Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 24 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 24 – 12/06/2017 
TÓPICOS DA AULA: 
 
CIRCUITOS DE 2a ORDEM: 
. ANALOGIA COM SISTEMA MASSA-MOLA 
. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2a ORDEM 
. RAÍZES DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA 
. RESPOSTA COMPLETA DOS CIRCUITOS RLC COM APLICAÇÃO DAS 
CONDIÇÕES INICIAIS: 
 - CONDIÇÃO DE SUPERAMORTECIMENTO 
 - CONDIÇÃO DE SUBAMORTECIMENTO 
 - CONDIÇÃO DE AMORTECIMENTO CRÍTICO 
Circuitos de 2a ordem 
• Possuem dois elementos armazenadores de 
energia não associados (ou seja, não podem ser 
substituídos por um outro equivalente); 
• Seu modelo é descrito por uma equação linear 
com derivadas de 1a e 2a ordem ou duas 
equações de 1a ordem; 
• Duas condições iniciais deverão ser consideradas 
para obtenção da solução do circuito. 
Equações integro-diferenciais associadas 
aos circuitos RLC série e paralelo: 
CCes(t) 
vR(t)
vC(t)
R
C
i(t)L
vL(t)
G
is(t)
vC(t)C
iR(t) iC(t)
1
iL(t)
L
𝑣𝑅 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 𝑒𝑠 
𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑒𝑠 
𝑖𝑅 + 𝑖𝐿 + 𝑖𝐶 = 𝑖𝑠 
𝐺𝑣 +
1
𝐿
 𝑣 𝑑𝑡 + 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑖𝑠 
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑖(𝑡) =
1
𝐿
𝑑𝑒𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+
1
𝑅𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑣(𝑡) =
1
𝐶
𝑑𝑖𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
 
Equação diferencial de 2a ordem: 
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑖(𝑡) =
1
𝐿
𝑑𝑒𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
 
Definições: 𝛼 =
𝑅
2𝐿
 𝑒 𝜔𝑜
2 =
1
𝐿𝐶
 
Objetivo da resolução da equação diferencial acima: 
 Determinar a função i(t) que satisfaça a equação acima 
Duas condições iniciais devem ser consideradas: 
Indicam se há energia armazenada no sistema, e estão relacionadas com: 
- tensão inicial no capacitor (vo) 
- corrente inicial no indutor (io) 
Solução completa da equação = 
solução particular + solução homogênea 
Solução particular: 
 
Solução homogênea: 
condições iniciais são desprezadas e es(t) = cte, pulso, cosseno, etc... 
condições iniciais são consideradas e es(t) = 0 
Equação diferencial de 2a ordem, cont… 
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑖(𝑡) =
1
𝐿
𝑑𝑒𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
 
Definições: 𝜶 =
𝑹
𝟐𝑳
 𝑒 𝝎𝒐
𝟐 =
𝟏
𝑳𝑪
 
1ª etapa: 
Analisar o comportamento “livre” do circuito  solução homogênea 
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 2 ∝
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝜔𝑜
2 𝑖(𝑡) = 0 
Equação diferencial de 2ª ordem, linear, ordinária a elementos constantes. 
Coeficiente de 
amortecimento, 
unidade s-1 
Frequência de 
oscilação não 
amortecida, 
unidade = rad/s 
Analogia do comportamento do circuito 
RLC com um sistema massa-mola 
Fel = kx 
Fat 
Fext 
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 
𝑓𝑒𝑥𝑡 − 𝑓𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 − 𝑓𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝑚𝑎 = 𝑓𝑒𝑥𝑡 − 𝑘𝑥 − 𝛽𝑥 
𝑚𝑥 + 𝛽𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒𝑥𝑡 
𝑥 (𝑡) +
𝛽
𝑚
𝑥 (𝑡) +
𝑘
𝑚
𝑥(𝑡) = 0 
Para o sistema massa-mola livre, ou 
seja, com fext = 0, temos: 
Para o sistema RLC livre, ou seja, com 
es(t)=0, temos: 
𝜶 =
𝑹
𝟐𝑳
 𝑒 𝝎𝒐
𝟐 =
𝟏
𝑳𝑪
 
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 2 ∝
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝜔𝑜
2 𝑖(𝑡) = 0 
Deslocamento do sistema massa-mola 
em função do tempo 
x = 0 
Solução da equação diferencial de 
2ª ordem 
𝑥 𝑡 + 2 ∝ 𝑥 𝑡 + 𝜔𝑜
2𝑥 𝑡 = 0 
Determinar x(t) que satisfaça a equação diferencial acima. 
 
x(t) e suas derivadas (a menos de constantes) quando somadas 
devem resultar em zero. 
“chutar” como solução: 
 
 𝒙 𝒕 = 𝑨𝒆𝒔𝒕 
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑠𝐴𝑒𝑠𝑡 
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑡 
Determinação da equação 
característica do circuito 
Dado que: 
E que: 𝑑𝑥ℎ (𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑠𝐴𝑒𝑠𝑡 
𝑑2𝑥ℎ (𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑡 
𝑥ℎ 𝑡 = 𝐴𝑒
𝑠𝑡; 
Temos que: 𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑡 + 2𝛼𝑠𝐴𝑒𝑠𝑡 +𝜔𝑜
2𝐴𝑒𝑠𝑡 = 0 
𝐴𝑒𝑠𝑡 𝑠2 + 2 ∝ 𝑠 + 𝜔0
2 = 0 
Como: 𝐴 ≠ 0 𝑒 𝑒𝑠𝑡 ≠ 0 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥(𝑡) , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
𝒔𝟐 + 𝟐 ∝ 𝒔 + 𝝎𝒐
𝟐 = 𝟎 Equação característica 
𝒙 𝒉 𝒕 + 𝟐 ∝ 𝒙 𝒉 𝒕 + 𝝎𝒐
𝟐𝒙𝒉 𝒕 = 𝟎 
Raízes da equação característica 
𝑠2 + 2 ∝ 𝑠 + 𝜔𝑜
2 = 0 𝑠1,2 =−∝ ± ∝2 −𝜔𝑜2 
1ª SITUAÇÃO: 
𝒔𝟏 ≠ 𝒔𝟐 𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑠ã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠  𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆
𝒔𝟏(𝒕−𝒕𝟎) + 𝑨𝟐𝒆
𝒔𝟐 𝒕−𝒕𝟎 
Superamortecimento 
𝒔𝟏 ≠ 𝒔𝟐 𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆
𝒔𝟏(𝒕−𝒕𝟎) + 𝑨𝟐𝒆
𝒔𝟐 𝒕−𝒕𝟎 
 
Subamortecimento ou Ondulatório 
2ª SITUAÇÃO: 
𝑠1 = 𝑠2 → 𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆
𝒔𝟏 𝒕−𝒕𝟎 + 𝑨𝟐 𝒕 𝒆
𝒔𝟏 𝒕−𝒕𝟎 
Amortecimento Crítico 
Resposta completa com aplicação das 
condições iniciais (c.i.) 
𝒙 𝒕 = 𝒙𝒉 𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 = 𝟎 = 𝒙𝒉 𝒕 = 𝟎 + 𝒙𝒑 𝒕 = 𝟎 
1ª situação, em que s1  s2: 
𝑥 𝑡 = 𝐴1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑠2𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡 
 
𝑥 𝑡 = 𝐴1𝑠1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑠2𝑒
𝑠2𝑡 + 𝑥 𝑝 𝑡 
𝑥 0 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝑥𝑝 0 
 
𝑥 0 = 𝐴1𝑠1 + 𝐴2𝑠2 + 𝑥 𝑝 0 
Condições Iniciais: 
1 1
𝑠1 𝑠2
𝐴1
𝐴2
=
𝑥 0 − 𝑥𝑝 0
𝑥 0 − 𝑥 𝑝 0
 
E chamando-se: 
𝑎 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0 
 
𝑏 = 𝑥 0 − 𝑥 𝑝 0 
𝑨𝟏
𝑨𝟐
=
𝟏
𝒔𝟐 − 𝒔𝟏
𝒔𝟐𝒂 − 𝒃
−𝒔𝟏𝒂 + 𝒃
 
𝒙 𝒕 = 
𝒔𝟐𝒂 − 𝒃
𝒔𝟐 − 𝒔𝟏
𝒆 𝒔𝟏𝒕 +
−𝒔𝟏𝒂 + 𝒃
𝒔𝟐 − 𝒔𝟏
𝒆 𝒔𝟐𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕 
Resposta completa na situação 
𝒔𝟏 ≠ 𝒔𝟐 𝑒 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐱𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐠𝐚𝐝𝐨𝐬: 
𝑍 + 𝑍 = 𝑎 + 𝑗𝑏 + 𝑎 − 𝑗𝑏 = 2𝑎 = 2. 𝑅𝑒{𝑍. 𝑍 } 
𝑒𝑎+𝑗𝑏 = 𝑒𝑎𝑒𝑗𝑏 = 𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝑏 
Lembrando-se que: 
E considerando-se que: 𝑠1,2 =−∝ ± ∝2 −𝜔𝑜2 
No caso de subamortecimento, temos que: 𝝎𝒐
𝟐 > 𝜶 
 
Definindo-se 𝝎𝒅 = 𝝎𝒐𝟐 − 𝜶𝟐 , conhecida como frequência 
própria amortecida, as raízes da equação característica serão: 
𝒔𝟏 = −𝜶 + 𝒋𝝎𝒅 𝒔𝟐 = −𝜶 − 𝒋𝝎𝒅 
A solução completa para a condição de 
subamortecimento 
𝑥 𝑡 = 𝑨𝟏𝑒
𝒔𝟏𝑡 + 𝑨𝟐𝑒
𝒔𝟐𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡 
E neste caso, A1 e A2 terão os seguintes valores: 
𝒔𝟏,𝟐 = −𝛼 ± 𝑗𝜔𝑑 
𝑨𝟏 =
𝑠2𝑎 − 𝑏
𝑠2 − 𝑠1
=
−𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 𝑎 − 𝑏
−2𝑗𝜔𝑑
=
𝒂
𝟐
− 𝒋
𝜶𝒂
𝟐𝝎𝒅
+
𝒃
𝟐𝝎𝒅
 
𝑨𝟐 =
−𝑠1𝑎 + 𝑏
𝑠2 − 𝑠1
=
𝒂
𝟐
+ 𝒋
𝜶𝒂
𝟐𝝎𝒅
+
𝒃
𝟐𝝎𝒅
 
𝑨𝟐 = 𝑨𝟏
∗ 
 com isso, 𝑨𝟏𝑒
𝒔𝟏𝑡 e 𝑨𝟐𝑒
𝒔𝟐𝑡 também são complexos conjugados. Assim: 
𝑥 𝑡 = 2. 𝑅𝑒
𝑎
2
− 𝑗
𝛼𝑎
2𝜔𝑑
+
𝑏
2𝜔𝑑
𝑒−𝛼𝑡+𝑗𝜔𝑑𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡 
s1 e s2 são complexos 
conjugados! 
Solução completa para a condição de 
subamortecimento, cont. 
𝑥 𝑡 = 2. 𝑅𝑒
𝑎
2
− 𝑗
𝛼𝑎
2𝜔𝑑
+
𝑏
2𝜔𝑑
𝑒−𝛼𝑡+𝑗𝜔𝑑𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡 
𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛼𝑡𝑅𝑒 𝑎 − 𝑗
𝛼𝑎
𝜔𝑑
+
𝑏
𝜔𝑑
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡 
𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛼𝑡 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑡 + 0
𝑜 +
𝛼𝑎
𝜔𝑑
+
𝑏
𝜔𝑑
. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑡 − 90
𝑜 + 𝑥𝑝 𝑡 
A expressão acima pode ser representada também da seguinte forma: 
𝒙 𝒕 = 𝑿𝒆−𝜶𝒕𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒅𝒕 + 𝝍 + 𝒙𝒑 𝒕 
Solução completa para a condição de 
subamortecimento, cont, 2 
𝒙 𝒕 = 𝑿 𝑒−𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑡 + 𝝍 + 𝑥𝑝 𝑡 
*A soma das duas 
cossenoides de 
mesma frequência foi 
efetuada utilizando-
se o conceito de 
fasores: 
𝑿 = 𝑎2 +
𝛼𝑎 + 𝑏
𝜔𝑑
2
 𝝍 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 𝑎,
𝛼𝑎 + 𝑏
𝜔𝑑
 
Resposta completa para a 2ª situação: 
s1 = s2 (amortecimento crítico) 
Lembrando-se que as possíveis raízes da 
equação característica são: 
 
 
𝑠1,2 =−∝ ± ∝2 −𝜔𝑜2 
Para a condição de amortecimento crítico: 
𝜶𝟐 = 𝝎𝒐
𝟐 𝑒 𝒔𝟏 = 𝒔𝟐 = −𝜶 
𝒙 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆
−𝜶𝒕 + 𝑨𝟐 𝒕 𝒆
−𝜶𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕 
 
𝒙 𝒕 = −𝑨𝟏𝜶𝒆
𝒔𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝜶𝒕 − 𝜶𝑨𝟐𝒆
−𝜶𝒕 + 𝒙 𝒑 𝒕 
Logo: 
Resposta completa para o 
amortecimento crítico, cont. 
𝒙 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆
−𝜶𝒕 + 𝑨𝟐 𝒕 𝒆
−𝜶𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕 
 
𝒙 𝒕 = −𝑨𝟏𝜶𝒆
𝒔𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆
−𝜶𝒕 − 𝜶𝑨𝟐𝒆
−𝜶𝒕 + 𝒙 𝒑 𝒕 
Os coeficientes A1 e A2 são determinados a partir das condições iniciais: 
𝑥 0 = 𝐴1 + 𝑥𝑝 0 ⇒ 𝑨𝟏 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0 = 𝒂 
𝑥 0 = −𝛼𝐴1 + 𝐴2 + 𝑥 𝑝 0 ⇒ 𝑨𝟐 = 𝛼𝑎 + 𝒃 
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝒃 = 𝑥 0 − 𝑥 𝑝 0 
𝒙 𝒕 = 𝒂𝒆−𝜶𝒕 + 𝜶𝒂 + 𝒃 𝒕 𝒆−𝜶𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕 
Com isso, a 
expressão ficará: