Circuitos Elétricos II - Poli - Lista 3 - Análises nodal e de malha, propriedades gerais das redes lineares

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PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Lista 3: Análise de Malhas, Análise Nodal e Propriedades Gerais das Redes Lineares 
 
Análise Nodal de Redes RLC 
1 – a) Escreva as equações de análise nodal dos circuitos da Figura 1 no domínio de Laplace com 
condições iniciais nulas. 
b) Reescreva as equações para o circuito iii), supondo e1(0-) = 2 e i(0-) = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS: 1) Quando necessário, faça transformações prévias no circuito. 
 2) Procure escrever o menor número possível de equações em cada caso. 
 
2 – Escreva as equações de análise nodal do circuito da Figura 2 no domínio de Laplace, com as 
condições iniciais iL(0-) = i0 , vc(0-) = v0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
iL 
R2 = 2 is R1 = 1 
2 
2 
vC 
e1 e2 
e1 
Figura 1 
iii) 
R1 
E 
e1 R2 
I 
i) 
e1 
L 
C 
es 
i 
is L 
R1 
ii) 
C C1 is R1 
v1 
e1 e2 
v1 L2 
R2 
iv) 
3 – O circuito da Figura 3 é um modelo incremental simplificado de um amplificador 
transistorizado. O enunciado está todo em unidades do sistema AF. Escreva as equações 
matriciais de análise nodal desse circuito no domínio de Laplace. Suponha condições iniciais 
arbitrárias em C1 e C2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
Análise de Malhas 
1 – Utilizando análise de malhas, determinar a potência fornecida pelo gerador de 20 V da 
Figura 1. 
 
2 – No circuito da Figura 2, calcule as potências fornecidas pelos geradores e mostre a validade da 
conservação de potências no circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
 
 
 20V 
30A 
1 3 
2 va 
ix 
2 
10 
8 
20 
40 4ix 
20V 
gme1 
e1 e2 
is 
C1 
C2 R1 R2 
3 – Para o circuito da Figura 3, pede-se: 
 
a) Calcule a tensão v, utilizando análise de malhas. 
b) Determine a potência instantânea fornecida pelo gerador vinculado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3 
 
 
 
4 – Para o circuito da Figura 4, pede-se: 
 
a) Escreva as equações de malha nas correntes i1 e i2 . 
b) Faça r = R2 , R3 = R2 ,  = 1 e determine j . 
c) Para a condição imposta em b), determine a resistência de entrada 
R
e
i
e
1
1

 e o ganho 
de tensão 
G
e
e
2
1

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
 
e2 
e1 
R1 
R3 
Re 
R2 i2 i1 
rj v 
v 
j 
ix 
2 
5 
4ix 
36V 45cost (A, s) 
v 
5 – Escreva as equações de análise de malhas dos circuitos da Figura 5a e b, e determine v1(t), 
t > 0. Admita condições iniciais quiescentes. A análise de malhas é a melhor opção de cálculo 
nos dois casos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( a ) 
 ( b ) 
 Figura 5 
 
6 – Utilize transformação de fontes e análise de malhas para determinar os fasores I e Vx do 
circuito da Figura 6 em regime CA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
Propriedades Gerais das Redes Lineares 
1 – A equação matricial de um certo circuito, no domínio do tempo, é 
 
 
 
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP
1 D a
D 2 1
v t
v t
e t
0
1
2
sb g
b g
b g , 
 
onde a é uma constante maior que zero. 
 
 
a) Determine a função de rede 
G s V s E s1 1 sb g b g b g
. Coloque seu resultado na forma de 
relação de polinômios 
N s D sb g b g
, com o polinômio D(s) mônico. 
b) Quais as condições no parâmetro a para que o circuito admita regime permanente senoidal? 
2H(t) 10H(t) 
(A) ( V ) 
3 
v1 2H 2H(t) 
(A) 
5 5 
v1(t) 
i 
5i 2H 
33,8 0 0,75 
j2 1 
3 
2 
V 
-j5 
c) É possível escolher a de modo que o circuito tenha um par de polos (ou frequências 
complexas próprias) sobre o eixo imaginário do plano complexo? Justifique claramente 
sua resposta. 
d) Suponha agora a = 1 e es(t) = 2cos(3t). Qual será a resposta v1(t) do circuito, em 
regime permanente senoidal? 
 
 
2 – A resposta de um circuito linear e invariante no tempo, com condições iniciais nulas, para uma 
excitação u(t) = (t), é dada por1: 
 
g t e e . H tt 2 tb g c h b g   
 
 
onde  e  são constantes reais e não nulas. Pede-se: 
 
 
a) Qual a correspondente função de rede do circuito? 
b) Determine condições em  e  para que a função de rede não tenha zeros finitos. 
c) Como calcular a resposta do circuito para u(t) = H(t), com condições iniciais nulas, a partir 
de g(t) ? 
d) Qual a resposta do circuito dado ao degrau u(t) = 2H(t), com condições iniciais nulas? 
Quantas condições iniciais podem ser especificadas arbitrariamente neste circuito? 
 
 
 
3 – As equações de análise nodal de um certo circuito, transformadas segundo Laplace, são: 
 
0,1
1
2s
1
2s
1
2s
3s 0,2
1
2s
E s
E s
I s 10 s
10 s 5
1
2
s
 
  
L
N
MMMM
O
Q
PPPP
L
N
MM
O
Q
PP 


L
N
MM
O
Q
PP
b g
b g
b g
 , 
 
com os dados numéricos do sistema AF de unidades. 
 
a) Desenhe um diagrama desse circuito, especificando os valores dos componentes e as 
condições iniciais, indicando as respectivas unidades. 
 
b) Determine a função de transferência G1 ( s ) = E1(s) / Is (s). 
 
4 – Para o circuito da Figura 1, pede-se: 
 
a) Determine suas frequências complexas próprias e seus modos naturais. 
 
 
1 Observação: g(t) é também conhecida como resposta ao impulso unitário ou resposta impulsiva. 
b) Suponha agora que um gerador ideal de corrente é ligado em série com o resistor de 2 . 
Quais as novas frequências complexas próprias do circuito? Qual a razão da modificação 
em relação ao caso anterior? 
 
c) Volte ao circuito original, suponha es1 = es2 = 0, uma tensão inicial no capacitor de vc 
(0–) = 4 volts e corrente inicial nula no indutor. Calcule e1( 0+ ) e e2( 0+ ). 
 
d) Procure determinar e1(t), t  0, a partir das informações obtidas no item anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – Para o circuito com operacional ideal da Figura 2, com unidades SI, pede-se: 
 
a) Determine as frequências complexas próprias do circuito tomando C1 = C2 = 1 e R1 
= R2 = R3 = 1. Quais serão os modos naturais do circuito? Calcule também o ganho 
E3(s)/ Es(s). Examine a relação entre os polos de E3(s)/ Es(s) e as frequências complexas 
próprias. 
 
NOTA: Basta escrever as equações nodais para os nós 1 e 2 e considerar que o 
operacional impõe e2 = 0. 
 
b) Faça agora R1 = R2 = 2, mantendo os outros parâmetros. Quais as novas frequências 
complexas próprias? Como serão os modos naturais do circuito neste caso ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
es21 
0,5H 
2F 
es1 vC 
1 e1 e2 i4 
i3 
Figura 1 
Figura 2 
R3 
e3 
e2 e1 R1 
R2 
C1 
C2 
es 
 
 
6 – No circuito da Figura 3, sabendo que vs(t) = 2,5cos10t, e usando a 2a L.K. no subcircuito 
da esquerda e a 1a L.K. à direita, 
 
a) Determine o fasor 
V2
 da tensão de saída. 
 
b) Determine os valores da indutância e da capacitância do circuito. 
 
c) Determine os modos naturais do circuito e verifique se o regime permanente senoidal pode 
nele se estabelecer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
7 – A resposta em estado zero de um circuito linear e invariante no tempo a uma excitação por um 
degrau unitário de corrente é a tensão 
 
v(t) = 2( 1 – e – t ) . H(t) ( V, s ). 
 
a) Determine a transimpedância do circuito. 
b) Qual será sua resposta, em condições iniciais nulas, à corrente da Figura 4? 
( ap. Chua, Desoer e Kuh, p. 503 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 
 
 
 Figura 5 
 
1 
2 1 
i(t) 
t(seg) 
-1 
3 
2 
4 
100V 
b 
20V 
4 4 
R 
4 
vx 
vx 
a 
4 
4 
5 
j8 
-j10 
8 – Para o circuito da Figura 5, pede-se: 
 
a) Calcular o gerador de Thévenin equivalente entre os pontos a e b. 
b) Calcular o valor de R tal que a potência entregue pelo circuito seja máxima. Qual o 
valor desta potência? 
 
9 – O circuito da Figura 6 está em regime permanente senoidal com 
 
es(t) = 9.cos10t , is(t) = 2cos( 10t – /3 ) ( unidades do S.I.). 
 
a) Determine as funções de rede 
V s E ssb g b g
 e 
V s I ssb g b g
, para R = 1 . 
b) Determine os geradores equivalentes de Thévenin e Norton para o circuito à esquerda dos 
terminais a, b. 
c) Determine a tensão v(t), para R = 1  e R = 10 . 
 
 ( ap. Chua, Desoer e Kuh, p. 569 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 – Para o circuito da Figura 7, pede-se: 
 
a) Determine e desenhe o gerador de Thévenin, em regime permanente senoidal, para o 
subcircuito localizado à direita dos terminais A e B. 
b) Calcule os fasores 
Ig
, 
Vx
, 
IR
 e 
IC
 . Supondo o resistor R variando de 0 a , 
determine os intervalos de variação do módulo e da fase de 
Vx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 – Usando o teorema de Thévenin, obtenha a corrente i(t) em regime permanente senoidal no 
circuito da Figura 8. Se a resistência R for modificada para 10 , qual será a nova i(t) ? 
 
is(t) es(t) 
1 
a 
R 
b 
0,1F v(t) 
0,2H 
Figura 6 
Figura 7 
B 
ig(t) = 0,1cost (A,s) 
0,1 F A 
iC iR 
1/2 vx R = 100 
 = 105 rd/s 
vx 
( ad. Chua, Desoer e Kuh, 
p. 569, Prova de Recup. 1996 ) 
 
 
 
 Figura 8 
 
 
 
12 – Considere o circuito da Figura 9, em que B representa um bipolo não linear, cuja característica 
é dada, em ampères, por: 
 
i
3 v 3 1, v 1
0, v 1
2

  

RS|T|
b g 
 
a) Determine os pares ( v,i ) possíveis no circuito ( use Thévenin ). 
b) Mostre que o uso da superposição na solução desse circuito leva a erro. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9 
 
3A 
3,2V 
1,6 
i 
v 
10cos20t 
( V, seg ) 
1H 
i 
1/200 F 
1/200 F 
R = 5 
20 
~ 
PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Solução da Lista 3: Análise de Malhas, Análise Nodal e Propriedades Gerais das Redes Lineares 
 
Análise Nodal de Redes RLC 
 
1 – a) 
i) E1(s) = E + R1 I 
ii) 
1 s
1
sC + E (s) = I (s)
sL
 
 
 
 
iii) 
1 s
1 1
sC + E (s) = E (s)
sL sL
 
 
 
 
iv) 
1 1 s
1
1 2
2 2 2
1
+ sC E (s) = I (s)
R
1 1 1
μ E (s) + + E (s) = 0
R R sL
  
  
  

 
  
 
 
1
1 1 s
2
2 2 2
1
+ sC 0
R E (s) I (s)
=
E (s)1 1 1 0
μ +
R R sL
 
     
     
     
 
 
b) 
1 s
1 1 1
sC + E (s) = E (s) + + 2C
sL sL s
 
 
 
 
 
 
2 –  
 
 s 0
1
0
2 0
2s + 1 2s I s + 2v
E s
=1 1 i
E s 2s + 2s + 2v 
2 2s s
   
    
            
 
 
3 – Considerando as seguintes condições iniciais 
 
10 1 2
20 2
v = e (0 ) e (0 )
v = e (0 ),
 

 
 
temos a seguinte equação matricial de análise nodal no domínio de Laplace: 
1 1
1 s 1 101
1 10 2 202
1 1 2
2
1
+ sC sC
R I (s) + C vE (s)
=
 C v C vE (s)1
 sC g + s(C C )
R
m
 
    
              
 
 
 
Análise de Malhas 
 
1 – 
i
v i i
i ia2
1 2
2 1
4
2
4


 

  .
b g 
 
 
i3
 = 30 A 
 
 
 Portanto, basta escrever a equação da malha 1: ( 1 + 2 ) i1 - 2i2 - i3 = 20 
 3i1 + 2i1 = 50  i1 = 10 A 
 
 Potência fornecida pelo gerador: p = 20.i1 = 200 W 
 
2 – 
 ix = i1 
 
 
 
 
 Análise de Malhas: 
70 10 40
10 20 8
40 8 48
 
 
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
 
i
i
i
1
2
3
L
N
MMM
O
Q
PPP
 = 
0
20
4 1

L
N
MMM
O
Q
PPPi
 
 
 Solução do sistema: 
70 10 40
10 20 8
44 8 48
 
 
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
 
i
i
i
1
2
3
L
N
MMM
O
Q
PPP
 = 
0
20
0

L
N
MMM
O
Q
PPP
 
 
 i1 = -1 A i2 = -2 A i3 = -1,25 A 
 
 Potência fornecidas pelos geradores: p1 = 20.(-i2) = 40 W 
 p2 = 4i1 . i3 = 5 W 
 
 Potências recebidas pelos resistores: ( R i 2 ) 
 
 
20 10 40 2 81
2
1 2
2
1 3
2
2
2
2 3
2
i i i i i i i i      b g b g b g
 = 45 W = p1 + p2 
i2 i1 
i3 
i2 
i1 
i3 
3 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Temos que i i
i 45cost
1 x
2


RST
 e v = 2( i2 - i1 ) 
 
 Malha 1  7 ix - 2( 45 cos t ) = - 36 + 4 ix 
  3 ix = - 36 + 90 cos t 
 ix = - 12 + 30 cos t 
 
  v = 2( 45 cos t + 12 - 30 cos t ) 
 v = 30 cos t + 24 
 
b) p = 4 ix ( i1 - i2 )  p = ( - 48 + 120cost ) ( - 12 - 15cost ) 
 p = 576 - 720cost - 1800cos2t 
 
 
4 – a) R R R
R R R
1 2 2
2 2 3
 
 
L
NM
O
QP
i
i
e v
r j
1
2
1L
NM
O
QP 
L
NM
O
QP
 v = R2( i2 - i1 ) j = i1 - i2 
 
 R R R
R r R R r
1 2 2
2 2 3
1 1   
   
L
NM
O
QP
 b g b gi
i
e1
2
1
0
L
NM
O
QP 
L
NM
O
QPb) Equações: R
R R
i
i
e1
2 2
1
2
10
2 3 0
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP 
L
NM
O
QP
 
 
 
i e R
i e R
1 1 1
2 1 12 3


 
j i i
e
R
  1 2
1
13
 
c) 
R
e
i
Re  
1
1
1
 
 
ix 
2 
5 
4ix 
36V 45cost (A) 
i2 i1 
v 
 
G G    
e
e
R i
e
R e
R e
R
R
2
1
3 2
1
2 1
1 1
2
1
2
3
2
3
.
.
 
 
 
5 – a) i1 = 2H(t)  I1(s) = 2/s 
 
 
 Em Laplace: 
 
3 2s I 2s .
2
s
10
s
I
2s 5
s s 1,5
2 2     


b g b g
 
 
V s 2s 2 s I s V s 4
4s 10
s 1,5
16
s 1,5
1 2 1b g b gc h b g b g    




 
 v1(t) = 16e
-1,5t (V,s), t  0 
 
b) i1 = 2H(t) i2 = i 
 Em Laplace: 
 
 
 
10 5 0
5 5 2s 1
5 1 0
I
I
V
10 s
0
2 s
3
1

  

L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP

L
N
MMM
O
Q
PPP
 
 
  
v t
50
3
H t t1 b g b g b g   28
3

 
 
 
6 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análise de malhas: 
 
 4 j2 j5 3 j5
3 j5 5 j5
I
I
33,8 0
1,5V
1
2 x
   
  
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP


L
NM
O
QP

 
 
 
 
  V j5 I Ix 1 2  d i
 
 
( a ) 
 I2 v1 
i 
i3 v1 
( b ) 
i 
33,8 0 1,5 
 
j2 2 1 
3 
V 
-j5 
 4 j3 3 j5
3 j 5 5 j 5
I
I
33,8 0
1
2
  
  
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP2 2 0, ,


 
 
 det = 6 + j 2,5 
 
 
 I I
33,8 5 j2,5
det
29,07 3,94 29 j21 

  
b g  
 
 
I
33,8 3 j2,5
det
20,31 17,19 19,4 j62 

  
b g  
 
 
  V j5 I I 20 j48 52 112,62x 1 2       d i 
 
 
 
Propriedades Gerais das Redes Lineares 
 
1 – a)  
 
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP
1 s a
s 2 1
V s
V s
E s
0
1
2
sb g
b g
b g  
 
 V1(s) = 
E s s a
0 1
s a 2 s 2a 1
1
s a 2 s 2a 1
. E s
s
2 2 s
b g
b g b g b g b g b g


    

   
  
 
 G1(s) = 
1
s a 2 s 2a 12    b g b g
 
 
b) Os polos devem estar no semiplano esquerdo aberto do plano complexo. Para isso, todos 
os coeficientes do denominador de G(s) devem ser positivos: 
 a + 2 > 0 e 2a - 1 > 0  a > -2 e a > 1/2  a > 1/2. 
 
c) Para polos sobre o eixo imaginário devemos ter: 
 a + 2 = 0 e 2a - 1  0  a = -2 e a  1/2  impossível. 
 Portanto, não é possível escolher a para obter polos sobre o eixo imaginário. 
 
d)
 V
1
j3 3. j3 1
. E1 2 s
 b g
  
V
1
8 j9
. 21 
 
 = 0,1661 -131,63 
 
  v1(t) = 0,1661 cos ( 3t - 131,63 ) 
 
2 – a) G(s) = L 
g t
s 1 s 2
b g 



   G(s) =      
 
b g b gs
s 3s 22
2
 
 
b) Condição para não haver zeros finitos: 
 zi = 



2 
 
  Para não haver zeros finitos,  = - . 
c) Y s G s .U s
U s 1 s
b g b g b g
b g


UV|W|
  Resposta ao degrau unitário, em estado zero: 
 
Y s
1
s
. G sb g b g
. Antitransformando, 
y t g t .d t
0
tb g b g
z
 , 
 
 onde 
g tb g 
 L -1 
G sb g
. Ou seja, a resposta de um circuito ao degrau unitário (em 
c.i.n.) é a integral da resposta ao impulso unitário deste circuito. 
 
d)
y t H tb g c h b g      LNM
O
QP
 

 z2 2 12 1220 2       e e d e et t t .
 
 ( Aplicando a conclusão do item c) ) 
 
 Como o circuito é de 2ª ordem, podem ser especificadas duas condições iniciais arbitrárias 
( por exemplo, y(0-) e 
y
(0-) ). 
 
3 – a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) det Yn(s) = 0,3s 1,52s 0,15
s
2   
 
 E s
I s 1 2s
0 3s 0,2 2s
det Y s
1
s
n
b g
b g
b g

  1
 
 
10k 
2H 
is 3F 5k 
e1 e2 
j0 
v0 
 
 
G s 10
s 0,067s 0,17
s 5,07s 0,5
2
2
b g d id i
 
 
 
 
4 – a) Equação característica: s2 + 2s + 1 = 0  s1,2 = –1 seg – 1 ( dupla ) 
 Modos naturais : A1 e
 – t , A2 t e
 – t 
 
b) A introdução do gerador de corrente “desacopla” o circuito em dois para o cálculo das 
FCPs: 
 
 
 
 
 
 
 
As FCPs são: s1 = – 0,5 seg – 1 e s2 = – 2 seg – 1 ( cada parte desacoplada ) 
 s1 = – 1/RC ; s2 = – R/L 
 
c) e1(0+) = 4 V e2(0+) = 1,33 V 
 
d) Como a frequência própria é dupla, e1(t) = A1 e
-t + A2 t e
-t  e1( 0+ ) = A1 = 4 
 
 
de
dt
A e A e t e1 1
t
2
t t     c h
 
 d e 0
dt
A A i 0 4
4
3
16
3
1
1 2 c

      
F
HG
I
KJ  
b g b g
 
 
 Portanto, A2 = 
4
16
3
4
3
  
 e 
e t 4e
4
3
t e1
t tb g   
 , t  0. 
 
5 – a) Escrevendo as equações da 1a L. K. para os nós 1 e 2, impondo e2  0 e c.i.n., vem 
 
2s 2 s
s 1
E s
E s
E s
0
1
3
s
 
 
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP
b g
b g
b g 
 
 Portanto, s1, 2 = ( –1  j1 ) seg – 1 
 Modo natural = A e-t cos ( t +  ) 
 
 – Função de transferência: E3(s)/Es(s) = – s/(s2 + 2s + 2)  polos: p1,2 = -1  j1 
 coincidem com as FCPs 
b) s1, 2 = –1 seg – 1 ( dupla ) 
 Modos naturais: A1 e
-t , A2 t e
-t . 
 
 
6 – a) Fasor 
V2
: 
  


V
4 j8 V
4 0
4 j8 0,2 j0,1 4
4 V
4 j2
2
s
s

  


b gb g
 
 
 
Vs
 = 2,5 0  
V
-5
2 j1
2 

 = 2,2361 153,43 
 
 
b) L = 
8
10
 = 0,8 H ; C = 
1
10 10.
 = 0,01 F 
 
c) modos naturais: 
 
 – eq. transformada, c.i.n. : 
 
 4 0,8s 1
4 0,2 0,01s
I s
s
V s
0
1 s 

L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP
b g
b g
b g
V2
 
 
 – eq. característica: 
 ( 0,8s + 4 ) ( 0,01s + 0,2 ) + 4 = 0  s2 + 25s + 600 = 0 
 
 – raízes: s1,2 = –12,5  j 21,06 
 
 – modos naturais: 
 
 A e
 ( – 12,5 + j 21,06 ) t , A* e ( – 12,5 – j 21,06 ) t ou 2 A  e – 12,5 t cos ( 21,06 t +  A ) 
 
 Como as FCPs têm parte real negativa, o regime permanente senoidal pode se estabelecer. 
 
7 – a) A transformada da resposta é 
 
 
V s
s s s s
V s Z s I s
s s
Z s
s
Z s
s
t s
t t
( )
( )
, .
( )
( ). ( )
 



 

  

2 2
1
2
1
2
1
1 2
1
mas b g b g b g
 
 
b) Por superposição: 
 
 ig(t) = – H(t) + 3 H ( t – 3 )– 2 H ( t – 4 ) 
 
  3s 4sg
1 3 2
I s e e
s s s
   
 
 V(s) = Zt (s) . Ig (s) 
 
 e 
 
 
t t 3
t 4
t t 3 t 4
v t 2 1 e H t 3 2 1 e H t 3
2 2 1 e H t 4
2 1 e H t 6 1 e H t 3 4 1 e H t 4 (V, seg ).
  
 
    
      
 
    
 
        
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ). ( )
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
 
 
8 – a) Tensão em aberto: 
 
 e0 = 20 + vx + 4i2 
 vx = 4i1 
 e0 = 20 + 4i1 + 4i2 
 
 
 
 
 
 Por análise de malhas: i1 = 15 A i2 = 10 A  e0 = 120 V 
 Corrente de curto: 
 
 
 
 
 
 vx = 4( i1 - i0 ) 
 Por análise de malhas 
 i0 = 40 A 
 Portanto: 
R
e
i
0
0
0

 = 3  
 
 
 
 
 Gerador de Thévenin: 
 
 
 
 
 
 
b) Valor de R para máx. potência: R = R0 = 3  
 
100V 
20V 
4 4 
4 
vx 
vx 
4 
i1 
i2 
i0 
3 
R 120V 
e0 
100V 
20V 
4 4 
4 
vx 
vx 
4 
i1 
i2 
 pmax = 120
2
.
1
R
2F
HG
I
KJ
 = 1200 W 
 
9 – a) Por transformação de fontes chegamos ao circuito da figura a seguir, já no domínio 
transformado, com condições iniciais quiescentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Suas equações de análise de malhas são: 
 
 1 10 10
10 0 2 1 10 0
1
2
 
  
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP
/ /
/ , /
( )
( )
( ) ( )s s
s s s
I s
I s
E s I ss s
 
 
 donde 
 
V s I s
s s
E s I ss s( ) ( ) ( ( ) ( )) 
 
2 2
50
15 100
 
 
Portanto as duas funções de transferência são iguais numericamente, embora com 
dimensões diferentes: 
 
 
V s
I s
V s
E s s ss E s Is s
( )
( )
( )
( )
 
 
 
0 0
2
50
15 100
 
 
b) – Tensão em aberto: 
 
 
E s
s
s
E s
s
s
I s
s
E s I ss s s s0
10
1 10
10
1 10
10
10
( )
/
/
. ( )
/
/
. ( ) ( ) ( )






 
 
 – Impedância interna: 
 
 
Z s s
s
s
s
s
0 0 2
110
1 10
0 2
10
10
( ) ,
. /
/
, 

 

 
 
 – Corrente de curto-circuito: 
 
I1 I2 
Es(s) + Is(s) 1 10/s  
0,2s  
V 
1 
 
I s
E s
Z s
E s I s
s s
s s
0
0
0
2
50
10 50
( )
( )
( )
( ) ( )
 

 
 
 
Passando ao regime permanente senoidal, substituímos ES(s) e IS(s) respectivamente pelos 
fasores 90o e 2-60o e s por j10. Resultam: 
 
 
 , , , , ( )
, , , .
 , , , ,
E j
Z j
I j
0
0
0
4 134 5 866 7 1764 54 83
0 5 15 1518 7157
2 6928 3 6536 4 5387 126 39
   
   
   
o
o
o
V
( ) 
 
 Verificação: Note que 
 / E I Z0 0 0
 
 
c) Para R=1, 
 
 


, ,V
E
Z


 0
0 1
3 3830 99 8261o
 , v(t) = 3,3830 cos ( 10 t – 99,8261o ) ( V, s ) 
 
 Para R=10, 
 
 

 .
, ,V
E
Z


 0
0
10
10
6 766 62 956o
 , v(t) = 6,766 cos ( 10 t – 62,956o ) ( V, s ) 
 
10 – a) – Geradores de Thévenin e Norton: 
 ; E I0 00 0 
. 
 
 – Impedância interna: 
 
 Aplicando um gerador de tensão senoidal, com frequência de 105 rads/seg, aos terminais 
A,B, vem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   /
, , I
V V V
j
j Vs s s s 


 
100
2
100
0 01 0 005b g
, 
 
 de modo que a impedância interna fica 
-j100  
100  ~ 
 
 
 
 
Z
V
I j
js0
1
0 01 0 005
80 40 89 4427 26 5651 

   

 , ,
, , ( )o 
 
 
 
b) – Usando o gerador de Thévenin, com 
 , ,Ig  01 10
5
, resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .  , ,


, ,
V j I j
I
V
x g
R
x
     
  
80 40 8 4 8 9443 26 5651
100
0 089443 26 5651
b g o
o
 
 

 ,  , 
I
V V
j
V
j
C
x x x




0 5
100
0 5
100
 = 0,0447 63,4349o 
 
 – Variação de 
Vx
 com R : 
 De: 
  ;    ; 
, 
V R I I I I e I
V
j
x R R g C C
x   

0 5
100
 
 temos que: 
 
 . V
R
j R
Ix g

200
200
 
 
 Em particular, 
 
 
R Vx  0 0

 
 
R V j I jx g         
  ( )200 20 20 90 V
 
 
11 – Gerador de Thévenin: 
 
 – Impedância interna: 
 
 
Z
j
j
j j0
20 20
20 20
5 10 5 1118 26 56


    , , 
 (  ) . 
 – Tensão em aberto: 
 
 
80 - j40 
0 
 
 
 . .( ) ( )E
j j
j Vo0
10
20 20
20
10
20
10 5 90



  
 . 
 
 Cálculo das correntes i(t): 
 
R I i t t A
R I i t t A
o
o
o
o
o
o
 


  
 


  
5
5 90
15 81 18 43
0 3162 20 108 43
10
5 90
20 6155 14 0362
0 2425 20 104 04
: 
, ,
( ) , cos( , ) ( )
: 
, ,
( ) , cos( , ) ( )
 
 
12 – a) O gerador de Thévenin equivalente ao circuito que alimenta o bipolo B tem 
 
 E0 = 8 V , R0 = 1,6 . 
 
 Usando o gerador de Thévenin, a tensão nos terminais de B será 
 
 v i v
v v v
      
     
8 1 6 8 1 6 3 3 1
4 8 27 8 36 8 0 1
2
2
, , ( )
, , , ( )
 
 
 Resolvendo esta equação e calculando os correspondentes valores de i, obtemos os pares 
de soluções: 
 
v1 = 2,0478 i1 = 3,7201 ; v2 = 3,7439 i2 = 2,6602 ( V, A ) 
 
b) Basta resolver o circuito inativando, sucessivamente, cada um dos geradores e notar que a 
soma das correntes e tensões assim calculadas não corresponde às soluções acima.