Mecânica II - Poli - Psub 2015

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
Mecânica 2 – PME 3200 – Prova Substitutiva– 02/07/2015 
Duração da Prova: 110 minutos 
 (Não é permitido o uso de calculadoras, celulares, tablets e/ou outros equipamentos similares) 
 
QUESTÃO 1 (3,0 pontos). O mecanismo da figura é baseado na Balança 
de Roberval. É formado pelas barras delgadas, contínuas 1, 2, 3 e pela peça 
4, também contínua, em forma de “T”. Em A, B, C e D as peças são unidas 
por articulações ideais. A barra 1 é rigidamente ligada ao plano horizontal. 
Sabendo-se que, na ausência de cargas nos pontos E e H o sistema está em 
equilíbrio na posição mostrada, pede-se: 
 
(a) o número de graus de liberdade do sistema; 
(b) desenhar o mecanismo quando sujeito a pequenos deslocamentos 
compatíveis com os vínculos; 
(c) determinar, em função dos parâmetros dados e utilizando o Princípio 
dos Trabalhos Virtuais, o valor de x para que o equilíbrio se mantenha 
quando as massas m1 e m2 são acopladas ao sistema, através de cabos 
ideais, aos pontos E e H, respectivamente. 
 
 
QUESTÃO 2 (4,0 pontos). O eixo AB , de 
massa desprezível, move-se com velocidade 
angular K
r
&1θ constante vinculado por um pino 
B ao eixo BC , de massa desprezível . Este 
eixo, por sua vez, realiza movimento no plano 
XY transportando em sua extremidade C um 
disco de massa m e raio r que gira com 
velocidade angular i
r
&3θ ( 3θ& constante) em 
relação a BC . Utilizando a base de versores 
kji
rrr
 solidários ao eixo BC , pede-se: 
(a) a aceleração do ponto B ; 
(b) a matriz de inércia do disco referida ao pólo 
B e descrita no sistema de eixos kji
rrr
 ; 
(c) a equação diferencial que governa o 
movimento de 2θ ; 
(d) o binário aplicado pelo pino B ao eixo 
BC ; 
(e) a força aplicada ao eixo BC pelo pino B . 
 
 
QUESTÃO 3 (3,0 pontos). No sistema mostrado na figura, o disco de centro O possui 
massa M e raio R e a polia de centro A tem massa m e raio a. O centro O do disco 
pode movimentar-se apenas na direção u e está acoplado a uma mola de rigidez k e a 
um amortecedor viscoso linear de constante c. Uma força horizontal F atua em um fio 
inextensível passante pela polia. Utilizando as coordenadas generalizadas u e θ e 
admitindo que a mola tem deformação nula quando as coordenadas u e θ valem zero, 
pede-se: 
(a) a energia cinética do sistema; 
(b) a energia potencial do sistema; 
(c) a função dissipativa de Rayleigh do sistema; 
(d) as equações de movimento para as coordenadas u e θ, usando o método de 
Lagrange. 
 
 
 
i
r
 
jr 
x
 
y 
B 
X 
Y 
I
r
 
J
r
 
A 
g
r
 
3θ& 
C 
l 
r 
R 
1θ 
2θ 
1θ& 
2θ& 
 
g 
F 
θ 
u O 
k c A 
 
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
QUESTÃO 1 – RESOLUÇÃO 
 
(a) e (b) 
A posição da estrutura sujeita ao deslocamento δθ, 
compatível com as condições de vínculo, é mostrada ao 
lado (observação: a amplitude do deslocamento angular 
é exagerada para facilitar a visualização). Com base 
nessa figura, depreende-se que o sistema possui apenas 
1 grau de liberdade. 
 
(c) 
As forças que realizam trabalho virtual devido ao 
deslocamento δθ são os pesos das massas m1 e m2 em E 
e H. Pelo PTV: 
 
(1,0 ponto) 
 
 
 
 
 
Mas, 
 
 
 
(3) em (2) fornece 
 
 
 
(2,0 pontos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 2 - RESOLUÇÃO 
 
A aceleração do ponto B é: 
 
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )jiRijkRjiRkkABkkaB rr&rrr&rrr&r&r&r&r 22212221221111 cossincossincossin θθθθθθθθθθθθ −−=−∧=+∧∧=−∧∧= 
(0,5 ponto) 
A matriz de inércia do disco referida ao pólo B , é: 
 
[ ]


















+
+=
2
2
2
2
2
4
00
0
4
0
00
2
l
l
m
mr
m
mr
mr
J B 
(0,5 ponto) 
O vetor rotação do disco, é: 
 ( ) ikikk r&r&&r&r&r&r 321321 θθθθθθω ++=++= 
 
O vetor aceleração rotacional do disco, é: 
 
kkkk
r
&&
r
&
r
&
r
&&&r 2212 θθθθω =∧+= 
(0,5 ponto) 
Aplicando-se o Teorema do Momento da Quantidade de Movimento, referido ao pólo B , tem-se: 
 
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]{ } ( ) ( ) BBBB MJmgBCJJamBC rrr&r +−∧−=⋅∧+⋅+∧− ωωω 
( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] BMjjJiiJmgi
m
mr
m
mr
mr
ki
m
mr
m
mr
mr
jiRmi
rrrrrrrr
l
&&
&
l
l
r
&&
r
&
&&
l
l
rr
&
r
l
+⋅+⋅−∧=




























+
⋅


















+
+∧++
+










⋅


















+
++−−∧⇒
21
3
2
2
2
2
2
213
22
2
2
2
2
22
2
1
0
4
00
0
4
0
00
2
0
0
4
00
0
4
0
00
2
cossin
θθ
θ
θθθ
θ
θθθ
 
 
( )[ ]
( )
( ) ( )[ ] ( ){ } BMjimgi
m
mr
mr
kimmrkRm
rrrr
l
&&l
&
r
&&
r
&&&l
r
&l +−+++−−∧=
















+⋅








+
∧+++








++−⇒ 90cos180cos
4
0
2
4
cos 2121
21
2
2
3
2
2132
2
2
2
2
1 θθθθ
θθ
θ
θθθθθθ 
( ) ( ) ( ) BMkmgjmrjmmrkmmrkRm rrlr&&&r&&&lr&&lr&l ++−=+++






+−







++−⇒ 21321
2
321
2
2
2
2
2
2
2
1 sin244
cos θθθθθθθθθθθ 
 
 
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Da equação vetorial acima obtêm-se: 
 
( )[ ]21221
2
22
sincos
4
1 θθθθθ +−








+
= l&l
l
&& gR
r
 
( ) BMmmr r&&&l =+






− 321
2
2
4
θθθ 
(1,5 ponto) 
 
A aceleração do ponto C do disco é dada por: 
 
( ) ( )[ ]BCkkBCkaa BC −∧∧+−∧+= r&r&r&&rr 222 θθθ 
( ) [ ]ikkikjiRaC rlr&r&rlr&&rr&r ∧∧+∧+−−=⇒ 2222221 cossin θθθθθθ 
( ) ijjiRaC r&lrl&&rr&r 2222221 cossin θθθθθ −+−−=⇒ 
[ ] ( )[ ] jRgR
r
iRaC
r
&l&l
l
lr&l&
r






−+−
+
++−=⇒ 212212
2
122
2
2
2
12 cossincos4
4
sin θθθθθθθθθ 
Aplicando-se o Teorema do Movimento do Baricentro ao sistema constituído pelo disco e pela barra BC tem-se: 
 
BC FJmgam
rrr
+−= 
( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] jRgR
r
miRmjimgFB
r
&l&l
l
lr&l&
rrr






−+−
+
++−+++−=⇒ 212212
2
122
2
2
2
122121 cossincos
4
sinsincos θθθθθθθθθθθθθ 
( )[ ] ( ) ( )[ ] jRgR
r
gmiRgmFB
r
&l&l
l
lr&l&
r






−+−
+
++++++−=⇒ 212212
2
12221
2
2
2
1221 cossincos
4
sinsincos θθθθθθθθθθθθθ 
(1,0 ponto) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 3 – RESOLUÇÃO 
 
Adotando-se que a orientação da polia seja definida por um ângulo ϕ, e sendo o fio ideal, tem-se: 
 
uRa −= θϕ 
a
uR &&
&
−
=⇒
θϕ 
 
(a) discopolia EEE += 222 2
1
2
1
2
1 θϕ && OA zOz JMVJE ++=⇒ 
 
( ) 2222
2
2
22
1
2
1
22
1 θθ &&&
& MR
uM
a
uRmaE ++−=⇒ 
 
⇒ ( ) 222
22
1
2
1
4
1
uMmumRRMmE &&&& 





++−+= θθ
 (1,0)(b) ElasticaGrav VVV += ⇒ 22
1 kuMguV +−=
 (0,5) 
 
( ) 2222
2
1
22
1
2
1
4
1 kuMguuMmumRRMmL −+





++−+=⇒ &&&& θθ 
 
(c) 2
2
1
ucR &=
 (0,5) 
 
(d) Forças generalizadas: xFW δδ = , em que θRux −= 
 
⇒ F
u
xFQu =∂
∂
=
 e FR
xFQ −=
∂
∂
=
θθ (0,5) 
 
Equação de Lagrange, coordenada u: 
 
uMmmR
u
L
&&
&






++−=
∂
∂
22
1 θ uMmmR
u
L
dt
d
&&&&
&






++−=





∂
∂
⇒
22
1 θ ; kuMg
u
L
−=
∂
∂
 ; uc
u
R
&
&
=
∂
∂
 
 
⇒ FuckuMgmRuMm =++−−





+ &&&&& θ
2
1
2
 
 
Equação de Lagrange, coordenada θ: 
 
( )
22
2 umRRMmL
&
&
&
−
+
=
∂
∂ θ
θ
 
( )
22
2 umRRMmL
dt
d &&&&
&
−
+
=





∂
∂
⇒ θ
θ
 ; 0=
∂
∂
θ
L
 ; 0=
∂
∂
θ&
R
 
 
⇒
( ) FRumRRMm −=−+
22
2 &&&&θ
 (0,5)