Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 19 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 19 – 22/05/2017 
TÓPICOS DA AULA: 
 
1. Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 
 
2. Discussão sobre resolução do exercício final da aula 18 
 
3. Último tópico sobre técnicas de Redução e Simplificação 
de Redes Elétricas: Transformação triângulo-estrela 
2)Resolução do último exercício 
da aula 18... 
• Qual é o valor de RL que deverá ser adotado 
entre os terminais A,B do circuito para 
maximizar a potência? 
Procedimento: 
RL deverá ser igual à resistência 
equivalente, vista pelos terminais A,B 
 
Para obter RAB deve-se inativar os 
geradores independentes 
 
Mas nunca inativar geradores 
dependentes! 
mv
v
i
 bi
+
-
CC
es
B
A
RL
800 W 
40
 W
 
Exercício, cont. 
mv
v
i
 bi
+
-
B
A
800 W 
40
 W
 
1) Inativar as fontes de tensão independentes: 
Exercício, cont.(2) 
Para calcular resistência equivalente em circuitos que contém 
vinculado: 
 introduzir fonte de tensão ou fonte de corrente 
 𝑅𝐴𝐵 =
𝑣
𝐼
 
 
mv
v
i
 bi
+
-
B
A
800 W 
40
 W
 
I
I
Exercício, cont.(3) 
Aplicando-se a 2ª LK na parte do circuito com 
a fonte de tensão inativa, temos: 
800𝑖 + 𝜇𝑣 = 0 ⇒ 𝑖 = −
𝜇𝑣
800
 
Na parte do circuito com o gerador vinculado 
temos: 
−𝐼 + 𝑖´ + 𝛽𝑖 = 0 ⇒ 𝑖´ = 𝐼 − 𝛽𝑖 ⇒ 𝒊´
= 𝑰 +
𝜷𝝁𝒗
𝟖𝟎𝟎
 
𝑣 = 40𝑖´ = 40𝐼 + 0,05𝛽𝜇𝑣 
𝑣
𝐼
= 𝑹𝑳 = 𝑅𝐴𝐵 =
𝟒𝟎
𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟓𝜷𝝁
 
mv
v
i
 bi
+
-
B
A
800 W 
40
 W
 
I
I
1. Circuitos Equivalentes 
Muitas vezes, estamos apenas interessados em saber o que 
acontece entre os nós a, b de um circuito. 
 Ou seja, desejamos determinar: 
  a tensão de saída (v) nos terminais a, b; 
  e a corrente (i) fornecida pelo circuito. 
CC
V
R
a
b
a
b
i
v
1) Circuitos Equivalentes de 
Thévenin e Norton 
CC
Vth
Rth a
b
a
b
IN RN
 São circuitos simplificados; 
 Apresentam o mesmo comportamento do circuito original, quando 
vistos pelos mesmos terminais (a e b, por exemplo); 
 Podem ser usados para qualquer circuito composto por elementos 
lineares 
Circuitos de 
THÉVENIN  
 Circuitos de 
NORTON 
1) Métodos para determinar VTh e RTh 
CC VTh
RTh
a
b
a
b
i
RLRL
São circuitos equivalentes : 
 
 A mesma carga (RL), aplicada aos dois circuitos, 
será submetida à mesma tensão e corrente: 
Se RL >>>> 0, teremos um circuito aberto. 
 
 Va,b = VTh 
 
 tensão de circuito aberto (Voc) no circuito 
original = VTH 
Se RL  0, teremos um curto-
circuito entre os terminais a,b 
 
 Va,b = 0 
 
 A Isc do circuito de Thévenin = 
 Isc do circuito original 
 
 
 Como Isc no circuito de Thévenin : 
𝐼𝑠𝑐 =
𝑉𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ
 
 
 determina-se RTh = 
𝑽𝑻𝒉
𝑰𝒔𝒄
 
 
Nomenclaturas adotadas: 
Isc = corrente de curto-circuito (short-circuit); 
Voc = tensão de circuito aberto (open-circuit). 
2) Equivalências entre circuitos 
 Thévenin e Norton 
CC
Vth
Rth a
b
a
b
IN RN
𝐼𝑁 =
𝑉𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ
; 𝑅𝑇ℎ = 𝑅𝑁 
𝑉𝑇ℎ = 𝑉𝑜𝑐; 𝐼𝑁 = 𝐼𝑠𝑐; 𝑅𝑇ℎ= 𝑅𝑁 =
𝑉𝑜𝑐
𝐼𝑠𝑐
 
1) Exemplo: determinação do circuito 
equivalente de Thévenin 
5 W 
20 W 
25 V
3 ACC
4 W 
a
b
e1
CC
32 V
8 W a
bFonte equivalente de corrente Tensão de circuito aberto = 32 V  Fonte equivalente de corrente  Corrente de curto-circuito = 4 A 
5 W 
20 W 
25 V
3 ACC
4 W 
a
b
e1
icc
isc 
1) Determinação do circuito equivalente de 
Norton para o mesmo exercício: 
4 W 
5 W 
20 W 
5 A 3 A
a
b
4 W 
4 W 8 A
a
b
CC
32 V
8 W a
b
8 W 4 A
a
b
1) Outros métodos para obter o 
circuito equivalente de Thévenin 
• Método para calcular RTh quando o circuito 
apresenta apenas fontes independentes: 
 
 eliminam-se todas as fontes de uma só vez: 
 curto-circuito se for fonte de tensão 
 aberto, se for fonte de corrente 
 
 calcula-se a resistência do ponto de vista do 
par de terminais em questão 
1) RTh vista entre os terminais a, b: 
CC
3 W 5 W 
6 W 
6 V 
RL
a
b
3 W 5 W 
6 W 
A
B
RAB
𝑅𝐴𝐵 = 6 ∕∕ 3 + 5 
 
𝑅𝐴𝐵 = 𝑅𝑇ℎ = 7 Ω 
1) Como calcular RTh na presença de 
fontes dependentes? 
• Precisamos aplicar fonte auxiliar nos terminais 
do circuito nos quais se deseja calcular o 
equivalente de Thévenin; 
• As fontes independentes devem ser 
“eliminadas”; 
• Aplica-se então uma fonte de corrente ou fonte 
de tensão auxiliar aos terminais de interesse 
 A razão entre vaux e iaux  RTh 
2) Exemplo: 
3v
v
i
 20i
+
-
B
A
2kW 
25
 W
 
I
3v
v
i
 20i
+
-
B
A
2kW 
25
 W
 
Iaux
CC
Vaux
mv
v
i
 bi
+
-
CC
es
B
A
800 W 
40
 W
 3v
v
i
 20i
+
-
B
A
2kW 
25
 W
 
I
Exercício aula 18..... Exercício aula 19..... 
Os circuitos são 
equivalentes.... 
2) Continuação..... 
3v
v
i
 20i
+
-
B
A
2kW 
25
 W
 
Iaux
CC
Vaux
1) 1ª LK no nó B: 
𝐼𝑎𝑢𝑥 = 20𝑖 +
𝑉𝑎𝑢𝑥
25
 
2) 2ª LK na parte do circuito com gerador inativo: 
 2𝑘. 𝑖 + 3𝑣 = 0 
 
𝑖 = − 
3𝑣
2𝑘
 
3) Como v = Vaux, temos: 
𝐼𝑎𝑢𝑥 = 20.
−3𝑉𝑎𝑢𝑥
2000
+
𝑉𝑎𝑢𝑥
25
, 
𝐼𝑎𝑢𝑥
𝑉𝑎𝑢𝑥
=
1
25
−
3
100
=
1
100
 
 
Logo: 𝑅𝑇ℎ = 100 Ω 
3) Transformação Estrela-Triângulo 
(- ) 
Técnica de simplificação que permite apresentar 
os resistores arranjados de uma maneira (Y) em 
outra (). 
 
As configurações e  serão equivalentes se 
apresentarem: 
1) As mesmas tensões nodais 
2) As mesmas correntes nos nós, fornecidas 
pelo resto da rede elétrica 
3) Equivalência entre a configuração  
(delta ou triângulo) e a configuração : 
RB 
a 
b c 
RC 
RA 
 
a 
b c 
RC RB 
RA 
3) Equivalência entre a configuração  
(ou estrela) e a configuração T: 
a 
c 
b 
R1 R2 
R3 
c 
b a 
R1 R2 
R3  
3) Transformação Triângulo-Estrela: 
a 
c 
b 
R1 R2 
R3 
c 
b a 
RA RB 
RC 
As configurações e  serão equivalentes se: 
 As mesmas resistências entre os pares de terminais em ambos os casos forem 
iguais 
3) Transformação - 
𝑅𝑎𝑏 = 𝑅𝐶 / 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 =
𝑅𝐶 . 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶
= 𝑅1 + 𝑅2 
𝑅𝑏𝑐 = 𝑅𝐴 / 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶 =
𝑅𝐴. 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶
= 𝑅2 + 𝑅3 
𝑅𝑎𝑐 = 𝑅𝐵 / 𝑅𝐶 + 𝑅𝐴 =
𝑅𝐵 . 𝑅𝐶 + 𝑅𝐴
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶
= 𝑅1 + 𝑅3 
3) Transformação -, continuação... 
• Tendo-se uma configuração, é possível obter-se 
os valores dos resistores da configuração 
equivalente (3 equações, 3 incógnitas) 
𝑅1 =
𝑅𝑏𝑅𝑐
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
 
𝑅2 =
𝑅𝑎𝑅𝑐
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
 
𝑅3 =
𝑅𝑎𝑅𝑏
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
 
𝑅𝑎 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅1
 
𝑅𝑏 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅2
 
𝑅𝑐 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅3