Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)


   
. (2.18) 
Como representado na Figura 2.10, quando se obtém 
 x n k
 ocorrem duas situações 
possíveis para a multiplicação de 
   h k x n k
: (i) Para 
0n 
 não existe sobreposição 
entre 
 h k
 e 
 x n k
; (ii) Para 
0n 
, 
 h k
 e 
 x n k
 encontram-se sobrepostos 
entre 
0 k n 
. 
 
 
 
48 
 
 
 
Figura 2.10. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 x n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
 
Novamente, para 
0n 
, as componentes 
 h k
 e 
 x n k
 não se sobrepõem, então 
    0h k x n k 
, e por conseguinte 
 
      0, 0
k
y n h k x n k n


   
. (2.19) 
Para o caso em que 
0n 
, as componentes 
 h k
 e 
 x n k
 estão sobrepostas no 
intervalo 
0 k n 
. Neste intervalo tem-se que, 
  1x n k 
 e 
  kh k 
, pelo que, 
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 
 
     
0
, 0
n
k
k k
y n h k x n k n

 
    
. (2.20) 
É então possível identificar (2.20) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde 
 
, 
1N n 
 e 
0k 
. Uma vez que 
0 1 
 a soma de (2.14) é dada por 
 
 
1 1
0 1 1 , 0
1 1
n n
y n n
   
  
  
 
. (2.21) 
49 
 
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de 
n
 é possível escrever 
 
   
1
11 , 0 1
1
1
0, 0
n
nn
y n u n
n
 
 

   
 
 
, (2.22) 
uma vez que 
  0u n 
 para 
0n 
. Como esperado, a resposta final do sistema é a 
mesma que a obtida em (2.16). 
 
 
50 
 
 (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um Problema 2.3.
determinado sistema LIT é dada por: 
   nuy n u n
 para 
0 1 
. 
Determine a resposta impulsional do sistema. 
 
Note-se que, como é descrito nos apontamentos teóricos (Capítulo 2), é possível 
calcular a resposta ao escalão unitário, de um sistema LIT, a partir da resposta ao 
impulso 
 
       
1,
n
u
k k
k n
y n u n k h k h k

 
  
   
. (2.23) 
Consequentemente, a resposta ao impulso, pode ser obtida em função da resposta ao 
escalão através de 
 
         
1
1
n n
u u
k k
h n y n y n h k h k

 
     
. (2.24) 
 
 
a) Considerando a definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema 
 
         11 1n nu uh n y n y n u n u n       . (2.25) 
Após alguma álgebra, obtém-se o resultado final 
 
            
     
     
1 1
1
1
1 1 1
1
1 1
n n n n
n n
n
h n u n u n n u n u n
n u n
n u n
    
  
  
 


        
    
   
. (2.26) 
 
 
51 
 
 (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.4.
resposta impulsional: 
   nh n u n
. Classifique este sistema quanto à: 
a) causalidade; b) Estabilidade. 
 
A classificação de um sistema LIT, face às suas propriedades pode ser efectuada 
através do estudo da resposta impulsional: 
 
1) Memória: Um sistema diz-se sem memória quando a sua saída num dado instante de 
tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. A resposta impulsional de 
um sistema discreto sem memória é dada por um impulso na origem de amplitude 
K
 
 
   h n K n
, (2.27) 
e.g., 
   2h n n
 não tem memória, enquanto que 
   2 1h n n 
 tem. 
 
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída 
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, a resposta impulsiva de 
um sistema causal é dada por 
 
  0 0h n n  
, (2.28) 
e.g., 
   h n u n
 é causal, enquanto que 
   1h n u n 
 não. 
 
3) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando 
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada. A resposta impulsional de 
um sistema estável é uma função absolutamente somável, i.e., 
 
 
k
h k


 
. (2.29) 
 
4) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam 
sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva). A convolução 
entre a resposta impulsional de um sistema invertível e do seu inverso é um impulso 
unitário, i.e., 
 
     Ih n h n n 
. (2.30) 
52 
 
Note-se que, esta condição é necessária, mas não suficiente. 
 
 
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é causal. 
 
 
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável obtendo 
 
   
0
k k
k k k
h k u k 
  
  
   
. (2.31) 
Note-se que, (2.31) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88) 
 
0
1
, 1
1
k
k
 


 


. (2.32) 
Ou seja, (2.32) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável, quando 
1 
 e 
não verifica a condição (2.29), pelo que é instável, quando 
1 
. 
 
 
53 
 
 (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é Problema 2.5.
dada por: 
     1 2
n
h n u n
. Calcule 
 1y
 e 
 4y
 para o sinal de entrada 
     2 3x n n n   
. 
 
Método 1. Resolução através das propriedades de um sistema LIT. 
 
Note-se que, o sinal de entrada já está escrito sob a forma de uma soma ponderada de 
impulsos unitários. Porque o sistema é LIT, a resposta ao sinal de entrada é uma soma 
ponderada de respostas impulsionais. Uma vez que, 
 
   3 3n h n   
, (2.33) 
o cálculo da saída é imediato 
               1 1 1 12 3 2 3 2 3x n x n x n y n y n y n h n h n         
. (2.34) 
 
Método 2. Resolução através da definição de convolução. 
 
A resposta do sistema pode ser obtida pela definição de convolução (2.1) 
            
       
2 3
2 3
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.35) 
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 
 
     2 3y n h n h n  
. (2.36) 
Substituindo a definição de 
 h n
 em (2.34) resulta que 
 
     
3
1 1
2 3
2 2
n n
y n u n u n

   
     
   
. (2.37) 
Por substituição directa de 
1n 
 e 
4n 
 em (2.37) vem finalmente 
 
     
1 1 3 2
1 1 1 1
1 2 1 1 3 2 0 1
2 2 2 2
y u u
 
       
             
       
. (2.38) 
 
     
4 4 3 4
1 1 1 1 1 1 5
4 2 4 4 3 2
2 2 2 2 8 2 8
y u u

       
              
       
. (2.39) 
54 
 
 (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.6.
resposta impulsional: 
   2 4nh n u n 
. Classifique este sistema quanto 
à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o 
sinal de entrada 
     2 4 1x n n n   
. 
 
 
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é não causal. 
 
 
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 
 
   
4
2 4 2k k
k k k
h k u k
  
  
    
. (2.40) 
Note-se que, (2.40) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88) 
 
4
2k
k



. (2.41) 
Ou seja, (2.41) não verifica a condição