Exercicios Resolvidos de Sinais e Sistemas

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ESCOLA DE COMUNICAÇÃO, ARTES E TECNOLOGIAS 
DE INFORMAÇÃO 
Licenciatura em Engenharia Informática 
Processamento de Sinal e Sinais e Sistemas 
 
 
 
 
 
 
Colectânea de Exercícios Resolvidos 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Doutor João Canto (1) 
Prof. Doutor Marko Beko (1) 
 
 
 
 
 
Janeiro de 2012 
 
 
 
3 
 
Prefácio 
1
 
Este documento destina-se a alunos do curso de Engenharia Informática da Escola de 
Comunicação, Arquitectura, Artes e Tecnologias de Informação, da ULHT, mais 
concretamente, àqueles que frequentam as disciplinas de Processamento de Sinal e de 
Sinais e Sistemas, respectivamente leccionadas no segundo semestre do primeiro ano e 
no primeiro semestre do segundo ano. Os exercícios que constam desta colectânea, são 
retirados dos livros que constituem a bibliografia da cadeira, e serão doravante referidos 
como: (i) I. M. G. Lourtie, Sinais e Sistemas, 2ed, Escolar Editora, Lisboa, 2007: IML; 
(ii) H. P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995: Hsu. Pontualmente, serão 
também aqui recordados alguns exemplos, previamente apresentados nos acetatos das 
aulas teóricas (doravante definidos como AT). 
 Este texto representa a primeira edição, da componente de exercícios resolvidos, 
da sebenta que engloba a matéria das cadeiras de sinais. Sendo assim pedimos desculpa 
por eventuais incorrecções e agradecemos o vosso feedback. Doravante, a designação 
 x n
 representa um sinal definido em instantes de tempo discretos (onde n pertence ao 
conjunto dos números inteiros), e 
 x t
 um sinal definido no tempo contínuo (onde t 
pertence ao conjunto dos números reais). 
Não obstante, este documento representa apenas um conjunto de alguns 
exercícios resolvidos, sobre tópicos considerados fundamentais. Não poderá nunca 
substituir a frequência das aulas teórico-práticas e prático-laboratoriais, bem 
como o estudo dos livros referenciados na bibliografia. 
 
 
1 Os autores são doutorados em Engenharia Electrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior 
Técnico 
4 
 
 
5 
 
Índice 
Prefácio .......................................................................................................................... 3 
Índice ............................................................................................................................... 5 
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos ............................. 11 
 (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos.Problema 1.1.
 .................................................................................................................................... 11 
 (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintes Problema 1.2.
sinais. .......................................................................................................................... 14 
 (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, 
 x n
 e 
 y n
, tais que ... 17 Problema 1.3.
 (HSU 1.23) O sinal discreto 
 x n
 está desenhado na Figura 1.5. Problema 1.4.
Represente cada um dos seguintes sinais. .................................................................. 21 
 (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.5.
Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 24 
 (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.6.
Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 25 
 (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos. Problema 1.7.
Para os sinais periódicos indique o período fundamental. ......................................... 26 
 (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundo Problema 1.8.
as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) 
Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ........................................................ 29 
 Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam Problema 1.9.
calcule o seu período. ................................................................................................. 34 
 (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as Problema 1.10.
seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) 
Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ........................................................ 36 
Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos... 39 
 (HSU 2.30) Avalie 
     y n h n x n 
, onde 
 x n
 e 
 h n
 estão Problema 2.1.
representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) 
A expressão para a soma de convolução. ................................................................... 39 
 (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2.
   nh n u n
 para 
0 1 
 e o sinal de entrada 
   x n u n
. Determine a 
resposta do sistema através de: (a) 
     y n x n h n 
; (b) 
     y n h n x n 
. .... 45 
 (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistema Problema 2.3.
LIT é dada por: 
   nuy n u n
 para 
0 1 
. Determine a resposta impulsional do 
sistema. ....................................................................................................................... 50 
 (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta Problema 2.4.
impulsional: 
   nh n u n
. Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) 
Estabilidade. ............................................................................................................... 51 
6 
 
 (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por: Problema 2.5.
     1 2
n
h n u n
. Calcule 
 1y
 e 
 4y
 para o sinal de entrada 
     2 3x n n n   
. ........................................................................................... 53 
 (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta Problema 2.6.
impulsional: 
   2 4nh n u n 
. Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) 
Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada 
     2 4 1x n n n   
. ......................................................................................... 54 
 (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitário Problema 2.7.
é dada por: .................................................................................................................. 56 
Capítulo 3. Transformada Z ........................................................................................ 59 
 (HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) 
   x n u n 
; Problema 3.1.
b) 
   x n n
. ......................................................................................................... 59 
 (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal Problema 3.2.
   0j nx n e u n
. Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência ...... 63 
 (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinte Problema 3.3.
sinal 
  nx n 
. .......................................................................................................... 65 
 (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de ........................ 66 Problema 3.4.
 (AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de ........................ 71 Problema 3.5.
 (HSU 4.19a) Calcule a transformada inversade ................................. 75 Problema 3.6.
 (HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por ............................. 77 Problema 3.7.
 (HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 81 Problema 3.8.
 (HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 84 Problema 3.9.
 (HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 86 Problema 3.10.
 (HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ......... 88 Problema 3.11.
 (HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ......... 90 Problema 3.12.
 (HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de 
 x n
 para Problema 3.13.
cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema: ...................... 93 
 (AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação às Problema 3.14.
diferenças .................................................................................................................... 95 
Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos ........................... 97 
 Seja ...................................................................................................... 97 Problema 4.1.
 Seja ...................................................................................................... 98 Problema 4.2.
 Seja ...................................................................................................... 99 Problema 4.3.
 Sejam ................................................................................................. 100 Problema 4.4.
 Sabe-se que ........................................................................................ 103 Problema 4.5.
 (IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5. ............... 104 Problema 4.6.
7 
 
 (IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7. Problema 4.7.
Escreva a expressão que os relaciona. ...................................................................... 105 
 (IML 1.6a) Esboce graficamente as componentes par e ímpar do sinal Problema 4.8.
representado na Figura 4.8. ...................................................................................... 106 
 (IML 1.7) Sejam dois sinais contínuos relacionados por .................. 108 Problema 4.9.
 (IML 1.9) Seja 
 x t
 um sinal contínuo considere-se ..................... 109 Problema 4.10.
 (IML 1.11a,f) Determine quais dos seguintes sinais são periódicos. Problema 4.11.
Para os sinais periódicos determine o período fundamental. ................................... 111 
 (IML 1.12) Determine o período fundamental de ........................... 112 Problema 4.12.
 (IML 1.13) Seja ............................................................................... 113 Problema 4.13.
 (IML 1.14) Considere os sinais contínuos: ..................................... 114 Problema 4.14.
 (IML 1.18) Esboce graficamente os seguintes sinais contínuos: .... 117 Problema 4.15.
 (IML 1.20a,b,g) Exprima analiticamente os sinais representados .. 120 Problema 4.16.
 (IML 1.22c,k) Um sistema contínuo pode classificar-se como: ..... 123 Problema 4.17.
Capítulo 5. Representação no Domínio do Tempo de Sistemas LIT Contínuos ... 127 
 (IML 2.4) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada Problema 5.1.
por ............................................................................................................................. 127 
 (AT Ex. 1, Cap. 2) Considere o seguinte circuito RLC .................... 130 Problema 5.2.
 (HSU 2.5) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada Problema 5.3.
por ............................................................................................................................. 133 
 (IML 2.13) Considere o seguinte sistema ......................................... 136 Problema 5.4.
 (IML 2.19) Seja ................................................................................. 139 Problema 5.5.
Capítulo 6. Transformada de Laplace ...................................................................... 141 
 (AT Ex. 2, Cap. 3) Determinar a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.1.
   eatx t u t  
. ...................................................................................................... 141 
 Determine a transformada de Laplace do sinal ................................. 147 Problema 6.2.
 (AT Ex. 2, Cap. 3) Determine a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.3.
   0j tx t e u t
. ........................................................................................................ 148 
 (HSU 3.5c) Determine a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.4.
     2 3t tx t e u t e u t  
. ........................................................................................ 149 
 (IML 3.2a,b,d) Determine a função no tempo, 
 x t
, cuja transformada Problema 6.5.
de Laplace é: ............................................................................................................. 150 
 (IML 3.3a,d) Seja .............................................................................. 154 Problema 6.6.
 (IML 3.7a,b) A Figura 6.4 representa o mapa pólos/ zeros da função de Problema 6.7.
transferência de um SLIT. ........................................................................................ 155 
 (IML 3.14) Considere o SLIT causal cujo mapa pólos/zeros se Problema 6.8.
representa na Figura 6.5 . ......................................................................................... 158 
8 
 
 (IML 3.8) Classifique quanto à estabilidade e à causalidade os SLITs Problema 6.9.
cujo mapa palas/zeros se representam na Figura 6.6. Justifique a resposta. ............ 162 
 (HSU 3.38) Resolva a seguinte equação diferencial de segunda ordemProblema 6.10.
 .................................................................................................................................. 164 
 (IML 3.10) Seja ............................................................................... 166 Problema 6.11.
 (IML 3.18) Considere o sistema causal descrito pela equação Problema 6.12.
diferencial de coeficientes constantes....................................................................... 170 
Capítulo 7. Transformada de Fourier ...................................................................... 177 
 (IML 3.26) Determine a transformada de Fourier de cada uma das Problema 7.1.
seguintes funções no tempo: ..................................................................................... 177 
 Encontre 
 x t
, sabendo que.............................................................. 183 Problema 7.2.
 Determine uma representação em séries de Fourier para os seguintes Problema 7.3.
sinais ......................................................................................................................... 185 
 Calcular 
 x t
 sabendo que ............................................................... 189 Problema 7.4.
 (IML 3.31) Considere o sinal 
 x t
 cujo espectro de frequência está Problema 7.5.
representado na Figura 7.3 ....................................................................................... 191 
 (IML 3.32) Sejam 
 x t
 e 
 y t
, respectivamente, os sinais de entrada Problema 7.6.
e de saída de um sistema contínuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela 
seguinte equação: ...................................................................................................... 193 
 (IML 3.33) Considere o sistema cuja resposta de frequência é ........ 194 Problema 7.7.
 (IML 3.34) Seja ................................................................................. 195 Problema 7.8.
Anexo A. Fundamentos Matemáticos .......................................................................197 
A.1. (IML Anexo A) Noções de trigonometria ........................................................ 197 
A.2. (IML Anexo A) Definição de número complexo. ............................................ 199 
A.3. (IML Anexo A) Prova de relações trigonométricas ......................................... 202 
A.4. (IML Anexo A) Séries Geométricas ................................................................. 203 
A.5. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana e determine o seu 
módulo, inverso e conjugado. ................................................................................... 205 
A.6. Expresse os seguintes números complexos na forma polar, determine o seu 
módulo, inverso e conjugado, e represente-o no plano complexo. ........................... 208 
A.7. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana. ..................... 211 
A.8. Determine as soluções das seguintes equações. ............................................... 213 
A.9. Calcule as seguintes expressões........................................................................ 215 
A.10. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ..................................... 218 
Anexo B. Fundamentos Matemáticos: Parte 2 ......................................................... 219 
B.1. Integrais. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ....................... 219 
B.2. Expanda em fracções simples as seguintes funções racionais. ......................... 223 
Anexo C. Testes Resolvidos ....................................................................................... 227 
9 
 
C.1. Processamento de Sinal: Teste 1. ...................................................................... 227 
C.2. Processamento de Sinal: Teste 2. ...................................................................... 237 
C.3. Sinais e Sistemas: Teste 1. ................................................................................ 243 
C.4. Sinais e Sistemas: Teste 2. ................................................................................ 250 
Anexo D. Formulários ................................................................................................ 259 
D.1. Formulário para processamento de sinal. ......................................................... 259 
D.2. Formulário para sinais e sistemas. .................................................................... 263 
 
 
10 
 
 
 
11 
 
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais 
Discretos 
 
 (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes Problema 1.1.
sinais discretos. 
 
Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições 
respectivas dos sinais pares e ímpares 
 
   x n x n 
, (1.1) 
 
   x n x n  
. (1.2) 
 
 
a) 
 
1
; 0
0 ; 0
n
x n n
n


 
 
 
 
Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2)
, ou seja, é necessário calcular 
 x n
 e verificar se este se relaciona com 
 x n
, através 
de uma relação de paridade. Directamente da definição de 
 x n
 e (1.2) obtém-se 
 
   
1
; 0
0 ; 0
n
x n x nn
n

 
   
 
. (1.3) 
O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura 
1.1a. 
 
 
b)  
2
1
; 02
3
; 0
0
n
n
x n
n
         

 
 
Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
12 
 
  
 
 
2 2
11 ; 0 ; 022
33
; 0 ; 0
00
nn
n n
x n x n
n n
                    

. (1.4) 
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b. 
 
 
c) 
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
 
 

 
 
Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
 
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
  
  

. (1.5) 
O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade, 
como pode ser observado pela Figura 1.1c. 
 
 
d) 
 
  ; 04 1
; 00
n
n
x n
n
 
 

 
 
Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
  
 
 
 
 
1
4; 0 ; 0 ; 04 1 4 1
1
; 0 ; 0 ; 00 0
0
n n
nn n n
x n x n
n n n
       
      
    

. (1.6) 
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1d. 
13 
 
 
 
Figura 1.1. Representação de 
 x n
. 
 a  b
 c  d
14 
 
 (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos Problema 1.2.
seguintes sinais. 
 
Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário 
considerar as seguintes definições 
 
     
1
2
px n x n x n    
, (1.7) 
 
     
1
2
ix n x n x n    
, (1.8) 
que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas 
relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos 
           
1 1
2 2
p px n x n x n x n x n x n             
, (1.9) 
               
1 1 1
2 2 2
i ix n x n x n x n x n x n x n x n                       
. (1.10) 
 
 
c) 
   0 2j nx n e  
 
 
O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em 
 
   0 2 0 0cos sin
2 2
j n
x n e n j n
       
         
   
. (1.11) 
Através do círculo trigonométrico é possível identificar 
 
 cos sin
2
x x
 
   
 
, 
 sin cos
2
x x
 
  
 
, (1.12) 
que aplicado em (A.67) permite obter 
 
     0 0sin cosx n n j n    
. (1.13) 
A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas: 
 
i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é 
possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma 
15 
 
 
     i px n x n x n 
, (1.14) 
onde 
 
   0sinix n n  
, (1.15) 
 
   0cospx n j n 
, (1.16) 
são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal. 
 
ii) Pela definição (1.7) podemos então obter 
 
       0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
px n j n n j n            
. (1.17) 
Finalmente, considerando o resultado sobre a paridade das funções seno e co-seno 
 
   cos cosx x 
, 
   sin sinx x  
, (1.18) 
facilmente se chega a 
 
         0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos cos
2
px n j n n j n j n            
. (1.19) 
Analogamente, para a componente ímpar, utilizando as definições (1.8) e (1.18) chega-
se a 
 
       
         
0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
1
sin cos sin cos sin
2
ix n j n n j n
n j n n j n n
             
             
. (1.20) 
A representação gráfica dos sinais pode ser observada na Figura 1.2 
 
16 
 
 
 
Figura 1.2. Representação de 
 x n
. 
17 
 
 (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, 
 x n
 e 
 y n
, Problema 1.3.
tais que 
 
 
   2 3y n x n 
. (1.21) 
 
Um sinal discreto diz-se periódico, quando existe um inteiro 
0N 
, tal que respeita a 
condição 
 
   x n x n N 
, 
n 
. (1.22) 
O período fundamental 
0N
 define-se como o menor inteiro positivo queverifica (1.22). 
Qualquer inteiro positivo e múltiplo de 
0N
 é também um período de 
 x n
. 
Pode ainda ser demonstrado que, para um sinal do tipo 
 0sin n
, 
 0cos n
 
ou  0j ne  , onde 
0
 é a frequência fundamental, e 
2M 
, seja periódico, é 
necessário que se verifique 
 
0
M


, (1.23) 
onde é o conjunto dos números racionais. 
 
 
a) Se 
 x n
 é par logo 
 y n
 é par? 
 
Para averiguar a veracidade de a), é necessário verificar se (1.21) cumpre (1.7). Uma 
vez que 
 
     2 3y n x n y n    
, (1.24) 
e sendo que 
 x n
 é par vem ainda 
 
       2 3 2 3 2 3x n x n y n x n      
, (1.25) 
pelo que a) é falso. Note-se que, um deslocamento, tipicamente, altera a paridade do 
sinal. No entanto, se 
 x n
 for periódico, de período 
0 1,2,3,6N 
, tem-se que 
18 
 
     2 3 2 3x n x n y n   
, ou seja, a paridade do sinal seria mantida e 
 y n
 seria 
par. 
 
 
b) Se 
 x n
 é periódico logo 
 y n
 também o é? Se sim calcule o período de 
 y n
. 
 
(i) Resolução intuitiva 
 
Por observação de (1.21) verifica-se que estão patentes duas operações: (a) Uma 
mudança de escala temporal, correspondente ao termo 
2n
; (b) Um deslocamento 
temporal, correspondente ao termo 
3
. Note-se que, uma mudança de escala altera o 
período de um sinal, enquanto que, um deslocamento não. Represente-se o sinal 
periódico 
 x n
, de período 
0N
, na forma 
 
  0 0 0 0 0
0 1 2 0 1 0
0 1 2 ... 1 1 ... 2 1 2
... ...k k
n N N N N N
x n
x x x x x x x x
   

. (1.26) 
Torna-se então necessário separar os casos em que 
0N
 é par ou ímpar. Quando 
0N
 é 
par tem-se que 
 
         
0
0
0 2 4 0
0 1 2 ... 2
2 0 2 4 ...
...
n N
x n x x x x N
x x x x


, (1.27) 
logo o período de 
 2x n
 é dado por 
0 2N N
. Uma vez que a próxima operação, o 
deslocamento, não altera a periodicidade, o período de 
 y n
 é 
0 2yN N
. Para o caso 
em que 
0N
 é ímpar, 
0 2N N 
não é inteiro, pelo que não pode ser um período de 
 y n
. Para este caso, tem-se que 
               
0 0 0
0
0 0 0 0
0 2 4 1 3 0
1 1 3
0 1 2 ... ...
2 2 2
2 0 2 4 ... 1 1 3 ... 2
... ...k
N N N
n N
x n x x x x N x N x N x N
x x x x x x x
  

   ,(1.28) 
19 
 
logo o período de 
 2x n
 é dado por 
0N N
. Novamente, o deslocamento não altera a 
periodicidade, e o período de 
 y n
 é 
0yN N
. Ambas as componentes e a sua 
periodicidade podem ser observadas na Figura 1.3 e Figura 1.4. 
 
 
(ii) Resolução pela definição 
 
Aplicando (1.22) à definição do sinal, resulta imediatamente que 
 
n 
, 
   yy n N y n 
. (1.29) 
Desenvolvendo (1.29), esta ainda pode ser reescrita como 
 
n 
, 
      2 3 2 2 3 2 3y yx n N x n N x n      
. (1.30) 
Para que esta tenha solução, é necessário que 
 
0
02
2
y y
N
N mN N m  
, 
m 
, (1.31) 
onde 
0N
 é o período fundamental de 
 x n
. O período fundamental de 
 y n
 é então o 
menor inteiro positivo que cumpre (1.31), o que corresponde a 
 0
0
0 0
1 , par
2
2 , ímpar
y
N
m N
N
m N N

 
 
  
. (1.32) 
Note-se que, uma vez que o período tem de ser um inteiro positivo, apenas no caso em 
que 
0N
 é par é que 
0 2yN N
 é inteiro. Para o caso em que 
0N
 é ímpar apenas se 
poderá ter 
0yN N
. 
 
20 
 
 
Figura 1.3. Representação do caso 
0N
 par. 
 
 
Figura 1.4. Representação do caso 
0N
 ímpar. 
 
21 
 
 (HSU 1.23) O sinal discreto 
 x n
 está desenhado na Problema 1.4.
Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais. 
A representação de 
 x n
 e 
 u n
 pode ser observada na Figura 1.5. 
 
Figura 1.5. Representação de 
 x n
. 
a) 
   1x n u n
 
 
Para calcular este resultado, comece-se por identificar que ao sinal escalão unitário, se 
aplicaram duas operações: (i) Inversão; (ii) Deslocamento. Pelo que, partindo da 
definição analítica do escalão unitário, e aplicando sucessivamente as operações 
referidas, é possível chegar a 
     
( ) ( )
1 ; 0 1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 0 0 ; 1i ii
n n n
u n u n u n
n n n
    
        
    
. (1.33) 
Este sinal está representado na Figura 1.6. Efectuando finalmente a multiplicação, ponto 
por ponto, dos dois sinais chega-se ao resultado também apresentado na Figura 1.6. 
 
Figura 1.6. Representação de 
   1x n u n
. 
22 
 
b) 
     2x n u n u n   
 
 
Para o primeiro membro da soma, pode então identificar-se uma operação de 
deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de escalão unitário que 
 
   
1 ; 0 1 ; 2
2
0 ; 0 0 ; 2
n n
u n u n
n n
   
    
   
. (1.34) 
Efectuando a operação de subtracção vem que 
 
   
1 ; 2 1
2
0 ; outros
n
u n u n
   
   

. (1.35) 
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.7. 
 
Figura 1.7. Representação de 
   1x n u n
. 
 
c) 
   1x n n 
 
 
Para este caso, pode também identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se 
obtém a partir da definição de impulso unitário que 
 
   
1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 1
n n
n n
n n
       
  
. (1.36) 
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.8. 
23 
 
 
Figura 1.8. Representação de 
   1x n u n
. 
 
24 
 
 (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não Problema 1.5.
periódicos. Caso sejam calcule o período. 
 
a) 
   4j nx n e 
 
 
Para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo 
substituir 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
  4 4j n N j ne e
    
   
    . (1.37) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.37) chega-se a 
 4 4 4j n N j ne e
     
   
    . (1.38) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.38) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
seguinte condição: 
 
2 8
4
N m N m
   
, 
m 
. (1.39) 
Atribuindo valores a 
m
, obtém-se o menor inteiro positivo que verifica (1.39), 
 
01 8m N  
. (1.40) 
onde 
0 8N 
 é o período fundamental. Uma vez que (1.39) tem solução, e 
 x n
 é uma 
função exponencial complexa, a condição (1.23) é verificada 
 0 14
2 8 8
1
M


 

   . (1.41) 
 
25 
 
 (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou Problema 1.6.
não periódicos. Caso sejam calcule o período. 
 
a) 
  4
n
j
x n e
  
 
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
Substituindo substituir 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
 4 4n N nj je e 
   
    
    (1.42) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 
 4 4 4n N nj je e             (1.43) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.43) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
condição: 
 
2 8
4
N
m N m   
, 
m 
. (1.44) 
Uma vez que 

 é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo 
impossívelobter um período inteiro. Note-se ainda que, como (1.44) não tem solução, e 
 x n
 é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) não é verificada 
 0
1
14
2 8
1
M  

  . (1.45) 
 
26 
 
 (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são Problema 1.7.
periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental. 
 
b) 
  sin 5 2
4
x n n
 
  
 
 
 
Note-se que, uma translação no tempo não afecta o período de um sinal, mas, uma 
mudança de escala sim. Uma vez que, o período fundamental da função seno é 
2M 
, verifique-se se após a mudança de escala, o sinal continua a ser periódico. Para 
calcular o período fundamental, substitua-se 
n
 por 
n N
 em b), e aplique-se (1.22) à 
definição do sinal obtendo a equação 
 
 sin 5 2 sin 5 2
4 4
n N n
    
      
   
. (1.46) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.46), chega-se a 
 
sin 5 2 5 sin 5 2
4 4 4
n N n
     
      
   
. (1.47) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.47) tem de ter solução. Então, os argumentos das 
funções seno têm de estar relacionados, através de um múltiplo do período fundamental 
da função seno (
2M 
): 
 
8
5 5 2
4 4 5
N mM N m N m
      
, 
m 
. (1.48) 
O menor número inteiro que verifique (1.48) é então o período fundamental, que neste 
caso, corresponde a 
5m 
 que resulta em 
0 8N 
. Novamente, uma vez que (1.39) tem 
solução, e 
 x n
 é uma função seno, a condição (1.23) é verificada 
 0
5
5 54
2 8 8
1
M


 

   . (1.49) 
 
 
c) 
 
1
cos
2
x n n
 
  
 
 
27 
 
Para calcular o período fundamental, substitua-se 
n
 por 
n N
 em c), e aplique-se 
(1.22) à definição do sinal, obtendo a equação 
 
 
1 1
cos cos
2 2
n N n
   
    
   
. (1.50) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.50), chega-se a 
 
1 1 1
cos cos
2 2 2
n N n
   
    
   
. (1.51) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.51) tem de ter solução. Então, os argumentos das 
funções co-seno têm de estar relacionados através de um múltiplo do período 
fundamental da função co-seno (
2M 
): 
 
1
2 4
2
N m N m   
, 
m 
. (1.52) 
Uma vez que 

 é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo 
impossível obter um período inteiro. Como (1.51) não tem solução, e 
 x n
 é uma 
função co-seno, a condição (1.23) não é verificada 
 0
1
12
2 4
1
M  

  . (1.53) 
 
 
d) 
   2cos 5x n n
 
 
Novamente, substituindo 
n
 por 
n N
 em d) e aplicando (1.22), chega-se a 
 
   2 2cos 5 cos 5n N n    
. (1.54) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.54) permite ainda obter 
 
   2 2 2cos 5 10 5 cos 5n nN N n     . (1.55) 
Novamente, de (1.55) obtém-se a condição 
28 
 
 
2 2510 5 2 5
2
nN N m m nN N      
, 
m 
. (1.56) 
Uma vez que m é um número inteiro, o segundo membro de (1.56) também tem de ser 
inteiro. Desta forma, uma vez que 
5nN
 já é um inteiro (
n
 e 
N
 são inteiros) é 
necessário que 
 
2
0
5
2
2
N N  
. (1.57) 
Tendo (1.57) solução, e sendo 
 x n
 uma função co-seno, a condição (1.23) é verificada 
 0
5
5 51
2 2 2
1
M


 

   . (1.58) 
 
29 
 
 (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser Problema 1.8.
classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) 
Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 
6) Invertibilidade. 
 
Para classificar os seguintes sistemas, é necessário conhecer as propriedades gerais 
dos sistemas lineares. Estas podem ser definidas da seguinte forma: 
 
1) Memória: Um sistema não tem memória quando, num instante de tempo, a saída 
apenas depende da entrada nesse mesmo instante, i.e., 
 
   1 1 1n y n f x n      
. (1.59) 
e.g., 
   3y n x n
 não tem memória, enquanto que 
   3 1y n x n 
 tem. 
 
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída 
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, para dois sinais idênticos 
até ao instante 
0n
, as saídas são idênticas até ao mesmo instante, i.e., 
 
       1 2 0 1 2 0x n x n n n y n y n n n      
. (1.60) 
Por conseguinte, um sistema sem memória é necessariamente causal, e.g., 
   3y n x n
 e 
   3 1y n x n 
 são causais, enquanto que 
   3 1y n x n 
 não. 
 
3) Invariância no tempo: Um sistema diz-se invariante no tempo, quando uma 
deslocação no sinal de entrada conduz à mesma deslocação no sinal de saída, i.e., 
 
       0 0x n y n x n n y n n    
, 
0n
. (1.61) 
 
4) Linearidade: Um sistema é linear quando uma combinação linear de sinais à 
entrada conduz, na saída, à mesma combinação linear das saídas elementares para 
cada sinal de entrada, i.e., 
    
   
       
1 1
1 2 1 2
2 2
x n y n
ax n bx n ay n by n
x n y n

   

. (1.62) 
30 
 
5) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando 
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., 
 
   0 : 0 :x x y yA x n A n A y n A n          
. (1.63) 
 
6) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam 
em sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva), i.e., 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
. (1.64) 
 
 
 
a) 
   ny n x n
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade 
(1.60) verifica-se que o sistema é causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 1 0
n ny n x n x n n  
. (1.65) 
No entanto, uma vez que, 
 
   00 0
n n
y n n x n n
  
, (1.66) 
é diferente de (1.65) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 
   1 1
ny n x n
, 
   2 2
ny n x n
 pelo que 
 
           1 2 1 2 1 2
n
ax n bx n ax n bx n ay n by n      
, (1.67) 
logo o sistema é não linear. Por exemplo, escolhendo 
1a b 
 no ponto 
2n 
, vem 
para quaisquer dois sinais de entrada 
 1x n
 e 
 2x n
 
 
           
2
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2x x x x y y      
. (1.68) 
31 
 
Neste caso, o sistema não é estável, o que pode ser provado por contra-exemplo. 
Considere-se o sinal de entrada limitado 
  2x n 
, 
n
, pelo que vem 
 
   2 limn
n
y n y n

   
, (1.69) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Para provar a não invertibilidade recorrer-se-á, novamente, ao contra exemplo. 
Definam-se dois sinais diferentes tais que 
 
   
   
1 1
2 2
1, 1 1,
1, 0 1 , 0
1,
2, 0 2 , 0
n
n
n
x n n y n n
n n
x n y n n
n n
     
  
     
  
. (1.70) 
A partir de (1.70) verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.71) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. (Note-se que o sistema perde 
a informação do sinal de entrada no instante 
0n 
). 
 
 
b) Esta alínea corresponde à resolução emparalelo dos problemas IML 1.23h, i, 
representando um grau de dificuldade interessante. Verifiquem-se as diferenças entre os 
dois sistemas semelhantes, 
  
 
 
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n
y n n
x n n


 
   
,  
 
 
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n
y n n
x n n


 
  
. (1.72) 
Note-se que, considerando a propriedade (1.59), se pode observar que 
 hy n
 tem 
memória enquanto que 
 iy n
 não tem memória. Mais ainda, aplicando (1.60), pode 
observar-se que 
 hy n
 é não causal enquanto que 
 iy n
 é causal. Quanto à 
invariância temporal, aplicando (1.61) resulta que, as saídas 
 0y n n
 são dadas por 
 
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
1 , 1
h
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
    
,  
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
, 1
i
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
   
. (1.73) 
32 
 
Considerando novamente sinais auxiliares do tipo 
   0x n x n n  
 resulta que, 
  
 
 
0
0
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n n
y n n
x n n n
 

  
    
,  
 
 
0
0
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n n
y n n
x n n n
 

  
   
. (1.74) 
Uma vez que os resultados (1.74) e (1.73) são diferentes, verifica-se que ambos os 
sistemas são variantes no tempo. Aplicando agora a propriedade (1.62), dos sistemas 
lineares verifica-se que, o sistema 
 hy n
, 
     
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
1 1 , 1
h h h
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
     
, (1.75) 
bem como o sistema 
 iy n
 
      
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
, 1
i i i
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
   
, (1.76) 
são lineares. Mais ainda, quanto à estabilidade, verifica-se que a condição (1.63) é 
sempre cumprida, para qualquer entrada limitada, para ambos os sistemas, pelo que 
estes são estáveis. Quanto à invertibilidade, note-se que, o sistema 
 iy n
 perde a 
informação da entrada no instante 
0n 
 enquanto que o sistema 
 hy n
 não. Desta 
forma, por contra-exemplo considerem-se os sinais 
      
     
1 ,1
2 ,2
0
2 0
i
i
x n n y n
x n n y n


  
  
, (1.77) 
ou seja, 
 
       1 2 ,1 ,2i ix n x n y n y n  
, (1.78) 
logo o sistema 
 iy n
 é não invertível. Pelo contrário, 
 hy n
 é invertível, e o seu 
sistema inverso é dado por 
 
   
 
 
1
, 0
1 , 0
h
h h
h
y n n
y n z n
y n n


  
 
. (1.79) 
33 
 
d) 
   y n n x n
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Aplicando ainda 
(1.60), e uma vez que o sistema não tem memória, tem-se que o sistema é causal. 
 Para averiguar se o sistema é invariante no tempo, aplique-se (1.61), 
considerando 
   1 0x n x n n 
, pelo que se tem 
 
     1 1 0y n n x n n x n n  
. (1.80) 
No entanto, uma vez que 
 
     0 0 0y n n n n x n n   
, (1.81) 
tem-se que (1.81) é diferente de (1.80) pelo que o sistema é variante no tempo. 
 Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 
   1 1y n n x n
 e 
   2 2y n n x n
, pelo que 
                1 2 1 2 1 2 1 2ax n bx n n ax n bx n an x n bn x n ay n by n      
, (1.82) 
logo o sistema é linear. 
 A estabilidade pode ser novamente comprovada por contra exemplo, i.e., se 
  3x n 
, 
n
, verifica-se que, 
 
   3 lim
n
y n n y n

   
, (1.83) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Novamente, note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 
0n 
. 
Considerando os dois sinais seguintes, 
          
         
1 1
2 2
2 2 2 0 0 0
3 3 3 0 0 0
x n n y n n n
x n n y n n n
  
  
      
      
. (1.84) 
A partir de (1.84), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.85) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
34 
 
 Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.9.
Caso sejam calcule o seu período. 
 
a) 
 
2
tan
3
x n n   
 
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
Substituindo 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
 
 
2 2
tan tan
3 3
n N n           
, (1.86) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 
 
2 2 2
tan tan
3 3 3
n N n         
   
, (1.87) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.87) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
seguinte condição: 
 
2 2 3
3 3 2
N Mm N m N m      
, 
m 
. (1.88) 
O menor número inteiro que verifique (1.88) é então o período fundamental, que neste 
caso, corresponde a 
2m 
 que resulta em 
0 3N 
. Note-se que, o período fundamental 
da função tangente é 
M 
. 
 
b) 
 
3 2
sin tan
2 3
x n n n        
   
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
No entanto, uma vez que 
 x n
 é dado pela soma de dois sinais distintos, é necessário 
primeiro averiguar qual a periodicidade de ambas as componentes. Assim, substituindo 
n
 por 
n N
 em b), e aplicando (1.22) obtêm-se as equações 
35 
 
 
 
 
1
2
3 3
sin sin
2 2
2 2
tan tan
3 3
n N n
n N n
 
 
   
       
   
       
. (1.89) 
Analogamente à alínea anterior chega-se a duas condições: 
 
1 1
1
2
2 2
3 4
2
42 3
2 33
3 2
N m N m
N
N
N m N m
 
 
 
    
   
  
  
, 
m 
. (1.90) 
O período fundamental do sinal é o mínimo múltiplo comum entre os períodos 
fundamentais 
1N
 e 
2N
 das duas componentes, i.e., 
0 12N 
. 
36 
 
 (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado Problema 1.10.
segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) 
Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) 
Invertibilidade. 
 
b) 
   x ny n ne
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade 
(1.60) verifica-se que o sistema é causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 01
x n x n n
y n ne ne

 
. (1.91) 
No entanto, uma vez que, 
 
     00 0
x n n
y n n n n e

  
, (1.92) 
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas 
elementares 
   11
x n
y n ne
 e 
   22
x n
y n ne
 tem-se que 
 
               1 2 1 21 2 1 2
ax n bx n ax n bx n
ax n bx n ne ne e a y n b y n

    
, (1.93) 
logo o sistema é não linear. 
 A estabilidade, pode ser comprovada por contra exemplo, i.e., se 
  2x n 
, 
n
, 
verifica-se que, 
 
   2 lim
n
y n ne y n

  
, (1.94) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 
0n 
. Considerando 
os dois sinais seguintes, 
37 
 
 
     
 
     
 
1
2
1 1
2
3
2 2
, 01
0, 02
, 02
0, 03
n
n
n n
x n n y n n e
n
n n
x n n y n n e
n





    


    

, (1.95) 
a partir de (1.95), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.96) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
 
k) 
   5 4y n x n 
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema tem memória. Pela propriedade (1.60) 
verifica-se que o sistema é não causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 1 05 4 5 4y n x n x n n    
. (1.97) 
No entanto, uma vez que, 
 
   0 05 4y n n x n n     
, (1.98) 
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas 
elementares 
   1 1 5 4y n x n 
 e 
   2 2 5 4y n x n 
 tem-se que 
 
           1 2 1 2 1 25 5 4ax n bx n ax n bx n a y n b y n     
, (1.99) 
logo o sistema é não linear. 
 A estabilidade, pode ser comprovada considerando que 
  xx n A
, 
n
, é 
possível obter 
 
     5 4 5 4 4x yy n x n x n A A      
, (1.100) 
38 
 
ou seja, para uma entrada limitada a saída é limitada, pelo que o sistema é estável. Para 
provar que o sistema não é invertível , considerem-se os dois sinais seguintes: 
 
     
     
1 1
2 2
1, 5 4 5
1, múltiplode5
5 4 5
0, c.c.
x n n y n x n
n
x n y n x n
n
     

    

. (1.101) 
Note-se que, qualquer inteiro multiplicado por 
5
 resulta necessariamente num múltiplo 
de 
5
. A partir de (1.101), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.102) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
 
39 
 
Capítulo 2.Representação no Domínio do Tempo para Sistemas 
LIT Discretos 
 
 (HSU 2.30) Avalie 
     y n h n x n 
, onde 
 x n
 e 
 h n
 Problema 2.1.
estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de 
impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução. 
 
 
Figura 2.1. Representação de 
 x n
 e de 
 h n
. 
 
Para um dado sistema linear e invariante no tempo, caracterizado pela sua resposta 
impulsional 
 h n
, designe-se por 
 x n
 o sinal de entrada e por 
 y n
 o sinal de saída 
(Figura 2.2). 
 
 
Figura 2.2. Sistema LIT, com resposta impulsional 
 h n
, entrada 
 x n
 e saída 
 y n
. 
 
Como é conhecido, a resposta deste sistema a qualquer sinal de entrada pode ser 
obtida através da soma de convolução da seguinte forma 
 
         
k
y n x k h n k x n h n


   
. (2.1) 
Para obter a saída do sistema, é necessário efectuar os seguintes passos, para cada 
instante 
n
: 
 
 h n
 y n x n
40 
 
1. Determinar a reflexão em relação à origem da resposta impulsional 
 h k
 do 
SLIT, obtendo: 
   z k h k 
. 
2. Atrasar o sinal 
 z k
 de 
n
 unidades (correspondentes ao instante 
n
) obtendo 
a sequência: 
     w k z k n h n k   
 
3. Multiplicar ponto a ponto a sequência 
 w k
 pela entrada: 
   x k h n k
. 
4. Somar todos os pontos da sequência resultante, de modo a obter a soma de 
convolução correspondente ao instante 
n
. 
Este processo é então repetido para todos os instantes 
n
. A soma de convolução goza 
ainda das seguintes propriedades: 
1) Comutatividade: 
 
       x n h n h n x n  
. (2.2) 
 
2) Associatividade: 
 
           1 2 1 2x n h n h n x n h n h n          
. (2.3) 
 
3) Distributividade: 
 
             1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n       
. (2.4) 
Destas propriedades consegue deduzir-se que a resposta impulsional de dois SLITs em 
série é dada pela convolução das respostas impulsionais de cada um dos SLITs. Da 
mesma forma se pode demonstrar que a resposta de dois SLITs em paralelo é a soma 
das respostas impulsionais de cada um. Este resultado encontra-se esquematizado na 
Figura 2.3. 
 
Figura 2.3. Respostas impulsionais de: (a) SLITs em série; (b) SLITs em paralelo. 
   1 2h n h n
 1h n  2h n

 a
   1 2h n h n
 1h n
 2h n

 b
 a  b
41 
 
Note-se ainda que, a função impulso unitário exibe uma propriedade interessante face á 
convolução, 
 
     0 0x n n n x n n   
. (2.5) 
 
 
a) Para resolver este problema, considerando uma soma de impulsos unitários, é 
necessário escrever o sinal de entrada, bem como a resposta impulsional, na forma 
 
         1 2 3x n n n n n         , (2.6) 
 
       1 2h n n n n      
. (2.7) 
Torna-se então possível obter a convolução 
   x n h n
 através da aplicação das 
propriedades (2.2) – (2.5). Indicando a convolução 
 
           1 2x n h n x n n n n          , (2.8) 
e aplicando (2.4) é possível escrever 
 
               1 2x n h n x n n x n n x n n          . (2.9) 
Recorrendo a (2.5) ainda se pode obter 
 
         1 2x n h n x n x n x n     
. (2.10) 
Substituindo 
 x n
 em (2.10), após alguma álgebra, obtem-se 
 
             2 1 3 2 3 3 2 4 5y n n n n n n n               . (2.11) 
A forma do sinal de saída encontra-se representada na Figura 2.7. 
 
 
b) Para facilitar a compreensão desta resolução vão ser apresentados graficamente todos 
os passos. Atendendo aos passos acima descritos, que indicam a forma de calcular 
explicitamente uma soma de convolução, é necessário obter a reflexão em relação à 
origem da resposta impulsional 
   z k h k 
 do sistema. Em seguida, é necessário 
atrasar 
 z k
 de 
n
 unidades e multiplicá-lo por 
 x k
. Através da Figura 2.4 e Figura 2.5 
42 
 
verifica-se que 
 h n k
 não se sobrepõe com 
 x k
 para 
0n 
 e 
5n 
. Assim, 
   x k h n k
 e consequentemente a resposta 
 y n
 são nulos neste intervalo. 
 
 
 
Figura 2.4. Representação de 
 x k
, 
 h k
, 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
2n  
. 
 
 
Figura 2.5. Representação de 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
6n 
. 
 
Para o intervalo 
0 5n 
, onde 
   x k h n k
 não é nulo, o seu valor é representado 
na Figura 2.6. 
43 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
Figura 2.6. Representação de 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
0 5n 
. 
 
Finalmente, para obter a resposta 
 y n
, é necessário, para cada instante 
n
, somar as 
contribuições de
   x k h n k
, o que resulta na resposta representada na Figura 2.7. 
 
 
Figura 2.7. Representação da saída 
 y n
. 
 
45 
 
 (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2.
   nh n u n
 para 
0 1 
 e o sinal de entrada 
   x n u n
. Determine a 
resposta do sistema através de: (a) 
     y n x n h n
; (b) 
     y n h n x n 
. 
 
a) 
     y n x n h n 
 
 
Considerando a definição da soma de convolução (2.1) primeiro é necessário obter a 
reflexão em relação à origem da resposta impulsional 
   z k h k 
. Em seguida, é 
necessário deslocar 
 z k
 de 
n
 unidades e multiplicar ponto a ponto pela entrada 
 x k
. 
Note-se que, tal como representado na Figura 2.8, quando se obtém 
 h n k
 ocorrem 
duas situações possíveis para a multiplicação 
   x k h n k
: (i) Para 
0n 
 não existe 
sobreposição entre 
 x k
 e 
 h n k
; (ii) Para 
0n 
, 
 x k
 e 
 h n k
 encontram-se 
sobrepostos entre 
0 k n 
. 
 
 
Figura 2.8. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 h n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
46 
 
Uma vez que, para 
0n 
, as componentes 
 x k
 e 
 h n k
 não se sobrepõem, temos 
que 
    0x k h n k 
, e por conseguinte 
 
      0, 0
k
y n x k h n k n


   
. (2.12) 
Para o caso em que 
0n 
, as componentes 
 x k
 e 
 h n k
 estão sobrepostas no 
intervalo 
0 k n 
. Neste intervalo tem-se que 
  1x k 
 e 
  n kh n k   
, pelo que 
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 
 
     
0
, 0
n
n k
k k
y n x k h n k n 
 
    
. (2.13) 
Efectuando uma mudança de variável, 
 m k n k 
, segundo (A.100) vem que 
 
 
0
0
, 0
n
m m
m n m
y n n 
 
   
. (2.14) 
É então possível identificar (2.14) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde 
 
, 
1N n 
 e 
0k 
. Uma vez que 
0 1 
 a soma de (2.14) é dada por 
 
 
1 1
0 1 1 , 0
1 1
n n
y n n
   
  
  
 
. (2.15) 
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de 
n
 é possível escrever 
 
   
1
11 , 0 1
1
1
0, 0
n
nn
y n u n
n
 
 

   
 
 
, (2.16) 
uma vez que 
  0u n 
 para 
0n 
. Para representar o gráfico de 
 y n
 é útil obter o 
valor de 
 
 
11 1
lim lim
1 1
n
n n
y n

 

 

 
 
. (2.17) 
A resposta final do sistema pode ser observada na Figura 2.9. 
 
47 
 
 
Figura 2.9. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 h n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
 
 
b) 
     y n h n x n 
 
 
Note-se que, uma vez que a convolução é comutativa, o resultado final será o mesmo do 
obtido na alínea anterior. Note-se que, 
 
         
k
y n h n x n h k x n k


   
. (2.18) 
Como representado na Figura 2.10, quando se obtém 
 x n k
 ocorrem duas situações 
possíveis para a multiplicação de 
   h k x n k
: (i) Para 
0n 
 não existe sobreposição 
entre 
 h k
 e 
 x n k
; (ii) Para 
0n 
, 
 h k
 e 
 x n k
 encontram-se sobrepostos 
entre 
0 k n 
. 
 
 
 
48 
 
 
 
Figura 2.10. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 x n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
 
Novamente, para 
0n 
, as componentes 
 h k
 e 
 x n k
 não se sobrepõem, então 
    0h k x n k 
, e por conseguinte 
 
      0, 0
k
y n h k x n k n


   
. (2.19) 
Para o caso em que 
0n 
, as componentes 
 h k
 e 
 x n k
 estão sobrepostas no 
intervalo 
0 k n 
. Neste intervalo tem-se que, 
  1x n k 
 e 
  kh k 
, pelo que, 
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 
 
     
0
, 0
n
k
k k
y n h k x n k n

 
    
. (2.20) 
É então possível identificar (2.20) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde 
 
, 
1N n 
 e 
0k 
. Uma vez que 
0 1 
 a soma de (2.14) é dada por 
 
 
1 1
0 1 1 , 0
1 1
n n
y n n
   
  
  
 
. (2.21) 
49 
 
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de 
n
 é possível escrever 
 
   
1
11 , 0 1
1
1
0, 0
n
nn
y n u n
n
 
 

   
 
 
, (2.22) 
uma vez que 
  0u n 
 para 
0n 
. Como esperado, a resposta final do sistema é a 
mesma que a obtida em (2.16). 
 
 
50 
 
 (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um Problema 2.3.
determinado sistema LIT é dada por: 
   nuy n u n
 para 
0 1 
. 
Determine a resposta impulsional do sistema. 
 
Note-se que, como é descrito nos apontamentos teóricos (Capítulo 2), é possível 
calcular a resposta ao escalão unitário, de um sistema LIT, a partir da resposta ao 
impulso 
 
       
1,
n
u
k k
k n
y n u n k h k h k

 
  
   
. (2.23) 
Consequentemente, a resposta ao impulso, pode ser obtida em função da resposta ao 
escalão através de 
 
         
1
1
n n
u u
k k
h n y n y n h k h k

 
     
. (2.24) 
 
 
a) Considerando a definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema 
 
         11 1n nu uh n y n y n u n u n       . (2.25) 
Após alguma álgebra, obtém-se o resultado final 
 
            
     
     
1 1
1
1
1 1 1
1
1 1
n n n n
n n
n
h n u n u n n u n u n
n u n
n u n
    
  
  
 


        
    
   
. (2.26) 
 
 
51 
 
 (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.4.
resposta impulsional: 
   nh n u n
. Classifique este sistema quanto à: 
a) causalidade; b) Estabilidade. 
 
A classificação de um sistema LIT, face às suas propriedades pode ser efectuada 
através do estudo da resposta impulsional: 
 
1) Memória: Um sistema diz-se sem memória quando a sua saída num dado instante de 
tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. A resposta impulsional de 
um sistema discreto sem memória é dada por um impulso na origem de amplitude 
K
 
 
   h n K n
, (2.27) 
e.g., 
   2h n n
 não tem memória, enquanto que 
   2 1h n n 
 tem. 
 
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída 
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, a resposta impulsiva de 
um sistema causal é dada por 
 
  0 0h n n  
, (2.28) 
e.g., 
   h n u n
 é causal, enquanto que 
   1h n u n 
 não. 
 
3) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando 
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada. A resposta impulsional de 
um sistema estável é uma função absolutamente somável, i.e., 
 
 
k
h k


 
. (2.29) 
 
4) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam 
sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva). A convolução 
entre a resposta impulsional de um sistema invertível e do seu inverso é um impulso 
unitário, i.e., 
 
     Ih n h n n 
. (2.30) 
52 
 
Note-se que, esta condição é necessária, mas não suficiente. 
 
 
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é causal. 
 
 
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável obtendo 
 
   
0
k k
k k k
h k u k 
  
  
   
. (2.31) 
Note-se que, (2.31) é uma série geométrica, cujasoma é dada por (A.88) 
 
0
1
, 1
1
k
k
 


 


. (2.32) 
Ou seja, (2.32) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável, quando 
1 
 e 
não verifica a condição (2.29), pelo que é instável, quando 
1 
. 
 
 
53 
 
 (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é Problema 2.5.
dada por: 
     1 2
n
h n u n
. Calcule 
 1y
 e 
 4y
 para o sinal de entrada 
     2 3x n n n   
. 
 
Método 1. Resolução através das propriedades de um sistema LIT. 
 
Note-se que, o sinal de entrada já está escrito sob a forma de uma soma ponderada de 
impulsos unitários. Porque o sistema é LIT, a resposta ao sinal de entrada é uma soma 
ponderada de respostas impulsionais. Uma vez que, 
 
   3 3n h n   
, (2.33) 
o cálculo da saída é imediato 
               1 1 1 12 3 2 3 2 3x n x n x n y n y n y n h n h n         
. (2.34) 
 
Método 2. Resolução através da definição de convolução. 
 
A resposta do sistema pode ser obtida pela definição de convolução (2.1) 
            
       
2 3
2 3
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.35) 
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 
 
     2 3y n h n h n  
. (2.36) 
Substituindo a definição de 
 h n
 em (2.34) resulta que 
 
     
3
1 1
2 3
2 2
n n
y n u n u n

   
     
   
. (2.37) 
Por substituição directa de 
1n 
 e 
4n 
 em (2.37) vem finalmente 
 
     
1 1 3 2
1 1 1 1
1 2 1 1 3 2 0 1
2 2 2 2
y u u
 
       
             
       
. (2.38) 
 
     
4 4 3 4
1 1 1 1 1 1 5
4 2 4 4 3 2
2 2 2 2 8 2 8
y u u

       
              
       
. (2.39) 
54 
 
 (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.6.
resposta impulsional: 
   2 4nh n u n 
. Classifique este sistema quanto 
à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o 
sinal de entrada 
     2 4 1x n n n   
. 
 
 
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é não causal. 
 
 
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 
 
   
4
2 4 2k k
k k k
h k u k
  
  
    
. (2.40) 
Note-se que, (2.40) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88) 
 
4
2k
k



. (2.41) 
Ou seja, (2.41) não verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é instável. 
 
 
c) Esta alínea pode ser resolvida pode dois métodos. Método 1. Resolução através das 
propriedades de um sistema LIT. 
 
Novamente, uma vez que o sistema em causa é LIT, e a entrada já está escrita como 
uma soma ponderada de impulsos unitários, é possível dizer que 
               1 1 1 12 4 1 2 4 1 2 4 1x n x n x n y n y n y n h n h n         
. (2.42) 
 
Método 2. Resolução através da definição de convolução. 
 
A saída para o sinal de entrada 
 x n
 pode ser obtida pela definição (2.1) 
55 
 
            
       
2 4 1
2 4 1
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.43) 
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 
 
     2 4 1y n h n h n  
. (2.44) 
Substituindo a definição de 
 h n
 em (2.42) resulta que 
 
         1 1
1
2 4 3 2 4 4
8
n ny n u n u n n n           
. (2.45) 
56 
 
 (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao Problema 2.7.
escalão unitário é dada por: 
 
 
0 , 2, 2, 5
3 , 1
2 , 0
4 , 1
3 , 3
1 , 4
u
n n n
n
n
y n
n
n
n
   
  


 

 

 
. (2.46) 
Determine: a) A resposta impulsional do sistema; b) Se o sistema é causal; c) Se o 
sistema é estável; d) A saída do sistema para o sinal de entrada 
     2 1x n u n u n  
. 
 
a) Através da definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema, a 
partir da resposta ao escalão unitário 
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1 2, 1 2, 1 5
3 , 1 3 , 1 1
2 , 0 2 , 1 0
1
4 , 1 4 , 1 1
3 , 3 3 , 1 3
1 , 4 1 , 1 4
u u
n n n n n n
n n
n n
h n y n y n
n n
n n
n n
          
     
 
   
     
   
     
 
     
. (2.47) 
Após alguns passos algébricos obtém-se 
 
 
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
n n n n n n
n n
n n
h n
n n
n n
n n
        
   
 
  
  
  
    
 
    
, (2.48) 
57 
 
 
 
0 , 2
3 , 1
1 , 0
2 , 1
4 , 2
3 , 3
2 , 4
1 , 5
0 , 6
n
n
n
n
h n n
n
n
n
n
 
  

 



  
 


 


. (2.49) 
 
 
b) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é não causal. 
 
 
c) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 
 
  16
k
h k



. (2.50) 
Ou seja, (2.50) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável. 
 
 
d) Novamente, o sistema em questão é LIT. O sinal de entrada já está escrito como uma 
soma ponderada de escalões unitários. Mais ainda, a resposta a 
 1u n 
 já foi calculada 
na alínea a). Aplicando então os resultados obtidos em (2.48), tem-se que a resposta ao 
sinal 
 x n
 é dada por 
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
2 1 2
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
u u
n n n n n n
n n
n n
y n y n y n
n n
n n
n n
        
   
 
  
     
  
    
 
    
, (2.51) 
 
que após alguma álgebra, permite obter 
58 
 
 
     
0 , 2
3 , 1
4 , 0
0 , 1
2 1 8 , 2
3 , 3
5 , 4
6 , 5
0 , 6
u u
n
n
n
n
y n y n y n n
n
n
n
n
 
  

 



     
 


 


. (2.52) 
 
 
59 
 
Capítulo 3.Transformada Z 
 
 (HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) Problema 3.1.
   x n u n 
; b) 
   x n n
. 
 
A transformada Z, bilateral, e a sua inversa são dadas pelas seguintes expressões: 
 
    n
n
X z x n z



 
, (3.1) 
 
    1
1
2
nx n X z z dz
j
 
. (3.2) 
Note-se que, para que exista transformada, é necessário que se verifique 
 
    n
n
I z x n z



  
. (3.3) 
A transformada Z observa então as seguintes propriedades: 
 
1) Linearidade: Se, 
    
   
1 1 1
2 2 2
, . .
, . .
x n X z R C R
x n X z R C R
 
 
, (3.4) 
onde 
. .R C
 é a região de convergência, então, 
 
       1 2 1 2ax n bx n aX z bX z  
, 
1 2. .R C R R 
. (3.5) 
 
2) Translação no tempo: Se 
 
   x n X z
, 
. .R C R
 (3.6) 
então, 
 
   00
n
x n n z X z
 
, 
. .R C R
, (3.7) 
excepto para a possível inclusão/exclusão de 
0z 
 ou 
z  
. 
60 
 
3) Multiplicação por exponencial complexa: Se, 
 
   x n X z
, 
. .R C R(3.8) 
então, 
 
 0
0
n zz x n X
z
 
  
 
, 
0. .R C z R
. (3.9) 
 
4) Mudança de escala: Seja 
 
 
  ; múltiplo
0 ; . .
x n n
x n
c c

 

, (3.10) 
Se, 
 
   x n X z
, 
. .R C R
 (3.11) 
então, 
 
   1x n X z
, 
. .R C R
. (3.12) 
 
4.1) Inversão temporal: Para o caso particular em que 
1 
, dá-se uma inversão 
temporal, sem perda de informação, pelo que 
 
 
1
x n X
z
 
   
 
, 
1
. .R C
R

 (3.13) 
 
5) Convolução: Se, 
    
   
1 1 1
2 2 2
, . .
, . .
x n X z R C R
x n X z R C R
 
 
. (3.14) 
então, 
 
       1 2 1 2x n x n X z X z 
, 
1 2. .R C R R 
. (3.15) 
 
61 
 
6) Diferenciação no domínio da transformada: Se, 
 
   x n X z
, 
. .R C R
 (3.16) 
então, 
 
 
 dX z
nx n z
dz

, 
. .R C R
. (3.17) 
 
7) Soma no domínio do tempo: Se, 
 
   x n X z
, 
. .R C R
 (3.18) 
então,. 
 
   
1
1
1
n
k
x k X z
z



, 
 . . 1R C R z  
. (3.19) 
 
 
a) Método 1. Resolução através da definição. 
 
Aplicando a definição (3.1) ao sinal definido no enunciado, tem-se que 
 
   
0
0
n n n
n n n
X z u n z z z
 
 
  
     
. (3.20) 
Utilizando o resultado conhecido, para a soma de séries geométricas (A.36), vem 
finalmente, 
 
0
1
, 1
1
n
n
z z
z


 


. (3.21) 
Para que exista transformada, é necessário verificar (3.3). Note-se que, (3.21) converge, 
i.e., 
 I z  
 sempre que 
1z 
, ou seja, a região de convergência da transformada é 
dada por 
1z 
. O resultado final pode então ser escrito na forma 
 
 
1
1
X z
z


, 
. . : 1R C z 
. (3.22) 
 
62 
 
Método 2. Resolução utilizando as tabelas das transformadas. 
 
Pelas tabelas das transformadas, sabe-se que 
 
     
1
1
1
x n u n X z
z
  

, 
. . : 1R C z 
. (3.23) 
Aplicando a propriedade (3.13), obtém-se directamente 
 
  1
1 1 1
11
1
u n X
z z
z

 
    
   
  
 
, 
. . : 1R C z 
. (3.24) 
 
b) Recorrendo à definição da transformada (3.1), tem-se que 
 
    n
n
X z n z



 
. (3.25) 
Note-se que, o delta de Dirac verifica a seguinte propriedade 
 
       0n f n n f 
. (3.26) 
Assim, aplicando (3.26) a (3.25) pode facilmente escrever-se que 
 
     0 1
n n
X z n z n 
 
 
   
, (3.27) 
tal como vem indicado nas tabelas das transformadas. 
 
 
63 
 
 (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal Problema 3.2.
   0j nx n e u n
. Encontre também os pólos, zeros e a região de 
convergência 
 
A propriedades da região de convergência da transformada Z são as seguintes 
 
1. A 
. .R C
 de 
 X z
 consiste numa coroa circular centrada na origem do plano 
z
. 
 
2. A 
. .R C
 não contém pólos. 
 
3. Se 
 x n
 for de duração finita, então a 
. .R C
 é o próprio plano 
z
, exceptuando 
eventualmente 
0z 
 e/ou 
z  
. Quando, 
 
   
2
1
n
n
n n
X z x n z


, (3.28) 
3.1. Se o sinal possui componentes causais, ou seja, 
2 0n 
, logo 
 X z
 possui o 
termo 1z e por isso 0 . .z R C  
3.2. Se o sinal possui componentes não-causais, ou seja, 
1 0n 
, logo 
 X z
 
possui o termo 
z
 e por isso 
. .z R C  
 
3.3. O único sinal cuja 
. .R C
 é todo o plano 
z
 é 
   x n a n
. 
 
4. Se 
 x n
 for um sinal direito, e se a sua circunferência de raio 
0z r
 pertencer à
. .R C
, então todos os valores finitos de 
z
 tais que 
0z r
 também pertencem à 
. .R C
. 
 
5. Se 
 x n
 for um sinal esquerdo, e se a sua circunferência de raio 
0z r
 pertencer à 
. .R C
, então todos os valores finitos de 
z
 tais que 
00 z r 
 também pertencem à 
. .R C
 
 
64 
 
6. Se 
 x n
 for um sinal bilateral, e se a sua circunferência de raio 
0z r
 pertencer à 
. .R C
, então a 
. .R C
 é uma coroa circular do plano 
z
 que contém a circunferência 
0z r
. 
 
 
a) Pela definição tem-se que 
 
   0j n n
n
X z e u n z

 

 
. (3.29) 
É ainda possível reescrever (3.29) na forma 
 
 
0
0
0 0
n
j
j n n
n n
e
X z e z
z
 
 
 
 
   
 
 
. (3.30) 
Novamente, para que exista transformada, é necessário verificar (3.3), pelo que, 
aplicando o resultado das séries geométricas (A.36), surge a condição 
 
0
1 1
j
e
z
z

  
. (3.31) 
Desta forma, a transformada é dada por, 
 
 
0 0
1
1
j j
z
X z
e z e
z
 
 


, 
. . : 1R C z 
. (3.32) 
Sendo 
iz
 as raízes do numerador (zeros), e 
ip
 as raízes do denominador (pólos), tem-se 
 
 0iz 
, 
 0jip e 
. (3.33) 
 
 
 
65 
 
 (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z Problema 3.3.
do seguinte sinal 
  nx n 
. 
 
Utilizando a definição (3.1), tem-se que 
 
 
1
0
n n n n n n
n n n
X z z z z       
  
    
. (3.34) 
Ainda é possível reescrever (3.34) na forma 
 
 
1
0
1
n n
n n
X z
z z


 
 
   
    
   
 
. (3.35) 
Efectuando uma mudança de variável 
m n 
 (A.100), obtém-se finalmente 
 
     
1 0 0 0
1
n n
m m
m n m n
X z z z
z z
     
   
   
        
   
   
. (3.36) 
Para que exista transformada, é necessário verificar (3.3). Considerando a soma de uma 
série geométrica, (A.88), obtém-se as seguintes condições, 
 
1z 
, 
1
z


. (3.37) 
Substituindo uma condição na outra, obtém-se que, 
 
1
z

 
. (3.38) 
Esta condição implica que as séries de (3.36) apenas convergem quando 
1 
, e desta 
forma existe uma região de convergência para a transformada do sinal. Assim, 
aplicando (A.88) vem para a transformada do sinal 
 
 
1 1
1
1 1
X z
z
z

   
 
, 
1
. . :R C z

 
, 
1 
. (3.39) 
 
 
66 
 
 (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de Problema 3.4.
a) 
 
  
1 2
1 1 1
1
1
1 1 2 1
2
z z
X z
z z z
 
  
 

 
   
 
, 
. . : 1 2 1R C z 
 (3.40) 
b) 
 
  
2
1 1
1
1 2 1
X z
z z 

 
, 
. . : 2R C z 
 (3.41) 
 
Considere-se o problema de decompor em fracções simples 
 X z
, escrita na forma, 
 
 
     
1
1 1 0
1 2
m m
m m
n n
b z b z b z b
X z
a z p z p z p

   
  
. (3.42) 
Para decompor (3.42) em fracções simples é necessário efectuar os seguintes passos: 
(i) Verificar se a fracção é própria, i.e., 
m n
 (o número de zeros não é superior ao 
número de pólos); (ii) Caso a fracção não verifique (i) é necessário efectuar uma 
sucessão de divisões polinomiais até obter uma fracção própria; (iii) Efectuar a 
separação em fracções simples. Sendo 
 X z
 uma fracção própria, com 
k
 pólos 
distintos tais que o pólo