Probabilidade Condicional

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Probabilidade Condicional 
 
 A probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição de o evento B já ter ocorrido é 
chamada de probabilidade condicional de A e sua notação é P(AǀB). Para calcular P(AǀB) fazemos o 
seguinte raciocínio: - se o evento B já ocorreu, então o resultado do experimento foi um ponto de B, 
logo o novo espaço amostral fica reduzido ao evento B, então, devemos verificar quantos pontos de B 
pertencem também ao evento A (esses pontos estão em A  B) para calcularmos essa probabilidade. 
 
P A B
P A B
P B
( / )
( )
( )


 , desde que P(B) > 0 
 
Teorema do Produto P(A  B) = P(AǀB) . P(B) 
 
Exemplos: 
1 - Consideremos o experimento aleatório de sortear uma bola de uma urna que contém 10 bolas 
numeradas de 0 a 9, portanto, o espaço amostral desse experimento fica: 
 
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Definindo os eventos: A = {0, 1, 3, 6}, B = {3, 4, 5, 8, 9}, 
C = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, e A  B = {3}, A  C = {1, 3}, B  C = {3, 4, 5}, onde 
 
P(A) = 4
10
 P(B) = 5
10
 P(C) = 6
10
 P(A  B) = 1
10
 P(A  C) = 2
10
 
P(B  C) = 3
10 
 Então: 
P A B
P A B
P B
  


 
 
  
1
5
1 10
5 10
 
 
2 - Um determinado grupo de pessoas tem 70 homens e 30 mulheres. Sabe-se que 55 desses homens 
e 20 dessas mulheres votaram numa determinada eleição. Tomando-se aleatoriamente uma dessas 
pessoas, calcule a probabilidade de: 
a) ser homem; f) ser mulher ou não ter votado 
b) ser mulher; g) ser homem sabendo-se que votou; 
c) ter votado; h) ser mulher sabendo-se que não votou; 
d) não ter votado; i) ter votado sabendo-se que é mulher; 
e) ser homem e ter votado j) não ter votado sabendo-se que é homem. 
 
Resolução: Denominemos os eventos como: H = {ser homem}, M = {ser mulher}, V = {ter 
votado} e N = {não ter votado} 
 Esse tipo de problema fica mais fácil e visível quando os dados são colocados em uma 
tabela tipo a que apresentamos a seguir: 
 
 H M Totais 
V 55 20 75 
N 15 10 25 
 70 30 100 
 
 
a) P(H) = 
10
7
100
70

 b) P(M) = 30
100
3
10

 
c) P(V) = 
75
100
3
4

 d) P(N) = 
25
100
1
4

 
e) P(H  V) = 
20
11
100
55

 f) P(M  N) = 
20
9
100
45
100
10
100
25
100
30

 
g) P(H/V) = 55
75
11
15

 h) P(M/N) = 
5
2
25
10

 
i) P(V/M) = 
20
30
2
3

 j) P(N/H) = 
15
70
3
14

 
 
 
Independência de eventos 
 
 Se a probabilidade de ocorrência de um evento B não é afetada pela ocorrência ou não de um 
evento A, isto é, se P(BǀA) = P(B), dizemos que A e B são eventos independentes. Isto quer dizer que a 
ocorrência de um não depende (ou não e´ condicionada, ou não se vincula) da ocorrência do outro. 
Portanto dois eventos são chamados de independentes se satisfazem as seguintes condições: 
 
 P(BǀA) = P(B) ou P(AǀB) = P(A) 
 
Para o caso de dois eventos independentes o teorema do produto é simplificado. 
P(A  B) = P(A) . P(B) 
 
Exemplo: - Como exemplo podemos verificar que os eventos B e C do Ex. 1 do item anterior são 
independentes pois: P(B  C) = P(B) . P(C) e P(B/C) = P(B), ou seja: 
 
P(B  C) = P(B) . P(C) = 3
10
5
10
6
10
30
100
3
10
  x
 
P(B/C) = 
3
10
6
10
3
6
1
2
  = P(B). 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
1 - Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo desse lote é 
escolhido ao acaso. Encontre a probabilidade de ocorrerem os seguintes eventos: 
A = {o artigo não tem defeito} 
B = {o artigo não tem defeito grave} 
C = {o artigo é perfeito ou tem defeito grave} 
 
 
2 - Sendo A e B eventos mutuamente exclusivos com probabilidade de ocorrência de 0,4 e 0,6, respectivamente, calcule: 
a) P(A  B); b) P(A  B); c) P(A  B); 
d) P(A  B); e) P(B  A); f) P(B  A). 
 
 
3 - Num experimento aleatório, com 3 eventos definidos (A, B e C), foram obtidas as seguintes probabilidades: P(A  B) 
= 0,8; P(C / A) = 0,6; P(A  C) = 0,3; P( A  B) = 0,4 e P(C) = 0,6. 
 Com base nesses resultados calcule: 
a) P(A); b) P(B); c) P(A  C); 
d) P(A / C); e) P(A / B); f) P(B  A). 
 
 
 
4 - Em um experimento aleatório onde as probabilidades encontradas foram: P(A / B) = 0,45, P(A) = 0,6 e P(B) = 0,5, 
calcule: 
a) P(A  B); b) P(A  B); c) P(B / A); 
d) P(A  B); e) P( A ); f) P(B  A). 
 
 
5- Suponhamos que, em determinadas condições, a probabilidade de um homem, de 50 anos, viver mais 8 anos (evento 
A) seja igual a 0,48, e que a probabilidade de sua mulher, de 48 anos, viver mais 8 anos (evento B) seja igual a 0,62. 
Supondo-se, também, que os eventos sejam independentes, calcule a probabilidade de que: 
a) ambos vivam mais 8 anos; b) somente a esposa viva mais 8 anos; 
c) ambos não vivam mais 8 anos; d) um ou outro (ou ambos) viva mais 8 anos; 
e) o homem viva mais 8 anos sabendo que a mulher viveu. 
 
 
6 - Numa enfermaria existem 8 pacientes do sexo masculino com o quadro clínico estável e 4 com a quadro clínico grave; 
10 pacientes do sexo feminino com o quadro clínico estável e 6 com o quadro clínico grave. Sendo um paciente escolhido 
ao acaso e constatando-se que: 
a) é do sexo masculino, qual a probabilidade de seu quadro clínico ser grave? 
b) seu quadro clínico é estável, qual a probabilidade de que seja do sexo feminino? 
c) é do sexo feminino, qual a probabilidade de seu quadro clínico ser grave? 
d) seu quadro clínico é grave, qual a probabilidade de que seja do sexo feminino? 
 
 
7 - O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 6 homens maiores de 18 anos, 4 homens menores de 18 anos, 7 mulheres 
maiores de 18 anos e 3 mulheres menores de 18 anos. Sendo uma pessoa escolhida ao acaso e definido-se os seguintes 
eventos: 
 A = {a pessoa é maior de 18 anos}; B = {a pessoa é menor de 18 anos}; 
 C = {a pessoa é homem} e D = {a pessoa é mulher}, 
 
calcule: 
a) P(B  D); b) P(B  C); c) P(A  B); d) P(C  A); 
e) P(D / A); f) P (D / C); g) P(D  C). 
 
8 - Suponha que em um determinado departamento de Estatística existe um grupo de 100 alunos, dos sexos masculino 
(M) e feminino (F), distribuídos nas disciplinas de Estatística (E) e Bioestatística (B) conforme o quadro a seguir: 
 
 F M Totais 
E 10 50 60 
B 35 5 40 
Totais 45 55 100 
 
Escolhendo um desses alunos ao acaso, calcule a probabilidade de que ele seja: 
a) da disciplina de Estatística; 
b) do sexo feminino e da disciplina de Bioestatística; 
c) do sexo masculino ou da disciplina de Estatística; 
d) da disciplina de Bioestatística sabendo-se que é do sexo feminino; 
e) do sexo feminino sabendo-se que é da disciplina de Bioestatística: 
f) do sexo feminino ou do sexo masculino;g) da disciplina de Estatística e de Bioestatística. 
 
9 - Uma determinada reunião de pessoas é composta por 10 homens e 21 mulheres, sendo que a metade dos homens e 
dois terços das mulheres têm olhos castanhos. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso: 
a) não ter olhos castanhos; b) ser mulher ou ter olhos castanhos; 
c) ser homem; d) ser mulher sabendo-se que tem olhos castanhos; 
e) ser homem e ter olhos castanhos; f) não ter olhos castanhos sabendo-se que é mulher. 
 
 
10 - A água de um reservatório está contaminada por bacilos. Três tipos de bacilos, A, B ou C, podem estar contaminando 
essa água, cujas probabilidades são, respectivamente 0,2; 0,4 e 0,5. Sabe-se que os bacilos A e B são antagônicos, ou seja, 
não podem ser encontrados juntos e que o bacilo C é independente dos outros dois. Calcule a probabilidade da água estar 
contaminada: 
a) pelos bacilos A ou B; b) pelos bacilos B e C; 
c) pelo bacilo C sabendo-se que está contaminada pelo bacilo A; d) pelos bacilos A ou C. 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1 - P(A) = 5/8 P(B) = 7/8 P(C) = 3/4 
 
 
2 - a) P(A  B) = 1 b) P( A  B) = 0 c) P(A  B) = 0,4 d) P(A / B) = 0 e) P(B  A) = 0,6 f) P(B / A) = 0 
 
3 - a) P(A) = 0,5 b) P(B) = 0,7 c) P(A  C) = 0,8 d) P(A / C) = 0,5 e) P(A / B) = 0,57 f) P(B  A) = 0,3 
 
 
4 - a) P(A  B) = 0,225 b) P(A  B) = 0,875 c) P(B / A) = 0,375 d) P(A  B) = 0,375 
 e) P(
A
) = 0,4 f) P(B  A) = 0,275 
 
5 - a) P(A  B) = 0,2976 b) P(B  A) = P(
BA 
) = 0,3224 c) P(
BA 
) = 0,1976 
 d) P(A  B) = 0,8024 e) P(A / B) = 0,48 
 
6 - a) 1/3 b) 5/9 c) 3/8 d) 3/5 
 
7 - a) P(B  D) = 7/10 b) P(B  C) = 1/5 c) P(A  B) = 0 e) P(C  A) = 1/5 
 f) P(D / A) = 7/13 g) P(D / C) = 0 i) P(D  C) = 1/2 
 
8 - a) 0,6 b) 0,35 c) 0,65 d) 0,78 e) 0,875 f) 1 g) 0 
 
9 - a) 12/31 b) 26/31 c) 10/31 d) 14/19 e) 5/31 f) 1/3 
 
 
10 - a) P(A  B) = 0,6 b) P(B  C) = 0,2) c) P(C / A) = 0,5 d) P(A  C) = 0,6