Lista de exercícios sobre Polinomio de Taylor

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CA´LCULO NUME´RICO
Polinoˆmio de Taylor
Juliana Vianna Vale´rio - 2011/1
1. Ca´lculo de ln(x+ 1).
a) Obtenha a fo´rmula de Taylor ao redor de 0 para f(x) = ln(x+ 1).
b) Obtenha o polinoˆmio de Taylor de terceiro grau p3(x) ao redor de 0 da func¸a˜o f(x)
do item anterior, o erro e um limitante superior do erro para o ponto x = 0.5.
c) Quantos d´ıgitos corretos de f(x) = ln(1.5) foram obtidos usando p3(0.5)? Justifique.
d) Determine o nu´mero mı´nimo de termos que deve ter o polinoˆnio de Taylor para que o
ln(1.5) seja calculado com um erro de truncamento menor que 10−8.
2. Numa calculadora aproxima-se o valor de exp(x), para todo x ∈ [−1, 1], pelo valor do
polinoˆmio de Taylor de grau 3, obtido atrave´s da expansa˜o de exp(x) em se´rie de Taylor
em torno do ponto x0 = 0.
a) Qual a aproximac¸a˜o de exp(0.5) fornecida pela calculadora?
b) Utilizando a expressa˜o do erro cometido ao se aproximar a func¸a˜o ex pela sua expansa˜o
em se´rie de Taylor, fornec¸a um limitante superior para o erro cometido no item a).
3. Seja f(x) = 1/x.
a) Obtenha a se´rie de Taylor de f(x) ao redor de 8.
b) Usando a) expresse 1
10
em termos de uma se´rie em poteˆncias de 2.
c) Determine um limitante superior do erro de truncamento para o polinoˆmio de Taylor
de ordem 4, p4(x), da f(x) em x = 10, ao redor de 8.
d) Obtenha uma aproximac¸a˜o de 0.1 usando o polinoˆmio de ordem 4 e verifique que o
erro cometido fica entre os limites encontrados em c).
e) De que ordem deve ser o polinoˆmio de Taylor para obter uma aproximac¸a˜o de 0.1 com
erro inferior a 10−8?
4. Usando a fo´rmula de Taylor para a func¸a˜o ex em torno de x∗ = 0, quantos termos devem
ser considerados para aproximar e2 com uma precisa˜o de 10−4?
5. Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 3 correspondente a` func¸a˜o f(x) = (x− 1) lnx em
torno do ponto a = 1.
a) Use p3(0.5) para aproximar f(0.5).
b) Calcule um limitante superior de |f(0.5)− p3(0.5)| usando a fo´rmula do erro de Taylor
e compare com a cota superior do erro quando se considera o valor de f(0.5) dado pela
sua calculadora.
c) Aproxime
∫
1.5
0.5
f(x)dx usando
∫
1.5
0.5
p3(x)dx.
Utilidades:
Conversor de base http://wims.unice.fr/wims/
Tutorial de Matlab www.math.mtu.edu/~msgocken/intro/intro.html.
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