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Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)

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logo o sistema 
 iy n
 é não invertível. Pelo contrário, 
 hy n
 é invertível, e o seu 
sistema inverso é dado por 
 
   
 
 
1
, 0
1 , 0
h
h h
h
y n n
y n z n
y n n


  
 
. (1.79) 
33 
 
d) 
   y n n x n
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Aplicando ainda 
(1.60), e uma vez que o sistema não tem memória, tem-se que o sistema é causal. 
 Para averiguar se o sistema é invariante no tempo, aplique-se (1.61), 
considerando 
   1 0x n x n n 
, pelo que se tem 
 
     1 1 0y n n x n n x n n  
. (1.80) 
No entanto, uma vez que 
 
     0 0 0y n n n n x n n   
, (1.81) 
tem-se que (1.81) é diferente de (1.80) pelo que o sistema é variante no tempo. 
 Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 
   1 1y n n x n
 e 
   2 2y n n x n
, pelo que 
                1 2 1 2 1 2 1 2ax n bx n n ax n bx n an x n bn x n ay n by n      
, (1.82) 
logo o sistema é linear. 
 A estabilidade pode ser novamente comprovada por contra exemplo, i.e., se 
  3x n 
, 
n
, verifica-se que, 
 
   3 lim
n
y n n y n

   
, (1.83) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Novamente, note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 
0n 
. 
Considerando os dois sinais seguintes, 
          
         
1 1
2 2
2 2 2 0 0 0
3 3 3 0 0 0
x n n y n n n
x n n y n n n
  
  
      
      
. (1.84) 
A partir de (1.84), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.85) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
34 
 
 Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.9.
Caso sejam calcule o seu período. 
 
a) 
 
2
tan
3
x n n   
 
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
Substituindo 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
 
 
2 2
tan tan
3 3
n N n           
, (1.86) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 
 
2 2 2
tan tan
3 3 3
n N n         
   
, (1.87) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.87) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
seguinte condição: 
 
2 2 3
3 3 2
N Mm N m N m      
, 
m 
. (1.88) 
O menor número inteiro que verifique (1.88) é então o período fundamental, que neste 
caso, corresponde a 
2m 
 que resulta em 
0 3N 
. Note-se que, o período fundamental 
da função tangente é 
M 
. 
 
b) 
 
3 2
sin tan
2 3
x n n n        
   
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
No entanto, uma vez que 
 x n
 é dado pela soma de dois sinais distintos, é necessário 
primeiro averiguar qual a periodicidade de ambas as componentes. Assim, substituindo 
n
 por 
n N
 em b), e aplicando (1.22) obtêm-se as equações 
35 
 
 
 
 
1
2
3 3
sin sin
2 2
2 2
tan tan
3 3
n N n
n N n
 
 
   
       
   
       
. (1.89) 
Analogamente à alínea anterior chega-se a duas condições: 
 
1 1
1
2
2 2
3 4
2
42 3
2 33
3 2
N m N m
N
N
N m N m
 
 
 
    
   
  
  
, 
m 
. (1.90) 
O período fundamental do sinal é o mínimo múltiplo comum entre os períodos 
fundamentais 
1N
 e 
2N
 das duas componentes, i.e., 
0 12N 
. 
36 
 
 (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado Problema 1.10.
segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) 
Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) 
Invertibilidade. 
 
b) 
   x ny n ne
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade 
(1.60) verifica-se que o sistema é causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 01
x n x n n
y n ne ne

 
. (1.91) 
No entanto, uma vez que, 
 
     00 0
x n n
y n n n n e

  
, (1.92) 
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas 
elementares 
   11
x n
y n ne
 e 
   22
x n
y n ne
 tem-se que 
 
               1 2 1 21 2 1 2
ax n bx n ax n bx n
ax n bx n ne ne e a y n b y n

    
, (1.93) 
logo o sistema é não linear. 
 A estabilidade, pode ser comprovada por contra exemplo, i.e., se 
  2x n 
, 
n
, 
verifica-se que, 
 
   2 lim
n
y n ne y n

   
, (1.94) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 
0n 
. Considerando 
os dois sinais seguintes, 
37 
 
 
     
 
     
 
1
2
1 1
2
3
2 2
, 01
0, 02
, 02
0, 03
n
n
n n
x n n y n n e
n
n n
x n n y n n e
n





    


    

, (1.95) 
a partir de (1.95), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.96) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
 
k) 
   5 4y n x n 
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema tem memória. Pela propriedade (1.60) 
verifica-se que o sistema é não causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 1 05 4 5 4y n x n x n n    
. (1.97) 
No entanto, uma vez que, 
 
   0 05 4y n n x n n     
, (1.98) 
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas 
elementares 
   1 1 5 4y n x n 
 e 
   2 2 5 4y n x n 
 tem-se que 
 
           1 2 1 2 1 25 5 4ax n bx n ax n bx n a y n b y n     
, (1.99) 
logo o sistema é não linear. 
 A estabilidade, pode ser comprovada considerando que 
  xx n A
, 
n
, é 
possível obter 
 
     5 4 5 4 4x yy n x n x n A A      
, (1.100) 
38 
 
ou seja, para uma entrada limitada a saída é limitada, pelo que o sistema é estável. Para 
provar que o sistema não é invertível , considerem-se os dois sinais seguintes: 
 
     
     
1 1
2 2
1, 5 4 5
1, múltiplode5
5 4 5
0, c.c.
x n n y n x n
n
x n y n x n
n
     

    

. (1.101) 
Note-se que, qualquer inteiro multiplicado por 
5
 resulta necessariamente num múltiplo 
de 
5
. A partir de (1.101), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.102) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
 
39 
Capítulo 2.Representação no Domínio 
do Tempo para Sistemas LIT Discretos 
 (HSU 2.30) Avalie 
     y n h n x n 
, onde 
 x n
 e 
 h n
Problema 2.1.
estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de 
impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução. 
Figura 2.1. Representação de 
 x n
 e de 
 h n
.
Para um dado

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