Psub 2015

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Mecânica dos Fluidos II (PME 2330) 
Gabarito Prova Substitutiva - 2015 
 
 
1. (4 pontos) Um bloco retangular de comprimento L2 e largura muito grande b (na direção ortogonal ao 
plano da figura), de modo que Lb >> , está parcialmente imerso numa piscina de óleo de massa específica ρ 
e viscosidade µ , separado do fundo por uma distância h , Lh << . Ele se eleva lentamente com uma 
velocidade constante V . 
a) Obtenha uma expressão para a vazão volumétrica que entra por baixo do bloco à medida que este se 
eleva, ( )bVxQQ ,,= numa seção qualquer localizada a uma distância x do plano de simetria. 
b) Desprezando a gravidade e assumindo que a inércia do óleo é desprezível (escoamento muito lento, 
podemos desprezar acelerações), obtenha uma expressão para a força vertical F causada pela 
distribuição de pressões na base inferior do bloco, ( )LbVhFF ,,,, µ= . 
Equações de continuidade e Navier-Stokes, regime permanente: 
0=
∂
∂
+
∂
∂
yx
u υ 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
21
y
u
x
u
x
p
y
u
x
uu
ρ
µ
ρ
υ 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
21
yxy
p
yx
u υυ
ρ
µ
ρ
υ
υ
υ 
 
 
 
 
2. (3 pontos) O escoamento numa camada limite laminar pode ser representado pelo perfil de velocidades: 
( ) 





== η
π
η
2
senf
U
u , onde 
δ
η y= 
a) Para uma placa plana paralela a corrente (sem gradiente de pressão) obtenha, usando a equação integral 
de von Kármán, os resultados para a espessura da camada limite xδ , espessura de deslocamento x*δ e 
para o coeficiente de atrito local fc . 
b) A seção de testes de um túnel de vento de baixa velocidade (escoamento incompressível) tem uma seção 
transversal que aumenta ligeiramente de diâmetro para compensar o crescimento da camada limite, de 
modo a garantir que a velocidade U na linha de centro fique constante ao longo do comprimento. Mostre 
que, se considerarmos ( ) ( )xDx <<δ , onde ( )xD é o diâmetro de uma seção qualquer ao longo do túnel, a 
vazão Q no túnel pode ser escrita como ∫+−=
)(
0
2
)()()(
4
)( x dyuxDxxDUxDUQ
δ
πδπ
π . 
c) Mostre que, para mantermos U constante na linha de centro, o diâmetro ( )xD do conduto deve variar de 
acordo coma equação ( ) 20*2 )(4)( DxxDxD =− δ , sendo que 0D é o diâmetro em 0=x , onde temos o 
início da camada limite. 
 
 
Equação integral de von Kármán, espessura de deslocamento, espessura de momento, coeficiente de atrito de 
filme: 
dx
dU
Udx
dc f θ
θ
δθ





 ++=
*2
2
 ; dy
U
u
∫ 



 −=
δ
δ
0
* 1 ; dy
U
u
U
u
∫ 










 −=
δ
θ
0
1 ; 2
2
U
c of ρ
τ
= 
Ajudas para o cálculo: 
( )[ ] ( )xa
a
xdxxa cos1sen-1 +=∫ ; ( ) ( )[ ] ( ) ( )xaaxaaxdxxaxa 2sen4
1cos1
2
1sen-1sen +−−=∫ 
 
3. (3 pontos) É possível utilizar como indicador da direção do escoamento o tubo cilíndrico de raio a da 
figura, onde os três orificios radiais estão equiespaciados. Sempre que a pressão nos orifícios laterais seja 
igual , o orifício central indicará a direção de escoamento e medirá a pressão de estagnação. 
a) Considerando que o escoamento é potencial, calcular o erro na velocidade 
∞
∞−=
U
UUEε , onde EU é a 
velocidade no orifício lateral (tomada de pressão estática E) em função da posição angular θ . 
b) Para que os orifícios laterais meçam a pressão da corrente livre ∞p , em que posição angular β deverão 
ser localizados? 
c) Considerando que o escoamento é real, comente o desempenho do dispositivo se os orifícios estiverem 
localizados na região trasseira do cilindro (
2
0 πθ << ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função corrente para corrente livre e dipolo, velocidade, Bernoulli: 
 
r
rU θλθψ sensen −= ∞ , θ
ψ
∂
∂
=
r
ur
1 , 
r
u
∂
∂
−=
ψ
θ ; cteUp =+
2
2
1 ρ 
 
Solução: 
a) A distribuição de velocidade resulta: 






+−=
∂
∂
−=





−=
∂
∂
=
∞
∞
∞
∞ 22 1sen;1cos
1
rU
U
r
u
rU
U
r
ur
λθψλθ
θ
ψ
θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ter um contorno circular de raio a , deve ser ( ) 20, aUaur ∞=⇒= λθ . A velocidade resulta: 






+−=





−= ∞∞ 2
2
2
2
1sen;1cos
r
aUu
r
aUur θθ θ 
Na superfície do cilindro, 0=rsu e θθ sen2 ∞−= Uu s . O módulo da velocidade na tomada de pressão 
lateral resulta θθ sen2 ∞== UuU sE , de maneira que 1sen21 −=−=
−
= ∞
∞∞
∞ θε U
U
U
U
UU EE 
b) Quando os orifícios laterais meçam a pressão da corrente livre ∞p , o erro será zero, de maneira que 
6
,
6
5
6
5,
62
1sen01sen2 ππβππθθθ =⇒=⇒=⇒=−∞U . A tomada lateral na frente 
corresponde a 
6
πβ = , enquanto a tomada na trasseira corresponde a 
6
5πβ = . 
c) Na região trasseira o dispositivo não funciona em um escoamento real pois a camada limite se descola e a 
pressão na superfície não se recupera. As medições nas tomadas laterais são insensíveis à direção do 
escoamento.