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MATEMÁTICA FINANCEIRA
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www.professorluiz.com.br
Capital é qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época, e tem um valor diferente a cada momento. Por isso, adotaremos uma representação chamada Fluxo de Caixa, para mostrar as receitas e as despesas ocorridas em instantes de tempo diferentes. Esta representação é dada de forma analítica ou gráfica.
Imaginemos investir hoje, no instante inicial zero, R$5.000,00; no instante 1 e 2 receber, respectivamente, R$2.000,00 e R$4.000,00; no instante 3 investir R$1.000,0 e, no instante 4, receber R$9.000,00.
O Fluxo de Caixa analítico representativo das constituições monetárias seria assim:
	Instantes
	Entradas
	Saídas
	0
	
	5.000,00
	1
	2.000,00
	
	2
	4.000,00
	
	3
	
	1.000,00
	4
	9.000,00
	
O Fluxo de Caixa pode ser também representado graficamente por um diagrama como mostrado na figura a seguir:
A escala Horizontal representa o tempo (meses, semestres, anos, etc.).
E a escala vertical:
Entradas de caixa ou Receitas:
Saídas de caixa ou despesas:
Os investimento são feitos no instante 0 (zero) e as receitas ou as despesas são tratadas no fim do período considerado. As entradas e saídas devem ter sinais opostos.
No fluxo de caixa exposto no exemplo anterior, o Diagrama de Fluxo de caixa ficaria assim:
R$5.000
R$2.000 R$4.000
R$1.000
R$9.000
A fim de produzir os bens de que necessita, o homem combina os fatores produtivos: recursos naturais, trabalho e capital. Organizando a produção, o homem gera as mercadorias e os serviços destinados ao seu consumo. A venda desses bens gera a renda, que é distribuída entre os proprietários dos fatores produtivos.
Os proprietários dos recursos naturais recebem remuneração na forma de aluguéis; os proprietários da força de trabalho recebem salários; os organizadores da produção recebem lucros e os proprietários do capital recebem remuneração na forma de juros. Assim, os juros constituem uma parte da renda, que é distribuídas aos proprietários do capital (máquina, equipamentos, ferramentas, etc.).
Na Matemática Financeira: Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a taxa previamente combinada.
Existem alguns fatores que determinam a existência dos juros:
a) INFLAÇÃO (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido;
b) UTILIDADE – investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe remuneração adequada, isto é, havendo preferência temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência do consumo. O prêmio para que não haja consumo é o Juro;
c) RISCO – existe sempre a possibilidade do investimento não corresponder às expectativas. Isso se deve ao fato de o devedor não poder pagar o débito, o tempo de empréstimo (as operações de curto prazo são menos arriscadas) e o volume do capital emprestado. Pode-se associar ao acréscimo na taxa pelo maior risco, como sendo um seguro que o ofertante de fundos cobra para assumí-los; e
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o
d) OPORTUNIDADE - os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo pelo qual ao se aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório.
custo do capital obtido por empréstimo. Chama-se taxa de juros a razão entre os juros J, que serão cobrados no fim do período, e o capital VP inicialmente empregado.
Assim,
i = J VP
Onde:
i = taxa de juros
J = juros em R%
VP = Valor Presente em R$
Exemplo: Um empréstimo de R$ 1.580,00 foi pago de Juros, após um mês, R$
347,60. Qual foi a taxa de juros?
i = 347,60
1.580,00 i = 0,22
Esse resultado é a taxa unitária (i=0,22). Temos que transformar para taxa percentual, multiplicando por 100. A taxa e o período têm que, obrigatoriamente, está na mesma unidade.
Resposta: taxa de juros é de 22,00% ao mês.
O capital inicialmente empregado, denominado principal pode crescer devido aos juros, segundo duas modalidades:
a) Juros Simples - só o principal rende juros, ao longo da vida do investimento; e b) Juros Compostos – após cada período, os juros são incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render juros. O período de tempo considerado é,
então, denominado período de capitalização.
	
	Juro Simples
	Juro Composto
	Principal
	100,00
	100,00
	Após 1 ano
	100 + 0,10 x 100 = 110,00
	100 + 0,10 x 100 = 110,00
	Após 2 anos
	110 + 0,10 x 100 = 120,00
	110 + 0,10 x 110 = 121,00
	Após 3 anos
	120 + 0,10 x 100 = 130,00
	121 + 0,10 x 121 = 133,10
	Após 4 anos
	130 + 0,10 x 100 = 140,00
	133,1+0,10 x 133,1 = 146,41
A comparação de fluxos de caixa exige quase sempre sua transformação em outros equivalentes. Torna-se conveniente, portanto, o estabelecimento de fórmulas e
fatores de conversão aplicáveis aos fluxos de caixa comumente encontrados.
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Fórmula do Montante:
Onde:
VF = Valor Futuro em R$
VF = VP + J
VP = Valor Presente aplicado em R$ J = Juro
Fórmula do Juro Simples:
Onde:
J = juro em R$
J = VP. i . n
VP = Valor Presente aplicado em R$
i = Taxa unitária de juro na mesma unidade do período n = período da aplicação do capital inicial
Fórmula do Juro Composto:
Onde:
VF = Valor Futuro em R$
VF = VP.(1 + i)n
VP = Valor Presente aplicado em R$
i = Taxa unitária de juro na mesma unidade do período n = período da aplicação do capital inicial
JURO SIMPLES
O JURO é SIMPLES quando é produzido unicamente pelo Capital Inicial.
Exemplo: Qual o Juro Simples que receberá um investidor que tenha aplicado R$
360,00 durante 12 meses, à taxa de 5% ao mês?
	VP = 360
	i = 5,00% ao mês = 5/100 = 0,05
	n = 12 meses
	J = ?
	J = VP. I . n
J = 360.0,05.12
	
	J = 216
	
Resposta: o juro simples será de R$ 216,00
Exemplo: Se uma pessoa aplicar R$ 1.350,00 durante 2 anos, a uma taxa de 3% ao mês, qual o total que receberá no resgate?
VP = 1.350,00 i = 3,00% ao ano = 3/100= 0,03 n = 2 anos = 24 meses VF = ? J = 1.350.0,03.24
J = 972,00
VF = VP + J
VF = 1.350 + 972,20
VF = 2.322,00
Resposta: O total que receberá no resgate é de R$2.322,00.
EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES
1) Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado por dois anos à taxa de 25% a.a.
Calcular o rendimento da aplicação. Resp. R$1.500,00
2) Durante quanto tempo o capital de R$ 2.000,00 renderá R$ 1.200,00 de juros a uma taxa de 6% a.a.? Resp. 10 anos
3) Qual o montante a ser resgatado no final de 2 anos, para um financiamento de R$ 3000,00 com taxa de juros simples de 10% aa? Resp: R$ 3.600,00
4) Qual taxa de juros cobrada num financiamento de R$ 3.000,00 a ser resgatado por R$ 3.600,00 no final de dois anos ? Resp: 10% AA
5) Calcule o montante de uma dívida de R$ 250,00, contraída em regime de juros simples, por 5 meses à taxa de 3% a.m. Resp: R$287,50
6) Um capital aplicado a juros simples, durante 7 meses, à taxa de 2% a.m., gerou nesse período um montante de R$ 592,80. Qual foi o capital aplicado? Resp: R$ 520,00
7) Ligia contraiu uma dívida de R$ 2.000,00 a ser paga em regime de juros simples, após 2 anos e meio. Se ao
fim desse prazo, Ligia quitou a dívida com um pagamento de R$ 3.440,00, qual foi a taxa de juros mensal utilizada? Resp: i= 2,4%
8) Calcular o montante da aplicação de um capital de R$ 8.000,00, pelo prazo de
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12 meses, à taxa de 3% a.m. Resp: R$ 10.880,00
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x
(1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
VF = VP . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
período:
J = M - P
Exemplo:
Calcule o montante produzido pôr um capital de R$ 20.000,00, aplicado a juros compostos, a 5% ao mês, durante 2 meses.
C = 20.000,00 n = 2 meses r = 5% ao mês
i = 5/100 = 0,05 am.
M = C ( 1 + i )n
M = 20.000,00 ( 1 + 0,05)2 M = 20.000,00 . 1,1025
M = 22.050,00
Uma pessoa toma emprestado a importância de R$ 30.000,00 a juros de 3% am. pelo prazo de10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido e qual o valor dos juros?
C= R$ 30.000,00 r = 3 % a.m.
i = 3/100 = 0,03 a.m. n = 10 meses
M = C ( 1 + i )n
M = 30.000,00 ( 1 + 0,03 )10
M = 30.000,00 . 1,34392
M = R$ 40.317,49
J = M – C
J = 40.317,49 – 30.000,00
J = R$ 10.317,49
Calcule o montante de um Capital de R$ 20.000,00 aplicado a juros compostos a taxa de 3,5% ao mês durante 35 meses?
C = 20.000,00 r = 3,5 % am
i = 3,5/100 = 0,035 n = 35 meses
M = 20.000,00 ( 1 + 0,035 )35 M = 20.000,00 . 3,33359
M = R$ 66.671,80
EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS
1) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$560,00 com vencimento para 2 anos e meio a 18% a.a. capitalizado semestralmente. Resp. R$363,96
2) Um título de R$2.000,00 foi resgatado 8 meses antes do vencimento a 10%
a.a. capitalizado mensalmente. Resp. R$1.871,53
3) Uma empresa contraiu um empréstimo de R$25.000,00 por 5 anos com juros de 20% capitalizado trimestralmente. Passado 3 anos a empresa decide resgatar a dívida. O desconto concedido é de 20% a.a. capitalizado semestralmente. Qual o valor do resgate. Resp. R$45.305,91
4) Qual o valor atual de um título de valor nominal de R$200 que sofreu o desconto real e 18% a.a. capitalizado trimestralmente, 2 anos antes do vencimento. Resp. R$ 140,64
5) Um título de valor nominal de R$1.000 com vencimento para 2 anos será substituído por um título para 3 anos. Calcule o valor nominal do novo título, empregado a taxa de 16% a.a. com capitalização semestral. Resp. R$1.166,40
DESCONTOS
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são: a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.
A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.
A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:
a) Que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; e
b) Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.
quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.
As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título. Precisamos saber:
a) O dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento)
da aplicação;
b) O valor nominal VF (ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);
c) O valor atual VP é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: VP = VF – d;
d) O tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro; e
e) O desconto “d” é a quantia a ser abatida do Valor Nominal, isto é, a diferença
entre o Valor Nominal (VF) e o Valor Atual (VP), isto é: d = VF – VP.
NOMENCLATURA:
Dia do Vencimento: é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação.
Valor Nominal ( N ): é o valor expresso no título (importância a ser paga no dia do vencimento).
Valor Atual ( A ) : é o líquido pago ( ou recebido) antes do vencimento.
Tempo ou Prazo: é o intervalo de tempo ( dias, meses , anos, etc...) compreendido entre o dia em que se negocia o título e o do seu vencimento, excluindo um dos extremos ( conta-se o primeiro dia e não o último ; e vice-versa).
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O desconto pode ser feito considerando-se como capital o Valor Nominal ou Valor Atual. No primeiro caso, é denominado Desconto Comercial (bancário ou por fora); no segundo, Desconto Racional (por dentro).
DESCONTO COMERCIAL
Também chamado de desconto por fora, comercial, ou desconto bancário (Dc), pode ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal “N”. Assim, de acordo com a fórmula dada:
Dc = N . i . n
Onde:
Dc = desconto comercial
N = valor nominal do título dado i = taxa de desconto
n = período de tempo na operação
Fórmula do Valor Atual
A = N (1 - i . n)
EXEMPLO:
1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Determine o valor atual do título e o desconto.
N =
60.000,00
n = 45 dias
r = 2,1 % ao mês
=
i 2,1/100 =
0,021 am /30 =
0,0007 a.d.
D -= N . i . n
D = 60.000,00 . 0,0007 . 45
D = 1.890,00
A = N - D
A = 60.000 1.890
A = 58.110,00
2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$
6.072,00. Calcule o tempo de Antecipação, sabendo que a taxa de desconto foi de 4% ao mês?
N = 6.900, A = 6.072,
r = 4% ao mês
i = 4/100 = 0,04am
A = N ( 1 – i . n )
6.072, = 6.900, ( 1 –
0,04 . n ) 6.072, /
6900, = 1 – 0,04 . n
0,88 = 1 - 0,094 . n
0,88 – 1 = -
0,04 . n -0,12 =
-0,04 n
n = - 0,12/ -0,04
16
n = 3 meses
EXERCÍCIOS DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)
1) Uma duplicata de valor nominal equivalente a R$200,00 foi resgatada três meses antes do vencimento, à taxa de 9% a.a. Qual o valor do desconto? Resp. R$ 4,50
2) Um título de R$320,00 foi resgatado um mês e 23 dias antes do vencimento, à taxa de 18% a.a. Qual o valor do desconto? Resp. R$ 8,48
3) Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$120,75 à taxa de 6% a.a., 4 meses antes do vencimento? Resp. R$118,34
4) Uma letra de câmbio de valor nominal igual a R$480,00 foi resgatada 2 meses e 26 dias antes do vencimento, a 1,2% ao mês. Qual o valor do resgate? Resp. R$463,49
DESCONTO COMPOSTO
Usamos o desconto composto em operações a médio e longo prazo. As regras básicas bem como a nomenclatura do desconto composto são as mesmas do desconto simples, porém, calculada com juros compostos, com fórmulas específicas. É o tipo de desconto comumente usado pelo sistema financeiro. Também é denominado desconto racional.
Fórmulas :
A = N (1 + i) -n
D = N - A
EXEMPLO
1) Determine o valor atual e o desconto de um desconto a juro composto de um título de R$ 80.000,00 , descontado 4 meses antes do vencimento, à
taxa de 2% ao mês?
18
N =
80.000,00 n
= 4 meses
r = 2% ao mês
i = 2/100 = 0,02 a.m.
A = N (1 + i ) -n
A = 80.000,00(1 + 0,02) -4
A = 80.000,00 (0,92385)
A = 73.908,00
D = N - A
=
D 80.000,00 -73.908,00
D = 6.092,00
2) Calcule o valor atual e o desconto de um título de R$ 112.000,00 com vencimento em 2 anos e meio à taxa de 36% ao ano, capitalizado
semestralmente .
N = 112.000,00
n = 2 anos e meio ( 5 semestres) r = 36 % ao ano
taxa equivalente semestral = 0,16619
A = N (1 + i ) -n
A = 112.000,00 ( 1 - 0,16619) -
5 A = 112.000,00 ( 0,46361)
A = 51.924,32
D = N - A
D = 112.000,00 - 51.924,32
D = 60.075,68
EXERCÍCIOS DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)
1) Determine o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a
R$135,00 pago dois meses antes do vencimento a 1% ao mês. Resp. R$2,65
2) Um título de R$200, sofreu o desconto racional de 20% a.a., quatro meses e
12 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? Resp. R$13,66
3) Qual o valor atual de um título de valor nominal equivalente a R$180,00, três meses antes do vencimento, pelo desconto racional de 2% ao mês? Resp. R$
169,81
4) Um título de valor nominal igual a R$75,40 sofreu o desconto reacional de
20
1,5% ao mês. Isso ocorreu a um mês e 17 dias antes do vencimento. Qual o valor atual? Resp. R$ 73,67
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.
Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i )
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.
Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12
Concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.
EXEMPLO:
Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = 1,082
ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
TAXAS NOMINAIS
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
 340% ao semestre com capitalização mensal.
 1150% ao ano com capitalização mensal.
 300% ao ano com capitalização trimestral.
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608
TAXAS EFETIVAS
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
 140% ao mês com capitalização mensal.
 250% ao semestre com capitalização semestral.
22
 1250% ao ano com capitalização anual.
EXERCÍCIOS TAXAS EQUIVALENTES
1) Qual a taxa semestral equivalente a 20% a.a.? Resp. 9,54% ao semestre
2) Qual a taxa trimestral equivalente a 6% ao ano? Resp. 1,467% ao trimestre
3) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao trimestre? Resp.21,55% ao ano.
4) Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Resp.26,82% ao ano.
5) Qual a taxa anual trimestral de juros equivalente a 22% ao ano? Resp. 5,11%
ao trimestre
6) Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente?
19,56% ao ano.
7) A caderneta de poupança paga juros de 6% ao ano com capitalizações mensais. Qual a taxa efetiva dos juros?
8) Um título rende juros de 12% ao ano com capitalização trimestral. Qual a taxa efetiva dos juros? Resp.12,55% ao ano.
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn, distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses pagamentos serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos (ou recebimentos) ao longo dos n períodos, constitui - se num fluxo de caixa.
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO
Para acharmos o coeficiente de financiamento utilizamos a fórmula abaixo:
CF = [i / 1 - (1+i)-n ]
Onde:
CF = Coeficiente de Financiamento n = número do período
i = percentual de juros do financiamento
/ = divisão
Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }.
Exemplo 01
Suponha-se que uma pessoa quer comprar um automóvel de R$ 10.000,00, financiado a juros de 1,99% a.m. e deseja saber quanto ficará o valor de suas parcelas se financiar em 24 meses:
CF = [0,0199 / 1 - (1+ 0,0199)-24 ] CF = [0,0199 / 1 - (1,0199)-24 ]
CF = [0,0199 / 1 - 0,623186 ] CF = [0,0199 / 0,376814 ]
CF = 0,052811
Então, multiplicaremos o CF pelo valor a financiar e teremos o valor da parcela mensal.
24
0,052811 . R$ 10.000,00 = R$ 528,11
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE
Para acharmos o valor presente de um financiamento utilizamos a fórmula abaixo:
PV = PMT . {[1- (1+i)-n ] / i }
Onde:
PV = Presente Valor ou valor descapitalizado (sem os juros futuros)
n = número do período
i = percentual de juros do financiamento
PMT = Parcela mensal fixa de seu financiamento
/ = divisão
Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }.
Exemplo 01
Se temos um financiamento de 06 parcelas mensais de R$ 100,00 que foi financiado com taxa de 5% a.m. e queremos quitar este financiamento na data de hoje, adiantando seis meses, então:
PV = 100,00 . {[1-(1+0,05)-6 ]/ 0,05} PV = 100,00 . {[1- 0,746215] / 0,05} PV = 100,00 . {0,253785 / 0,05}
PV = 100,00 . 5,0757
PV = R$ 507,57
Ou seja, pagaremos R$ 507,57 para quitar todo o financiamento, pois estamos adiantando-o 06 meses.
Para acharmos o valor futuro de um financiamento utilizamos a fórmula abaixo:
FV = PMT . {[(1+i)n -1] / i }
Onde:
FV = Futuro Valor
n = número do período
i = percentual de juros do financiamento
PMT = Parcela mensal fixa de seu financiamento
/ = divisão
Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }.
Exemplo:
Suponha-se que uma pessoa aplicou R$ 250,00 mensalmente em um determinado
produto que rende 3% a.m. de juros durante 12 meses. Para sabermos quanto isso lhe rendeu temos:
FV = 250,00 . {[(1+0,03)12 - 1] / 0,03} FV = 250,00 . {[(1,03)12 -1] / 0,03}
FV = 250,00 . {[1,425761 - 1] / 0,03}
FV = 250,00 . {0,425761 / 0,03} FV = 250,00 . 14,192033
FV = R$ 3.548,01
Ou seja, teremos R$ 3.548,01 no final de 12 meses de aplicações mensais de R$
26
250,00 rendendo 3% a.m.
EXERCÍCIO SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
1) Que divida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de
R$5.000,00 com juros de 20% ao ano? Resp. R$42.567,82
2) Calcule o valor da prestação mensal para amortizar com 12 pagamentos um empréstimo de R$60.000 com juros de 2% ao mês. Resp. R$ 5.673,58
3) Uma pessoa deposita em um banco a importância de R$1.000,00 a 20% ao ano. Quanto terá no fim de 4 anos? Resp. R$11.435,89
4) Quanto uma pessoa deve depositar em um banco no fim de cada trimestre a
20% a.a. para no fim de 2 anos possuir R$10.000,00? Resp. R$1.047,22
5) Um bem doméstico foi comprado por R$1.000 de entrada e mais um saldo de
18 prestações mensais de R$120,00. Calcule o valor à vista do bem, sabendo-se que o juro do financiamento foi de 1%. Resp. R$2.967.79
6) Uma pessoa toma R$2.000,00 emprestado em uma financiadora por 15 anos.
Calcular o valor da prestação mensal para amortizar essa dívida, sabendo-se que o juro cobrado é de 12% a.a. com capitalizações mensais. Resp. R$24,00
7) Um televisor a vista é de R$500, mas foi vendido a prazo com 40% de entrada e mais 12 prestações mensais iguais com juros de 2% ao mês. Calcule o valor da prestação. Resp. 28,37
8) Uma pessoa deposita R$4.000,00 em uma instituição financeira no início de cada semestre. Sabendo-se que a taxa do juro é de 10% ao semestre, qual o montante no fim de 3 anos? Resp. R$33.948,68
Sistemas de Amortização Constante - SAC
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período anterior.
Por este sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor.
Exemplo
Um empréstimo foi feito no valor de R$ 50.000 a uma taxa mensal de 1,5%, onde a amortização será pelo sistema SAC em 5 prestações mensais.
O principal foi emprestado no início do 1º mês e as prestações e os juros serão pagos no fim de cada mês, ou seja, sempre sobre o saldo devedor do período anterior. A amortização é mensal, a prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a amortização com os juros.
	Mês
0
1
2
3
4
5
Total
	Saque
50.000,00
-
-
-
-
-
-
	Amortização
-
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
50.000,00
	Juros
750
600
450
300
150
2.250,00
	Prestação
10.750,00
10.600,00
10.450,00
10.300,00
10.150,00
52.250,00
	Saldo devedor
50.000,00
40.000,00
30.000,00
20.000,00
10.000,00
0,00
-
28
Sistema Francês- PRICE
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si. A dívida fica completamente saldada na última prestação.
Exemplo
Um empréstimo foi feito no valor de R$ 50.000 a uma taxa mensal de 1,5%, onde a amortização será pelo sistema PRICE em 5 prestações mensais.
A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro, e o saldo devedor será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período.
	Mês
0
1
2
3
4
5
Total
	Saque
50.000,00
-
-
-
-
-
-
	Amortização
-
9.704,47
9.850,03
9.997,78
10.147,75
10.299,97
50.000,00
	Juros
-
750,00
604,43
456,68
306,72
154,50
2.272,33
	Prestação
-
10.454,47
10.454,46
10.454,46
10.454,47
10.454,47
52.272,33
	Saldo
devedor
50.000,00
40.295,53
30.445,50
20.447,72
10.299,97
-
EXERCÍCIO SISTEMA SAC e PRICE
1) Monte um esboço de uma planilha de um financiamento amortizada pelo Sistema SAC e outra pelo PRICE de um empréstimo no valor de R$ 30.000 a uma taxa mensal de 2,5%, com 5 prestações mensais. Faça a comparação entre as duas.