Algebra I

Prévia do material em texto

NOTAS DE AULA DE A´LGEBRA I
Valmecir Bayer
10 de setembro de 2007
2
Suma´rio
1 CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA 7
1.1 Conjuntos e Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Operac¸o˜es com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Imagens diretas e imagens inversas . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Composic¸a˜o de func¸o˜es e
func¸o˜es invers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Relac¸o˜es de Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Um pouco de linguagem lo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Apeˆndice do Cap´ıtulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 OS NU´MEROS INTEIROS 63
2.1 A definic¸a˜o de anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Ane´is ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3 Homomorfismos de ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4 O princ´ıpio da induc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6 A construc¸a˜o dos nu´meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7 O algoritmo da divisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.8 Representac¸a˜o dos inteiros em bases . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 DOMI´NIOS EUCLIDIANOS 111
3.1 Domı´nios euclidianos e ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2 O anel de polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3 O teorema da fatorac¸a˜o u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4 Equac¸o˜es diofantinas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5 Congrueˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 A aritme´tica das classes residuais . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3
4 SUMA´RIO
4 O CORPO DOS NU´MEROS COMPLEXOS 163
4.1 O corpo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2 Ra´ızes de nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.3 Os inteiros de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5 APEˆNDICES 191
5.1 A construc¸a˜o dos nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2 Os nu´meros p-a´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
SUMA´RIO 5
NOTAC¸O˜ES
Anel = Anel comutativo com unidade
N = {1, 2, 3, . . .} = Conjunto dos nu´meros naturais
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} = Anel dos nu´meros inteiros
Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} = Subconjunto dos nu´meros inteiros na˜o negativos
Q = Corpo dos nu´meros racionais
R = Corpo dos nu´meros reais
C = Corpo dos nu´meros complexos
Y X = Conjunto da func¸o˜es de X em Y
A∗ = Conjunto dos elementos invert´ıveis do anel A
Kern ϕ = nu´cleo do homomorfismo ϕ
6 SUMA´RIO
Introduc¸a˜o
Estas notas teˆm o objetivo de servir como texto para as disciplinas de
A´lgebra I e A´lgebra II do curso de Matema´tica da UFES. A intenc¸a˜o e´
apresentar os conteu´dos seguindo as ementas propostas pelo Colegiado do
Curso de Matema´tica. Ha´ va´rios textos que cobrem estas ementas, no entanto
e´ dif´ıcil encontrar um que seja completamente adequado. A vantagem atual
de escrever textos para serem utilizados em disciplinas vem da facilidade
de se processar mudanc¸as apo´s terem sidos experimentados. Talvez nunca
chegaremos a um texto ideal mas isto na˜o tem importaˆncia pois mudanc¸as
para aprimorar e atualizar conteu´dos sa˜o sempre positivas. O objetivo final
e´ proporcionar um aprendizado mais eficaz e agrada´vel.
O material abordado esta´ distribu´ıdo da foirma seguinte. No cap´ıtulo
I e´ apresentada a linguagem ba´sica dos conjunto e func¸o˜es bem como uma
pequena introduc¸a˜o a` lo´gica matema´tica. No cap´ıtulo II, axiomatizamos os
nu´meros inteiros e estudamos as suas primeiras propriedades. O cap´ıtulo III
tem como objetivo uniformizar as propriedades comuns dos inteiros e dos
polinoˆmios em uma indeterminada sobre um corpo atrave´s da introduc¸a˜o
dos domı´nios euclidianos. Terminamos o volume I destas notas com o estudo
dos nu´meros complexos. Deixamos para os alunos mais curiosos a leitura
dos apeˆndices onde tratamos a construc¸a˜o dos nu´meros reais, os nu´meros
p-a´dicos e o Teorema Fundamental da A´lgebra.
Cap´ıtulo 1
CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E
LINGUAGEM LO´GICA
A noc¸a˜o de conjunto e´ fundamental na Matema´tica. Trata-se de uma
linguagem ba´sica que permite a comunicac¸a˜o em Matema´tica. Formalmente
a teoria dos conjuntos esta´ associada a uma sub-a´rea da Matema´tica que
podemos denominar Fundamentos da Matema´tica. A formalizac¸a˜o dessa
teoria tem origem no se´culo XIX com os que hoje denominamos ”formalistas”.
Matema´ticos como Cantor e Dirichlet (veja uma breve nota bibliogra´fica
sobre cada um desses Matema´ticos no final deste cap´ıtulo) sa˜o representantes
desta corrente de pensamento. Atualmente a teoria dos conjuntos como
linguagem esta´ presente em todos os campos da Matema´tica e tambe´m nas
a´reas afins.
Acompanhada da noc¸a˜o de conjunto vem a noc¸a˜o de func¸a˜o. Numa lin-
guagem informal, poder´ıamos dizer que a noc¸a˜o de conjunto trata de cole-
cionar objetos e a noc¸a˜o de func¸a˜o trata de relacionar objetos traduzindo
uma ide´ia que pode sugerir movimento.
O nosso objetivo neste primeiro cap´ıtulo e´ introduzir de forma elementar,
sem no entanto deixar de ser formal, esses conceitos para servir como uma
iniciac¸a˜o a` linguagem e a` comunicac¸a˜o no mundo da Matema´tica.
1.1 Conjuntos e Subconjuntos
A noc¸a˜o de conjunto e´ uma ide´ia primitiva na Matema´tica. Queremos
dizer com ide´ia primitiva que na˜o fazemos nenhuma definic¸a˜o formal. Uti-
7
8 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
lizamos o conceito de conjunto para significar a ide´ia usual de colec¸a˜o de ob-
jetos ou elementos. Poder´ıamos utilizar tambe´m o termo colec¸a˜o ou famı´lia,
para expressar a mesma ide´ia.
Um conjunto e´ constitu´ıdo de elementos ou pontos. Quando um elemento
x esta´ num conjunto X dizemos que x pertence a X ou que X conte´m x e
utilizamos a notac¸a˜o
x ∈ X.
Desta forma fica estabelecida uma relac¸a˜o entre elementos e conjuntos
que denominamos relac¸a˜o de pertineˆncia. Se x na˜o pertence ao conjunto X
utilizamos a notac¸a˜o x /∈ X. Para ilustrar esta linguagem pense no conjunto
X cujos elementos sa˜o os s´ımbolos 1, 2, 3. Assim, por exemplo, 2 ∈ X
enquanto o s´ımbolo 4 na˜o esta´ em X, e portanto 4 /∈ X.
A teoria dos conjuntos procura na˜o enfatizar a natureza dos elementos que
constituem um determinado conjunto, mas sim as relac¸o˜es entre elementos e
conjuntos. Em nosso contexto, a teoria dos conjuntos na˜o apenas e´ u´til para
tratar conjuntos nume´ricos, mas tambe´m e´ fundamental para tratar conjun-
tos de natureza geome´trica e abstrata como conjuntos de retas, conjuntos de
figuras geome´tricas, conjuntos de func¸o˜es, conjuntos de conjuntos etc...
Dois conjunto A e B sa˜o iguais, e escrevemos A = B, se eles conte´m os
mesmos elementos.
EXEMPLO 1.1.
O plano euclidiano pode ser visto como um conjunto de pontos. As retas
do plano euclidiano tambe´m podem ser vistas como conjuntos de pontos. Por
outro lado, as retas do plano euclidiano tambe´m formam um conjunto.
Assim podemos perceber que um determinado elemento, no nosso exem-
plo, uma reta, em outro contexto, pode ser considerado como um conjunto.
O exemplo acima da´ uma ide´ia de quanto esta noc¸a˜o de conjunto pode ser
relativa.
E´ preciso estar atento ao contexto!
Com o objetivo de facilitar a abstrac¸a˜o de pensamentos e definic¸o˜es e´ muito
u´til, e tambe´m recomenda´vel, representar conjuntos por meio de figuras
retil´ıneas ou figuras do plano. E´ importante, no entanto, ficar atento que es-
tas representac¸o˜es na˜o devem ser utilizadas como argumentos para se demon-
strar afirmac¸o˜es. O seu usodeve ser apenas ilustrativo.
1.1. CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS 9
Para se definir um conjunto frequ¨entemente utilizamos uma ou mais
condic¸o˜es a que devem satisfazer os seus elementos. Utilizamos a notac¸a˜o
A = {x | p(x)} para indicar que A e´ o conjunto dos elementos x que satis-
fazem a condic¸a˜o p(x). Por exemplo,
A = {x | x e´ um triaˆngulo equila´tero}.
Dois conjuntos A e B podem ser comparados pela relac¸a˜o que deno-
minaremos relac¸a˜o de inclusa˜o: Dizemos que A e´ um subconjunto de B se
todo elemento de A esta´ tambe´m em B. Neste caso, utilizamos a notac¸a˜o
A ⊂ B. Podemos tambe´m utilizar a linguagem A esta´ contido em B ou B
conte´m A. Contrariamente, se algum elemento de A na˜o esta´ em B enta˜o
dizemos que A na˜o e´ um subconjunto de B.
A relac¸a˜o de inclusa˜o goza de algumas propriedades que destacamos na
proposic¸a˜o seguinte:
PROPOSIC¸A˜O 1.1. Quaisquer que sejam os conjuntos X, Y e Z, temos
1. X ⊂ X
2. Se X ⊂ Y e Y ⊂ Z, enta˜o X ⊂ Z
3. Se X ⊂ Y e Y ⊂ X, enta˜o X = Y
DEMONSTRAC¸A˜O: A primeira propriedade e´ uma consequ¨eˆncia ime-
diata da definic¸a˜o da relac¸a˜o de inclusa˜o. Para demonstrar a segunda pro-
priedade, precisamos verificar que X ⊂ Z. Ora, se x ∈ X, como X ⊂ Y
enta˜o, pela definic¸a˜o de inclusa˜o, x ∈ Y . Por sua vez temos que Y ⊂ Z, e
novamente, pela definic¸a˜o de inclusa˜o, x ∈ Z. Isto nos permite concluir que
X ⊂ Z. A terceira propriedade e´ uma consequ¨eˆncia do conceito de inclusa˜o
e de igualdade de conjuntos. �
A propriedade 1 da proposic¸a˜o 1.1 chama-se propriedade reflexiva a se-
gunda chama-se propriedade transitiva e a terceira crite´rio de igualdade.
Ale´m disso, a propriedade 1 esta´ dizendo que todo conjunto e´ parte de si
mesmo. Quando um conjunto X e´ parte de outro conjunto Y , isto e´, X ⊂ Y ,
mas X 6= Y dizemos que X e´ um subconjunto pro´prio de Y .
Um conjunto Y e´ denominado vazio, e o representamos com o s´ımbolo φ,
quando ele na˜o tem elementos. Observe que o conjunto vazio e´ subconjunto
de qualquer outro conjunto. De fato, para verificarmos isto basta observar
que a inclusa˜o φ ⊂ Y so´ seria falsa se exib´ıssemos um elemento de φ que na˜o
10 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
estivesse em Y . Mas isto e´ imposs´ıvel, uma vez que o conjunto φ na˜o possui
elementos.
Dado um conjunto X, podemos definir um novo conjunto associado a ele,
a saber, o conjunto de suas partes que chamaremos de conjunto das partes
de X e o denotaremos por ℘(X). Assim,
℘(X) = {A | A ⊂ X}
Observe que φ ∈ ℘(X) e X ∈ ℘(X). Por exemplo, se X = {a, b, c} enta˜o
teremos
℘(X) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} }
1.2 Operac¸o˜es com conjuntos
Dados dois conjuntos A e B podemos construir ou definir novos conjuntos
a partir deles. Estes processos se chamam operac¸o˜es com os conjuntos A e
B. A seguir vamos definir quatro operac¸o˜es com os conjuntos A e B.
1. Unia˜o dos conjuntos A e B:
A ∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Assim, x ∈ A ∪ B se, e somente se, pelo menos uma das duas afirmac¸o˜es
seguintes e´ correta x ∈ A ou x ∈ B. Note que ”x ∈ A ou x ∈ B”na˜o exclui
a possibilidade de x pertencer simultaneamente a A e a B. O significado
matema´tico do conectivo ”ou”na˜o e´ exclusivo como na linguagem usual.
1. Intersecc¸a˜o dos conjuntos A e B:
A ∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Assim, x ∈ A ∩ B se, e somente se, x pertence simultaneamente a ambos os
conjuntos A e B. Por exemplo, se
A = {x | x e´ um triaˆngulo retaˆngulo}
e
B = {x | x e´ um triaˆngulo iso´sceles}
enta˜o, A∩B e´ o conjunto de todos os triaˆngulos simultaneamente retaˆngulos
e iso´sceles.
1.2. OPERAC¸O˜ES COM CONJUNTOS 11
1. Diferenc¸a dos conjuntos A e B:
A−B = {x | x ∈ A e x /∈ B}.
Quando A ∩B = φ diremos que A e B sa˜o disjuntos. Por exemplo, se
A = {x | x e´ um triaˆngulo equila´tero}
B = {x | x e´ um triaˆngulo retaˆngulo}
enta˜o A ∩B = φ.
Observe que a unia˜o e a intersecc¸a˜o de conjuntos sa˜o operac¸o˜es bina´rias e
comutativas. Sendo assim elas podem ser iteradas e portanto definidas para
uma quantidade qualquer de conjuntos.
Em geral na˜o exigimos que A seja um subconjunto de B para definirmos a
diferenc¸aB−A. No entanto, quando isto ocorre, isto e´, seA ⊂ B chamammos
a diferenc¸a B − A de complementar do conjunto A no conjunto B. Caso o
contexto permita fixar o conjunto B, denotaremos enta˜o a diferenc¸a B − A
por CB(A), isto e´,
CB(A) = B − A = {x | x ∈ B e x /∈ A}
A operac¸a˜o diferenc¸a goza de algumas propriedades que listamos na proposic¸a˜o
seguinte:
PROPOSIC¸A˜O 1.2. Sejam A, B e B′ conjuntos quaisquer. Enta˜o
1. A− (B ∪B′) = (A−B) ∩ (A−B′).
2. A− (B ∩B′) = (A−B) ∪ (A−B′).
3. Se B ⊂ B′ enta˜o A−B′ ⊂ A−B.
DEMONSTRAC¸A˜O: Para demonstrar uma igualdade entre dois conjun-
tos podemos utilizar o crite´rio da igualdade estabelecido na proposic¸a˜o 1.1.
Assim, para provar a primeira propriedade acima basta mostrar que
A− (B ∪B′) ⊂ (A−B) ∩ (A−B′)
e que
(A−B) ∩ (A−B′) ⊂ A− (B ∪B′).
12 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
Seja enta˜o x ∈ A − (B ∪ B′). Pela definic¸a˜o de diferenc¸a entre conjuntos
temos que x ∈ A e x /∈ B ∪ B′. Ora, pela definic¸a˜o de unia˜o de conjuntos,
necessariamente x /∈ B e x /∈ B′. Assim podemos concluir que x ∈ A − B
e x ∈ A − B′. Logo, pela definic¸a˜o de intersecc¸a˜o de conjuntos temos que
x ∈ (A−B)∩(A−B′) e isto demonstra a primeira inclusa˜o. Reciprocamente,
suponha que x ∈ (A − B) ∩ (A − B′). Enta˜o x ∈ A − B e x ∈ A − B′, isto
e´, x ∈ A e x /∈ B e x /∈ B′. Assim x ∈ A e x /∈ (B ∪ B′), o que nos
permite concluir que A− (B ∪B′). Para demonstrar a segunda propriedade
utilizamos a mesma te´cnica. Suponha que x ∈ A− (B ∩B′). Enta˜o x ∈ A e
x /∈ (B∩B′), isto e´ x ∈ A e, pela definic¸a˜o de intersecc¸a˜o de conjuntos, x /∈ B
ou x /∈ B′. Portanto x ∈ A−B ou x ∈ A−B′, isto e´, x ∈ (A−B)∪ (A−B′)
. Isto demonstra que A− (B∩B′) ⊂ (A−B)∪ (A−B′). Reciprocamente, se
x ∈ (A−B)∪(A−B′) enta˜o x ∈ A e x /∈ B ou x ∈ A e x /∈ B′. Assim x ∈ A e
x /∈ (B∩B′), isto e´, x ∈ A−(B∩B′) o que mostra que x ∈ A−(B∩B′). Isto
mostra a igualdade no ı´tem 2. Para demonstrar a terceira propriedade, seja
x ∈ A−B′, enta˜o x ∈ A e x /∈ B′. Ora, mas B ⊂ B′, enta˜o necessariamente,
x /∈ B, o que mostra que x ∈ A−B. Isto mostra que A−B′ ⊂ A−B. �
COROLA´RIO 1.1. Sejam B e B′ subconjuntos de um conjunto A, onde A
esta´ fixado. Enta˜o
1. CA(B ∪B′) = CA(B) ∩ CA(B′).
2. CA(B ∩B′) = CA(B) ∪ CA(B′).
3. Se B ⊂ B′ enta˜o CA(B′) ⊂ CA(B).
DEMONSTRAC¸A˜O: Segue imediatamente da Proposic¸a˜o 1.2 . �
1. Produto cartesiano dos conjuntos A e B:
Antes de definir o produto cartesiano de dois conjuntos precisamos in-
troduzir a noc¸a˜o de pares ordenandos. Dados dois objetos quaisquer a e b
podemos definir o par ordenado (a, b). Este par ordenado consiste dos obje-
tos a e b (que podem ser distintos ou na˜o) e da escolha de um deles para ser
o primeiro objeto do par. Assim a notac¸a˜o (a, b) significa que a e´ primeiro
objeto e b e´ o segundo objeto do par ordenado.
Cuidado! na˜o confundir o conjunto {a, b} com o par ordenado (a, b).
Observe que {a, b} = {b, a}, enquanto (a, b) 6= (b, a), a na˜o ser que a seja
igual a b.
1.2. OPERAC¸O˜ES COM CONJUNTOS 13
Um par ordenado e´ caraterizado pela condic¸a˜o:
(a, b) = (a′, b′) se, e somente se a = a′ e b = b′.
Dados os conjuntos A eB podemos definir um novo conjunto que chamaremos
de produto cartesiano de A por B, e o denotaremos por A× B, da seguinte
maneira:
A×B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.
Em outras palabras, o produto cartesiano de A por B e´ o conjunto dos
pares ordenados (a, b) onde a ∈ A e b ∈ b. Dado o par ordenado (a, b), o
objeto ”a”sera´ denominado a sua primeira coordenada e ”b”a sua segunda
coordenada.
O subconjunto do produto cartesiano A×A formado pelos elementos (a, a)
de coordenadas iguais e´ chamado de diagonal de A × A e o representamos
por ∆, isto e´,
∆ = {(a,b) ∈ A× A | a = b}
PROPOSIC¸A˜O 1.3. Sejam A, B, C, A′ e B′ conjuntos quaisquer. Enta˜o
1. (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C).
2. (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).
3. (A−B)× C = (A× C)− (B × C).
4. Se A ⊂ A′ e B ⊂ B′ enta˜o A×B ⊂ A′ ×B′.
DEMONSTRAC¸A˜O: 1. Seja (x, y) ∈ (A ∪ B) × C. Enta˜o x ∈ A ∪ B e
y ∈ C, isto e´, x ∈ A ou x ∈ B e y ∈ C. Logo, (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ B×C.
Isto mostra que (A∪B)×C ⊂ (A×C)∪ (B×C). Reciprocamente, suponha
que (x, y) ∈ (A×C)∪(B∪C), enta˜o (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ B×C. Enta˜o
x ∈ A ou x ∈ B e y ∈ C, isto e´, x ∈ A∪B e y ∈ C, isto e´, (x, y) ∈ (A∪B)×C.
Isto mostra que (A× C) ∪ (B × C) ⊂ (A ∪ B)× C. Isto mostra a primeira
igualdade. Os ı´tens 2, 3 e 4 sa˜o deixadas como exerc´ıcio para o leitor. �
14 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
EXERCI´CIOS 1.1.
1. Seja A um conjunto qualquer. Mostre que:
(a) A∪φ = A. (b) A∩φ = φ. (c) A∪A = A. (d) A∩A = A.
2. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que:
(a) A ∪B = B ∪ A. (b) A ∩B = B ∩ A.
(c) A ∪B = A se, e somente se, B ⊂ A.
(d) A ∩B = A se, e somente se, A ⊂ B.
3. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostre que:
(a) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
(b) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
(d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
No exer´ıcio 3, as propriedades a) e b) significam que a unia˜o e a inter-
secc¸a˜o de conjuntos sa˜o operac¸o˜es associativas enquanto os ı´tens c) e
d) significam que a unia˜o distribui a intersecc¸a˜o e vice-versa.
4. Sejam A e B subconjuntos de um mesmo conjunto I fixo. Denotando
por C (X) o complementar de um subconjunto X de I em I, mostre
que:
(a) A ∩B = φ se, e somente se, A ⊂ C (B)
(b) A ∪B = I se, e somente se, C (B) ⊂ A
5. Sejam A, B, A′ e B′ conjuntos quaisquer. Mostre que:
(a) Se A ⊂ B e A′ ⊂ B′ enta˜o A ∪ A′ ⊂ B ∪B′.
(b) Se A ⊂ B e A′ ⊂ B′ enta˜o A ∩ A′ ⊂ B ∩B′.
6. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostre que vale a seguinte ”lei
do cancelamento”:
Se A ∪ C = B ∪ C e A ∩ C = B ∩ C enta˜o A = B.
1.3. FUNC¸O˜ES 15
7. Fixe um conjunto I e sejam A e B subconjuntos de I. Mostre que
CI(φ) = I e CI(I) = φ.
8. Estenda as definic¸o˜es de unia˜o e intersecc¸a˜o para uma quantidade qual-
quer de conjuntos.
9. Sejam A, B, C, A′ e B′ conjuntos quaisquer. Mostre que
(a) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).
(b) (A−B)× C = (A× C)− (B × C).
(c) Se A ⊂ A′ e B ⊂ B′ enta˜o A×B ⊂ A′ ×B′
1.3 Func¸o˜es
A noc¸a˜o de func¸a˜o foi introduzida na Matema´tica por Dirichlet (veja uma
breve nota bibliogra´fica sobre Dirichlet no final deste cap´ıtulo) para tratar
se´ries trigonome´tricas no conjunto dos nu´meros reais. Esta noc¸a˜o evoluiu
e hoje ela e´ extremamente u´til para tratar relac¸o˜es entre conjuntos mais
abstratos. Assim como a noc¸a˜o de conjunto, a noc¸a˜o de func¸a˜o e´ fundamental
na linguagem atual da Matema´tica. Como ressaltamos no in´ıcio do cap´ıtulo,
a func¸a˜o transmite a ide´ia de movimento.
Uma func¸a˜o definida num conjunto X e assumindo valores num conjunto
Y e´ uma correspondeˆncia que a cada elemento de X associa um u´nico ele-
mento de Y . Sa˜o sinoˆnimos de func¸a˜o os termos aplicac¸a˜o ou transformac¸a˜o.
A notac¸a˜o atual de func¸a˜o e´ a seguinte. Denotando a func¸a˜o pelo s´ımbolo
f por exemplo, se X e´ o conjunto onde ela esta´ definida e Y e´ o conjunto
onde ela assume seus valores, escrevemos f : X −→ Y . Se x ∈ X enta˜o
denotaremos por f(x) o valor de f em Y . O conjunto X recebe o nome de
domı´nio da func¸a˜o f e Y recebe o nome de contradomı´nio de f . Pode ocorrer
de X ser igual a Y , isto e´, o domı´nio ser igual ao contradomı´nio. E´ comum
abreviar todas estas informac¸o˜es sobre a func¸a˜o f com a seguinte notac¸a˜o:
f : X −→ Y
x 7−→ f(x)
Se o domı´nio e o contradomı´nio esta˜o completamente claros, isto e´, na˜o
precisam ser enfatizados, podemos tambe´m usar a notac¸a˜o x −→ f(x) para
significar que ao elemento x esta´ associado o elemento f(x) pela func¸a˜o f .
16 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
Uma observac¸a˜o importante e´ que a definic¸a˜o de func¸a˜o envolve dois
conjuntos e uma associac¸a˜o de elementos. Assim e´ fundamental ter em mente
que para que duas func¸o˜es sejam iguais e´ necessa´rio que os seus domı´nios
sejam iguais, seus contradomı´nios sejam iguais e que a associac¸a˜o a cada
elemento do domı´nio seja a mesma por estas func¸o˜es. Em s´ımbolos, temos:
dadas as func¸o˜es f e g, digamos,
f : X −→ Y e g : Z −→ W
x 7−→ f(x) x 7−→ g(x)
enta˜o,
f = g se, e somente se, X = Z, Y = W e f(x) = g(x) para todo x ∈ X.
Dois exemplos fundamentais de func¸o˜es sa˜o os seguintes:
1. Func¸o˜es identidades - Seja X um conjunto na˜o vazio. Considere
a func¸a˜o Id com domı´nio e contradomı´nio iguais a X que a cada elemento
x ∈ X associa o pro´prio x, isto e´ Id(x) = x. Claramente isto define uma
func¸a˜o de X em X. Esta func¸a˜o e´ chamada func¸a˜o Identidade de X.
2. Func¸o˜es constantes - Sejam X e Y conjuntos na˜o vazios. Fixe um
elemento b ∈ Y . Considere a func¸a˜o f : X −→ Y que a cada x ∈ X associa
o elemento b. Novamente e´ claro que isto define uma func¸a˜o de X em Y que
denominamos func¸a˜o constante (com valor b).
1.4 Imagens diretas e imagens inversas
Dada uma func¸a˜o f : X −→ Y , classicamente o domı´nio X e´ tambe´m
chamado conjunto de definic¸a˜o de f . Ja´ o subconjunto de Y formado pelos
elementos y para os quais existe x ∈ X tal que y = f(x) e´ chamado con-
junto de valores de f . Assim o conjunto de valores de f e´ uma parte de Y ,
podendo coincidir ou na˜o com o contradomı´nio Y . O fato do conjunto dos
valores ser um subconjunto pro´prio de Y quer dizer que o contradomı´nio e´
desnecessariamente grande para a func¸a˜o f . Quando o conjunto de valores
coincide com o contradomı´nio diremos que a func¸a˜o f e´ sobrejetiva. Assim a
func¸a˜o f e´ sobrejetiva quando Y = {f(x) | x ∈ X}.
1.4. IMAGENS DIRETAS E IMAGENS INVERSAS 17
Considere um subconjunto A ⊂ X. O subconjunto de Y
f(A) = {y ∈ Y | y = f(x) para algum x ∈ A} = {f(x) | x ∈ A}
e´ denominado imagem direta de A pela func¸a˜o f . Trata-se do conjunto
de valores que a func¸a˜o f assume em B. Observe que se A = X enta˜o
o conjunto de valores de f e´ exatamente f(X) como acabamos de definir.
Observe tambe´m que f(A) ⊂ f(X) ⊂ Y .
Por outro lado, considere agora um subconjunto B ⊂ Y . O subconjunto
de X
f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}
e´ denominado imagem inversa de B pela func¸a˜o f . Trata-se do subconjunto
deX cujos elementos sa˜o associados a elementos de B pela func¸a˜o f . Observe
que f−1(X) = Y uma vez que todo elemento de X precisa estar associado a
algum elemento de Y pela definic¸a˜o de func¸a˜o. Naturalmente f−1(B) ⊂ X.
E´ curioso notar que sempre que A ⊂ X e´ um conjunto na˜o vazio enta˜o f(A)
tambe´m e´ na˜o vazio, ao passo que pode ocorrer que B ⊂ Y seja na˜o vazio
mas f−1(B) seja vazio. Para isto basta que B ∩ f(X) seja vazio. Quando o
conjunto B ⊂ Y se reduz a um u´nico ponto, digamos, B = {b}, utilizaremos
a notac¸a˜o (mais simples) f−1(b) em vez de f−1({b}) para denotar a imagem
inversa do conjunto B.
Assim como a noc¸a˜o de imagem direta deu origem ao conceito de func¸a˜o
sobrejetiva, a noc¸a˜o de imagem inversa da´ origem a um outro conceito que e´
o de func¸a˜o injetiva.
Diremos que uma func¸a˜o f : X −→ Y e´ injetiva quando quaisquer dois
elementos distintos de X esta˜o associados a elementos distintos de Y pela
func¸a˜o f . Resumidamente podemos dizer que f e´ injetiva quando pontos
distintos deX teˆm imagens distintas. Podemos formular o conceito de func¸a˜o
injetiva em termos de imagem inversa da seguinte forma: f e´ injetiva quando
f−1(y) conte´m no ma´ximo um ponto qualquer que seja y ∈ Y . Deixamos a
verificac¸a˜o da equ¨ivaleˆncia destas formulac¸o˜es a cargo do leitor.
18 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
EXERCI´CIOS 1.2.
1. Sejam f : X −→ Y uma func¸a˜o, A,A′ ⊂ X e B,B′ ⊂ Y . Mostreque
(a) Se A ⊂ A′ enta˜o f(A) ⊂ f(A′).
(b) Se B ⊂ B′ enta˜o f−1(B) ⊂ f−1(B′).
(c) f(A ∪ A′) = f(A) ∪ f(A′).
(d) f−1(B ∪B′) = f−1(B) ∪ f−1(B′).
(e) f(A ∩ A′) ⊂ f(A) ∩ f(A′). Mostre tambe´m que vale a igualdade
para quaisquer A,A′ ⊂ X se, e somente se, f e´ injetiva.
(f) f−1(B ∩B′) = f−1(B) ∩ f−1(B′).
2. Sejam f : X −→ Y uma func¸a˜o, A,A′ ⊂ X e B,B′ ⊂ Y . Mostre que
(a) f−1(B′ −B) = f−1(B′)− f−1(B).
(b) f(A′)− f(A) ⊂ f(A′ −A) e vale a igualdade se, e somente se f e´
injetiva
(c) Deˆ exemplos onde a igualdade no item b) na˜o seja va´lida.
3. Sejam f : X −→ Y uma func¸a˜o, A ⊂ X e B ⊂ Y . Mostre que
(a) f(A) = φ se, e somente se, A = φ.
(b) f−1(B) = φ se, e somente se, B ∩ f(X) = φ.
(c) f−1(B) = f−1(B ∩ f(X)).
4. Sejam f : X −→ Y uma func¸a˜o e A ⊂ X. Mostre que A ⊂ f−1f(A)).
Ale´m disso, vale a igualdade para qualquer subconjunto A de X se, e
somente se, f e´ injetiva.
5. Seja f : X −→ Y uma func¸a˜o e B ⊂ Y . Mostre que f(f−1(B)) ⊂ B.
Ale´m disso, vale a igualdade para qualquer subconjunto B de Y se, e
somente se, f e´ sobrejetiva.
1.5. COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸O˜ES INVERSI´VEIS 19
1.5 Composic¸a˜o de func¸o˜es e
func¸o˜es invers´ıveis
Como ja´ salientamos anteriormente a noc¸a˜o de func¸a˜o esta´ associada a`
ide´ia de movimento. Esta ide´ia fica mais evidente na hipo´tese de poder-
mos iterar func¸o˜es, isto e´, aplicar seguidamente a mesma func¸a˜o ou func¸o˜es
diferentes. Ha´ casos em que podemos fazer isto e ha´ casos em que na˜o
podemos. Vejamos: Suponha que nos sejam dadas duas func¸o˜es f : X −→ Y
e g : W −→ Z. Por exemplo, suponha que quize´ssemos aplicar a func¸a˜o g
aos elementos da forma f(x). Para que esta ide´ia tenha sucesso e´ evidente
que precisamos ter f(x) no domı´nio da func¸a˜o g. Ora, enta˜o a condic¸a˜o
que precisamos e´ que f(X) ⊂ W . Esta e´, digamos, examente a condic¸a˜o
necessa´ria. No entanto, uma condic¸a˜o suficiente para que possamos aplicar a
func¸a˜o g aos elementos f(x) para todo x ∈ X e´ que Y = W , isto e´, o domı´nio
da func¸a˜o g seja igual ao contradomı´nio da func¸a˜o f . Em geral esta u´ltima
condic¸a˜o e´ mais fa´cil de ser verificada. E´ com ela que vamos trabalhar.
DEFINIC¸A˜O 1.1. Sejam f : X −→ Y e g : Y −→ Z duas func¸o˜es.
A func¸a˜o com domı´no X, contradomı´nio Z que a cada x ∈ X associa o
elemento g(f(x)) ∈ Z e´ denominada func¸a˜o composta de f com g e a
denotaremos por g ◦ f
Podemos enta˜o pensar na composic¸a˜o de func¸o˜es como um tipo de operac¸a˜o
no conjunto das func¸o˜es. Ha´ pore´m uma restric¸a˜o, pois como observado
acima, dadas duas func¸o˜es arbitra´rias, nem sempre e´ possivel compoˆ-las, isto
e´, nem sempre e´ possivel realizar a ”operac¸a˜o”. Apesar disso, quando a
composic¸a˜o for poss´ıvel, ela goza de algumas propriedades importantes que
destacamos nas proposic¸o˜es seguintes.
PROPOSIC¸A˜O 1.4. Sejam f : X −→ Y , g : Y −→ Z e h : Z −→ W
func¸o˜es . Enta˜o h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f . Em outras palavras, no caso em que
a composic¸a˜o de func¸o˜es for poss´ıvel ela e´ associativa.
DEMONSTRAC¸A˜O: Observe que h ◦ (g ◦ f) e (h ◦ g) ◦ f teˆm X como
domı´nio e W como contradomı´nio. Ale´m disso, se x ∈ X, pela definic¸a˜o 1.1
acima temos
(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))) =
= (h ◦ g)(f(x)) = ((h ◦ g) ◦ f)(x)
Portanto, h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f . �
20 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
PROPOSIC¸A˜O 1.5. Seja f : X −→ Y uma func¸a˜o qualquer e considere
a func¸a˜o identidade de X, IX : X −→ X e a func¸a˜o identidade de Y ,
IY : Y −→ Y . Enta˜o f ◦ IX = f e IY ◦ f = f .
DEMONSTRAC¸A˜O: Claramente f e f ◦ IX teˆm o mesmo domı´nio X e
o mesmo contradomı´nio Y . Ale´m disso, para cada x ∈ X temos
(f ◦ IX)(x) = f(IX(x)) = f(x).
Portanto, f ◦ IX = f . De maneira ana´loga, obtemos IY ◦ f = f . �
A proposic¸a˜o 1.5 nos afirma que IX desempenha o papel de ”elemento
neutro a` direita”para o conjunto das func¸o˜es de X em Y e IY desempenha o
papel de ”elemento neutro a` esquerda”. Assim se X = Y enta˜o o conjunto
das func¸o˜es de X em X possui um elemento neutro que e´ a func¸a˜o identidade
de X.
A seguir vamos estudar a questa˜o da existeˆncia de func¸o˜es inversas.
Dada uma func¸a˜o f : X −→ Y , dizemos que g : Y −→ X e´ uma inversa
a` direita de f se f ◦ g = IY , isto e´, f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . E´ fa´cil
construir um exemplo de func¸a˜o que na˜o possui inversa a` direita, veja:
Sejam X = {1} e Y = {1, 2} e considere a func¸a˜o f : X −→ Y definida
por f(1) = 1. A u´nica func¸a˜o que podemos definir de Y em X e´ a func¸a˜o
(constante) g = 1, isto e´, g(1) = g(2) = 1. Logo f(g(1)) = f(1) = 1 =
f(g(2)) e, portanto, claramente f ◦ g 6= IY .
Fac¸a um diagrama que ilustre este exemplo. Na˜o e´ muito dif´ıcil perceber
que o que esta´ impedindo a na˜o existeˆncia da inversa a` direita neste caso
e´ o fato de f na˜o ser sobrejetiva. Na verdade esta e´ a u´nica restric¸a˜o em
qualquer caso, como mostra a proposic¸a˜o seguinte:
PROPOSIC¸A˜O 1.6. Seja f : X −→ Y uma func¸a˜o. Uma condic¸a˜o
necessa´ria e suficiente para que f possua uma inversa a` direita e´ que f seja
sobrejetiva.
DEMONSTRAC¸A˜O: Suponha que f : X −→ Y possua uma inversa a`
direita g : Y −→ X. Assim, f ◦ g = IY , isto e´, f(g(y)) = y para todo y ∈ Y .
Queremos verificar que f e´ sobrejetiva, isto e´, que a imagem direta de X,
f(X) coincide com o contradomı´nio Y de f . Ora, como f(X), por definic¸a˜o,
e´ um subconjunto de Y , basta verificar que Y ⊂ f(X). Assim, sempre que
quizermos verificar que uma func¸a˜o f : X −→ Y e´ sobrejetiva basta verificar
que para cada y ∈ Y tem-se que y ∈ f(X), isto e´, existe x ∈ X tal que
1.5. COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸O˜ES INVERSI´VEIS 21
y = f(x). No nosso caso, como f(g(y)) = y para todo y ∈ Y , basta tomar
x = g(y). Portanto a func¸a˜o f e´ sobrejetiva. Reciprocamente, suponha que
f seja sobrejetiva. Defina uma func¸a˜o gY −→ X da seguinte forma: dado
y ∈ Y , usando a sobrejetividade de f , existe x ∈ X tal que f(x) = y. Fixe
um desses x ∈ X e defina g(y) = x. A func¸a˜o g assim definida e´ uma das
func¸o˜es que queremos. �
De maneira ana´loga temos a noc¸a˜o de func¸o˜es inversas a` esquerda, como
segue. Considere uma func¸a˜o f : X −→ Y . Dizemos que uma func¸a˜o
h : Y −→ X e´ uma inversa a` esquerda de f se h ◦ f = IX , isto e´ h(f(x)) = x
para todo x ∈ X.
Novamente e´ fa´cil construir exemplos de func¸o˜es que na˜o possuem inversas
a` esquerda. Deixamos esta tarefa como exerc´ıcio para o leitor. E tambe´m, de
maneira ana´loga, de forma dual, existe um crite´rio de existeˆncia de inversas
a` esquerda, a saber:
PROPOSIC¸A˜O 1.7. Seja f : X −→ Y uma func¸a˜o. Uma condic¸a˜o
necessa´ria e suficiente para que f possua uma inversa a` esquerda e´ que f
seja injetiva.
DEMONSTRAC¸A˜O: Suponha que f possua uma inversa a` esquerda, dig-
amos h : Y −→ X, isto e´, h(f(x)) = x para todo x ∈ X. Queremos verificar
que f e´ injetiva. Para isto precisamos verificar que se x1 6= x2 em X enta˜o
f(x1) 6= f(x2); ou de maneira equivalente, se f(x1) = f(x2) enta˜o x1 = x2.
Ora, se f(x1) = f(x2) enta˜o h(f(x1)) = h(f(x2)), isto e´ x1 = x2. Recip-
rocamente, suponha que f : X −→ Y seja uma func¸a˜o injetiva. Queremos
encontrar uma func¸a˜o inversa a` esquerda para f . Defina h : Y −→ X da
seguinte maneira. Fixe um elemento a ∈ X. Dado y ∈ Y , temos duas alter-
nativas (exclusivas): y esta´ na imagem direta de X, isto e´, y ∈ f(X) ou y
na˜o esta´ na imagem direta de X, isto e´ y /∈ f(X). No caso em que y /∈ f(X)
defina h(y) = a. No caso em que y ∈ f(X), como f e´ injetiva existe um
u´nico x ∈ X tal que f(x) = y. Defina h(y) = x. E´ claro que h(f(x)) = x
para todo x ∈ X. E´ imediato verificar que h assim definida e´ uma inversa a`
esquerda para f . �
Nas duas proposic¸o˜es acima nada e´ mencionado sobre a unicidade da in-
versa. Na verdade, podemos verificar que em geral na˜o temos esta unicidade.
No entanto,temos um crite´rio muito claro para garantir esta unicidade. Este
e´ o conteu´do do teorema a seguir.
22 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
TEOREMA 1.1. Seja f : X −→ Y uma func¸a˜o. Suponha que f possua
uma inversa a` direita g e uma inversa a` esquerda h. Enta˜o g = h e neste
caso, g e´ a u´nica inversa a` direita de f e tambe´m e´ a u´nica inversa a` esquerda
de f .
DEMONSTRAC¸A˜O: Sejam g : Y −→ X uma inversa a` direita de f e
h : Y −→ X uma inversa a` esquerda., isto e´,
f(g(y)) = y para todo y ∈ Y
e tambe´m
h(f(x)) = x para todo x ∈ X
Seja y ∈ Y , como f e´ sobrejetiva, existe x ∈ X tal que f(x) = y. Assim
f(g(y)) = y e f(h(y)) = f(h(f(x))) = f(x) = y. Como f e´ injetiva temos
que g(y) = h(y). Logo g = h. Assim f(g(y)) = y para todo y ∈ Y e
g(f(x)) = x para todo x ∈ X. Suponha que g′ e´ outra inversa a` direita.
Enta˜o f(g′(y)) = y = f(g(y)) para todo y ∈ Y . Como f e´ injetiva, temos
que g′(y) = g(y) para todo y ∈ Y . Portanto g′ = g e temos enta˜o a unicidade
da func¸a˜o g. �
DEFINIC¸A˜O 1.2. Uma func¸a˜o f : X −→ Y e´ invers´ıvel se existe uma
func¸a˜o g : Y −→ X tal que f ◦ g = IY e g ◦ f = IX .
Observe que a func¸a˜o g da definic¸a˜o e´ u´nica. Assim f : X −→ Y e´
invers´ıvel se existe uma func¸a˜o g : Y −→ X tal que g(f(x)) = x para todo
x ∈ X e f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . Vamos denominar esta func¸a˜o de
inversa da func¸a˜o f e vamos denota´-la por f−1. Pelas proposic¸o˜es acima,
f e´ invers´ıvel se, e somente se, ela e´ injetiva e sobrejetiva. Neste caso, a
nomenclatura cla´ssica denomina a func¸a˜o f bijetiva. Isto e´, uma func¸a˜o
e´ chamada bijetiva se ela e´ injetiva e sobrejetiva. Assim, uma func¸a˜o e´
invers´ıvel se, e somente se, ela e´ bijetiva.
PROPOSIC¸A˜O 1.8. Sejam f : X −→ Y e g : Y −→ Z duas func¸o˜es.
1. Se f e g sa˜o injetivas enta˜o g ◦ f tambe´m e´ injetiva.
2. Se f e g sa˜o sobrejetivas enta˜o g ◦ f tambe´m e´ sobrejetiva.
3. Se f e g sa˜o bijetivas enta˜o g ◦ f tambe´m e´ bijetiva.
1.5. COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸O˜ES INVERSI´VEIS 23
DEMONSTRAC¸A˜O:
1. Suponha f e g injetivas. Queremos mostrar que g ◦ f tambe´m e´ in-
jetiva. Para isto, sejam x1, x2 ∈ X e suponha que (g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2),
isto e´, g(f(x1)) = g(f(x2)). Como g e´ injetiva temos que f(x1) = f(x2). Por
sua vez, como f e´ injetiva, temos que x1 = x2. Portanto g ◦ f e´ injetiva.
2. Suponha f e g sobrejetivas. Queremos mostrar que g ◦ f tambe´m e´
sobrejetiva. Fixe z ∈ Z. Como g e´ sobrejetiva podemos garantir que existe
y ∈ Y tal que g(y) = z. Por sua vez, como f e´ sobrejetiva, para este y ∈ Y
existe x ∈ X tal que f(x) = y. Logo, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z, o que
garante a sobrejetividade de g ◦ f .
3. Segue dos itens a) e b) acima. �
PROPOSIC¸A˜O 1.9. Sejam f : X −→ Y e g : Y −→ Z duas func¸o˜es
invers´ıveis. Enta˜o g ◦ f e´ invers´ıvel e (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
DEMONSTRAC¸A˜O: Observe que o item 3) da proposic¸a˜o 1.8 garante
que g ◦ f e´ invers´ıvel. Para mostrar que (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1 observe que,
pela unicidade da inversa de uma func¸a˜o, basta verificar que
(f−1 ◦ g−1) ◦ (g ◦ f) = IX e que (g ◦ f) ◦ (f−1 ◦ g−1) = IZ .
Mas, usando a associatividade da composic¸a˜o de func¸o˜es e a proposic¸a˜o
1.5, temos
(f−1 ◦ g−1) ◦ (g ◦ f) = f−1 ◦ ((g−1 ◦ g) ◦ f) = f−1 ◦ (IY ◦ f) = f−1 ◦ f = IX
(g ◦ f) ◦ (f−1 ◦ g−1) = (g ◦ (f ◦ f−1)) ◦ g−1 = (g ◦ IY ) ◦ g−1 = g ◦ g−1 = IZ .
O que demonstra o que quer´ıamos. �
EXERCI´CIOS 1.3.
1. Sejam X, Y e Z treˆs conjuntos.
(a) Dadas duas func¸o˜es g : Y −→ Z e h : X −→ Z, enta˜o existe pelo
menos uma func¸a˜o f : X −→ Y tal que h = g ◦f se, e somente se,
h(X) ⊂ g(Y ). Alem disso, f e´ u´nica, se e somente se, g e´ injetiva.
24 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
(b) Dadas duas func¸o˜es f : X −→ Y e h : X −→ Z, enta˜o existe pelo
menos uma func¸a˜o g : Y −→ Z tal que h = g ◦ f se, e somente
se, sempre que f(x) = f(x′) tem-se h(x) = h(x′), (isto e´, se os
valores de f em dois pontos de X forem iguais, enta˜o os valores
de h nestes pontos tambe´m sa˜o iguais). Ale´m disso, g e´ u´nica se,
e somente se, f e´ sobrejetiva.
2. Sejam f : X −→ Y e g : Y −→ Z duas func¸o˜es. Mostre que
(a) Se A ⊂ X enta˜o (g ◦ f)(A) = g(f(A))
(b) Se C ⊂ Z enta˜o (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)).
1.6 Relac¸o˜es de Equivaleˆncia
Alguns problemas fundamentais da Matema´tica tratam da classificac¸a˜o
de objetos. Uma boa classificac¸a˜o permite compreender melhor o comporta-
mento e a natureza de certos conjuntos. Em geral, o princ´ıpio desta te´cnica
consiste em separar os elementos por propriedades ou caracter´ısticas comuns.
Um dos exemplos mais ilustrativo desta natureza e´ o conjunto das frac¸o˜es
que e´ o resultado de uma identificac¸a˜o de elementos que denominamos frac¸o˜es
equivalentes. Teremos a oportunidade de voltar a este contexto quando es-
tudarmos o conjunto dos nu´meros racionais. Este exemplo, fundamental na
Matema´tica elementar, por si so´, ja´ justifica o estudo sistema´tico das relac¸o˜es
de equivaleˆncia.
Considere A um conjunto na˜o vazio. Uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A
e´ uma relac¸a˜o ∼ entre cada par de elementos de A que satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Todo elemento de A esta´ relacionado com ele mesmo. Em s´ımbolos:
a ∼ a para todo a ∈ A.
2. Se um elemento a ∈ A esta´ relacionado com um outro elemento b ∈ A,
enta˜o este elemento b esta´ relacionado com a, isto e´,
se a ∼ b enta˜o b ∼ a.
1.6. RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA 25
3. Se um elemento a ∈ A esta´ relacionado com um elemento b ∈ A e, por
sua vez, b esta´ relacionado com um terceiro elemento c ∈ A, enta˜o a
esta´ relacionado com c, isto e´,
se a ∼ b e b ∼ c enta˜o a ∼ c.
As treˆs propriedades acima sa˜o denominadas respectivamente, propriedades
reflexiva, sime´trica e transitiva da relac¸a˜o.
EXEMPLO 1.2. Relac¸a˜o de igualdade
O exemplo mais simples de relac¸a˜o de equivaleˆncia e´ a relac¸a˜o de igual-
dade em um conjunto qualquer. E´ claro que todo elemento de um conjunto
e´ igual a ele mesmo, portanto vale a reflexividade. Se um elemento x e´ igual
a y enta˜o y e´ igual a x, isto e´, vale a simetria. E, finalmente se x e´ igual a
y e y e´ igual a z enta˜o trivialmente x e´ igual a z, valendo assim, a transi-
tividade. Naturalmente a igualdade e´ um exemplo trivial que na˜o justificaria
uma definic¸a˜o sofisticada como e´ a definic¸a˜o de relac¸a˜o de equivaleˆncia.
EXEMPLO 1.3. Relac¸a˜o de semelhanc¸a de triaˆngulos
Considere o conjunto de todos os triaˆngulos num plano. Considere S a
relac¸a˜o de semelhanc¸a de triaˆngulos. S e´ reflexiva, sime´trica e transitiva.
Portanto a relac¸a˜o de semelhanc¸a e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia no conjunto
dos triaˆngulos do plano.
EXEMPLO 1.4. Relac¸a˜o de paralelismo de retas
A relac¸a˜o de paralelismo entre duas retas no plano (ou no espac¸o) tambe´m
e´ reflexiva, sime´trica e transitiva e portanto uma relac¸a˜o de equivaleˆncia no
conjunto das retas do plano (ou do espac¸o). Neste exemplo admitimos que
retas coincidentes sa˜o paralelas.
EXEMPLO 1.5. Relac¸a˜o de congrueˆncia de triaˆngulos
A relac¸a˜o de congrueˆncia no conjunto dos triaˆngulos do plano e´ uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia.
EXEMPLO 1.6. Relac¸a˜o de equivaleˆncia definida por uma func¸a˜o
26 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
Sejam X e Y conjuntos na˜o vazios quaisquer e f : X −→ Y uma func¸a˜o
qualquer. Defina em X a seguinte relac¸a˜o:
a ∼ b se, e somente se, f(a) = f(b).
Esta relac¸a˜o e´ trivialmente reflexiva, sime´trica e transitiva, portanto e´
uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em X.
Dada uma relac¸a˜o de equivaleˆncia ∼ num conjunto A e dado um ele-
mento a ∈ A, definimos a classe de equivaleˆncia de a como sendo o sub-
conjunto de A formado por todos os elementos de A que esta˜o relacionados
com a e o denotamos por Ca ou, simplesmente a¯, isto e´, na linguagem de
conjuntos,Ca = a¯ = {x ∈ A | x ∼ a}
Naturalmente a ∈ Ca, uma vez que a ∼ a, pela propriedade reflexiva.
Assim Ca 6= φ para todo a ∈ A.
PROPOSIC¸A˜O 1.10. Seja ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia num conjunto
A. Sejam ainda a, b ∈ A e Ca e Cb respectivamente as classes de equivaleˆncia
de a e b. Enta˜o
Ca ∩ Cb = φ ou Ca = Cb
DEMONSTRAC¸A˜O: De fato, se Ca ∩ Cb 6= φ enta˜o existe x ∈ Ca ∩ Cb.
Assim, por definic¸a˜o de Ca e de Cb temos que x ∼ a e x ∼ b. Logo, pelas
propriedades transitiva e sime´trica, a ∼ b. Assim, se y ∈ Ca enta˜o y ∼ a e
como a ∼ b enta˜o y ∼ b. Portanto y ∈ Cb. Isto mostra que Ca ⊂ Cb. Um
argumento ana´logo mostra que Cb ⊂ Ca, e da´ı conclu´ımos que Ca = Cb. �
A proposic¸a˜o 1.10 afirma que as classes de equivaleˆncia de uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia, num conjunto qualquer, parte este conjunto em subconjuntos
disjuntos. Este processo e´ o que chamamos de partic¸a˜o de um conjunto,
como formalizamos a seguir.
DEFINIC¸A˜O 1.3. Seja X um conjunto na˜o vazio. Uma partic¸a˜o P de
X e´ uma famı´lia de subconjuntos de X satisfazendo:
1. Se A e B sa˜o dois subconjuntos distintos da famı´lia P enta˜o A∩B = φ.
2. X e´ a unia˜o dos subconjuntos da famı´lia P .
1.6. RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA 27
Como salientamos acima, claramene as classes de equivaleˆncia de uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia num conjunto X determinam uma partic¸a˜o em X.
Na verdade, os conceitos ”relac¸a˜o de equivaleˆncia”e ”partic¸a˜o”esta˜o liga-
dos no sentido seguinte.
Toda relac¸a˜o de equivaleˆncia R num conjunto X determina uma (u´nica)
partic¸a˜o de X, a saber,
PR = {C ⊂ X | C e´ classe de equivaleˆncia de R}.
Reciprocamente, toda partic¸a˜o P determina um (u´nica) relac¸a˜o de equivaleˆncia
RP em X, a saber, dados x, y ∈ X, dizemos que x RP y se, e somente se,
existe C ∈ P tal que x, y ∈ C
DEFINIC¸A˜O 1.4. O conjunto das classes de equivaleˆncia de uma relac¸a˜o
∼ em A e´ chamado conjunto quociente da relac¸a˜o ∼ .
Denotaremos este conjunto por A∼ . Assim. Na linguagem dos conjuntos,
A
∼ = {a¯ | a ∈ A} = {Ca | a ∈ A}.
Podemos ver o conjunto quociente como o conjunto que identifica os ele-
mentos de A que esta˜o numa mesma classe de equivaleˆncia como um u´nico
elemento.
Algumas vezes precisamos nos referir a um elemento do conjunto quo-
ciente na˜o esquecendo que sua origem e´ um subconjunto de A. Elegemos
enta˜o em A um conjunto que possa representar os elementos do conjunto
quociente. Denominamos um tal subconjunto de conjunto de representantes
do conjunto quociente. Para ser mais claro, um conjunto de representantes
da relac¸a˜o de equivaleˆncia em A e´ qualquer subconjunto S de A satisfazendo:
1. Se a, b ∈ S enta˜o Ca ∩ Cb = φ, isto e´ a e b esta˜o em classes de
equivaleˆncia distintas.
2. Dada uma classe de equivaleˆncia C, existe a ∈ S tal que a ∈ C.
Assim, existe uma bijec¸a˜o entre o conjunto de representantes S e o con-
junto quociente da relac¸a˜o de equivaleˆncia.
28 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
EXEMPLO 1.7.
Considere a relac¸a˜o de paralelismo no conjunto das retas do plano. Fixe
um ponto P no plano. A famı´lia das retas que passam por P formam um con-
junto de representantes desta relac¸a˜o de equivaleˆncia. De fato, dada qualquer
reta L do plano existe uma, e somente uma, reta por P paralela a L.
No exemplo 1.6 acima vimos que toda func¸a˜o f : X −→ Y determina
uma relac¸a˜o de equivaleˆncia no domı´nio X da func¸a˜o, a saber, x ∼ y
se, e somente se, f(x) = f(y). Na verdade, vale uma espe´cie de rec´ıproca,
vejamos.
Seja X um conjunto na˜o vazio qualquer e ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia
em X. Seja Y = X∼ o conjunto quociente da relac¸a˜o ∼ . Defina a func¸a˜o
pi : X −→ Y = X∼
x 7−→ x¯
Claramente vemos que
x1 ∼ x2 se, e somente se, pi(x1) = pi(x2), isto e´ x¯1 = x¯2.
A func¸a˜o pi e´ chamada projec¸a˜o de X sobre o conjunto quociente X∼ . Natu-
ralmente pi e´ sobrejetiva.
TEOREMA 1.2. Dada uma func¸a˜o sobrejetiva f : X −→ Y , considere a
relac¸a˜o de equivaleˆncia ∼ definida por f em X, a saber, x ∼ y se, e
somente se f(x) = f(y). Considere tambe´m a projec¸a˜o pi : X −→ X∼ de X
sobre o conjunto quociente de ∼ que associa a cada elemento de X a sua
classe. Enta˜o existe uma u´nica bijec¸a˜o f¯ de X∼ em Y tal que f = pi ◦ f¯ .
DEMONTRAC¸AˆO: A definic¸a˜o de f¯ e´ a definic¸a˜o natural, a saber, f¯(x¯) =
f(x). Como x¯ = pi(x) temos imediatamente que f = pi ◦ f¯ . Precisamos
verificar que a definic¸a˜o de f¯ na˜o depende da escolha do representante x¯ em
sua classe. De fato, se u ∈ X e´ outro elemento que esta´ na classe de x, isto
e´, x ∼ u enta˜o f(x) = f(u). Isto mostra que f¯(x¯) = f¯(u¯). A unicidade de
f¯ e´ clara. �
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 29
EXERCI´CIOS 1.4.
1. Determine todas as relac¸o˜es de equivaleˆncia no conjunto {1, 2, 3, 4}.
Em cada caso encontre o conjunto quociente.
2. Seja U um conjunto na˜o vazio, A um subconjunto de U e ℘(U) o
conjunto das partes de U . Defina em ℘(U) a relac¸a˜o X ∼ Y se,
e somente se, X ∩ A = Y ∩ A. Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia.
3. Sejam f : X −→ Y e g : X −→ Z duas func¸o˜es sobrejetivas que
determinam a mesma relac¸a˜o de equivaleˆncia em X.
(a) Mostre que existe uma func¸a˜o h : Y −→ Z tal que h ◦ f = g.
Mostre tambe´m que h e´ invers´ıvel. Fac¸a um diagrama para ilustrar
esta situac¸a˜o.
(b) Seja φ : Z −→ Y ume func¸a˜o tal que φ ◦ g = f . Mostre que
φ ◦ h = IY e h ◦ φ = IZ . Conclua que φ = h−1.
(c) Se f e g na˜o forem sobrejetivas, e´ poss´ıvel encontrar h de tal forma
que h ◦ f = g?
4. Sejam X e Y dois conjuntos tais que em cada um deles esteja definida
uma relac¸a˜o de equivaleˆncias. Suponhamos que exista uma func¸a˜o
f : X −→ Y satisfazendo a condic¸a˜o: se x1 ∼ x2 em X enta˜o,
necessariamente, f(x1) ∼ f(x2) em Y . Mostre que existe uma, e ape-
nas uma, func¸a˜o g : X∼ −→ Y∼ tal que g ◦ piX = piY ◦ f , onde piX e piY
sa˜o as projec¸o˜es canoˆnicas nos respectivos conjuntos quocientes. Fac¸a
um diagrama para ilustrar esta situac¸a˜o.
1.7 Um pouco de linguagem lo´gica
Esta secc¸a˜o tem como objetivo fazer uma breve introduc¸a˜o a` formalizac¸a˜o
de alguns conceitos que surgem naturalmente na linguagem matema´tica. O
me´todo utilizado para se estabelecer resultados va´lidos em Matema´tica e´ o
me´todo dedutivo, portanto e´ necessa´rio que se tenha uma linguagem clara,
coerente e uniforme.
Quando se inicia este processo de aprendizagem nos deparamos com um
certo dilema. Seria conveniente termos a linguagem lo´gica para estudar os
30 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
conceitos matema´ticos. Por outro lado, precisamos de alguns conceitos para
tornar a linguagem palata´vel e, ate´ mesmo, para justificar a sua formali-
dade. Nestas notas preferimos fazer esta secc¸a˜o apo´s a breve apresentac¸a˜o
de conjuntos e func¸o˜es, na esperanc¸a que estes conceitos fornec¸am uma fonte
natural de exemplos no contexto da Matema´tica.
Na˜o e´ por acaso que a lo´gica e´ quase ta˜o antiga quanto a Matema´tica,
tendo a sua origem no se´culo IV antes de Cristo com Aristo´teles. Ela teve
dois grandes impulsos em dois momentos cruciais da Histo´ria da Matema´tica.
O primeiro com Leibniz e Newton com a descoberta do Ca´lculo Infinitesimal.
O segundo com a corrente formalista de Frege, Peano, Whitehead e Russel.
A nossa linguagem usual muitas vezes e´ pouco precisa e causa ambigu¨ida-
des que geram du´vidas, dependendo da pessoa que comunica e da pessoa que
recebe a comunicac¸a˜o. A lo´gica matema´tica e´ uma tentativa de estabele-
cer uma linguagem formal, livre de ambigu¨idades, para se estabelecer uma
comunicac¸a˜o, oral e escrita, precisa no contexto matema´tico.
O principal objeto na linguagem da lo´gica matema´tica e´ a proposic¸a˜o.
Trata-se de um conceito primitivo, isto e´, sem definic¸a˜o. No entanto queremos
atribuir-lhe as caracter´ısticas seguintes: uma proposic¸a˜odeve ser declarativa,
sem ambigu¨idades e possuir um valor lo´gico verdadeiro ou falso.
EXEMPLO 1.8.
p1. Se A, B e C sa˜o conjuntos e A ⊂ B, B ⊂ C enta˜o A ⊂ C.
p2. Todas as func¸o˜es sa˜o injetivas.
p3. Se uma func¸a˜o e´ injetiva e sobrejetiva enta˜o ela e´ bijetiva.
Nestes exemplos, as proposic¸o˜es p1 e p3 teˆm valor lo´gico verdadeiro e a
proposic¸a˜o p2 tem valor lo´gico falso.
Por simplicidade, diremos que se uma proposic¸a˜o p tiver valor lo´gico
verdadeiro enta˜o ela e´ uma proposic¸a˜o verdadeira e utilizaremos v(p) = V
para simbolizar isto. Por outro lado, se p tiver valor lo´gico falso enta˜o diremos
que ela e´ uma proposic¸a˜o falsa e utilizaremos v(p) = F para simbolizar este
fato. Assim, nos exemplos acima, temos:
v(p1) = V, v(p2) = F e v(p3) = V
Existem dois princ´ıpios ba´sicos na lo´gica matema´tica:
1. Princ´ıpio da na˜o contradic¸a˜o: Toda proposic¸a˜o tem um u´nico valor
lo´gico
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 31
2. Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Uma proposic¸a˜o tem valor lo´gico V ou
F e na˜o ha´ outra alternativa.
Para formular proposic¸o˜es podemos utilizar o que denominamos conec-
tivos lo´gicos. Os principais conectivos lo´gicos sa˜o:
∧ , ∨ , ∼ , −→ e ←→
Quando combinamos proposic¸o˜es e conectivos lo´gicos apropriadamente pode-
mos encontrar outras proposic¸o˜es. Uma proposic¸a˜o assim obtida e´ denom-
inada proposic¸a˜o composta. Assim, os conectivos lo´gicos podem ser vistos
como operac¸o˜es no conjunto das proposic¸o˜es.
Para se determinar o valor lo´gico de uma proposic¸a˜o composta muitas
vezes e´ conveniente utilizar uma forma organizada que denominaremos tabela-
verdade. A seguir construiremos algumas tabelas-verdades utilizando conec-
tivos lo´gicos.
1. Negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o
A negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o p e´ a proposic¸a˜o
∼ p (na˜o p)
que tem valor lo´gico definido pela tabela-verdade abaixo:
p ∼ p
V F
F V
Assim, a negac¸a˜o da proposic¸a˜o p e´ a proposic¸a˜o ∼ p cujo valor lo´gico
e´ V se v(p) = F e e´ F se v(p) = V .
Exemplo: p : x ∈ A ∼ p : x /∈ A
2. Conjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es:
A conjunc¸a˜o das duas proposic¸o˜es p e q e´ a proposic¸a˜o
p ∧ q (p e q)
cujo valor lo´gico e´ definido pela seguinte tabela-verdade:
32 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Assim, a conjunc¸a˜o p ∧ q das proposic¸o˜es p e q so´ e´ verdadeira se cada
uma das proposic¸o˜es p e q for verdadeira.
Podemos associar a conjunc¸a˜o de proposic¸o˜es a` intersecc¸a˜o de conjun-
tos: sejam A e B conjuntos quaisquer, enta˜o,
A ∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
EXEMPLO 1.9.
p: A func¸a˜o f : X −→ Y e´ uma func¸a˜o injetiva.
q: A func¸a˜o f : X −→ Y e´ uma func¸a˜o sobrejetiva.
Enta˜o,
p ∧ q: A func¸a˜o f : X −→ Y e´ uma func¸a˜o bijetiva.
3. Disjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es:
A disjunc¸a˜o das duas proposic¸o˜es p e q e´ a proposic¸a˜o
p ∨ q (p ou q)
cujo valor lo´gico e´ definido pela seguinte tabela-verdade:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Assim, a disjunc¸a˜o p ∨ q das proposic¸o˜es p e q so´ e´ falsa se cada uma
das proposic¸o˜es p e q for falsa.
Podemos associar a disjunc¸a˜o de proposic¸o˜es a` unia˜o de conjuntos:
sejam A e B conjuntos quaisquer, enta˜o,
A ∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 33
EXEMPLO 1.10.
p : x ∈ A ; q : x ∈ B. Se v(p) = F e v(q) = V enta˜o v(p ∨ q) = V
EXEMPLO 1.11.
Dadas as proposic¸o˜es p e q, a tabela verdade da proposic¸a˜o p ∨ ( ∼ q)
e´:
p q ∼ q p ∨ ( ∼ q)
V V F V
V F V V
F V F F
F F V V
4. Condicional de duas proposic¸o˜es:
A condicional das duas proposic¸o˜es p e q e´ a proposic¸a˜o
p −→ q (p implica q ou se p enta˜o q)
cujo valor lo´gico e´ definido pela seguinte tabela-verdade:
p q p −→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Assim, a proposic¸a˜o p −→ q so´ e´ falsa se p for verdadeira e q for falsa.
A tabela verdade da negac¸a˜o da proposic¸a˜o p −→ q e´:
p q p −→ q ∼ (p −→ q)
V V V F
V F F V
F V V F
F F V F
34 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
EXEMPLO 1.12.
Dadas tres proposic¸o˜es p, q e r, a proposic¸a˜o (p∧q) −→ r tem a seguinte
tabela-verdade
p q p ∧ q r p ∧ q −→ r
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
V V V F F
V F F F V
F V F F V
F F F F V
Assim, a proposic¸a˜o (p ∧ q) −→ r (se p ∧ q enta˜o r) so´ e´ falsa quando
p e q sa˜o verdadeiras e r e´ falsa.
5. Bicondicional de duas proposic¸o˜es:
A bicondicional das duas proposic¸o˜es p e q e´ a proposic¸a˜o
p←→ q (p se, e somente se q)
cujo valor lo´gico e´ definido pela seguinte tabela-verdade:
p q p←→ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Assim, a proposic¸a˜o p←→ q (p se, e somente se q) e´ verdadeira somente
quando ambas as proposic¸o˜es p e q forem verdadeiras ou ambas forem
falsas.
Tautologias e Contradic¸o˜es
Uma proposic¸a˜o composta e´ uma tautologia quando o se valor lo´gico for
sempre verdadeiro, independentemente dos valores lo´gicos de suas proposic¸o˜es
componentes.
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 35
EXEMPLO 1.13.
p ∨ ( ∼ p) e´ uma tautologia (Verifique!)
Uma proposic¸a˜o composta e´ uma contradic¸a˜o quando o se valor lo´gico
for sempre falso, independentemente dos valores lo´gicos de suas proposic¸o˜es
componentes.
EXEMPLO 1.14.
p ∧ ( ∼ p) e´ uma contradic¸a˜o (Verifique!)
Dadas as proposic¸o˜es compostas p e q, dizemos que ha´ uma implicac¸a˜o
lo´gica entre p e q ou que p implica logicamente q quando a proposic¸a˜o condi-
cional p −→ q e´ uma tautologia. Neste caso, usaremos a notac¸a˜o p =⇒ q.
Cuidado: Os s´ımbolos −→ e =⇒ que utilizamos aqui entre proposic¸o˜es
teˆm significados diferentes.
O s´ımbolo −→ e´ um conectivo que utilizado entre duas proposic¸o˜es p e
q da´ origem a uma nova proposic¸a˜o p −→ q cujo valor lo´gico pode ser tanto
verdadeiro quanto falso.
O s´ımbolo =⇒ e´ um conectivo que utilizado entre duas proposic¸o˜es p e q
indica que a proposic¸a˜o p −→ q tem valor lo´gico verdadeiro, ou seja, e´ uma
tautologia.
EXEMPLO 1.15.
p ∧ q −→ p e´ uma tautologia. Portanto p ∧ q =⇒ p. De fato, a tabela
verdade de p ∧ q −→ p e´ a seguinte:
p q p ∧ q p ∧ q −→ p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Dadas as proposic¸o˜es compostas p e q, dizemos que ha´ uma equivaleˆncia
lo´gica entre p e q ou que p e´ logicamente equivalente a q se v(p) = v(q). Neste
caso, utilizamos a notac¸a˜o p⇐⇒ q.
36 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
EXEMPLO 1.16.
(p −→ q) ∧ (q −→ p)⇐⇒ (p←→ q)
Observando a tabela-verdade
p q p −→ q q −→ p (p −→ q) ∧ (q −→ p) p←→ q
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
Vemos que a proposic¸a˜o acima e´ uma equivaleˆncia lo´gica.
Cuidado: Novamente observamos que os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒ que uti-
lizamos aqui teˆm significados diferentes:
p⇐⇒ q se a proposic¸a˜o p←→ q e´ uma tautologia, isto e´, tem valor lo´gico
sempre verdadeiro.
EXEMPLO 1.17.
(p ∧ q)⇐⇒ [ ∼ ( ∼ p ∨ ∼ q)]
Verifique isto construindo a tabela-verdade.
Negac¸a˜o de proposic¸o˜es compostas
Considere as proposic¸o˜es p e q
1. As proposic¸o˜es p e ( ∼ ( ∼ p)) sa˜o logicamente equivalentes, isto e´
p⇐⇒ ( ∼ ( ∼ p)).
De fato, observe a tabela-verdade seguinte
p ∼ p ( ∼ ( ∼ p))
V F V
F V F
Vemos que a proposic¸a˜o p ←→ ( ∼ ( ∼ p)) e´ uma equivaleˆncia
lo´gica. Assim, a negac¸a˜o da negac¸a˜o e´ logicamente equivalente a` pro´pria
proposic¸a˜o.
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 37
2. As proposic¸o˜es ∼ (p∧q) e ( ∼ p) ∨ ( ∼ q) sa˜o logicamente equivalentes,
isto e´,
∼ (p ∧ q) ⇐⇒ ( ∼ p) ∨ ( ∼ q)
De fato, observe a tabela verdade seguinte
p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q ( ∼ p) ∨ ( ∼ q)
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
Vemos que a proposiac¸a˜o acima e´ uma equivaleˆncia lo´gica.
3. As proposic¸o˜es ∼ (p∨q) e (∼ p)∧ ( ∼ q) sa˜o logicamente equivalentes,
isto e´,
∼ (p ∨ q) ⇐⇒ (∼ p) ∧ ( ∼q)
(Verifique isto!)
4. As proposic¸o˜es ( ∼ p −→ q) e p∧ ( ∼ q) sa˜o logicamente equivalentes,
isto e´,
( ∼ p −→ q) ⇐⇒ p ∧ ( ∼ q)
(Verifique isto!)
Proposic¸o˜es associadas a` proposic¸a˜o condicional
Considere a proposic¸a˜o condicional p −→ q. Podemos associar as seguintes
proposic¸o˜es:
1. A proposic¸a˜o rec´ıproca: q −→ p
2. A proposic¸a˜o contrapositiva: ( ∼ p) −→ ( ∼ q)
3. A proposic¸a˜o inversa: ( ∼ p) −→ ( ∼ q)
Observe que a proposic¸a˜o contrapositiva e´ logicamente equivalente a` proposic¸a˜o
original, isto e´,
(p −→ q) ⇐⇒ ( ∼ q) −→ ( ∼ p)
De fato, basta observar a seguinte tabela verdade:
38 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
p q p −→ q ∼ q ∼ p ( ∼ q) −→ ( ∼ p)
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
EXERCI´CIOS 1.5.
1. Dadas as proposic¸o˜es p e q, construir a tabela verdade das seguintes
proposic¸o˜es:
(a) p ∨ ( ∼ p)
(b) p ∧ ( ∼ p)
(c) p ∨ ( ∼ q)
(d) p ∧ ( ∼ q)
(e) ( ∼ p) ∨ ( ∼ q)
(f) ( ∼ p) ∧ ( ∼ q)
No quadro seguinte, p, q e r sa˜o proposic¸o˜es quaisqeur τ e´ uma tautologia
e γ e´ uma contradic¸a˜o
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 39
Quadro Resumo
Dupla Negac¸a˜o ∼ ( ∼ p) ⇐⇒ p
Leis Idenpotentes
{
p ∧ p ⇐⇒ p
p ∨ p ⇐⇒ p
Leis Comutativas
{
p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p
p ∨ q ⇐⇒ q ∧ p
Leis Associativas
{
p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r
Leis Distributivas
{
p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Leis de De Morgan
{ ∼ (p ∨ q) ⇐⇒ ( ∼ p) ∧ ( ∼ q)
∼ (p ∧ q) ⇐⇒ ( ∼ p) ∨ ( ∼ q)
Leis de Identidade

p ∨ γ ⇐⇒ p
p ∧ γ ⇐⇒ γ
p ∧ τ ⇐⇒ p
p ∨ τ ⇐⇒ τ
Leis Complementares

p ∨ ( ∼ p) ⇐⇒ τ
p ∧ ( ∼ p) ⇐⇒ γ
( ∼ τ) ⇐⇒ γ
( ∼ γ) ⇐⇒ τ
Condicional

p −→ q ⇐⇒ ∼ (p∧ ∼ q)⇐⇒ ( ∼ p) ∨ q
p −→ q ⇐⇒ ( ∼ q) −→ ( ∼ p)
∼ (p −→ q)⇐⇒ (p∧ ∼ q)
Bicondicional
{
p←→ q ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ p)
∼ (p←→ q) ⇐⇒ p←→ ( ∼ q)⇐⇒ ( ∼ p) −→ q)
40 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
O que e´ um teorema?
Na linguagem da Matema´tica utilizamos a lo´gica formal para comunicar
resultados. Para se identificar os objetos com os quais vamos lidar, utilizamos
as definic¸o˜es.
Uma definic¸a˜o relaciona o objeto a ser definido com outros ja´ conhecidos.
Desta forma, podemos perceber que alguns objetos iniciais na˜o podem ser
definidos. Estes sa˜o denominados objetos primitivos. Por exemplo: o ponto,
a reta, o plano sa˜o objetos primitivos na Geometria Euclidiana.
Uma proposic¸a˜o tautolo´gica envolvendo os objetos primitivos que na˜o
decorre de outras proposic¸o˜es sa˜o denominadas axiomas. Poder´ıamos dizer
que um axioma e´ uma tautologia primitiva aceita sem questionamento.
Um teorema e´ uma implicac¸a˜o lo´gica onde a primeira proposic¸a˜o desta
implicac¸a˜o e´ denominada hipo´tese, e a segunda e´ denominada tese. Em outras
palavras, um teorema e´ uma proposic¸a˜o da forma
h =⇒ t
onde h e´ a hipo´tese e t e´ a tese. Lembrando-se que dizer que h =⇒ t e´
o mesmo que dizer que a proposic¸a˜o h −→ t e´ uma tautologia, isto e´, na˜o
pode ocorrer que o valor lo´gico de h seja verdadeiro e o valor lo´gico de t
seja falso. Isto significa que se v(h) = V enta˜o v(t) = V . Assim, para se
verificar a validade de um teorema, isto e´, demonstra´-lo, e´ preciso garantir a
veracidade da tese sempre que a hipo´tese seja verdadeira. Isto pode ser feito
utilizando-se uma das treˆs alternativas seguintes.
1. Demonstrac¸a˜o direta: Supor a hipo´tese verdadeira e concluir que a tese
e´ verdadeira.
2. Demonstrac¸a˜o por absurdo: Supor a hipo´tese verdadeira, a tese falsa e
concluir uma contradic¸a˜o.
3. Demonstrac¸a˜o indireta: Supor a tese falsa e concluir que a hipo´tese e´
falsa.
De acordo com cada situac¸a˜o, uma destas treˆs alternativas e´ mais conve-
niente ou menos conveniente.
Vamos exemplificar isto com o teorema seguinte:
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 41
TEOREMA 1.3. Sejam A, B e C treˆs conjuntos . Se A ⊂ B e B ⊂ C
enta˜o A ⊂ C.
A hipo´tese do teorema acima e´ composta por duas proposic¸o˜es p1 e p2,
sendo h = p1 ∧ p2 e p1 : A ⊂ B e p2 : B ⊂ C. A tese e´ a proposic¸a˜o
t : A ⊂ C.
1. Demonstrac¸a˜o direta
Se h = p1 ∧ p2 e´ verdadeira enta˜o p1 e´ verdadeira e p2 e´ verdadeira.
Isto e´, estamos supondo que A ⊂ B e B ⊂ C. Assim, se x ∈ A enta˜o
x ∈ B e, como B ⊂ C, temos que x ∈ C. Portanto, para todo x ∈ A
necessariamente x ∈ C. Logo A ⊂ C, o que garante que t e´ verdadeira.
2. Demonstrac¸a˜o por absurdo
Vamos supor t falsa, isto e´, A na˜o esta´ contido em C. Neste caso,
necessariamente existe x ∈ A tal que x /∈ C. Mas vamos tambe´m
supor h verdadeira, isto e´, A ⊂ B e B ⊂ C. Logo se x ∈ A enta˜o
x ∈ B e, portanto x ∈ C. Conclu´ımos que x ∈ C e que x /∈ C.
Assim, se p e´ a proposic¸a˜o x ∈ C enta˜o, a proposic¸a˜o p∧ ( ∼; p) e´ uma
contradic¸a˜o.
3. Demonstrac¸a˜o indireta
Vamos supor t falsa e concluir que h e´ falsa. Ora, se t e´ falsa enta˜o A
na˜o esta´ contido em C. Logo, existe x ∈ A tal que x /∈ C. Queremos
concluir que h = p1∧ p2 e´ falsa, isto e´, queremos concluir que p1 e´ falsa
ou p2 e´ falsa.
Caso p1 seja verdadeira enta˜o A ⊂ B e, portanto, x ∈ B. Assim, x ∈ B
e x /∈ C, o que garante que B na˜o esta´ contido em B, isto e´, p2 e´ falsa.
Caso p2 seja verdadeira, isto e´, B ⊂ C enta˜o, x /∈ B. Logo x ∈ A e
x /∈ B, o que garante que A na˜o esta´ contido em B, isto e´, p1 e´ falsa.
Em qualquer caso,p1 e´ falsa ou p2 e´ falsa. Logo h = p1 ∧ p2 e´ falsa.
Observe que as treˆs alternativas acima teˆm graus de dificuldades difer-
entes. Isto frequ¨entemente ocorre. Precisamos estar atentos para escolher a
melhor alternativa.
42 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
Argumento
Um argumento e´ uma proposic¸a˜o condicional da forma
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn −→ c
onde p1, p2, . . . , pn e c sa˜o proposic¸o˜es. Neste caso, as proposic¸o˜es p1, p2, . . . , pn
sa˜o denominadas premissas e c e´ denominada conclusa˜o. Dizemos que o ar-
gumento e´ va´lido quando p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn implica logicamente c, isto e´,
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn =⇒ c
No caso contra´rio dizemos que o argumento e´ na˜o va´lido, isto e´ c e´ verdadeira
mas alguma das proposic¸o˜es pi e´ falsa. Um argumento na˜o va´lido tambe´m e´
denominado sofisma ou fala´cia.
Claramente vemos que um argumento p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn −→ c e´ va´lido
se, e somente se, ele e´ uma tautologia.
Sentenc¸a Aberta
Uma sentenc¸a aberta e´ uma proposic¸a˜o que envolve um objeto na˜o expl´ıcito.
Ela pode ser verdadeira ou falsa dependendo da determinac¸a˜o do objeto.
EXEMPLO 1.18.
Considere a proposic¸a˜o
p : x ∈ {1, 2, 3, 4}.
Ora, na˜o podemos afirmar que p e´ verdadeira nem que e´ falsa, depende
da determinac¸a˜o do objeto x. Por exemplo, se x = 3 enta˜o p e´ verdadeira e
se x = 5 enta˜o p e´ falsa. Neste caso, x e´ denominado varia´vel.
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 43
Quantificadores:
Os quantificadores sa˜o expresso˜es que eventualmente ocorrem numa proposic¸a˜o
ligadas a` ide´ia de quantidade. Ha´ dois tipos de quantificadores:
1. Quantificador universal : Observe a seguinte proposic¸a˜o:
p : toda func¸a˜o e´ injetiva
A palavra toda e´ um quantificador chamado universal. Outras formas
do quantificador universal: para todo, qualquer que seja ou qualquer.
Utilizaremos o s´ımbolo ∀ para significar o quantificador universal.
Assim no exemplo acima poder´ıamos escrever:
∀ f ; f e´ injetiva.
2. Quantificador existencial : Observe a proposic¸a˜o seguinte:
q : existem func¸o˜es sobrejetivas.
A palavra existem e´ um quantificador existencial. Outras formas do
quantificador existencial sa˜o: existe algum ou existe pelo menos um.
Utilizaremos o s´ımbolo ∃ para significar o quantificador existencial.
Assim no exemplo anterior poder´ıamos escrever:
∃ f tal que f e´ sobrejetiva.
Negac¸a˜o de proposic¸o˜es envolvendo
quantificadores.
Vamos novamente considerara proposic¸a˜o do exemplo de quantificadores
universais:
p : toda func¸a˜o e´ injetiva.
44 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
O que seria a negac¸a˜o de p? Claramente vemos que sua negac¸a˜o e´:
∼ p : existe uma func¸a˜o que na˜o e´ injetiva.
No exemplo do quantificador existencial:
q : existem func¸o˜es sobrejetivas.
A sua negac¸a˜o seria:
∼ q : todas as func¸o˜es na˜o sa˜o sobrejetivas.
Os exemplos acima evidenciam que para expressar a negac¸a˜o de uma
proposic¸a˜o envolvendo um quantificador universal precisamos utilizar um
quantificaor existencial e vice versa, para expressar uma proposic¸a˜o envol-
vendo uma quantificador existencial precisamos utilizar um quantificador uni-
versal. Na verdade estes exemplos sa˜o casos especiais da situac¸a˜o mais geral
seguinte:
Seja p(x) uma sentenc¸a aberta num conjunto U qualquer. Considere as
proposic¸o˜es:
1. q1 : ∀ x ∈ U ; p(x)
2. q2 : ∃ x ∈ U ; ∼ p(x)
Enta˜o, q2 e´ logicamente equivalente a ∼ q1, isto e´, q2 ⇐⇒ ( ∼ q1), e q1
e´ logicamente equivalente a ∼ q2, isto e´, q1 ⇐⇒ ( ∼ q2).
Contra-exemplo:
Para verificar que uma proposic¸a˜o da forma ( q : ∀ x ∈ U ; p(x)) e´ falsa,
basta mostrar que a sua negac¸a˜o ( ∼ q : ∃ x ∈ U ; ∼ p(x)) e´ verdadeira,
isto e´, existe pelo menos um elemento u ∈ U tal que ∼ p(u) e´ verdadeira, isto
e´, p(u) e´ falsa. Um tal elemento u e´ chamado contra-exemplo da proposic¸a˜o
q.
1.7. UM POUCO DE LINGUAGEM LO´GICA 45
EXEMPLO 1.19.
Considere a proposic¸a˜o (q : ∀ func¸a˜o f ; f e´ injetiva). A sentenc¸a aberta
utilizada aqui e´: p(f) : f e´ injetiva. A func¸a˜o f : {1, 2} −→ {2} definida
por f(1) = f(2) = 2 e´ portanto um contra-exemplo para a proposic¸a˜o q.
EXERCI´CIOS 1.6.
1. Construir a tabela-verdade para as seguintes proposic¸o˜es
a) p ∧ ( ∼ p) d) ( ∼ p) ∨ ( ∼ q) g) ∼ (p ∨ q)
b) p ∨ ( ∼ p) e) p ∧ ( ∼ q) h) ∼ (p ∧ q)
c) (∼ p) ∧ (∼ q) f) (∼ p) ∧ q
2. Construir a tabela-verdade para as seguintes proposic¸o˜es
a) ∼ (p −→ ( ∼ q)) b) (p ∧ q) −→ (p ∨ q)
c) ( ∼ p) −→ (q −→ p) d) (p −→ q) −→ (p ∧ q)
e) (( ∼ p) ∧ r) −→ (q ∨ r)
f) ((p −→ q) ∧ (q −→ r)) −→ (p −→ r)
3. Se v(p −→ q) = F que valor lo´gico pode ter
a) (p −→ q) ∧ r ? e b) (q ∨ r) −→ (p −→ r) ?
4. Construir a tabela-verdade para as seguintes proposic¸o˜es
a) (p ∧ (q ∨ r)) −→ (p −→ (r ∨ q))
b) (q −→ r)←→ ( ∼ q) ∨ r
c) ( ∼ p)∨ ∼ (r ∧ s)
d) ∼ (q ←→ (( ∼ p) ∧ s))
e) (p←→ q) ∨ (q ←→ ( ∼ p))
f) (p←→ q) ∧ (( ∼ r) −→ s)
g) ∼ (( ∼ q) ∧ (p ∧ ( ∼ s)))
h) ( ∼ p) ∨ (q ∧ (r −→ ( ∼ s)))
i) (( ∼ p) ∨ r) −→ (q −→ s)
j) ∼ (( ∼ p) ∨ (q ∧ s)) −→ (r −→ ( ∼ s))
k) ( ∼ q) ∧ ((( ∼ r) ∨ s)←→ (p −→ ( ∼ q)))
l) ∼ (p −→ (q −→ r)) −→ s
46 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
5. Quais das proposic¸o˜es abaixo sa˜o tautologias? Quais sa˜o contradic¸o˜es?
a) ((p ∨ q) −→ ( ∼ p)) −→ (q ∧ p)
b) (p←→ ( ∼ q)) ∨ r
c) ( ∼ r) ∨ (p←→ q)
d) ((p −→ q) −→ r)←→ (p −→ (q −→ r))
e) ( ∼ ( ∼ ( ∼ (p ∧ ( ∼ q))))) ∧ (( ∼ p) ∧ ( ∼ r))
f) ((p ∨ q)←→ (q ∧ p)) −→ ((r ∧ p) ∨ q)
g) (p −→ (q −→ r)) −→ ((p ∧ (q ∧ r)) −→ (p ∧ (q ∨ r)))
h) ( ∼ p)←→ (q ∨ (( ∼ r) −→ s))
i) ( ∼ ( ∼ (p ∧ q)))←→ (( ∼ p) ∨ ( ∼ q))
j) (p −→ q) −→ ((q −→ r) −→ (p −→ r))
6. Mostre que
a) ∼ (p ∧ q ∧ r)⇐⇒ (( ∼ p) ∨ ( ∼ q) ∨ ( ∼ r))
b) ∼ (p ∨ q ∨ r)⇐⇒ (( ∼ p) ∧ ( ∼ q) ∧ ( ∼ r))
c) ∼ (p←→ q)⇐⇒ (p←→ ( ∼ q))⇐⇒ (( ∼ p)←→ q)
d) ((p←→ q)←→ r)⇐⇒ (p←→ (q ←→ r))
e) (p ∧ (p ∨ q))⇐⇒ p
f) (p ∧ (p ∧ q))⇐⇒ p
1.8. APEˆNDICE DO CAPI´TULO I 47
1.8 Apeˆndice do Cap´ıtulo I
Notas Bibliogra´ficas
Apresentamos neste apeˆndice uma curta biografia dos principais pen-
sadores que contribu´ıram para o desenvolvimento da lo´gica matema´tica. Es-
paramos que isto motive o leitor a um estudo mais aprofundado sobre os
seus pensamentos. A fonte utilizada para estas biografias foi Wikipe´dia, a
enciclope´dia livre - na Internet
Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (Sa˜o Petersburgo, 3 de
Marc¸o de 1845 - Halle, Alemanha, 6 de Janeiro de 1918) foi um matema´tico
alema˜o de origem russa conhecido por ter criado a moderna Teoria dos con-
juntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de nu´mero trans-
finito, incluindo as classes nume´ricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo
a diferenc¸a entre estes dois conceitos que colocam novos problemas quando
se referem a conjuntos infinitos.
Nasceu em Sa˜o Petersburgo (Ru´ssia), filho de um comerciante dinamar-
queˆs, Geor Waldemar Cantor, e de uma mu´sica russa, Maria Anna Bo¨hm.
Em 1856 a sua famı´lia mudou-se para a Alemanha, continuando a´ı os seus
estudos. Estudou na Escola Polite´cnica de Zurique. Doutorou-se na Uni-
versidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst Kummer, Karl
Weierstrass e Leopold Kronecker.
Em 1872 foi docente na Universidade alema˜ de Halle, onde obte´m o t´ıtulo
de professor em 1879. Toda a sua vida ira´ tentar em va˜o deixar Halle, tendo
acabado por pensar que era v´ıtima de uma conspirac¸a˜o.
Cantor provou que os grupos infinitos na˜o teˆm todos a mesma poteˆncia
(poteˆncia significando ”tamanho”). Fez a distinc¸a˜o entre grupos numera´veis
(ou enumera´veis) (em ingleˆs chamam-se countable - que se podem contar)
e grupos cont´ınuos (em ingleˆs uncountable - que na˜o se podem contar).
48 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
Provou que o conjunto dos nu´meros racionais Q e´ (e)numera´vel, enquanto
que o conjunto dos nu´meros reais IR e´ cont´ınuo (logo, maior que o ante-
rior). Na demonstrac¸a˜o foi utilizado o ce´lebre argumento da diagonal de
Cantor ou me´todo diagonal. Nos u´ltimos anos de vida tentou provar, sem
o conseguir, a ”hipo´tese do cont´ınuo”, ou seja, que na˜o existem conjuntos
de poteˆncia interme´dia entre os numera´veis e os cont´ınuos - em 1963, Paul
Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipo´tese. Em 1897, Can-
tor descobriu va´rios paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele
que utilizou pela primeira vez o s´ımbolo IR para representar o conjunto dos
nu´meros reais.
Durante a u´ltima metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques
de depressa˜o, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forc¸ou a
ficar hospitalizado va´rias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje
em dia, um transtorno bipolar - vulgo man´ıaco-depressivo. A descoberta
do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual na˜o
chegou a se recuperar. Comec¸ou, enta˜o, a se interessar por literatura e re-
ligia˜o. Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que identificava a
Deus. Ficou na penu´ria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num
hospital psiquia´trico em Halle.
Os conceitos matema´ticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram
uma resisteˆncia significativa por parte da comunidade matema´tica da e´poca.
Os matema´ticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho de-
senvolvido por Cantor na sua Teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como
uma mudanc¸a de paradigma da maior importaˆncia.
Nas palavras de David Hilbert:
”Ningue´m nos podera´ expulsar do Para´ıso que Cantor criou.”
Dirichlet
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 de fevereiro de 1805,
Du¨ren - 5 de maio de 1859, Go¨ttingen) foi um matema´tico alema˜o a quem
se atribui a moderna definic¸a˜o formal de func¸a˜o.
1.8. APEˆNDICE DO CAPI´TULO I 49
Sua famı´lia era origina´ria da cidade de Richelet, na Be´lgica, origem de
seu apelido ”Lejeune Dirichlet”(”o jovem de Richelet”).
Dirichlet nesceu em Du¨ren, onde seu pai era chefe dos Correios. Foi
educado na Alemanha e na Franc¸a, onde foi aluno dos mais renomados
matema´ticos da e´poca. Sua primeira publicac¸a˜o foi sobre o U´ltimo teorema
de Fermat, a famosa conjectura (hoje provada) que afirma que para n > 2,
a equac¸a˜o xn+ yn = zn na˜o possui soluc¸o˜es inteiras, com excec¸a˜o da soluc¸a˜o
trivial em que x, y ou z e´ zero, para a qual concebeu uma prova parcial
para n = 5, que foi completadapor Adrien-Marie Legendre, que foi um dos
avaliadores. Dirichlet tambe´m completou sua pro´pria demonstrac¸a˜o quase
ao mesmo tempo; mais tarde, ele tambe´m forneceu uma prova completa para
o caso de n = 14.
Casou-se com Rebecca Mendelssohn, origina´ria de uma distinta famı´lia, a
neta do filo´sofo Moses Mendelssohn e irma˜ do compositor Felix Mendelssohn.
Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker e Rudolf Lipschitz foram seus
alunos. Apo´s sua morte, os escritos de Dirichlet e outros resultados em teoria
dos nu´meros foram coletados, editados e publicados por seu amigo e colega
matema´tico Richard Dedekind sob o t´ıtulo Vorlesungen u¨ber Zahlentheorie
(Confereˆncias sobre Teoria de Nu´meros).
Aristo´teles
Aristo´teles nasceu em Estagira, na Calc´ıdica. Apesar de ser na Macedoˆ-
nia, o grego era o idioma falado. Era filho de Nicoˆmaco, amigo e me´dico
pessoal do rei macedoˆnio Amintas II, pai de Filipe II da Macedoˆnia e avoˆ de
Alexandre, o Grande. E´ prova´vel que o interesse de Aristo´teles por biologia
e fisiologia decorra da atividade me´dica exercida pelo pai.
Com cerca de 16 ou 17 anos partiu para Atenas, maior centro intelectual
e art´ıstico da Gre´cia. Como muitos outros jovens de seu tempo, foi para la´
prosseguir os estudos. Duas grandes instituic¸o˜es disputavam a prefereˆncia
dos jovens: a escola de Iso´crates, que visava preparar o aluno para a vida
50 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
pol´ıtica, e Plata˜o e sua Academia, com prefereˆncia a` cieˆncia (episteme) como
fundamento da realidade. Apesar do aviso de quem na˜o conhecesse Geome-
tria ali na˜o deveria entrar, Aristo´teles decidiu-se pela Academia platoˆnica e
nela permaneceu 20 anos, ate´ 347 a.C., ano que morreu Plata˜o.
Com a morte de grande mestre e com a escolha do sobrinho de Plata˜o, Es-
peusipo, para a chefia da Academia, Aristo´teles partiu para Assos com alguns
ex-alunos. Dois fatos parecem se relacionar com esse episo´dio: Espeusipo
representava uma tendeˆncia que desagradava imensamente Aristo´teles, isto
e´, a matematizac¸a˜o da filosofia; e Aristo´teles ter-se sentido preterido (ou re-
jeitado), ja´ que se julgava o mais apto para assumir a direc¸a˜o da Academia.
Em Assos, Aristo´teles fundou um pequeno c´ırculo filoso´fico com a ajuda
de He´rmias, tirano local e eventual ouvinte de Plata˜o. La´ ficou por treˆs anos e
casou-se com P´ıtias, sobrinha de He´rmias. Assassinado He´rmias, Aristo´teles
partiu para Mitilene, na ilha de Lesbos, onde realizou a maior parte de suas
famosas investigac¸o˜es biolo´gicas. No ano de 343 a.C. chamado por Filipe II,
tornou-se preceptor de Alexandre, func¸a˜o que exerceu ate´ 336 a.C., quando
Alexandre subiu ao trono.
Neste mesmo ano, de volta a Atenas, fundou o �Lykeion�, origem da
palavra Liceu cujos alunos ficaram conhecidos como peripate´ticos (os que
passeiam), nome decorrente do ha´bito de Aristo´teles de ensinar ao ar livre,
muitas vezes sob as a´rvores que cercavam o Liceu. Ao contra´rio da Academia
de Plata˜o, o Liceu privilegiava as cieˆncias naturais. Alexandre mesmo enviava
ao mestre exemplares da fauna e flora das regio˜es conquistadas. Seu trabalho
cobria os campos do conhecimento cla´ssico de enta˜o: filosofia, metaf´ısica,
lo´gica, e´tica, pol´ıtica, reto´rica, poesia, biologia, zoologia, medicina e na˜o so´
estabeleceu as bases de tais disciplinas quanto sua metodologia cient´ıfica.
Aristo´teles dirigiu a escola ate´ 323 a.C., pouco depois da morte de Alexan-
dre. Os sentimentos antimacedoˆnios dos atenienses voltaram-se contra ele
que, sentindo-se ameac¸ado, deixou Atenas afirmando na˜o permitir que a
cidade cometesse um segundo crime contra a filosofia (alusa˜o ao julgamento
de So´crates). Deixou a escola aos cuidados de seu principal disc´ıpulo, Te-
ofrasto (371 a.C. - 287 a.C.) e retirou-se para Ca´lcis, na Eube´ia, onde morreu
no ano seguinte.
A tradic¸a˜o representa um elemento vital para a compreensa˜o da filosofia
aristote´lica. Em certo sentido, Aristo´teles via seu pro´prio pensamento como o
ponto culminante do processo desencadeado por Tales de Mileto. Sua filosofia
pretendia na˜o apenas rever como tambe´m corrigir as falhas e imperfeic¸o˜es
das filosofias anteriores. Ao mesmo tempo, trilhou novos caminhos para
1.8. APEˆNDICE DO CAPI´TULO I 51
fundamentar suas cr´ıticas, reviso˜es e novas proposic¸o˜es.
Para Aristo´teles, a Lo´gica e´ um instrumento, uma propedeˆutica para as
cieˆncias e para o conhecimento e baseia-se no silogismo, o racioc´ınio formal-
mente estruturado que supo˜e certas premissas colocadas previamente para que
haja uma conclusa˜o necessa´ria. O silogismo parte do universal para o par-
ticular; a induc¸a˜o, ao contra´rio, parte do particular para o universal. Dessa
forma, se forem verdadeiras as premissas, a conclusa˜o, logicamente, tambe´m
o sera´.
Gottfried Leibniz
GottfriedWilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 - Hanoˆver,
14 de novembro de 1716) foi um filo´sofo, cientista, matema´tico, diplomata e
biblioteca´rio alema˜o.
A ele e´ atribu´ıda a criac¸a˜o do termo ”func¸a˜o”(1694), que usou para de-
screver uma quantidade relacionada a uma curva, como, por exemplo, a
sua inclinac¸a˜o ou um ponto qualquer situado nela. E´ creditado a Leibniz
e a Newton, o desenvolvimento do ca´lculo moderno, em particular por seu
desenvolvimento da Integral e da Regra do Produto. Demonstrou geniali-
dade tambe´m nos campos da lei, religia˜o, pol´ıtica, histo´ria, literatura, lo´gica,
metaf´ısica e filosofia.
O´rfa˜o de ma˜e aos seis anos, Leibniz foi educado por seu pai, professor de
filosofia moral. Em 1663 ingressa na Universidade de Leipzig, como estudante
de Direito. Em 1666 obte´m o grau de doutor em direito, em Nuremberg,
por seu ensaio prenunciando uma das mais importantes doutrinas da sua
posterior filosofia. Nessa e´poca afilia-se a` Sociedade Rosacruz, da qual sera´
secreta´rio durante dois anos. Foi o primeiro a perceber que a anatomia da
lo´gica - ”as leis do pensamento- e´ assunto de ana´lise combinato´ria. Em
1666 escreveu De Arte Combinatoria, no qual formulou um modelo que e´ o
precursor teo´rico de computac¸a˜o moderna: todo racioc´ınio, toda descoberta,
verbal ou na˜o, e´ redut´ıvel a uma combinac¸a˜o ordenada de elementos tais
como nu´meros, palavras, sons ou cores.
Na sua visa˜o da existeˆncia de uma ”caracter´ıstica universal”, Leibniz
encontrava-se dois se´culos a` frente de sua e´poca, no que concerne a` matema´tica
52 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E LINGUAGEM LO´GICA
e a` lo´gica.
Aos 22 anos, foi-lhe recusado o grau de doutor, alegando-se sua juventude.
Tinha vinte e seis anos, quando passou a ter aulas com Christiaan Huygens,
cujos melhores trabalhos tratam da teoria ondulato´ria da luz. A maior parte
dos pape´is em que rascunhava suas ide´ias, nunca revisando, muito menos pub-
licando, encontra-se na Biblioteca Real de Hanoˆver aguardando o paciente
trabalho de estudantes. Leibniz criou uma ma´quina de calcular, superior a`
que fora criada por Pascal, fazendo as quatro operac¸o˜es.
Em Londres, compareceu a encontros da Royal Society, em que exibiu sua
ma´quina de calcular, sendo eleito membro estrangeiro da Sociedade antes de
sua volta a Paris em marc¸o de 1673. Em 1676, ja´ tinha desenvolvido algumas
fo´rmulas elementares do ca´lculo e tinha descoberto o teorema fundamental
do ca´lculo, que so´ foi publicado em 11 de julho de 1677, onze anos depois
da descoberta na˜o publicada de Newton. No per´ıodo entre 1677 e 1704, o
ca´lculo leibniziano foi desenvolvido como instrumento de real forc¸a e fa´cil
aplicabilidade no continente, enquanto na Inglaterra, devido a` relutaˆncia de
Newton em dividir suas descobertas matema´ticas, o ca´lculo continuava uma
curiosidade relativamente na˜o procurada.
Durante toda a sua vida, paralelamente a` Matema´tica, Leibniz trabal-
hou para aristocratas, buscando em suas genealogias provas legais