Geometria Analítica e Geometria Não Euclidiana

Prévia do material em texto

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
Todas as ideias matemáticas possuem relação entre si. Assim, em dado momento, essas ideias podem 
relacionar-se entre si, seja de forma explícita ou implícita.
Partindo dessa base, o filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650) concebeu a 
geometria analítica.
René Descartes
(La Haye en Touraine, 31/03/1596 - Estocolmo, 11//021650)
Descartes foi um filósofo, físico e matemático francês. Notabilizou-se sobretudo por seu trabalho 
revolucionário na filosofia e na ciência, mas também obteve reconhecimento matemático por sugerir a 
fusão da álgebra com a geometria - fato que gerou a geometria analítica e o sistema de coordenadas 
que hoje leva o seu nome.
Fonte: Wikipedia, 2017
Na sua época a álgebra e a geometria faziam parte do conhecimento matemático, mas eram tratadas 
diferentemente. Foi então que Descartes se dedicou a unir dessas essas duas áreas (para ele 
claramente correlacionáveis).
Em seu livro, O Discurso do Método (publicado em 1637), Descartes explana que as ciências deveriam 
ser guiadas pela matemática, graças a sua exatidão e possibilidade de experimentação.
Nesse mesmo livro, demonstrou a vasta gama de aplicabilidades da geometria analítica. Todavia, as 
indicações sobre quem possivelmente seria o patrono da Geometria Analítica não formam consenso.
Muitos historiadores dão crédito também ao matemático Pierre de Fermat (1601-1665 - que 
estudaremos em aula posterior), graças aos seus estudos no campo das equações para representar 
curvas no plano.
Além disso, outros estudiosos apontam esse conhecimento como advindo, ora dos egípcios, ora dos 
gregos ou romanos.
Em outra aula, estudaremos mais sobre os conteúdos propostos por René Descartes e Pierre de 
Fermat.
Geometria Analítica e Geometria Não-
Euclidiana3
TEXTO-BASE
Geometria Analítica e Geometria Não-Euclidiana
Página 1 de 4Texto-base - Geometria Analítica e Geometria Não-Euclidiana | Fernanda Oliveira ...
21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-geometria-analitica-e-geomet...
Pierre de Fermat
(Beaumont-de-Lomagne, na primeira década do séc. XVII - Castres, 12/01/1665)
Alguns historiadores consideram Fermat o criador da Geometria Analítica em 1629. Ele descreveu suas 
ideias num trabalho não publicado que introduziu a ideia de eixos perpendiculares, as equações gerais 
da reta, circunferência e para parábolas, elipses e hipérboles e demonstrou que toda equação de 1º e 2º 
grau pode ser reduzida a um desses tipos. Nada disto está no ensaio de Descartes, apesar deste ter tido 
acesso à Introdução vários meses antes de publicar a sua obra intitulada Geometria, de 1637.
Fonte: Wikipedia, 2017
GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA
 A obra Os Elementos, de Euclides, foi organizada na forma de um trabalho de Matemática, 
especialmente de Geometria, cujo conteúdo perdurou sem questionamentos por quase 2 mil anos.
Todavia, crises ocorreram. No século XIX, houve grande turbulência no estudo da Matemática, 
fundamentalmente pela industrialização. Assim, a pesquisa nesse campo progrediu e, na interface entre 
séculos XVIII e XIX, surgiu Carl Friedrich Gauss, que, doutor com 22 anos, publicou um estudo sobre a 
geometria intrínseca de uma superfície (LEIVAS, 2013).
Graças a diários deixados por Gauss, hoje temos conhecimento que em 1800 ele já tinha descoberto as 
funções elípticas e por volta de 1816 estava com estudos prontos na área de geometria não-euclidiana.
Contudo, Gauss nunca publicou nada sobre estes assuntos. Na verdade, apenas em algumas cartas 
enviadas a amigos próximos, tratou do axioma das paralelas de Euclides. Gauss parecia não ter 
disposição para aventurar-se publicamente em qualquer assunto controverso.
O 5º postulado de Euclides, conhecido como o das paralelas, causava incômodo e controvérsia desde 
seu tempo. O próprio Euclides evitava empregá-lo, enquanto outros tentavam eliminá-lo.
Alguns matemáticos acreditavam que não seria um postulado e poderia ser demonstrado, como um 
teorema, a partir dos 4 primeiros. Outros julgavam que era possível substituí-lo por algum princípio mais 
claro e evidente e passaria a ser o quinto postulado (LEIVAS, 2013).
Contudo, foram matemáticos do século XIX que perceberam que esse postulado era independente dos 4 
primeiros e que havia sistemas geométricos em que ele, da forma como enunciado por Euclides, não se 
coadunava. Assim, a proposta era de substituí-lo por outro capaz de criar um sistema geométrico 
consistente e perfeitamente compatível. Esse "evento" fez parte da denominada crise dos Fundamentos 
da Matemática, já que a concepção de mundo não era mais euclidiana.
Além da Geometria, a crise também envolvia mudanças nos fundamentos da Análise matemática, 
devido à imprecisão dos conceitos que sustentavam o cálculo infinitesimal. Ou seja, exatamente no ramo 
da matemática que se mostrava mais fecundo para resolver vários problemas colocados pela física. 
Resumindo Geometria Não-Euclidiana
Em matemática, uma geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema 
axiomático distinto da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula 
que por um ponto exterior a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se 
Página 2 de 4Texto-base - Geometria Analítica e Geometria Não-Euclidiana | Fernanda Oliveira ...
21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-geometria-analitica-e-geomet...
as geometrias elíptica e hiperbólica. Na geometria elíptica não há nenhuma reta paralela à 
inicial, enquanto que na geometria hiperbólica existe uma infinidade de retas paralelas à inicial 
que passam no mesmo ponto. Na geometria elíptica a soma dos ângulos internos de um 
triangulo é maior que dois ângulos retos, enquanto na geometria hiperbólica esta soma é menor 
que dois ângulos retos. Na elíptica, temos que a circunferência de um círculo é menor do que 
PI vezes o seu diâmetro, enquanto na hiperbólica esta circunferência é maior que PI vezes o 
diâmetro.
O crédito pela descoberta das geometrias não euclidianas geralmente é atrelado às figuras dos 
matemáticos Carl Friedrich Gauss, e Bernhard Riemann.
Assim, teve início um movimento de busca por seus próprios fundamentos.
Segundo Leivas (2013), Lobachevsky e Bolyai, independentemente, criaram versões de uma geometria 
consistente e lógica, cujos princípios diferiam dos euclidianos:
Essa é a chamada Geometria Hiperbólica. Além disso, durante o século XIX, Riemann criou uma nova 
estrutura geométrica, consistente e sem contradições, apresentando princípios distintos da geometria 
euclidiana (como a geometria criada também por Lobachevsky e Bolyai). Nesses novos fundamentos:
Assim nascia a Geometria Elíptica para uns e de Riemann para outros.
Gauss denominou essas duas construções de Geometrias Não-Euclidianas. Nessa nova perspectiva, as 
geodésicas são as curvas que desempenham o papel da reta no plano euclidiano. Como forma de 
ilustração, um espaço geométrico, no qual se podem visualizar essas geometrias: a superfície esférica 
(elíptica) e a pseudo-esfera (hiperbólica) (Figura 1).
esférico plano hiperbólico
Figura 1. Figuras representativas e ilustrativas para a Geometria Não-Euclidiana. 
Gauss desenvolveu o conceito de curvatura gaussiana de superfícies, segundo o qual, é possível 
elaborar a classificação dessas geometrias. Contudo, não vamos aprofundar explicitamente os conceitos 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que 180º;a.
Dada uma reta e um ponto fora dela, existe mais do que uma paralela passando pelo ponto e que 
não a intersecciona.
b.
A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre é maior do que 180º;a.
Dados dois pontos distintos, é possível obter mais do que uma reta distinta unindo-os;b.
Dada uma reta e um ponto fora dela, não existe paralela a ela passando pelo ponto.c.
Página3 de 4Texto-base - Geometria Analítica e Geometria Não-Euclidiana | Fernanda Oliveira ...
21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-geometria-analitica-e-geomet...
dessas classificações. O que queremos aqui apresentar é que o caminho da geometria tomou novo 
rumo a partir do século XIX, com os estudos e classificações de Gauss.
Johann Carl Friedrich Gauss
(Braunschweig, 30/04/ 1777 - Göttingen, 23/02/1855)
Gauss foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, 
dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, 
geofísica, eletroestática, astronomia e óptica. Alguns se referem a ele como princeps mathematicorum 
(em latim: "o príncipe da matemática" ou "o mais notável dos matemáticos") e um "grande matemático 
desde a antiguidade". Gauss tinha uma marca influente em muitas áreas da matemática e da ciência e é 
um dos mais influentes na história da matemática. Ele considerava a matemática como "a rainha das 
ciências".
Fonte: Wikipedia, 2017
REFERÊNCIAS
LEIVAS, J.C.P. Geometrias não Euclidianas: ainda desconhecidas por muitos. Educação Matemática 
Pesquisa, São Paulo, v.15, n.3, pp.647-670, 2013.
Página 4 de 4Texto-base - Geometria Analítica e Geometria Não-Euclidiana | Fernanda Oliveira ...
21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-geometria-analitica-e-geomet...