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Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)

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e o período de 
 y n
 é
0yN N
. Ambas as componentes e a sua 
periodicidade podem ser observadas na Figura 1.3 e Figura 1.4. 
(ii) Resolução pela definição
Aplicando (1.22) à definição do sinal, resulta imediatamente que 
n 
, 
   yy n N y n 
. (1.29) 
Desenvolvendo (1.29), esta ainda pode ser reescrita como 
n 
, 
      2 3 2 2 3 2 3y yx n N x n N x n      
. (1.30) 
Para que esta tenha solução, é necessário que 
0
02
2
y y
N
N mN N m  
, 
m 
, (1.31) 
onde 
0N
 é o período fundamental de 
 x n
. O período fundamental de 
 y n
 é então o
menor inteiro positivo que cumpre (1.31), o que corresponde a 
0
0
0 0
1 , par
2
2 , ímpar
y
N
m N
N
m N N

 
 
  
. (1.32) 
Note-se que, uma vez que o período tem de ser um inteiro positivo, apenas no caso em 
que 
0N
 é par é que 
0 2yN N
 é inteiro. Para o caso em que 
0N
é ímpar apenas se
poderá ter 
0yN N
. 
20 
 
 
Figura 1.3. Representação do caso 
0N
 par. 
 
 
Figura 1.4. Representação do caso 
0N
 ímpar. 
 
21 
 
 (HSU 1.23) O sinal discreto 
 x n
 está desenhado na Problema 1.4.
Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais. 
A representação de 
 x n
 e 
 u n
 pode ser observada na Figura 1.5. 
 
Figura 1.5. Representação de 
 x n
. 
a) 
   1x n u n
 
 
Para calcular este resultado, comece-se por identificar que ao sinal escalão unitário, se 
aplicaram duas operações: (i) Inversão; (ii) Deslocamento. Pelo que, partindo da 
definição analítica do escalão unitário, e aplicando sucessivamente as operações 
referidas, é possível chegar a 
     
( ) ( )
1 ; 0 1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 0 0 ; 1i ii
n n n
u n u n u n
n n n
    
        
    
. (1.33) 
Este sinal está representado na Figura 1.6. Efectuando finalmente a multiplicação, ponto 
por ponto, dos dois sinais chega-se ao resultado também apresentado na Figura 1.6. 
 
Figura 1.6. Representação de 
   1x n u n
. 
22 
 
b) 
     2x n u n u n   
 
 
Para o primeiro membro da soma, pode então identificar-se uma operação de 
deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de escalão unitário que 
 
   
1 ; 0 1 ; 2
2
0 ; 0 0 ; 2
n n
u n u n
n n
   
    
   
. (1.34) 
Efectuando a operação de subtracção vem que 
 
   
1 ; 2 1
2
0 ; outros
n
u n u n
   
   

. (1.35) 
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.7. 
 
Figura 1.7. Representação de 
   1x n u n
. 
 
c) 
   1x n n 
 
 
Para este caso, pode também identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se 
obtém a partir da definição de impulso unitário que 
 
   
1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 1
n n
n n
n n
       
  
. (1.36) 
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.8. 
23 
 
 
Figura 1.8. Representação de 
   1x n u n
. 
 
24 
 
 (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não Problema 1.5.
periódicos. Caso sejam calcule o período. 
 
a) 
   4j nx n e 
 
 
Para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo 
substituir 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
  4 4j n N j ne e
    
   
    . (1.37) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.37) chega-se a 
 4 4 4j n N j ne e
     
   
    . (1.38) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.38) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
seguinte condição: 
 
2 8
4
N m N m
   
, 
m 
. (1.39) 
Atribuindo valores a 
m
, obtém-se o menor inteiro positivo que verifica (1.39), 
 
01 8m N  
. (1.40) 
onde 
0 8N 
 é o período fundamental. Uma vez que (1.39) tem solução, e 
 x n
 é uma 
função exponencial complexa, a condição (1.23) é verificada 
 0 14
2 8 8
1
M


 

   . (1.41) 
 
25 
 
 (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou Problema 1.6.
não periódicos. Caso sejam calcule o período. 
 
a) 
  4
n
j
x n e
  
 
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
Substituindo substituir 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
 4 4n N nj je e 
   
    
    (1.42) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 
 4 4 4n N nj je e             (1.43) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.43) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
condição: 
 
2 8
4
N
m N m   
, 
m 
. (1.44) 
Uma vez que 

 é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo 
impossível obter um período inteiro. Note-se ainda que, como (1.44) não tem solução, e 
 x n
 é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) não é verificada 
 0
1
14
2 8
1
M  

  . (1.45) 
 
26 
 
 (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são Problema 1.7.
periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental. 
 
b) 
  sin 5 2
4
x n n
 
  
 
 
 
Note-se que, uma translação no tempo não afecta o período de um sinal, mas, uma 
mudança de escala sim. Uma vez que, o período fundamental da função seno é 
2M 
, verifique-se se após a mudança de escala, o sinal continua a ser periódico. Para 
calcular o período fundamental, substitua-se 
n
 por 
n N
 em b), e aplique-se (1.22) à 
definição do sinal obtendo a equação 
 
 sin 5 2 sin 5 2
4 4
n N n
    
      
   
. (1.46) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.46), chega-se a 
 
sin 5 2 5 sin 5 2
4 4 4
n N n
     
      
   
. (1.47) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.47) tem de ter solução. Então, os argumentos das 
funções seno têm de estar relacionados, através de um múltiplo do período fundamental 
da função seno (
2M 
): 
 
8
5 5 2
4 4 5
N mM N m N m
      
, 
m 
. (1.48) 
O menor número inteiro que verifique (1.48) é então o período fundamental, que neste 
caso, corresponde a 
5m 
 que resulta em 
0 8N 
. Novamente, uma vez que (1.39) tem 
solução, e 
 x n
 é uma função seno, a condição (1.23) é verificada 
 0
5
5 54
2 8 8
1
M


 

   . (1.49) 
 
 
c) 
 
1
cos
2
x n n
 
  
 
 
27 
 
Para calcular o período fundamental, substitua-se 
n
 por 
n N
 em c), e aplique-se 
(1.22) à definição do sinal, obtendo a equação 
 
 
1 1
cos cos
2 2
n N n
   
    
   
. (1.50) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.50), chega-se a 
 
1 1 1
cos cos
2 2 2
n N n
   
    
   
. (1.51) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.51) tem de ter solução. Então, os argumentos das 
funções co-seno têm de estar relacionados através de um múltiplo do período 
fundamental da função co-seno (
2M 
): 
 
1
2 4
2
N m N m   
, 
m 
. (1.52) 
Uma vez que 

 é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo 
impossível obter um período inteiro. Como (1.51) não tem solução, e 
 x n
 é uma 
função co-seno, a condição (1.23) não é verificada 
 0
1
12
2 4
1
M  



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