Exercícios resolvidos

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Aplicação: Método das Aproximações Sucessivas 
a) Escolha uma das funções abaixo para determinar o valor da raíz cúbica de 5 
utilizando o Método das Aproximações Sucessivas. Justifique tudo o que for 
necessário para assegurar a convergência do método. 
 
b) Estime o número de iterações ``n'' que assegure um erro 
. 
Gabarito do Item (a): 
 
 
Temos que identificar, para cada uma das funções, se ela está verificando as condições 
suficientes do teorema que garante a convergência. 
 
 
 
Verificamos primeiro se é ponto fixo de alguma dessas funções. 
 
 
 
1. Verificando se a raiz é ponto fixo. Neste caso sabemos que a raiz cúbica de 
5 é o número que estamos procurando. Sempre que este tipo de verificação 
(de ser ponto fixo) for possível, faça-a. 
. 
 
 
Então, não é ponto fixo de . 
conclusão: isto elimina todas as verificações das demais hipóteses do teorema 
para esta função, ( que são extremamente trabalhosas diga-se de passagem...) 
 
 
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. 
 
 
Então, sim é ponto fixo de . 
conclusão: isto significa que para esta função temos que continuar fazendo 
as verificações das demais hipóteses. 
 
 
 
. 
 
Então, sim é ponto fixo de . 
conclusão: isto significa que para esta função também temos que continuar 
fazendo as verificações das demais hipóteses. 
 
 
2. Verificando as hipóteses do teorema do ponto fixo ( são apenas condições 
suficientes) se verificadas, garantem a convergência. 
 
 
Para . 
i) . Logo, e são contínuas em qualquer intervalo que contenha 
, ponto fixo de . 
ii)Seja um intervalo qualquer, tal que . Logo, temos que 
 e portanto , com o qual, não pode-se 
garantir a convergência do processo iterativo. 
 
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conclusão: como k é maior do que um a segunda hipótese não foi verificada 
e esta função será descartada, independente do fato dela poder gerar uma 
seqüência convergente para a raiz. Sempre evitaremos usar funções que não 
garantes a convergência a priori. 
 
 
 
Para . 
i) . Logo, e são contínuas em qualquer intervalo que 
contenha , ponto fixo de , mas que não contenha o ponto . 
ii) Seja . Temos 
Então, . 
conclusão: como k é menor do que um só falta verificar a última hipótese. 
 
 
 
iii) Para garantir que , vamos considerar o extremo de 
mais próximo de . Seja o ponto medio de . Agora, , 
pelo que sabemos que é o extremo mais próximo a . Logo, seja . 
 
 
Pausa para reflexão: 
 
Por quê o fato de escolher o extremo mais próximo da raiz garante que o 
item (iii) do teorema fique verificado? 
Resposta: Como a cada iteração os subintervalos vão diminuindo de tamanho, 
escolhendo o extremo mais próximo da raiz como x0, estaremos garantindo que x1 
está dentro do intervalo I, independente da seqüência ser oscilante, crescente ou 
decrescente, já que as demais hipóteses foram verificadas. 
Seja ra raiz e [a, b ] o intervalo que a contém. Como encontrar o extremo 
mais próximo da raiz? 
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modo1 (como está no exercício): 
Seja o intervalo [a,b], a raiz e m o ponto médio deste intervalo. Se o valor de 
(m), pertencer ao sub-intervalo (m,b) então b é o extremo mais próximo da 
raiz, pois pelo fato da derivada de ser menor que 1 
| m-r | > | (m) -r| , e a configuração seria : a m r b 
Caso contrário a seria o extremo mais próximo da raiz. 
modo2: 
Como a raiz está isolada em [a,b], f(a).f(b) <0. Calculando 
f(b). f(m), m o ponto médio, se f(b). f(m)< 0 então b é o extremo mais 
próximo da raiz. 
Conclusão final deste item: como todas as hipóteses foram verificadas para a 
função 3, esta será utilizada para gerar a seqüência das iteradas. 
 
 
Gabarito do Item (b): 
 
Temos que delimitar o erro absoluto. 
 
 
Como , temos que . Além, . 
 
 
 
 
Para finalizar, e verificar de fato que convergência ocorrerá de fato na nona 
iteração, faça as iteradas! 
 
 
 
 
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