Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 22 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I
Profa. Elisabete Galeazzo
Aula 22 – 05/06/2017
TÓPICOS DA AULA:
REVISÃO CIRCUITOS DE 1a ORDEM COM EXCITAÇÃO: FUNÇÃO 
DEGRAU E SENOIDAL
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
EXCITAÇÃO IMPULSIVA – IMPULSO UNITÁRIO: DELTA DE DIRAC
Revisão da aula 21, parte 1
• Resposta completa de circuitos de 1a ordem (RL ou RC):
– Resposta exponencial decrescente do tipo 𝑨 𝒆
−𝒕
𝝉
– E resposta particular (permanente)
– 𝑣𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡 = 𝑣ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 𝑡 + 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡 ; 
– 𝑖𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡 = 𝑖ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 𝑡 + 𝑖𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡
Se o tipo de excitação for função degrau, 
para t >> 0 s:
Capacitor → 𝒊𝒄 = 𝑪
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝟎 → 𝒂𝒃𝒆𝒓𝒕𝒐
Indutor  𝒗𝑳 = 𝑳
𝒅𝒊
𝒅𝒕
= 𝟎 → 𝒄𝒖𝒓𝒕𝒐
Se o tipo de excitação for uma função senoidal, 
para t >> 0 s:
RPS  operações com fasores e impedâncias:
 𝑽𝑪 =
𝟏
𝒋𝝎𝑪
 𝑰𝑪; 𝑽𝑳 = 𝒋𝝎𝑳 𝑰𝑳
Resposta Permanente do circuito:
Revisão, parte 2: 
Equação Diferencial de 1ª ordem
CCes(t)
vR(t)
vL(t)
R
L
i(t)
LR2
R1
CC
es
CC
VTh
a
b
RTh
Procedimento:
 2ª LK:
𝒆𝒔 𝒕 + 𝒗𝑹 𝒕 + 𝒗𝑳 𝒕 = 𝟎
 Aplicar relações constitutivas:
𝒅𝒊 𝒕
𝒅𝒕
+
𝒊 𝒕
𝝉
=
𝒆𝒔 𝒕
𝑳
Procedimento:
 Determine o Circuito Equivalente de 
Thévenin
 2ª LK:
𝑽𝑻𝒉 𝒕 + 𝒗𝑹𝑻𝒉 𝒕 + 𝒗𝑳 𝒕 = 𝟎
 Aplicar relações constitutivas:
𝒅𝒊 𝒕
𝒅𝒕
+
𝒊 𝒕
𝝉𝒆𝒒
=
𝒆𝒔 𝒕
𝑳
Exemplo 1 (circuito RC com vinculado): 
determine a solução completa da corrente i(t)
C
i
 bi
R1
R2
-
t = 0s
E
Condição inicial:
A chave está fechada a muito tempo e abre em t = 0 s. 
Qual é o comportamento do capacitor para t  0 s?
. Capacitor está completamente carregado;
. Tensão nos terminais A,B do capacitor constante
. iC = 0 A; capacitor comporta-se como um aberto
. Devido à inércia do capacitor: iC(t0-) = iC(t0+) = 0
Comportamento da corrente i(t) circuito para t  0 s:
i
 bi
R1
R2
-
E
i1
A
B
Nó 1: 
−𝑖1 − 𝛽𝑖 + 𝑖 = 0
𝑖1 = 𝑖 1 − 𝛽
2ª LK:
𝑬 = 𝑹𝟏𝒊𝟏 + 𝑹𝟐𝒊
𝑬 = 𝑹𝟏𝒊 𝟏 − 𝜷 + 𝑹𝟐𝒊
𝒊 𝒕 ≤ 𝟎 =
𝑬
𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 𝟏 − 𝜷
Continuação do ex.1...
C
i
 bi
R2
Para t > 0 s, o capacitor atuará como gerador, através da carga 
armazenada em suas placas, e fornecerá potência para a resistência R2.
A resposta da corrente homogênea será do tipo: 𝑨 𝒆
−𝒕
𝝉
Cálculo da RTh vista pelos terminais do capacitor:
C
i
 bi
R2
i
 bi
R2
Iaux
A
B
VAB
→ 𝐼𝑎𝑢𝑥 +𝛽𝑖 = 𝑖
𝑖 =
𝐼𝑎𝑢𝑥
1 − 𝛽
→
𝑉𝑅2
𝑅2
=
𝑉𝐴𝐵
𝑅2
= 𝑖
→
𝑉𝐴𝐵
𝑅2
=
𝑖𝑎𝑢𝑥
1 − 𝛽
→
𝑽𝑨𝑩
𝒊𝒂𝒖𝒙
=
𝑅2
1 − 𝛽
= 𝑅𝑇ℎ
𝝉 = 𝑹𝑻𝒉𝑪 =
𝑹𝟐𝑪
𝟏 − 𝜷
A constante A depende das c.i. e  = RTh.C
Continuação do ex.1…
A resposta completa será:
𝑖𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡 = 𝑖ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 𝑡 + 𝑖𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡
𝑖𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≫ 0
𝒆: 𝒊 𝒕 = 𝟎 =
𝑬
𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 𝟏 − 𝜷
𝒊 𝒕 =
𝑬
𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 𝟏 − 𝜷
𝒆
−
𝒕
𝑹𝟐𝑪
𝟏−𝜷
Assim, a solução geral será:
Exercícios para obter cte de tempo
3i
B
A
+-
4 W 
10 mH 
2 W 
i
3i
B
A
+-
4 W 
2 W 
i
CCVaux
Iaux
3i
B
A
+-
4 W 
2 W 
i
Procedimentos: 
. Desativar os geradores independentes
 Usar um gerador e corrente auxiliares quando houver vinculados!
Continuação...
3i
B
A
+-
4 W 
2 W 
i
CCVaux
Iaux
i=iaux
−3𝑖𝑎𝑢𝑥 + 2𝑖𝑎𝑢𝑥 − 𝑉𝑎𝑢𝑥 + 4𝑖𝑎𝑢𝑥 = 0
3𝑖𝑎𝑢𝑥 = 𝑉𝑎𝑢𝑥 ⇒
𝑉𝑎𝑢𝑥
𝑖𝑎𝑢𝑥
= 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3Ω
Exercício adicional sobre cte de tempo
3i
+
- 10 W 
5 W 
i
50 mH3i
+
- 10 W 
5 W 
i
3i
+
- 10 W 
5 W 
i
CC
Vaux
Iaux
A
B
2i 2i 2i
1) Aplicar a 1ª LK no nó do circuito para encontrar a relação entre a corrente Iaux e as 
demais correntes do circuito: −𝐼𝑎𝑢𝑥 − 𝑖
´ + 𝑖 = 0
Resolução:
i´
2) Note que: 𝒊 =
𝑉𝑎𝑢𝑥
10
e 𝒊´ =
𝑉𝑎𝑢𝑥
10
− 𝐼𝑎𝑢𝑥
3) Ao aplicarmos a 2ª LK, teremos: −2𝑖 + 5𝑖´ + 10𝑖 = 0
⇒ 8
𝑉𝑎𝑢𝑥
10
+ 5
𝑉𝑎𝑢𝑥
10
− 𝐼𝑎𝑢𝑥 = 0; ⇒
𝑉𝑎𝑢𝑥
𝐼𝑎𝑢𝑥
= 𝑹𝑻𝒉 =
𝟓𝟎
𝟏𝟑
Solução:
𝜏 =
50 𝑚
 50 13
= 13𝑚𝑠
Função Impulso e Delta de Dirac, (t)
(t)
0 t
DEFINIÇÕES:
 (t) =  para t = 0
 (t) = 0 para t  0
 A área de (t) = 1, ou seja,
 −∞
∞
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
Delta de Dirac, (t), é um pulso com as seguintes características:
- muito estreito, de largura tendendo a zero
- e amplitude tendendo ao infinito
Função f(t) tendendo à função degrau
1
1
f1(t)
2
f2(t)
3
f3(t)
t
f(t)
Suponha que:
𝑓𝑖 𝑡 =
1
𝜏𝑖
𝑡
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 ≤ 𝜏𝑖
Observe que:
 𝑓𝑖 𝑡 =
1
𝜏𝑖
e lim
𝜏𝑖→0
 𝑓𝑖 𝑡 = ∞
A função f(t) e sua derivada em
função de t 
1
1
f1(t)
2
f2(t)
3
f3(t)
t
f(t)
1 t3
1/3
2
1/2
1/1
 𝒇 𝒕
 
−∞
∞
 𝑓𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 1 ⇒ 
0
𝜏𝑖 1
𝜏𝑖
𝑑𝑡 = 1Área = 1
As Funções Degrau, Impulsiva e o 
Delta de Dirac
1
f(t)
t
t
 𝒇(t)
𝑓 𝑡 = 1𝐻 𝑡
quando  0
 𝑓 𝑡 = ∞ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0
 𝑓 𝑡 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≠ 0
 
−∞
∞
 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1
 𝑓 𝑡 =
𝑑𝐻(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝛿 𝑡
Propriedades do Delta de Dirac
a) 𝜹 𝒕 = 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∀ 𝒕 ≠ 𝟎
 𝜹 𝒕 − 𝝉 = 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∀ 𝒕 ≠ 𝝉
b) −∞
∞
𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = −𝒕𝟏
𝒕𝟐 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏, 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∀ 𝒕𝟏, 𝒕𝟐 > 𝟎
c) −∞
∞
𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝟎 −∞
∞
𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝟎
d) 
𝒅𝑯 𝒕
𝒅𝒕
= 𝜹 𝒕
e) 𝒇 𝒕 = 𝑨𝜹 𝒕 − 𝝉  impulso de amplitude A em t = 