Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)

sistema linear e invariante no tempo, caracterizado pela sua resposta 
impulsional 
 h n
, designe-se por 
 x n
 o sinal de entrada e por 
 y n
 o sinal de saída
(Figura 2.2). 
Figura 2.2. Sistema LIT, com resposta impulsional 
 h n
, entrada 
 x n
 e saída 
 y n
.
Como é conhecido, a resposta deste sistema a qualquer sinal de entrada pode ser 
obtida através da soma de convolução da seguinte forma 
         
k
y n x k h n k x n h n


   
. (2.1) 
Para obter a saída do sistema, é necessário efectuar os seguintes passos, para cada 
instante 
n
: 
 h n
 y n x n
40 
 
1. Determinar a reflexão em relação à origem da resposta impulsional 
 h k
 do 
SLIT, obtendo: 
   z k h k 
. 
2. Atrasar o sinal 
 z k
 de 
n
 unidades (correspondentes ao instante 
n
) obtendo 
a sequência: 
     w k z k n h n k   
 
3. Multiplicar ponto a ponto a sequência 
 w k
 pela entrada: 
   x k h n k
. 
4. Somar todos os pontos da sequência resultante, de modo a obter a soma de 
convolução correspondente ao instante 
n
. 
Este processo é então repetido para todos os instantes 
n
. A soma de convolução goza 
ainda das seguintes propriedades: 
1) Comutatividade: 
 
       x n h n h n x n  
. (2.2) 
 
2) Associatividade: 
 
           1 2 1 2x n h n h n x n h n h n          
. (2.3) 
 
3) Distributividade: 
 
             1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n       
. (2.4) 
Destas propriedades consegue deduzir-se que a resposta impulsional de dois SLITs em 
série é dada pela convolução das respostas impulsionais de cada um dos SLITs. Da 
mesma forma se pode demonstrar que a resposta de dois SLITs em paralelo é a soma 
das respostas impulsionais de cada um. Este resultado encontra-se esquematizado na 
Figura 2.3. 
 
Figura 2.3. Respostas impulsionais de: (a) SLITs em série; (b) SLITs em paralelo. 
   1 2h n h n
 1h n  2h n

 a
   1 2h n h n
 1h n
 2h n

 b
 a  b
41 
 
Note-se ainda que, a função impulso unitário exibe uma propriedade interessante face á 
convolução, 
 
     0 0x n n n x n n   
. (2.5) 
 
 
a) Para resolver este problema, considerando uma soma de impulsos unitários, é 
necessário escrever o sinal de entrada, bem como a resposta impulsional, na forma 
 
         1 2 3x n n n n n         , (2.6) 
 
       1 2h n n n n      
. (2.7) 
Torna-se então possível obter a convolução 
   x n h n
 através da aplicação das 
propriedades (2.2) – (2.5). Indicando a convolução 
 
           1 2x n h n x n n n n          , (2.8) 
e aplicando (2.4) é possível escrever 
 
               1 2x n h n x n n x n n x n n          . (2.9) 
Recorrendo a (2.5) ainda se pode obter 
 
         1 2x n h n x n x n x n     
. (2.10) 
Substituindo 
 x n
 em (2.10), após alguma álgebra, obtem-se 
 
             2 1 3 2 3 3 2 4 5y n n n n n n n               . (2.11) 
A forma do sinal de saída encontra-se representada na Figura 2.7. 
 
 
b) Para facilitar a compreensão desta resolução vão ser apresentados graficamente todos 
os passos. Atendendo aos passos acima descritos, que indicam a forma de calcular 
explicitamente uma soma de convolução, é necessário obter a reflexão em relação à 
origem da resposta impulsional 
   z k h k 
 do sistema. Em seguida, é necessário 
atrasar 
 z k
 de 
n
 unidades e multiplicá-lo por 
 x k
. Através da Figura 2.4 e Figura 2.5 
42 
 
verifica-se que 
 h n k
 não se sobrepõe com 
 x k
 para 
0n 
 e 
5n 
. Assim, 
   x k h n k
 e consequentemente a resposta 
 y n
 são nulos neste intervalo. 
 
 
 
Figura 2.4. Representação de 
 x k
, 
 h k
, 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
2n  
. 
 
 
Figura 2.5. Representação de 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
6n 
. 
 
Para o intervalo 
0 5n 
, onde 
   x k h n k
 não é nulo, o seu valor é representado 
na Figura 2.6. 
43 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
Figura 2.6. Representação de 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
0 5n 
. 
 
Finalmente, para obter a resposta 
 y n
, é necessário, para cada instante 
n
, somar as 
contribuições de
   x k h n k
, o que resulta na resposta representada na Figura 2.7. 
 
 
Figura 2.7. Representação da saída 
 y n
. 
 
45 
 
 (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2.
   nh n u n
 para 
0 1 
 e o sinal de entrada 
   x n u n
. Determine a 
resposta do sistema através de: (a) 
     y n x n h n 
; (b) 
     y n h n x n 
. 
 
a) 
     y n x n h n 
 
 
Considerando a definição da soma de convolução (2.1) primeiro é necessário obter a 
reflexão em relação à origem da resposta impulsional 
   z k h k 
. Em seguida, é 
necessário deslocar 
 z k
 de 
n
 unidades e multiplicar ponto a ponto pela entrada 
 x k
. 
Note-se que, tal como representado na Figura 2.8, quando se obtém 
 h n k
 ocorrem 
duas situações possíveis para a multiplicação 
   x k h n k
: (i) Para 
0n 
 não existe 
sobreposição entre 
 x k
 e 
 h n k
; (ii) Para 
0n 
, 
 x k
 e 
 h n k
 encontram-se 
sobrepostos entre 
0 k n 
. 
 
 
Figura 2.8. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 h n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
46 
 
Uma vez que, para 
0n 
, as componentes 
 x k
 e 
 h n k
 não se sobrepõem, temos 
que 
    0x k h n k 
, e por conseguinte 
 
      0, 0
k
y n x k h n k n


   
. (2.12) 
Para o caso em que 
0n 
, as componentes 
 x k
 e 
 h n k
 estão sobrepostas no 
intervalo 
0 k n 
. Neste intervalo tem-se que 
  1x k 
 e 
  n kh n k   
, pelo que 
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 
 
     
0
, 0
n
n k
k k
y n x k h n k n 
 
    
. (2.13) 
Efectuando uma mudança de variável, 
 m k n k 
, segundo (A.100) vem que 
 
 
0
0
, 0
n
m m
m n m
y n n 
 
   
. (2.14) 
É então possível identificar (2.14) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde 
 
, 
1N n 
 e 
0k 
. Uma vez que 
0 1 
 a soma de (2.14) é dada por 
 
 
1 1
0 1 1 , 0
1 1
n n
y n n
   
  
  
 
. (2.15) 
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de 
n
 é possível escrever 
 
   
1
11 , 0 1
1
1
0, 0
n
nn
y n u n
n
 
 

   
 
 
, (2.16) 
uma vez que 
  0u n 
 para 
0n 
. Para representar o gráfico de 
 y n
 é útil obter o 
valor de 
 
 
11 1
lim lim
1 1
n
n n
y n

 

 

 
 
. (2.17) 
A resposta final do sistema pode ser observada na Figura 2.9. 
 
47 
 
 
Figura 2.9. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 h n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
 
 
b) 
     y n h n x n 
 
 
Note-se que, uma vez que a convolução é comutativa, o resultado final será o mesmo do 
obtido na alínea anterior. Note-se que, 
 
         
k
y n h n x n h k x n k
