CAP. 8 ESTIM. INTERVALOS

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CAPÍTULO 8. ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS 
 
1. Conceitos 
 A estimativa de parâmetros populacionais por intervalos leva em conta uma estimativa pontual à 
qual se adiciona um erro de estimação para mais e para menos, criando assim uma amplitude com limite 
inferior e superior para o parâmetro populacional estimado. 
 Suponhamos que se deseja estudar o comportamento das alturas dos alunos do sexo masculino de 
todas as turmas dos Cursos de tecnologia da Fatec-sp. Obter as alturas de todos os alunos é inviável não só 
pelo elevado custo, mas, também pelo trabalho exaustivo para se coletar todos esses dados. Devemos, pois, 
determinar uma amostra que seja representativa dessa população. 
 Dada uma distribuição, estimamos sempre seus parâmetros e se a distribuição é normal, seus 
parâmetros são a média populacional e o desvio padrão populacional . 
 Se coletarmos i amostras (i = 1, 2, 3,..., n) tendo cada amostra n elementos e sendo as amostras 
 obtidas aleatoriamente e independentes, então cada uma delas tem a mesma distribuição da 
população com ( ) e ( ) 
 . Sabemos ainda que a média amostral é dada por: 
 ̅ 
 
 
( ) e como a média ̅ é uma variável aleatória ela tem sua esperança e 
variância dadas por: 
 ( ̅) 
 
 
( ( ) ( ) ( ) ( ))= 
 
 
( ) 
 
 
 
 Var( ̅) 
 
 
 ( )= 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) = 
 
 
 
( + ) 
 
 
 
 
 
 e tem desvio padrão 
( ) .X
n

 
 
2.Intervalos de Confiança 
 
 É o processo de estimar um parâmetro desconhecido, construindo um intervalo de confiança com 
uma probabilidade ( ) (nível de confiança ) que contenha o verdadeiro parâmetro. O nível de confiança 
pode ser obtido até 99%. 
 Conhecendo-se uma amostra de uma população, é sempre possível obtermos a média da amostra, por 
meio da fórmula 
i ix f
x
n

 , porém, como dissemos no início é inviável obter a média 

 da população 
não só pelo elevado custo, mas, também pelo trabalho exaustivo para se coletar todos esses dados. Para isso, 
determinamos um intervalo para o valor de 

, com probabilidade de (
1 
) de certeza que a média 

 da 
população se encontre nesse intervalo. 
 O estudo de estimação intervalar para as médias populacionais é condicionado por duas situações: 
1º caso: Quando o desvio padrão ou a variância populacional é conhecido. 
 
2º caso: Quando não se conhece o desvio padrão ou variância populacional . 
 
 Antes de iniciarmos estas considerações convém visualizarmos o significado dos intervalos de 
confiança para a média populacional 

. 
 
 
120 
 
 
 
Gráfico do Intervalo de Confiança, sendo µ o parâmetro populacional; (1 – α) é o nível de certeza da 
estimativa ou probabilidade do intervalo conter o parâmetro populacional; ± é a abscissa padronizada. 
 
ѵ 
p 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 4% 3% 2% 1%
1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 15,895 21,205 31,821 63,657
2 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 4,849 5,643 6,965 9,925
3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 3,482 3,896 4,541 5,841
4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 2,999 3,298 3,747 4,604
5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 2,757 3,003 3,365 4,032
6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 2,612 2,829 3,143 3,707
7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,517 2,715 2,998 3,499
8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,449 2,634 2,896 3,355
9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,398 2,574 2,821 3,250
10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,359 2,527 2,764 3,169
11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,328 2,491 2,718 3,106
12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,303 2,461 2,681 3,055
13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,282 2,436 2,650 3,012
14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,264 2,415 2,624 2,977
15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,249 2,397 2,602 2,947
16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,235 2,382 2,583 2,921
17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,224 2,368 2,567 2,898
18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,214 2,356 2,552 2,878
19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,205 2,346 2,539 2,861
20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,197 2,336 2,528 2,845
21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,189 2,328 2,518 2,831
22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,183 2,320 2,508 2,819
23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,177 2,313 2,500 2,807
24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,172 2,307 2,492 2,797
25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,167 2,301 2,485 2,787
26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,162 2,296 2,479 2,779
27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,158 2,291 2,473 2,771
28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,154 2,286 2,467 2,763
29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,150 2,282 2,462 2,756
30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,147 2,278 2,457 2,750
35 0,127 0,255 0,388 0,529 0,682 0,852 1,052 1,306 1,690 2,030 2,133 2,262 2,438 2,724
40 0,126 0,255 0,388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,123 2,250 2,423 2,704
50 0,126 0,255 0,388 0,528 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,109 2,234 2,403 2,678
60 0,126 0,254 0,387 0,527 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,099 2,223 2,390 2,660
120 0,126 0,254 0,386 0,526 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,076 2,196 2,358 2,617
∞ 0,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,054 2,170 2,326 2,576
Tabela - Distribuição de Student Bicaudal 
p(-t c < t < t c )= 1-p
f(t)
-t t tc c0
121 
 
Fig.1 
 
2.1 Aplicação das tabelas Z e t. 
 
 A utilização das tabelas que representam a probabilidade depende do tamanho da amostra e do 
conhecimento da variância populacional, o que por sua vez condiciona a estatística de teste. 
 No quadro abaixo resumimos a utilização das duas tabelas: 
 
Variância Populacional σ
2
 Amostra n 
Estatística de 
teste 
Se o valor de σ é conhecido 
Use o estimador σ 
n> 30 
elementos 
X
Z
n




 
n≤ 30 
elementos 
Se o valor de σ é 
desconhecido 
Use o estimador S como 
aproximação de σ 
n> 30 
elementos 
X
Z
s
n


 
n≤30 
elementos 
X
t
s
n


 
 
2.2 Formulando a Estimação Intervalar 
 Como já dissemos, a estimação intervalar tem como ponto de partida uma estimação pontual do 
parâmetro a ser estimado. 
 
Observação 01: 
 Se X é uma variável normal de média 

 e desvio padrão 

, então a distribuição normal 
padronizada é obtida por meio da mudança de variável 
.
x
z




 
 Se 
X
 é uma variável normal de média 

 e desvio padrão 
n

, então a distribuição normalpadronizada tem mudança de variável 
( )
X
Z
n




 
 Na prática, se quer garantir com certo grau de certeza (1 – α) que a abscissa padronizada Z do 
parâmetro estimado esteja dentro do intervalo desejado, que vai de a . 
122 
 
 Desta forma poderemos escrever uma expressão que traduza esta abordagem do cálculo da 
probabilidade e que esta variável padronizada Z caia no intervalo, a então 
 
2 2[ ] (1 )p Z Z Z      
 
 A variável padronizada Z, que representa o afastamento da estimativa pontual 
x
 para o parâmetro µ 
em quantidades de desvios padrão, pode ser escrita como: 
 
( )
( )
x
X
Z
n




 
daí escrevemos que, 
2 2[ ] (1 )
X
p Z Z
n
 
 

    
 
 Devido ao fato que desejamos estimar o parâmetro populacional µ vamos modificar a expressão 
acima a fim de isolá-lo. 
 
 2 2 (1 )p Z X Z
n n
 
                  
    
 
 
2 2( )p Z X Z
n n
 
     
2 2( )p X Z X Z
n n
 
        
 
2 2( )p X Z X Z
n n
 
     1  , ou ainda
 
2 2 (1 )p X Z X Z
n n
 
                 
    
 (I) 
 Desta forma a média µ da população poderá ser estimada com o nível de certeza e a probabilidade 
desejada. 
 
3. Intervalo de confiança para a média 

 da população, com a média da amostra 
x
 e o desvio padrão 

 
conhecido. 
 
Exemplo 1: Quando o desvio padrão populacional é conhecido. 
 
 Se as alturas dos alunos do sexo masculino do curso de administração dessa Faculdade têm 
distribuição normal e que numa amostra de 100 alunos foi encontrada a média 
x 
175 cm e desvio padrão 
s =15 cm, determinar o intervalo de confiança para a média 

 ao nível 90%. 
Solução: 
 Do enunciado podemos escrever: 
100 ; 175 ; 15 ; 10%n x S     
Observação 02: Neste caso podemos substituir 
 por S
pois, a amostra tem mais de 30 elementos. 
 Na tabela da distribuição normal encontramos
2Z
 = 1,65 
Fig. 2 
 
123 
 
 Substituindo esse valor na expressão ( I ), segue 
 
15 15
(175 .1,65 175 .1,65)
100 100
p    
= 
 
(175 2,475 175 2,475) 90%p      
 
(172,525 177,475) 90%p    
 
 Podemos afirmar com 90% de confiança que a altura média dos alunos é um valor que está no 
intervalo entre 172,525cm e 177,475cm. 
 
Exemplo 2: 
 Seja X a duração de vida de uma peça de equipamento tal que 

=5 h. Admita que 100 peças foram 
testadas fornecendo uma duração de vida média de 
x 
500h e que se deseja obter um intervalo de 
confiança ao nível de 95% para a média 

. 
Solução: 
 Do enunciado podemos escrever: 
100 ; 500 ; 5 ; 5%n x      
 Na tabela da distribuição normal encontramos 
2Z
 = 1,96 
 
Fig. 3 
 
 Substituindo esse valor na expressão ( I ), segue 
 5 5
(500 .1,96 500 .1,96)
100 100
p    = (499,2 500,98) 95%p    
 Podemos afirmar com 95% de confiança que a duração de vida média é um valor que está no 
intervalo entre 499,2 h e 500,98 h. 
 
Exemplo 3: 
 De uma população normal com variância 
2
 igual a 36 tiramos uma amostra de 40 observações 
tendo obtido 
640 ii fx
. Pede-se determinar um Intervalo de Confiança para a média populacional 

 
com um nível de confiança de 95%. 
Solução: 
 Do enunciado obtém-se a média da amostra 
640
16
40
x  
 e o desvio padrão amostral 
9486,0
40
362

nx

e consultando-se a tabela Z para uma área de 0,475 teremos 
 Na tabela da distribuição normal encontramos 
2 0,475 1,96Z Z  
 
124 
 
Fig. 4 
 
 Substituindo esse valor na expressão ( I ), segue 
 16 (1,96 0,9486) 16 (1,96 0,9486) 95%p        
e, portanto, podemos escrever que  14,14 17,85 95%p    
 Podemos afirmar com 95% de confiança que a média da população está entre 14,14 e 17,85, ou 
corremos o risco de 5% que a verdadeira média possa estar abaixo de 14,14 ou acima de 17,85. 
 
4. Intervalo de confiança para a média 

 da população, com a média da amostra 
x
 e o desvio padrão 

 
desconhecido. 
 
1º caso: Se a amostra tem mais de 30 elementos 
 Para estimarmos o parâmetro 

(média populacional) de uma população da qual não se conhece o 
desvio padrão, portanto não se conhece a variância, justifica-se a substituição pura do desvio padrão da 
população σ pelo da amostra S quando a amostra tiver mais de 30 elementos e assim, utiliza-se a tabela Z 
normal. 
 
Exemplo 4: 
 Seja uma população normal de parâmetros desconhecidos, da qual tiramos uma amostra de tamanho 
60 e sobre a qual devemos calcular os estimadores válidos. 
 Seja a média 
46,15x 
 e desvio-padrão 
31,23s
 
 Estimar o IC (Intervalo de confiança) para a média 

 da população com um nível de certeza de 93%. 
 Note que a área 
1
 embaixo da curva normal é 93% (46,5 x 2) e o desvio padrão da média 
amostral é dado por: 
0,3
60
31,23
60
)31,23( 22

n
s
s
x
 
 Determinando a posição de 
2Z
 consideramos que 
1
 corresponde à área de 93% (probabilidade 
do intervalo conter o parâmetro procurado) e que, portanto 
1 2 46,5% 
 área embaixo da curva Normal. 
Na tabela da distribuição normal encontramos 
82,15,46 Z
. 
 
Fig. 5 
125 
 
 
Substituindo na fórmula: 
(II) 
    2 2 (1 )x xp X Z s X Z s         
 , tem-se 
 
    46,15 1,82 3 46,15 1,82 3 0,93.p        
 Portanto o Intervalo de Confiança para a média 

 da População com um nível e confiança de 93% é 
 40,69 51,61 0,93.p   
 
 Em notação matemática escrevemos: 
 ( ;93%) 40,69;51,61IC  
, ou seja, o Intervalo de Confiança 
ao nível de 93% para a Média 

 da População é 
 61,51;69,40
. 
Exemplo 5: 
 As notas de matemática dos alunos do primeiro semestre estão indicadas na tabela 
6 7,5 8 8,5 6,5 7,5 8 7,5 9,5 6 
7 7 7 9 7 9,5 7 6 7 7 
8 8,5 7,5 5,5 7,5 7 5,5 7 7 8 
6,5 7,5 9 6,5 8,5 7,5 6,5 9,5 8,5 8 
 
 Determinar o intervalo de confiança para a média 

 ao nível de 95%. 
 Solução: 
 Usando a tabela para determinar 
x
 e S. 
xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
 fi 
5,5 2 2 11 1,95 3,90 7,605 
6,0 3 5 18 1,45 4,35 6,3075 
6,5 4 9 26 0,95 3,80 3,6100 
7,0 10 19 70 0,45 4,50 2,0250 
7,5 7 26 52,5 0,05 0,35 0,0175 
8,0 5 31 40 0,55 2,75 1,5125 
8,5 4 35 34 1,05 4,20 4,4100 
9,0 2 37 18 1,55 3,10 4,8050 
9,5 3 40 28,5 2,05 6,15 12,6075 

 298 42,9000 
 
 Média: 
45,7
40
298


n
fx
x
ii
 
Desvio Padrão:  
05,10488,1
39
9,42
1
.
2





n
fxx
S
ii
X
 
 
1 2 47,5% 
 
47,5 1,96Z  
126 
 
Fig. 6 
 
 Substituindo em (II) segue: 
 1,05 1,057,45 1,96 7,45 1,96 0,95.
40 40
p               
    
  7,45 0,32539 7,45 0,32539p      7,12461 7,77539 0,95.p   
 
 Podemos afirmar com 95% de confiança que a média das notas de matemática é um valor que 
está no intervalo entre 7,12461 a 7,77539. 
 
Exemplo 6: 
 Um auditor de uma grande empresa deseja estimar com 95% de probabilidade (confiança) qual tenha 
sido a média dos saldos de caixa do ano anterior no fechamento diário das operações. Resolve colher uma 
amostra de 48 observações (uma para cada dia de cada semana do ano anterior).O contador seguiu as etapas 
seguintes: 
 Agrupou as observações em classes por tratar-se de uma amostra grande (superior a 30 observações). 
 Calculou a Média da amostra e o desvio padrão. 
 Construiu um IC (Intervalo de Confiança) e 95%, ou seja 
1
= 95% e por conseguinte 
%5 . 
As observações de saldos de caixa foram as seguintes ( em R$ x 100 ) 
 
Saldos de Caixa dados brutos. 
 
2,3 1,7 1,9 1,6 2,8 3,1 4,0 5,3 
1,0 0,9 0,8 0,7 0,4 0,95 1,32 1,64 
1,27 2,52 2,1 3,4 3,8 2,15 0,85 4,6 
1,29 2,13 2,47 2,58 1,95 2,4 0,74 3,82 
2,0 1,24 4,3 2,16 1,47 5,0 0,45 2,61 
2,1 2,75 3,81 1,83 7,8 4,7 3,12 3,0 
 
 Determinou-se o número de classes necessárias e sua amplitude para agrupar os dados utilizando-se o 
método da Raiz. 
748  nK
e a amplitude será então 
7,0
7
4,03,5min





k
máx
h
 
 Desta maneira obteve-se a tabela com seus respectivos dados. 
 
 
 
127 
 
 Classes 
ix
 
if
 
)( ii fx 
 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
 fi 
0,4|—1,1 0,75 9 6,75 1,54 13,86 21,3444 
1,1|— 1,8 1,45 8 11,6 0,84 6,72 5,6448 
1,8|— 2,5 2,15 14 30,1 0,14 1,96 0,2744 
2,5|— 3,2 2,85 5 14,25 0,56 2,80 1,5680 
3,2 |— 3,9 3,55 6 21,3 1,26 7,56 9,5256 
3,9 |— 4,6 4,25 2 8,5 1,96 3,92 7,6832 
4,6 |—| 5,3 4,95 4 19,8 2,66 10,64 28,3024 
 

 48 112,3 74,3428 
 A média da amostra é ( )
2,29
i ix f
x
n

 
 e o desvio padrão 
 
2
. 74,3428
1,257681
1 48 1
i ix x f
S
n

  
 
 
 Temos, portanto, os seguintes estimadores: 
2 2,5% 
 ou 
%5 e 2,29x  
257,1s
 e portanto, 2(1,257)
0,181432
48
xs  
 
2 0,475 1,96Z Z  
, consultando-se a tabela Z de escore reduzido segue: 
 2 2( ) ( ) 95%x xp X Z s X Z s        
    2,29 1,96 0,18143 2,29 1,96 0,18143 0,95p        
 1,9344 2,6453 0,95p   
 
 Pode-se dizer que a média 
 da população dos saldos de caixa do ano anterior estará contida entre 
os valores 1,9344 e 2,6453 com uma grau de confiabilidade de 95%, ou corre-se o risco de erro de 5% que a 
média populacional seja um valor abaixo de 1,9344 ou acima de 2,6453 ( R$ x 100). 
 Outra pergunta de interesse poderia ser: “Qual o erro de Estimação ao nível de 5%”? 
 O erro amostral é dado pela diferença entre a média da amostra e a média da população : 
x   
, mas como 
x
x
Z
s


, então 
xZ s x   
, e portanto o erro amostral pode ser definido por 
xZ s  
 . 
 Assim, no exemplo anterior o erro ao nível de 5% será: 
1,96 0,18143 0,3556   , ou R$ 356,00. 
 Mais uma pergunta que pode ser feita. Qual deveria ser o tamanho da amostra para que o erro 
amostral não fosse maior do que 2% ao nível de 95% de certeza? 
 Como já calculado 
2 0,475 1,96Z Z  
 e, 
0,02 
 (no máximo) 
 Daí 
xZ s  
 
0,02x
s
Z
n
  
 0,18143
1,96 0,02
n
  
 
1,96 0,18143 0,02 n   
 , então 
1,96 0,18143
17,78
0,02
n n

   
, portanto
316n 
. 
 Ou seja, o contador deverá obter uma amostra de 316 saldos de caixa para obter um erro máximo 
para a estimação de 2%. 
128 
 
2º caso: Se a amostra tem menos de 30 elementos 
 
5. Intervalos de Confiança para a média populacional a partir de pequenas amostras. 
 
 Se a amostra for pequena (menor que 30 observações) a priori não se pode utilizar o desvio padrão da 
amostra como sendo o da população, pois se demonstra matematicamente que o desvio padrão da amostra é 
um estimador “viesado” do desvio padrão populacional e, portanto não é válido para tal finalidade. Lembre-
se que a substituição pura e simples de por S, somente se justifica para grandes amostras. 
 Entretanto serão raros os casos em Administração onde se queiram inferir resultados populacionais a 
partir de amostras que tenham menos de 30 elementos, mas caso isto aconteça poderemos utilizar a tabela 
 t-Student. 
 O criador da distribuição t-Student foi W.S. Gossett, empregado de uma cervejaria irlandesa no 
princípio do século XX. A empresa não gostava que seus empregados publicassem trabalhos em seu próprio 
nome, de modo que Gossett adotou o pseudônimo de Student em seus trabalhos. 
 
1º caso: Intervalo de Confiança para Média 

da população com variância conhecida. 
 
 O procedimento é análogo ao adotado para a determinação dos intervalos de confiança para médias 
populacionais a partir de grandes amostras. 
A diferença ocorre apenas na distribuição amostral da média das pequenas amostras que possui distribuição 
1
2
1



n
Z
t
n
 . Esta distribuição com 
1; 2nt 
 tem (n – 1) graus de liberdade e 
2
 de significância. Estes 
valores de probabilidade se encontram já calculados na tabela t de Student que apresentamos parcialmente 
abaixo. 
 
. 
 
 Ressalta-se que quando n>30 e tende ao infinito, a probabilidade na distribuição t se iguala àquela da 
distribuição Z. De fato se consultarmos as duas tabelas poderemos verificar que para o mesmo grau de 
significância, por exemplo, 5% teremos um valor de afastamentos em número de desvios padrão muito 
parecidos ou seja (1,646 para t e 1,64 para Z). 
 Assim, justifica-se a aplicação da tabela t quando a amostra tem número igual ou menor que 30 
elementos. Note-se ainda que no caso da tabela t a consulta é feita para 
1; 2nt 
 , então, por exemplo, se 
129 
 
 n = 10 teremos n – 1 = 9 graus de liberdade e sendo 
1
=95% o grau de significância alfa de 5% deverá 
ser, neste caso, dividido por dois (lembre-se que a menor das probabilidades apresentadas no título de cada 
coluna é a área em uma cauda; a probabilidade maior é a área em ambas as caudas). 
 A consulta à tabela 
1; 2 9;0,025 2,262nt t  
. 
 
 
 
 Portanto, o intervalo de confiança para a média pode ser construído com boa aproximação 
adotando-se S como estimativa para na expressão 
X
ZX  2
. Quanto menor é a amostra, mais 
necessária se torna a introdução de uma correção, a qual consiste em usar a variável t –Student, ao invés da 
variável Z normal padronizada. 
 Chamando de 
n
s
X
tn

1
 , de modo que 
s
Z
s
n
X
n
s
X
tn





 ... 21 




 é expressão da 
variável t –Student . 
 Assim o intervalo de confiança para médias populacionais a partir de pequenas amostras fica 
representado por: 
1 1 (1 )n n
s s
p x t x t
n n
                 
    
 
Exemplo 7: 
 Uma das preocupações de um analista financeiro deve ser a de poder comparar uma empresa, ao seu 
setor de atividade econômica, já que é sabido que a análise vertical e horizontal não consegue produzir a 
comparação com o meio externo à empresa. Suponhamos uma amostra de tamanho n = 20 de empresas de 
um mesmo setor de atividade econômica. 
 Amostra dos índices de LG das 20 empresas. 
 
Liquidez Geral 
1,84 0,99 0,94 0,59 
4,33 2,8 0,06 0,25 
1,87 2,38 1,03 1,8 
1,81 0,17 0,78 2,18 
1,48 0,87 0,78 7,75 
 
130 
 
 Pede-se, calcular um Intervalo de Confiança para a média da população com 95% de certeza. 
 Calculados os elementos da Estatística Descritiva da amostra necessários para a estimação da média 
populacional, obteve-se: 
1,735x 
 e 
1,7440741s 
. 
 A média e o desvio padrão são elementos únicos que caracterizam a distribuição de probabilidades 
da amostra. Desta forma parte-se desta característica da amostra, para se estimar o parâmetro populacional. 
O desvio padrão amostral é 
 
389986,0
20
744074178,1

n
s
s
x 
 Consultando-sea tabela t-Student temos, 
1; 2 19;0,025 2,0930nt t  
 
 
 
 Substituindo-se os elementos encontrados na expressão abaixo o intervalo de confiança será: 
1 1 (1 )n n
s s
p x t x t
n n
                 
    
 
   1,735 2,0930 0,389986 1,735 2,0930 0,389986 95%p         
 1,735 0,81624 1,735 0,81624 95%p      
 0,91876 2,55124 95%p   
 
 Pode-se notar que o erro de estimação 

é consideravelmente alto, 81,62% o que reforça a idéia que 
conclusões ou decisões tomadas a partir de inferências com pequenas amostras devem ser interpretadas com 
muita cautela. 
Exemplo 8: 
 Uma empresa fabricante de motores elétricos movidos a energia solar utilizados para bombeamento 
de água em áreas agrícolas remotas colheu uma amostra de 25 motores e após exaustivos testes, verificou 
que a vida média das células fotoelétricas é de 1327 horas e desvio padrão de 182 horas. Pede-se determinar 
um IC com 95% de certeza para a vida útil populacional das células de energia. 
Solução: Como a amostra tem n<30 utiliza-se a tabela t. 
131 
 
 
40,36
25
182

n
s
s
x
 e 
1; 2 24;0,025 2,0639nt t  
 
Desta forma o intervalo de confiança será: 
1 1 (1 )n n
s s
p x t x t
n n
                 
    
 
   1327 2,0639 36,40 1327 2,0639 36,40 95%p         
 1327 75,12 1327 75,12 95%p      
ou seja , 
 1251,87 1402,12 95%p   
 
 A vida útil média da população das células de energia estará entre 1251,87 e 1402,12 horas com 95% 
de certeza ou corre-se o risco de 5% de que a verdadeira média populacional esteja fora desse intervalo. 
Exercícios de Aplicação 25: 
1) Uma empresa fabricante de pequenos misturadores para líquidos colheu uma amostra de 50 produtos e 
detectou que a sua vida média era de 630 horas com desvio padrão de 46 horas. Pede-se determinar um IC 
para a vida média populacional dos misturadores ao nível de 95%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
132 
 
2) Um administrador financeiro quer estimar com 95% de certeza um IC para a média de horas de serviço 
dos funcionários no ano em curso. Para isto colheu uma amostra aleatória das horas trabalhadas de 48 
funcionários tendo tabulado os resultados: 
 
 
39 27 35 24 28 29 35 24 
19 17 24 15 28 31 33 19 
38 24 26 28 29 35 24 27 
35 36 32 31 30 29 28 27 
26 25 24 26 24 23 21 34 
35 36 36 34 38 37 30 31 
 
Pede-se: 
a) agrupar as variáveis por classe (método da 
raiz). 
b) calcular a média e o desvio padrão amostral. 
c) construir um IC ao nível de 95% para a 
média de horas na população. 
d) qual o erro amostral da estimativa? 
 
 
 
 i)Amplitude da Amostra: R = xmax-xmin = 
 ii)Número de Classes: K =[ n ] = 
iii) Amplitude da Classe: r = R/K = 
 
classes xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )
i
x x
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
133 
 
 
3) Num processo de ordenha, uma amostra da quantidade de leite de 15 animais revelou média de 30 litros 
com desvio padrão de 4,3 litros. Pede-se estimar um IC com 95% de certeza para a média de produção 
populacional da fazenda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma fábrica de bombons de chocolate quer estimar o peso médio populacional de seus produtos que são 
fabricados de forma artesanal. Para isto colhe uma amostra de 10 caixas o obtém peso médio de 436 gramas 
com desvio padrão de 58 gramas. Pede-se estimar um IC ao nível de certeza de 95%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
134 
 
 
5) Uma grande rede de hotéis quer estimar o tempo médio para limpeza dos 246 quartos que possui em uma 
de suas unidades. Para isto colhe uma amostra do tempo gasto com a arrumação e limpeza de 48 quartos e 
obtém 43 minutos com desvio-padrão de 12 minutos. Pede-se estimar ao nível de 95% de certeza; 
1) a média de tempo gasto para a limpeza dos quartos; 2) se a média de mão de obra variável é $ 12,00 por 
hora, estimar o custo total diário mínimo e máximo despedidos.