Prova 1 Econometria I 2013.02

Prévia do material em texto

_____________________________________________________________________________ 
Prova 1 de Econometria 1 
IE-UFRJ 2013.02 
 
NOME: 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Questão 1 – Suponha que as variáveis Y e X estão relacionadas em uma determinada população de 
acordo com a relação linear 𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 + 𝑢, onde u é um termo de erro estocástico com 𝐸[𝑢/𝑋] =
0 e 𝐸[𝑢] = 0. Para uma dada amostra aleatória ({Yi, Xi}, i=1, 2, ...,n), um pesquisador estima esse 
modelo por MQO e obtém �̂� e �̂�. Responda verdadeiro ou falso para cada item abaixo, e justifique a 
sua resposta. Respostas sem justificativa não serão consideradas. (3,2 pontos) 
a) Como são válidas as condições 𝐸[𝑢/𝑋] = 0 e 𝐸[𝑢] = 0, é possível afirmar que o estimador de 
MQO �̂� é igual a 𝛽. 
 
b) Como são válidas as condições 𝐸[𝑢/𝑋] = 0 e 𝐸[𝑢] = 0, é possível afirmar que o estimador de 
MQO �̂� não apenas é não-viesado, como também é o mais eficiente dentre os estimadores lineares. 
 
c) Se assumirmos que os erros seguem uma distribuição normal, conseguiremos estimar o modelo 
tanto por MQO como por máxima verossimilhança (MV). Suponha que �̂�𝑀𝑄𝑂 seja o coeficiente 
estimado por MQO, e �̂�𝑀𝑉 seja o encontrado por MV. Nesse caso, podemos afirmar que 
𝐸(�̂�𝑀𝑄𝑂|𝑋) = 𝐸(�̂�𝑀𝑉|𝑋) = 𝛽, embora �̂�𝑀𝑄𝑂 ≠ �̂�𝑀𝑉 . 
 
d) Suponha que o pesquisador tenha adotado o nível de significância de 5% para testar hipóteses sobre 
os coeficientes estimados. Esse nível de significância representa a probabilidade de rejeitar a hipótese 
nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. 
 
*** 
 
Questão 2 – Uma de conta? Unidades de medida? A pensar... (2,8 pontos) 
 
*** 
 
Questão 3 – Um pesquisador deseja compreender se consumo de álcool ao longo da semana que 
antecede a prova de econometria prejudica o desempenho dos alunos. Para isso, montou uma base de 
dados contendo a nota dos alunos na prova, bem como a quantidade de cerveja consumida por cada 
aluno na semana que antecede a prova. A amostra completa contem 387 alunos. Com base nestes 
dados, o pesquisador rodou 7 regressões por MQO, cujos resultados estão reportados na Tabela 1 
abaixo. Cada coluna, numerada de 1 a 7, reporta o resultado de uma regressão distinta, isto é, reporta o 
coeficiente estimado da variável independente e seu respectivo erro-padrão [entre colchetes]. 
Mais especificamente, as colunas de 1 a 6 reportam resultados de modelos estimados por MQO 
simples, onde a variável dependente é a nota da P1 medida de 0 a 1; e a variável independente é X1, 
medida em litros de cerveja consumidos pelo aluno na semana que antecedeu a prova. Na coluna 1 
estimou-se o modelo para todos os alunos da amostra; nas colunas seguintes o pesquisador restringiu a 
amostra por tipo de aluno: por exemplo, na coluna 2 o pesquisador usou apenas a subamostra dos 
alunos com CR>8. A descrição da subamostra de cada modelo também está apresentada na Tabela 1, 
na última linha de cada coluna. 
Por fim, a coluna 7 apresenta o resultado de uma regressão por MQO múltiplo, para toda a amostra de 
alunos, onde foi incluída também no modelo a variável X2 = frequência do aluno nas aulas, medida de 0 
a 100%. Responda as questões abaixo. 
a) Identifique, em cada uma das colunas de 1 a 6, se o coeficiente estimado para X1 é estatisticamente 
diferente de zero. Faça as suas contas usando um nível de confiança de 95% (pode usar a regras de 
bolso para o valor crítico do seu teste). (1,8 pontos) 
 
b) Compare os coeficientes de X1 reportados nas colunas 1 e 7, e mostre formalmente que o coeficiente 
de X1 reportado na coluna 1 é viesado se vale cov(X1, X2)<0. (1,2 pontos) 
 
c) A luz dos resultados da Tabela 1, você diria que o pesquisador pode afirmar que o consumo de 
bebida antes da prova prejudica o desempenho dos alunos de econometria? Justifique a sua resposta à 
luz também da relação entre consumo de álcool e possíveis variáveis correlacionadas com consumo de 
álcool e eventualmente presentes no termo de erro dos modelos estimados. (1 ponto) 
 
Tabela 1 – Modelos Estimados por MQO 
 
 
Questão 4 (extra, apenas para os que faltaram pelo menos 1 teste) – Considere o modelo 
populacional 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , e tome uma amostra para ({Yi, Xi}, i=1, 2, ..., n). Defina o 
transposto do vetor-coluna u como sendo o vetor-linha u’=[u1, u2, ...,un]. Defina então a matriz de 
variância-covariância dos erros 𝑢𝑖 como sendo o valor esperado da matriz uu’, descrita abaixo. 
Mostre formalmente que se a matriz de variância-covariância dos erros 𝑢𝑖 for distinta de kIn, onde k é 
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
X1 = Litros de cerveja últimos 7 dias -0,092 -0,095 -0,055 -0,105 -0,037 +0,053 -0,032
[0,030] [0,034] [0,044] [0,025] [0,085] [0,005] [0,012]
X2 = Frequencia nas aulas (0-100%) +0,353
[0,005]
Coeficiente de Intercepto 0,5959 0,7259 0,4551 0,5489 0,5989 0,7929 0,5849
[0.007] [0.008] [0.031] [0.039] [0.127] [0.008] [0.007]
Tamanho da Amostra 387 100 187 200 187 18 387
Amostra de alunos Todos
Apenas 
alunos 
com 
CR>8
Apenas 
alunos 
com 
CR<6
Apenas 
Homens
Apenas 
Mulheres
Apenas os que 
estudaram ao 
longo do curso
Todos
Cada coluna apresenta o resultado de uma regressão por MQO. A variável 
dependente em todas as regressões é a nota na P1 de econometria de 0 a 1
Nota: O erro padrão de cada coeficiente está apresentado entre colchetes, logo abaixo do coeficiente estimado.
uma constante e In é uma matriz identidade de ordem n, então não podemos afirmar que o estimador 
de MQO do modelo populacional é o mais eficiente na classe dos estimadores lineares não viesados. 
 
 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
____________________________________ 
 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_______________ 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
___________________________________ 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
___________________________________ 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
____________________