e j𝝓  representação exponencial de 
um número complexo, muito útil para C.E.!!!! 
Note que | e j𝝓 | = 𝒄𝒐𝒔𝝓𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝝓𝟐= 1, 
 
para qualquer 𝝓. 
Círculo unitário e o valor de e j𝝓 no 
plano complexo 
Fórmulas de Moivre 
• Funções senos e co-senos podem ser escritas em função da forma 
exponencial complexa: 
 z1 + z1* = 2 Re {z1} 
 z1 - z1* = 2 Im {z1} 
Retomando o exercício... 
  iC(t) = 0,0679.cos(2..60.t-240
o) 
 iR(t) = 0,180.cos(2..60.t+30
o) 
Vamos reescrever iR(t) e ic(t) utilizando-se as fórmulas de Moivre: 
iR(t) = {0,18e 
j(2
 

 
60
 
t + 30o)} = {0,18. ej30o . e j260t} 
iC(t) = {0,06786. e 
j(2  60 t - 240o)} = 
 
 = {0,06786. e-j240o
 
. e j260t} 
Do exercício, io(t) = iR(t) + iC(t), então: 
Lembrando-se que: 
 soma de números complexos  coordenadas retangulares 
io(t) ={ ( 0,18e 
j 30o + 0,06786 e –j 240
o
).(e j 2  60 t) } 
(0,18e j30
o
 + 0,06786 e – j240
o
) = 
 
(0,18(cos(30o) + j.sen(30o)) + 0,06786(cos(240o) –j.sen(240o))) = 0,1220 + j.0,1488 
Após efetuar a soma, representar o resultado em coordenada polar..... 
io(t) = { ( 0,1924 e 
j 50,65o).(e j 2 60 t) }  
io(t) = 0,1924 cos (2 60 t + 50,65
o) 
Definição de fasor 
• io(t) = Io.cos (t +  )  io(t) = {Io .e 
j . e jt} 
i1(t) = I1.cos (t + 1)  i1(t) = {I1 .e 
j1 . e jt} 
 
i2(t) = I2.cos (t + 2)  i2(t) = {I2 .e 
j2 . e jt} 
Assumindo que io(t) = i1(t) + i2(t) temos então: 
{Io .e 
j . e jt} = {(I1 .e 
j1 + I2 .e 
j2). e jt} 
𝐼 𝑜 𝐼 1 𝐼 2 
𝑰 𝒐= 𝑰 𝟏+ 𝑰 𝟐 
Fasor 
• f(t) = An.cos (t +  ) ; An  0 e  = graus 
 
O fasor associado à função f(t) será: 
 
𝑭 = An .e 
j = An  
Para que f(t) possa ser representada 
pelo seu fasor, necessita: 
 ter amplitude positiva 
 e ser co-senoidal 
 
 
Real 
Im 
An 
Exemplo: 
1) Encontre a representação fasorial da função: 
i(t) = -10 sen(10t + 45o) 
 
Usando - sen() = sen( - 180o), temos: 
i(t) = 10 sen(10t - 135o) 
 
Usando sen(x) = cos(x - 90), temos 
i(t) = 10 cos (10t - 135o -90o) = 10 cos (10 t - 225o) 
𝑰 = 10-225o ou 𝑰 = 10135o ou 𝑰 = 10 e j135o 
Exercício: represente o fasor associado 
a função: 
2) i(t) = - 8 cos (10t + 240o) 
 
Resposta 
Como – cos(x) = cos (x – 180o), então: 
– cos(10t + 240o)= cos(10t + 240o - 180o) ou 
i(t) = 8 cos (10t +60o) 
 
𝐼 = 860o 
Exercício: 
Dado v(t) = 10 sen (10t) + 20 cos(20t) 
• Por que não há fasor associado à função v(t)? 
 
Resposta: 
Para a função v(t) ter uma representação 
fasorial, as frequências da soma devem ser 
iguais! 
 
Relações entre senos e co-senos 
 sen(x) = cos(x - 90o) 
 
 
 - sen (x) = sen (x - 180o) ou 
 - sen (x) = sen (x + 180o) 
 
 - sen (x) = cos (x - 270o) = cos (x + 90o) 
 
- cos (x) = cos (x -180o) 
90o 270o 180o 
sinal atrasado 
 Deslocamento angular 
Dados: v1(t) = 10 cos(500t+30
o) e 
v2(t) = 5 cos(500 t -45
o) 
Efetue v(t) = v1(t) + v2(t) 
 = 500 rad/s para v1(t) e v2(t) 
𝑉 1 = 1030
o e 𝑉 2 = 5-45
o 
v(t) = 10cos(30o) + j.10sen(30o) + 5cos(-45o) – j.5sen(-45o) = 
v(t)= (10cos(30o) + 5cos(-45o)) + j.(10 sen(30o) – 5 sen(-45o)) = 
v(t) = 12,1958 + j 1,4645 
v(t)= 12,28346,8473o 
v(t) = 12,2834 cos (500t + 6,8473o)