PDS Lista de Exerccios 2018 (1)

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1 
Processamento Digital de Sinais 
Lista de Exercícios 2018 
1. (1081) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 135) Um sinal de tempo discreto x n   é
definido por
1 , 3 1
3
1, 0 3
0, caso contrário
n
n
x n n
 + − ≤ ≤ −  = ≤ ≤  
(0.1) 
(a) Faça um gráfico de x n   ;
(b) Faça o gráfico do sinal resultante de:
i. espelhar x n   e então atrasá-lo de 4 amostras;
ii. atrasar x n   de 4 amostras e então espelhá-lo;
(c) Faça um gráfico de 4x n − + 
(d) Expresse x n   em termos de sinais nδ    e u n   .
RESP: (a) 1 2; ; 1; 1; 1; 1
3 3 ↑
    
   
; (b) (i) 2 10; 1; 1; 1; 1; ;
3 3↑
    
   
; (ii) 2 11; 1; 1; 1; ; ; 0 0
3 3 ↑
    
   
; 
(c) 2 10; 1; 1; 1; 1; ;
3 3↑
    
   
; (d) 
2
2 1 1 2 3
3
1
3
n n n nx n n nδ δ δ δ δ δ           + + + + + − + − + −       
 
 =    . 
2. (1081) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 137) A única informação disponível sobre
um sistema consiste em N pares entradas-saídas de sinais i iy n H x n     =      ,
1,2, ,i N= … . 
(a) Para que sinais de entrada as saídas podem ser determinadas usando a informação
acima, caso o sistema seja linear.
(b) Repita, caso o sistema seja invariante no tempo.
RESP: (a) sinais na forma 
1
i
N
i
i
k x n
=
 
 ∑ ; (b) sinais na forma ix n k −  .
3. (1081) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 141) Considere a interconexão de sistemas
LIT mostrada na figura a seguir.
2 
(a) Expresse a resposta ao impulso global [ ]nh em termos de [ ]nh1 , [ ]nh2 , [ ]nh3 e [ ]nh4 . 
(b) Determine [ ]nh quando
[ ]
[ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] [ ]2
1
2
1
;
4
1
;
2
1
4
32
1
−=
+==








=
↑
nnh
nunnhnh
nh
δ
RESP: (a) ( )( )1 2 3 4h n h n h n h n h n         = ∗ − ∗          ; (b) 
1 5 5 5
; ; 2; ; ;
2 4 2 2
h n
↑
      =        
⋯ . 
4. (1081) (INGLE; PROAKIS, 2007, p. 13) Escreva comandos Matlab® que gerem gráficos
dos seguintes sinais:
(a) 2 2 4 , 5 5x n n n nδ δ     = + − − − ≤ ≤     
(b) ( )cos 0,04 0,2x n n w nπ   = +    , 0 50n≤ ≤ , em que w n   é uma sequência alea-
tória gaussiana com média zero e variância unitária. 
DICA: 
>> help randn
 RANDN Normally distributed random numbers. 
 R = RANDN(N) returns an N-by-N matrix containing pseudo-random values 
 drawn from a normal distribution with mean zero and standard deviation 
 one. RANDN(M,N) or RANDN([M,N]) returns an M-by-N matrix. RANDN(M,N,P,...) 
 or RANDN([M,N,P,...]) returns an M-by-N-by-P-by-... array. RANDN with 
 no arguments returns a scalar. RANDN(SIZE(A)) returns an array the 
 same size as A. 
5. (1081) (INGLE; PROAKIS, 2007, p. 39) Um sistema linear e invariante no tempo é des-
crito pela equação de diferenças
0,5 1 0,25 2 2 1 3y n y n y n x n x n x n           − − + − = + − + −            (0.2) 
(a) Usando a função filter escreva comandos Matlab® que computem e façam um grá-
fico da resposta ao impulso deste sistema para 0 100n≤ ≤ ;
(b) Este sistema é estável? Justifique.
3 
(c) Se a entrada deste sistema for ( ) ( )5 3cos 0,2 4 sin 0,6x n n n u nπ π     = + +      , es-
creva comandos para obter a saída y n   no intervalo 0 200n≤ ≤ usando a função
filter. 
RESP: (b) sim. 
6. (1072) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 49) Para o sinal [ ]h n mostrado a
seguir, esboce cuidadosamente cada um dos seguintes sinais:
(a) [ ]2h n +
(b) [ ] [ ] [ ]h n u n h n− +
(c) [ ] [ ]3 1h n nδ −
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
n
x
[n
]
RESP: (a) { }2; 1,5; 1; 0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2
↑
− − − − ; (b) { }2; 1,5; 1; 0,5 0
↑
− − − − ; (c) 
0; 1,5
↑
    
   
. 
7. (1072) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 137) Os seguintes pares entrada-saída foram
observados durante a operação de um sistema linear:
[ ]h n 
4 
[ ] { } [ ] { }
[ ] { } [ ] { }
[ ] { } [ ] { }
1 1
2 2
3 3
1; 2; 1 1; 2; 1; 0; 1
1; 1; 1 1; 1; 0; 2
0; 1; 1 1; 2; 1
H
H
H
x n y n
x n y n
x n y n
↑ ↑
↑ ↑
↑ ↑
= − ↔ = −
= − − ↔ = −
= ↔ =
(a) Qual a resposta ao impulso do sistema?
(b) Pode-se afirmar algo sobre a invariância no tempo deste sistema?
RESP: (a) { }3; 1; 2; 1
↑
− − ; (b) sistema variante no tempo.
8. (1072) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 49)
(a) Considere a interconexão de sistemas LIT mostrada na figura a seguir. Expresse a resposta
ao impulso global [ ]h n em termos de [ ]1h n , [ ]2h n , [ ]3h n , [ ]4h n e [ ]5h n . 
(b) Determine [ ]h n quando
[ ] ( ) [ ] [ ]{ }
[ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1
2 3
4
5
1
4 3
2
1
1
4 3
n
h n u n u n
h n h n n u n
h n n
h n n n
δ
δ δ
= − −
= = +
= −
= − −
(c) Esboce a resposta do sistema da parte (b) se [ ]x n for o sinal mostrado a seguir.
[ ]
2h n
[ ]
3h n [ ]4h n
[ ]
5h n
[ ]
1h n + +
+ 
- 
[ ]x n 
[ ]y n 
5 
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
n
x
[n
]
RESP: (a) ( )( )1 2 3 4 5h n h n h n h n h n h n           = ∗ − ∗ +            ; (b) 5; 6; 7; 3,5h n
↑
     =       
; (c) 
{ }5; 6; 12; 4,5; 9; 15,5; 12,5; 1; 7; 3,5y n
↑
  = − − − − − −  . 
9. (1072) (McCLELLAN et al., 1998, p. 9) (2,0) Escreva uma sequência de comandos Ma-
tlab que permita obter um gráfico da resposta ao impulso [ ]nh da seguinte equação de di-
ferenças. O gráfico de [ ]nh deve ser feito no intervalo 10010 ≤≤− n .
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1
2
1281,01
16
cos8,1 −+=−+−





− nxnxnynyny pi
. 
10. (1072) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 84) (1,0) Uma sequência de cosseno elevado é defini-
da por:
[ ]
( )
1 1
cos 2 ,
2 2
0, caso contrário
Fn n
F Fw n
π
 − ≤ ≤= 

. 
Escreva uma sequência de comandos Matlab que faça um gráfico de [ ]nw em função de n
para 1,0=F . Considere o intervalo 10 10n− ≤ ≤ .
11. (1071) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 49) Um sinal de tempo discreto
[ ]x n é mostrado na figura a seguir. Esboce cuidadosamente cada um dos seguintes sinais:
(a) [ ]2x n − (b) [ ]2x n ; (c) [ ] [ ]2x n u n− .
6 
-4 -2 0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x
[n
]
RESP: (a) { }10; 1; 1; 1; 1; 1; 2↑ ; (b) { }
1
1; 1;
2↑
; (c) { }1; 1; 1; 1
↑
. 
12. (1071) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 130) Considere a conexão em cas-
cata dos três sistemas LIT causais mostrados na Figura (a) a seguir. A resposta ao im-
pulso [ ]2h n é dada por
[ ] [ ] [ ]2 2h n u n u n= − −
e a resposta ao impulso do sistema global é mostrada na Figura (b). Pede-se: 
(a) Encontre a resposta ao impulso [ ]1h n 
(b) Encontre a resposta do sistema global à entrada
[ ] [ ] [ ]1x n n nδ δ= − − . 
Figura (a). 
[ ]nh1 [ ]nh2 [ ]nh2[ ]nx [ ]ny
7 
Figura (b). 
RESP: (a) [ ] { }1 1; 3; 3; 2; 1h n
↑
= ; (b) 
[ ] { }1; 4; 5; 1; 3; 4; 3; 1y n
↑
= − − − − .
13. (1071) (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 30) Dada a seguinte equação de diferenças:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 0,9 2y n y n y n x n− − + − = , 
(a) escreva comandos Matlab que calcule e faça um gráfico da resposta ao impulso [ ]h n para
20 100n− ≤ ≤ .
(b) escreva comandos Matlab que calcule e faça um gráfico da resposta ao degrau [ ]s n para
20 100n− ≤ ≤ .
(c) este sistema é estável? Justifique.
RESP: (c) sim. 
14. (1071) (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 35) Escreva comandos Matlab que gerem gráficos
das seguintes sequências:
(a) [ ] ( ) ( )1 0,9 cos 0,2 , 0 20
3
nx n n n
π
π= + ≤≤
(b) [ ] ( ) [ ]22 10 cos 0.0008x n n w nπ= + , 0 100n≤ ≤ em que [ ]w n é uma sequência alea-
tória uniformemente distribuída no intervalo [ ]1,1− . 
15. (1062) (HSU; 2004, p. 31) Um sinal de tempo discreto [ ]x n é mostrado na figura a
seguir. Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:
(a) [ ]2x n − ;
(b) [ ]2x n ;
8 
(c) [ ]x n− ;
(d) [ ]2x n− +
RESP: (a) { }0; 0; 0; 1; 2; 3; 3
↑
; (b) { }0; 1; 2
↑
; (c) { }3; 3; 2; 1; 0↑ ; (d) 
{ }3; 3; 2; 1↑ . 
16. (1062) (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 1998, p. 143) Considere a interconexão em
cascata de sistemas LIT causais mostrada na Figura 1 a seguir. A resposta ao impulso
[ ]
2h n é
[ ] [ ] [ ]2 2h n u n u n= − −
e a resposta ao impulso do sistema global é mostrada na Figura 2. 
(a) Encontre a resposta ao impulso [ ]1h n 
(b) Encontre a resposta do sistema global à entrada
[ ] [ ] [ ]1x n n nδ δ= − −
.
Figura 1 - Cascata de sistemas LIT 
[ ]nh1 [ ]nh2 [ ]nh2[ ]nx [ ]ny
Processamento Digital de Sinais - Lista de Exercícios Suplementares 1- Marcio Eisencraft– fevereiro 2012 
9 
Figura 2 – Resposta ao impulso do sistema global da Figura 1. 
RESP: (a) [ ] { }1 1; 3; 3; 2; 1h n
↑
= ; (b) [ ] { }1; 4; 5; 1; 3; 4; 3; 1y n ↑= − − − − .
17. (1062) (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 38) Um sistema linear e invariante no tempo é des-
crito pela equação de diferenças:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0,5 1 0,25 2 2 1 3y n y n y n x n x n x n− − + − = + − + −
 
(a) Verifique a estabilidade deste sistema.
(b) Escreva uma sequência de comandos Matlab que gere um gráfico da resposta ao im-
pulso deste sistema para 0 100n≤ ≤ .
RESP: (a) sistema estável. 
18. (1061) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 135) Um sinal de tempo discreto [ ]nx é mos-
trado na figura a seguir. Esboce cuidadosamente e coloque escala no gráfico de cada um
dos seguintes sinais:
10 
(a) [ ]2−nx (b) [ ]nx −4
(c) [ ] [ ]31 −− nnx δ (d) componente ímpar de [ ]nx .
RESP: (a) 
1 1
0; 1; 1; 1; 1; ;
2 2↑
    
   
; (b) 
1 1
; ; 1; 1; 1; 1
2 2
↑
     
    
; (c) { }0; 0; 0; 1
↑
; 
(d) 1 1 1 1 1 1; ; ; 0; 0; 0; ; ;
4 4 2 2 4 4↑
   − − − 
   
.
19. (1061) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 137) Os seguintes pares entrada-saída foram
observados durante a operação de um sistema invariante no tempo:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] { }1;2;11;0;0;0
2;0;1;03;0;0
2;1;02;0;1
33
22
11
↑↑
↑↑
↑↑
=↔






=






=↔






=






=↔






=
nynx
nynx
nynx
(a) Pode-se concluir algo a respeito da linearidade deste sistema?
(b) Qual a resposta ao impulso deste sistema?
RESP: (a) Sim. Sistema não linear. (b) [ ] { }1; 2; 1; 0; 0h n
↑
= . 
11 
20. (1061) (HAYKIN; VEEN, 2001, p.156) Uma interconexão de sistemas LIT é descrita na
figura a seguir. As respostas ao impulso são [ ] [ ] [ ]( )32
2
1
1 −−+





= nununh
n
, [ ] [ ]nnh δ=2
e [ ] [ ]13 −= nunh . Admitamos que a resposta ao impulso do sistema global de [ ]nx até
[ ]ny seja denotada como [ ]nh .
(a) Expresse [ ]nh em termos de [ ]nh1 , [ ]nh2 e [ ]nh3 . 
(b) Calcule [ ]nh usando os resultados de (a).
RESP: (a) [ ] [ ] [ ] [ ]( )1 2 3h n h n h n h n= ∗ + ; (b) 
{ }4; 6; 7; 7,5; 7,75; 7,75; 7,75;
↑
… . 
21. (1061) Um sistema de comunicações digital pode ser modelado de forma bastante simpli-
ficada pelo diagrama a seguir:
O transmissor gera a sequência [ ]nx que é composta somente de -1’s e 1’s. Por exem-
plo, [ ] ( )1,1,1,1,1 −−=nx . Durante o percurso essa sequência é modificada ou distorci-
da pelo canal de comunicações que é o meio em que o sinal está se propagando (ar, cabos, 
fibra óptica, etc.). Assim, ao final do percurso, o sinal ][ny é uma versão distorcida do sinal 
original [ ]nx .
Além disso, o meio insere no sinal transmitido um sinal aleatório [ ]nr , comumente
chamado de “ruído” que também tende a comprometer a qualidade da transmissão. 
No receptor, testa-se se [ ] [ ] [ ]nrnynw += é maior ou menor do que 0 para cada n .
Caso seja maior ou igual, admite-se que o transmissor enviou um 1 e caso seja menor, consi-
dera-se que o transmissor enviou um -1. 
Suponha que certo canal tenha resposta ao impulso [ ]nh dada pela figura a seguir:
Transmissor 
Canal Receptor 
x[n] y[n] 
r[n] 
w[n] 
+
+ 
12 
Pede-se: 
(a) Encontre [ ]nw somente para 40 ≤≤ n quando [ ] ( )1;1;1;1;1 −−=nx para
40 ≤≤ n . Considere que neste intervalo [ ] ( )15,0;1,0;33,0;2,0;1,0 −=nr .
(b) Para a sequência [ ]nx do item (a), qual sequência o receptor interpreta ter sido transmiti-
da? Houve erro na recepção? Qual a taxa de erro de bit (BER) nesta simulação?
(c) Escreva uma sequência de comandos do Matlab que permita calcular [ ]nw quando [ ]nx é
uma sequência aleatória de 1000 -1’s e 1’s e gere gráficos de [ ]nx , [ ]nr e [ ]nw . Para gerar o
ruído [ ]nr use a função randn.
Dica:
>> help randn
 RANDN Normally distributed random numbers. 
 RANDN(N) is an N-by-N matrix with random entries, chosen from 
 a normal distribution with mean zero, variance one and standard 
 deviation one. 
 RANDN(M,N) and RANDN([M,N]) are M-by-N matrices with random entries. 
 RANDN(M,N,P,...) or RANDN([M,N,P...]) generate random arrays. 
 RANDN with no arguments is a scalar whose value changes each time it 
 is referenced. RANDN(SIZE(A)) is the same size as A. 
RESP: (a) [ ] { }1,1; 1,55; 0,33; 1,6; 0,15w n
↑
= − − . (b) Sequência interpre-
tada: (1; -1; 1; 1; -1). Houve erro. BER = 0,4. 
22. (1052) (OPPENHEIM et al., 1997, p. 59) Um sinal de tempo discreto é mostrado na figura
a seguir. Esboce cuidadosamente e em escala cada um dos seguintes sinais:
13 
(a) [ ]4−nx (b) [ ]nx 3
(c) [ ] [ ]22 −− nnx δ (d) [ ] ( ) [ ]nxnx n1
2
1
2
1
−+
RESP: (a) { }1; 0,5; 0,5; 1; 1; 1; 1; 0,5
↑
− − ; (b) { }0,5; 1; 0,5
↑
− ; (c) 
{ }0; 0; 1
↑
; (d) { }1; 0; 0,5; 0; 1; 0; 1
↑
− . 
23. (1052) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 78) Categorize cada um dos seguintes sinais como um
sinal de energia ou potência e encontre a energia ou potência do sinal.
(a) [ ]





≤≤−
≤≤
=
contrário caso,0
105,10
50,
nn
nn
nx (b) [ ]





≤≤−





=
contrário caso,0
44,
2
sin nn
nx
pi
(c) [ ] ( )


 ≥
=
contrário caso,0
0,cos nn
nx
pi
RESP: (a) Sinal de energia, 85=XE ; (b) sinal de energia, 4=XE ; (c) sinal de potência, 2
1
=XP . 
24. (1052) (OPPENHEIM et al., 1997, p. 145) Considere o sistema LIT inicialmente em re-
pouso e descrito pela equação de diferenças:
[ ] [ ] [ ] [ ]2212 −+=−+ nxnxnyny
.
Encontre a resposta deste sistema à entrada mostrada na figura a seguir resolvendo a equação 
de diferenças recursivamente para 72 ≤≤− n . 
14 
RESP: [ ] { }456;228;114;58;27;16;4;5;0;1 −−−−=
↑
ny . 
25. (1052) (PROAKIS; MANOLAKIS, p. 139, 1996) Compute e esboce a convolução
[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗= para o seguinte par de sinais:
[ ]





−=
−=
=
contrário caso,0
1,2
1,0,2,1
n
n
nx
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]541 −+−+−−= nnnnnh δδδδ
RESP: { }1; 1; 1; 0; 0; 3; 3; 2; 1y n
↑
  = −  . 
26. (1052) (CARLSON, 1998, p. 421) (1,5) O deslocamento em milímetros de uma aleta de
controle de fluxo de ar em um sistema de aquecimento de um prédio de escritório é medi-
da a uma taxa de 10 medições por segundo. Os valores medidos são dados por:
[ ] ( ) ( ) )2,02,0cos(23,015,0sin32,11,0cos3 −++−+= nnnns pipipi .
As medidas são transmitidas para a sala de controle de equipamentos mecânicos do prédio. Na 
transmissão, a interferência: 
[ ] ( ) ( )4,09,0sin3,12,08,0cos8,1 −−+= nnni pipi
é adicionada ao sinal. Para reduzir a interferência, as medidas recebidas mais interferênciasão 
passadas através de um filtro tendo resposta ao impulso unitário: 
[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ]nunnnunh nn 8571,0cos2448,08571,0sin6126,06547,03333,04444,0 −+=
Escreva comandos Matlab que calculem a saída do filtro [ ]ny e faça gráficos de [ ]ns , [ ]ni ,
[ ] [ ] [ ]ninsnx += , [ ]nh e [ ]ny para 2020 ≤≤− n .
15 
27. (1052) (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 39) Um diferenciador digital “simples” é dado por:
[ ] [ ] [ ]1−−= nxnxny
que computa a diferença de primeira ordem para trás da sequência de entrada. Escreva co-
mandos Matlab que programem este diferenciador para as seguintes sequências de entrada e 
faça gráficos dos resultados. 
(a) [ ] [ ] [ ][ ]205 −−= nununx : um pulso retangular
(b) [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]20102010 −−−−+−−= nununnununnx : um pulso triangular
(c) [ ] [ ] [ ]( )100
25
sin −−





= nunu
n
nx
pi
: um pulso senoidal, 
28. Esboce os seguintes sinais especificando se são sinais de tempo discreto ou contínuo e
digitais ou analógicos.
(a) ( ) ( )tts pi2cos= , [ ]2,2−∈t .
(b) [ ] ( )nns pi2cos= , Zn ∈
29. Esboce os seguintes sinais:
(a) [ ]2,0 ),cos(3)( ∈= ttts pi
(b) ( )







−≤≤−+
≤≤−
≤≤−
=
contrário caso ,0
54 ,5
44 ,1
54 ,5
tt
t
tt
ts
(c) Nnnnx ∈





= ,
3
sin][ pi
(d) ( ) Nnnnx ∈= ,2sin][ pi
30. Desenhe um diagrama de blocos que implemente a operação 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2179,01 −−+−⋅= nynynxnxny .