P2 Fisica 1 Completo UFRJ

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2014/1
SEGUNDA PROVA – 23/05/2014
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um cilindro so´lido rola sem deslizar, com velocidade an-
gular constante, sobre uma superf´ıcie horizontal. Dentre
os diagramas abaixo, I), II), III) e IV), aquele que repre-
senta corretamente os vetores velocidade (indicados por
setas) dos pontos A (topo), C (base) e B (centro), pon-
tos pertencentes a perferia do cilindro (sec¸a˜o reta), em
relac¸a˜o a um referencial fixo na Terra e´
(a) I
(b) II
(c) III
(d) IV
(e) nenhum deles
2. Dois discos de massas m e 3m esta˜o ligados por uma
mola ideal comprimida sobre uma mesa horizontal lisa.
Em um dado instante a forc¸a da mola sobre o primeiro
disco e´ ~Fel e uma forc¸a ~F paralela ao plano da mesa esta´
aplicada sobre o segundo disco, como mostra a figura
(mesa vista de cima). No instante considerado a ace-
lerac¸a˜o do centro de massa do sistema constitu´ıdo pelos
discos e pela mola e´
(a)
~F
4m
;
(b)
~F + ~Fel
4m
;
(c)
~F + 2~Fel
4m
;
(d)
~F − 2~Fel
4m
;
(e)
~F − ~Fel
4m
.
3. Uma esfera oca e r´ıgida de massa M e raio R tem mo-
mento de ine´rcia Icm = (2/3)MR
2 relativo a um eixo
que passa pelo seu centro de massa. Relativamente a
um eixo que tangencia a periferia da esfera e e´ paralelo
ao eixo que passa pelo centro de massa, o momento de
ine´rcia da esfera e´
(a) Icm
(b) (1/3)MR2
(c) (5/3)MR2
(d) (7/10)MR2
(e) 2Icm
1
4. Um sistema e´ constitu´ıdo de treˆs part´ıculas de mesma
massa localizadas nos semi-eixos positivos OX, OY e
OZ a uma mesma distaˆncia a da origem, como indica a
figura. O vetor posic¸a˜o ~rcm do centro de massa do sis-
tema e´
(a)
a
2
(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(b)
a
3
(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(c) a(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(d)
a
6
(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(e)
2a
3
(ˆı+ ˆ+ kˆ).
5. Um carro tem uma roda de massa M e raio R com mo-
mento de ine´rcia Icm = (3/4)MR
2 relativo ao seu eixo
de simetria que passa pelo seu centro de massa. O carro
arranca em movimento retil´ıneo com a roda patinando
na pista de modo que a velocidade ~vcm de seu centro de
massa esteja relacionada com a sua velocidade angular
de rotac¸a˜o ω por meio de vcm = ωR/2. Nesse caso, a
energia cine´tica da roda e´
(a) (1/4)MR2ω2;
(b) (5/4)MR2ω2;
(c) (3/4)MR2ω2
(d) MR2ω2.
(e) (1/2)MR2ω2;
6. Um disco fino e homogeˆneo de raio a encontra-se em re-
pouso sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Num
dado instante aplicam-se na periferia do disco treˆs forc¸as
tangenciais e uma radial, todas de mesma intensidade F
com direc¸o˜es, sentidos e pontos de aplicac¸a˜o conforme
indicados na figura. Nesse instante, o mo´dulo do tor-
que resultante τO em relac¸a˜o ao centro O do disco e´
(a) aF/3;
(b) aF/2;
(c) aF ;
(d) 2aF .
(e) 3aF .
7. Um menino de massa encontra-se parado em uma das
extremidades de um barco que esta´ em um lago tran-
quilo. Inicialmente o conjunto (barco-menino) move-se
com velocidade constante, em relac¸a˜o a um referencial
inercial fixo colocado na margem do lago. Num dado
instante o menino move-se para a outra extremidade do
barco e ao chegar neste lugar ele para. Para o sistema
barco-menino, desprezando-se o atrito entre o barco e a
a´gua, pode-se afirmar que
(a) A sua velocidade antes do menino se movimentar
e´ diferente de depois do menino parar.
(b) A sua velocidade e´ a mesma de antes do in´ıcio do
movimento do menino e depois do menino parar.
(c) A sua velocidade pode ser nula depois do menino
parar.
(d) Na˜o se pode determinar a sua velocidade, pois
na˜o se conhece a velocidade do menino sobre o
barco.
(e) Na˜o se pode determinar a sua velocidade, a me-
nos que sejam conhecidas as massas do menino e
do barco.
8. Um corpo r´ıgido gira em torno de um eixo fixo com velo-
cidade angular constante ω quando, a partir do instante
t = 0, passa a ter uma acelerac¸a˜o angular constante de
mo´dulo α e sentido oposto ao da velocidade angular.
Denotando por t1 o tempo gasto pelo corpo para sua
velocidade angular atingir o valor nulo e por θ1 o seu
deslocamento angular do instante t = 0 ate´ o instante
t1, podemos afirmar que
(a) t1 =
1
ω
e θ1 =
ω2
α
;
(b) t1 =
ω
α
e θ1 =
ω2
α
;
(c) t1 =
α
ω
e θ1 =
ω2
α
;
(d) t1 =
α
ω
e θ1 =
ω2
2α
;
(e) t1 =
ω
α
e θ1 =
ω2
2α
.
2
9. Duas part´ıculas de mesma massa caem verticalmente e
colidem com uma mesa horizontal lisa com a mesma ve-
locidade. Uma das part´ıculas colide ela´sticamente com
a mesa sem sair da vertical e a outra colide de forma to-
talmente inela´stica com a mesa. Denotando por ∆~Pel a
variac¸a˜o do momento linear da primeira part´ıcula na co-
lisa˜o ela´stica, por ∆~Pin a variac¸a˜o do momento linear da
segunda part´ıcula em sua colisa˜o totalmente inela´stica,
podemos afirmar que
(a) ∆~Pel = ∆~Pin
(b) |∆~Pel| < |∆~Pin|
(c) ∆~Pel 6= ~0 e ∆~Pin = ~0
(d) ∆~Pel = 2∆~Pin
(e) ∆~Pel = −2∆~Pin
10. Duas part´ıculas inicialmente separadas sofrem uma co-
lisa˜o totalmente inela´stica na auseˆncia de forc¸as exter-
nas. Pode-se afirmar, sobre o sistema constitu´ıdo pelas
duas part´ıculas, que
(a) a energia cine´tica do centro de massa do sistema
e´ a mesma antes e depois da colisa˜o;
(b) o mo´dulo da velocidade do centro de massa do
sistema e´ menor antes do que depois da colisa˜o;
(c) a energia cine´tica total do sistema e´ a mesma an-
tes e depois da colisa˜o;
(d) o mo´dulo da velocidade do centro de massa do
sistema e´ maior antes do que depois da colisa˜o;
(e) a energia cine´tica total do sistema e´ menor antes
do que depois da colisa˜o.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Treˆs part´ıculas A, B e C, deslizando sobre uma mesa horizontal sem atrito, se aproximam da origem de um sistema de
eixos OXY no plano da mesa. Todas as treˆs part´ıculas atingem a origem simultaneamente e permanecem unidas apo´s
a colisa˜o, sem perder contato com a mesa, deslocando-se ao longo do eixo OX no sentido positivo com velocidade de
mo´dulo V desconhecida. As part´ıculas A, B e C teˆm massas respectivas mA = m, mB = 3m e mc = 4m, onde m e´ uma
constante conhecida. Antes da colisa˜o as part´ıculas teˆm velocidades de mo´dulos respecticos vA = 3v, vB = v e vC = 2v,
onde v e´ uma constante conhecida. A part´ıcula C tem velocidade na direc¸a˜o e sentido do eixo OX e a part´ıcula B tem
velocidade com direc¸a˜o e sentido indicados na figura por meio do aˆngulo conhecido β (0 < β < π/2). A velocidade da
part´ıcula A tem o sentido indicado na figura mas sua direc¸a˜o e´ desconhecida e indicada pelo aˆngulo α (0 < α < π/2) a
ser determinado. Calcule
a) o aˆngulo α;
b) O mo´dulo V da velocidade apo´s a colisa˜o em func¸a˜o de v;
c) a variac¸a˜o da energia cine´tica do sistema formado pelas treˆs part´ıculas no processo de colisa˜o.
2. Um fio inextens´ıvel de massa desprez´ıvel e´ enrolado diversas
vezes em torno da periferia de um cilindro macic¸o de raio
R2, segue horizontalmente ate´ a periferia de outro cilindro
de raio R1, pela qual passa e segue verticalmente, ate´ sua
extremidade, na qual esta´ supenso um bloco de massa m.
Os cil´ındros, cada um tambe´m de massa m, sa˜o homogeˆneos
e podem girar sem atrito, cada um em torno de seu eixo fixo.
O bloco desce verticalmente puxando o fio que fica tenso e
faz os cilindros girarem, sem deslizar sobre suas periferias.
(O momento de ine´rcia de um cilindro homogeˆneo de massa
M e raio R relativo ao seu eixo e´ MR2/2.)
a) Fac¸a um diagrama das forc¸as externas que agem sobre o
cilindro de raio R1.
b)Calcule o mo´dulo da acelerac¸a˜o com que desce o bloco.
c) Obtenha o mo´dulo da acelerac¸a˜o angular de cada cilindro.
d) Calcule o mo´dulo da tensa˜o no trecho vertical do fio e o
mo´dulo da tensa˜o no trecho horizontal do fio.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 23/05/2014
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,8 pontos
Pela conservac¸a˜o do momento linear do sistema, ~Pi = ~Pf , segundo os eixos coordenados OX
e OY ,
pa(cosα ıˆ+ sinα ˆ)− pb(cos β ıˆ+ sinβ ˆ) + pc ıˆ = MV ıˆ
ou seja, 

3mv cosα − 3mv cos β + 4m2v = 8mV (i)
3mvsenα− 3mvsenβ = 0 (ii)
Levando-se em conta os dados fornecidos e a relac¸a˜o (ii) obtemos
m 3v sinα = 3mv sinβ =⇒ sinα = sinβ ∴ α = β.
b) valor=1,2 pontos
Se agora levarmos em conta o u´ltimo resultado onde α = β, e a relac¸a˜o obtida na equac¸a˜o
(i) do sistema de equac¸o˜es, obtemos
(
(
(
((
(
m 3v cosα −
�
�
�
�
��
3mv cos β + 4m 2v = 8mV ∴ V = v.
c) valor=0,5 ponto
Nesse caso que Ki = Ka +Kb +Kc =
1
2
mav
2
a +
1
2
mbv
2
b +
1
2
mcv
2
c e Kf =
1
2
MV 2.
A partir dos dados fornecidos, encontramos Ki =
1
2
{
m 9v2 + 3mv2 + 4m 4v2
}
= 14mv2, en-
quanto Kf =
1
2
8mv2 = 4mv2. Com isso,
∆Kif = Kf −Ki = −10mv
2.
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,4 pontos
As forc¸as que agem sobre o cilindro de raio
R1 esta˜o indicadas na figura. As setas in-
dicam o sentido e direc¸a˜o e acima ou ao lado
delas os seus mo´dulos, como no livro texto.
b) valor=1,7 pontos
Considerando o sentido de cima para baixo para o movimento do bloco e aplicando a segunda
lei de Newton,
• o movimento do bloco sera´ dado por
m~a = ~FR = ~Tb + ~Pb =⇒ Mg − T1 = ma (i)
• para o movimento de rotac¸a˜o do primeiro cilindro, considerando como positivo o sentido
anti-hora´rio de rotac¸a˜o e calculando os torques em relac¸a˜o ao seu centro encontramos a relac¸a˜o
I1~α1 = ~τR = ~τF1 + ~τP1 + ~τT1 + ~τT2 ou seja,
I1α1 = R1(T1 − T2) (ii),
• analogamente para o movimento de rotac¸a˜o do segundo cilindro encontramos,
I2~α2 = ~τR = ~τF2 + ~τP2 + ~τT2 o que resulta em ter
I2α2 = R2T2 (iii)
Neste ponto devemos observar que a presenc¸a do fio acarreta a condic¸a˜o de v´ınculo
a = α1R1 = α2R2
Ao utilizarmos as relac¸o˜es acima, (i), (ii) e (iii) e a condic¸a˜o de v´ınculo obtemos o sistema
de equac¸o˜es,


mg − T1 = ma
R1T1 − R1T2 = I1α1
R2T2 = I2α2
→


mg − T1 = ma (iv)
T1 − T2 = a1I1/R
2
1
(v)
T2 = a2I2/R
2
2
(vi)
A resoluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita nos da´ a acelerac¸a˜o a =
g
1 + I1/(mR21) + I2/(mR
2
2
)
.
Como I1 =
1
2
mR2
1
e I2 =
1
2
mR2
2
enta˜o,
a =
g
1 + 1
2
+ 1
2
=⇒ a =
g
2
.
3
c) valor=0,2 pontos
Utilizando o resultado obtido para a acelerac¸a˜o do bloco nas equac¸o˜es de v´ınculo, obtemos
α1 =
g
2R1
e α2 =
g
2R2
.
d) valor=0,2 pontos
Levando em conta o resultado para a acelerac¸a˜o do bloco nas relac¸o˜es obtidas anteriormente,
das linhas (v) e (vi) do sistema de equac¸o˜es encontramos
T1 =
(
I1
R2
1
+
I2
R2
2
)
g
2
=⇒ T1 =
(
1
2
m+
1
2
m
)
g
2
=⇒ T1 =
1
2
mg .
Da mesma forma, encontramos
T2 =
(
I2
R2
2
)
g
2
=⇒ T2 =
(
1
2
m
)
g
2
=⇒ T2 =
1
4
mg .
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2013/2
SEGUNDA PROVA – 18/11/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma chapa homogeˆnea quadrada de lado 2a tem um
canto quadrado de lado a retirado. A chapa restante
esta´ disposta no plano OXY como indicado na figura.
Em relac¸a˜o a` origem O, o vetor posic¸a˜o ~rcm do centro
de massa
(a) (7/6)a(ˆı+ ˆ).
(b) (5/6)a(ˆı+ ˆ);
(c) (1/3)a(ˆı+ ˆ);
(d) (1/2)a(ˆı+ ˆ);
(e) (2/3)a(ˆı+ ˆ);
2. Uma barra fina e homogeˆnea de massaM e comprimento
ℓ e´ liberada na posic¸a˜o horizontal a partir do repouso e
gira em torno de um eixo horizontal fixo, perpendicular
a ela e que passa por uma de suas extremidades. Sa-
bendo que na˜o ha´ atrito entre a barra e o eixo e que o
momento de ine´rcia da barra relativo ao eixo e´ igual a
(1/3)ML2, podemos afirmar que ao passar pela posic¸a˜o
vertical a velocidade do centro de massa da barra e´
(a)
√
3gL/2;
(b)
√
3gL;
(c)
√
πgL/2;
(d)
√
3gL/4;
(e)
√
πgL/4.
3. Uma granada encontra-se em repouso sobre uma mesa
horizontal lisa (sem atrito) e explode em treˆs fragmen-
tos. Os fragmentos adquirem momentos lineares ~p1, ~p2 e
~p3 de mo´dulos diferentes de zero, cujas direc¸o˜es formam
aˆngulos diferentes entre si. O diagrama correto que
representa a relac¸a˜o entre os momentos lineares destes
fragmentos e´
(a) 1;
(b) 2;
(c) 3;
(d) 4;
(e) 5.
1
4. Uma part´ıcula move-se com velocidade constante
~v ao longo de uma reta paralela ao eixo OX que
corta o OY em y = d (d > 0). Sejam ~L1, ~L2 e
~L3 os momentos angulares da part´ıcula, relativos
a` origem O, nos pontos 1, 2 e 3, como indicados na
figura. Os mo´dulos dos momentos angulares sa˜o tais que
(a) |~L1| < |~L2| < |~L3|;
(b) |~L1| > |~L2| > |~L3|;;
(c) |~L1| = |~L2| = |~L3|;
(d) |~L1| < |~L2| = |~L3|;
(e) |~L1| = 0 e |~L2| < |~L3|.
5. Um sistema e´ constitu´ıdo por duas part´ıculas de mesma
massa e uma barra fina homogeˆnea sobre uma mesa ho-
rizontal sem atrito. As part´ıculas esta˜o em movimentos
retil´ıneos uniformes com trajeto´rias paralelas e velocida-
des respectivas ~v e −~v. Elas colidem, simultaneamente,
cada uma com uma extremidade da barra, que esta´ em
repouso e perpendicular a`s trajeto´rias, como indicado na
figura. Apo´s a colisa˜o as part´ıculas permanecem presas
a` barra e o sistema passa a girar com velocidade angular
constante em torno do centro O da barra.
Sobre o momento linear do sistema, o seu momento an-
gular relativo ao ponto O e a sua energia cine´tica pode-
mos afirmar que
(a) conserva-se o momento linear mas na˜o o angular;
(b) conservam-se os momentos linear e angular;
(c) conserva-se o momento angular mas na˜o o linear;
(d) na˜o se conservam os momentos linear e angular;
(e) na˜o se conservam o momento linear e a energia
cine´tica.
6. Considere uma esfera que rola sem deslizar sobre uma
calha sime´trica que tem dois trechos retil´ıneos, I e II,
como mostrado na figura. Ela oscila descendo e subindo
nos dois ramos da calha. No trecho I a forc¸a de atrito e´
~fI e no trecho II, e´ ~fII . Considere que as u´nicas forc¸as
que atuam sobre a esfera sejam a forc¸a normal e a forc¸a
de atrito exercidas pela calha, e o seu peso.
Dentre os diagramas seguintes
o que melhor representa o sentido e a direc¸a˜o das forc¸as
de atrito ~fI e ~fII nos trechos I e II e´
(a) 5;
(b) 3;
(c) 1;
(d) 4;
(e) 2.
7. Um proje´til e´ lanc¸ado de uma plataforma do ponto O
e num dado instante apo´s ser lanc¸ado ele se fragmenta
em dois pedac¸os de massas m1 = 3m e m2 = m, que
caem simultaneamente nas posic¸o˜es horizontais x = d e
x = (1, 5)d respectivamente. Se o proje´til na˜o se frag-
mentasse o seu alcance A seria,
(a) (6/5)d;
(b) (5/3)d;
(c) (11/8)d;
(d) (10/8)d;
(e) (9/8)d.2
8. Um chapa quadrada fina e homogeˆnea de lado a
encontra-se sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito
presa por um pino O em um dos seus ve´rtices.
Num dado instante aplicam-se quatro forc¸as hori-
zontais e de mesma intensidade F perpendiculares
aos lados do quadrado como mostra a figura. O
mo´dulo do torque resultante τO em relac¸a˜o a O e´
(a) (5/2)aF ;
(b) (3/2)aF ;
(c) (7/2)aF ;
(d) (3/4)aF .
(e) (2/3)aF .
9. Dois halteres (1) e (2) mostrados na figura giram em
torno de seus respectivos centros de massa em torno de
um eixo fixo e perpendicular ao seu comprimento. O
haltere (1) gira com velocidade angular constante ω e o
haltere (2) com velocidade angular constante ω/2. No
haltere (1) as massas de sua extremidades sa˜o iguais a
m e no haltere (2) 2m. Os mo´dulos de seus momentos
angulares L1 e L2 em relac¸a˜o aos respectivos centros de
massa e as suas energias cine´ticas K1 e K2 cine´ticas sa˜o
relacionados respectivamente como
(a) L1 = L2 e K1 > K2
(b) L1 = L2 e K1 = K2
(c) L1 = L2 e K1 < K2
(d) L1 < L2 e K1 < K2
(e) L1 > L2 e K1 > K2
10. Um disco homogeˆneo de raio R e massa M rola sem
deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal com velocidade
angular ω constante. O momento de ine´rcia deste disco
em relac¸a˜o ao eixo que passa pelo seu centro de massa
perpendicularmente ao disco e´ igual a (1/2)MR2. A
energia cine´tica desse disco e´
(a) (1/2)MR2ω2;
(b) (3/2)MR2ω2;
(c) (2/3)MR2ω2
(d) (3/4)MR2ω2.
(e) (5/6)MR2ω2;
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Dois blocos A e B de massas mA=2m e mB=m, respectivamente, encontram-se sobre uma superf´ıcie horizontal lisa. O
bloco A desloca-se com velocidade horizontal ~v constante, enquanto o bloco B encontra-se em repouso. Apo´s a colisa˜o
os blocos separam-se e observa-se que o bloco de massa mA recua movendo-se com velocidade de mo´dulo 2v na mesma
direc¸a˜o do seu deslocamento inicial, como mostra a figura.
a) Determine vB, o mo´dulo da velocidade do bloco B apo´s a colisa˜o.
b) Calcule o mo´dulo da velocidade do centro de massa dos blocos antes e depois da colisa˜o.
c) Determine a variac¸a˜o da energia cine´tica do sistema no processo de colisa˜o.
2. Um disco de raio R e massaM encontra-se fixado a uma parede vertical em um pino que passa pelos seu centro. Um cabo
de massa desprez´ıvel passando pela sua periferia tem na sua extremidade um bloco de massa m sobre uma superf´ıcie
horizontal. O cabo e´ puxado por uma forc¸a constante ~F , erguendo o bloco de uma altura h, como mostra a figura.
Desprezando-se o efeito de atrito entre o pino e o disco e considerando que o bloco e o disco estavam em repouso no
momento em que a forc¸a ~F comec¸ou a agir calcule:
a) a acelerac¸a˜o com que o bloco e´ erguido;
b) o mo´dulo da trac¸a˜o que age sobre o trecho do cabo entre o disco e o bloco;
c) a energia cine´tica adquirida pelo disco imediatamente apo´s o bloco ser erguido da altura h.
Dado: o momento de ine´rcia do disco para um eixo que passa perpendicularmente ao disco e pelo seu centro e´ (1/2)MR2.
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 18/11/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
O momento linear total e´ consevado pois a resultante das forc¸as externas e´ nula,
~Pi = ~Pf
~Pi = 2m~v e ~Pf = 2m(−2~v) +m~vB
∴ ~vB = 6~v → vB = 6v
b) valor=1,0 ponto
Calculando a velocidade do centro de massa do sistema antes (a) e depois da colisa˜o (d),
~vcm,a =
2m
2m+m
~v → |~vcm,a| =
2
3
v (1)
~vcm,d =
2m(−2~v) +m(6~v)
2m+m
→ |~vcm,d| =
2
3
v (2)
Como o momento linear total e´ conservado, a velocidade do centro de massa conserva-se inde-
pendentemente do tipo de colisa˜o.
c) valor=0,5 ponto
Calculando as energias cine´ticas antes Ka e depois Kd da colisa˜o temos,
Ka =
1
2
mAv
2 =
1
2
2mv2 = mv2 (3)
Kd = KA,d +KB,d =
1
2
2m(2v)2 +
1
2
m6v2 = 22mv2 (4)
∴ ∆K = 22mv2 −mv2 → ∆K = 21mv2 (5)
∆K > 0 corresponde a uma colisa˜o inela´stica com liberac¸a˜o de energia no processo de
colisa˜o!!
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,6 pontos
Na figura esta˜o representadas as forc¸as que agem no bloco e
no disco, onde ~Pb e´ o peso do bloco, ~PD o peso do disco, ~T
a trac¸a˜o do cabo sobre o bloco e ~T ′ a reac¸a˜o agindo sobre o
disco, ~FS a forc¸a que o pino exerce sobre o disco e a forc¸a ~F .
A dinaˆmica para o disco e´ dada pela relac¸a˜o
∑
i ~τ
ext
i = I~α e
para o bloco
∑
i
~Fi = m~a ale´m da condic¸a˜o de v´ınculo a = αR,
admitindo que o cabo na˜o desliza sobre o disco, onde a e´ o
mo´dulo da acelerac¸a˜o do bloco e α o mo´dulo da acelerac¸a˜o
angular do disco.
Assim temos, considerando o sentido de rotac¸a˜o positivo como anti-hora´rio e que |~T | = |~T ′| = T :


RT −RF = −Iα
T − Pb = ma
a = αR
⇒
{
F − T = Ia/R2
T − Pb = ma (i)
A resoluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter a acelerac¸a˜o a, onde I = (1/2)MR2,
a =
F −mg
(m+M/2)
b) valor=0,4 ponto
A trac¸a˜o do fio pode ser obtida de (i), apo´s substituirmos o valor de a encontrado no item
anterior,
T − Pb = ma → T =
m(F +Mg/2)
(m+M/2)
c) valor=0,5 ponto
Para a variac¸a˜o da energia cine´tica do disco temos ∆K = Wtotal = Kf , pois Ki = 0.
O trabalho total e´ dado pelo trabalho das forc¸as ~F e ~T ′ sobre o disco fazendo-o girar. Como
o cabo e´ puxado de h, e lembrando que |~T ′| = T ,
Kf = (F − T
′)h =
[
F −
m(F +Mg/2)
(m+M/2)
]
h
∴ Kf =
1
2
M(F −mg)
(m+M/2)
h
3
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2013/1
SEGUNDA PROVA – 15/07/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um pescador esta´ sentado no centro de sua canoa
que repousa em um lago de a´guas tranquilas. A
sua frente esta´ um cesto com peixes a uma distaˆncia
d. Num dado instante ele muda a posic¸a˜o do cesto
colocando-o detra´s dele na posic¸a˜o d ′. Considerando
o centro de massa do sistema canoa-pescador-cesto e
desprezando-se o atrito da a´gua com a canoa, e´ correta
a opc¸a˜o:
(a) o centro de massa permanece na posic¸a˜o origi-
nal;
(b) o centro de massa move-se para frente de d ′;
(c) o centro de massa move-se para tra´s de d;
(d) apo´s mudar o cesto de posic¸a˜o a canoa passa a
se movimentar com velocidade uniforme, pois
a forc¸a resultante sobre o sistema e´ nula;
(e) nada se pode afirmar pois na˜o sa˜o conhecidas
as massas da canoa, do pescador e do cesto.
2. Um disco homogeˆneo de massa M e raio R encontra-
se sobre uma mesa horizontal completamente lisa, sem
estar preso a ela. Em um dado instante duas forc¸as
esta˜o aplicadas tangencialmente na beirada do disco,
uma em um ponto diametralmente oposto ao ponto de
aplic¸a˜o da outra. Sabendo que o momento de ine´rcia
do disco relativo ao eixo perpendicular a ele que passa
pelo seu centro de massa e´ MR2/2, e denotando por
acm e α os mo´dulos respectivos da acelerac¸a˜o do centro
de massa do disco e da acelerac¸a˜o angular de rotac¸a˜o
em torno do eixo no instante considerado, podemos
dizer que:
(a) acm = F/M e α = 2F/(MR);(b) acm = F/M e α = 6F/(MR);
(c) acm = 2F/M e α = 2F/(MR);
(d) acm = 3F/M e α = 6F/(MR);
(e) acm = F/M e α = 0.
1
3. Um aro el´ıptico homogeˆneo de massa M e´ posto para
girar com velocidade angular ω ao redor do seu eixo
maior, em relac¸a˜o ao qual tem momento de ine´rcia I1.
Em seguida, e´ colocado para girar com mesma veloci-
dade angular ao redor de seu eixo menor, em relac¸a˜o
ao qual tem momento de ine´rcia I2. Veja as figuras.
Sobre os mo´dulos dos momentos angulares L1 e L2 dos
aros nas respectivas situac¸o˜es 1 e 2, podemos afirmar
que:
(a) L1 < L2, pois o momento de ine´rcia I1 < I2;
(b) L1 = L2, pois trata-se do mesmo sistema gi-
rando com a mesma velocidade angular;
(c) L1 > L2, pois o momento de ine´rcia I1 > I2;
(d) L1 > L2, pois o momento de ine´rcia I1 < I2;
(e) L1 < L2, pois o momento de ine´rcia I1 > I2.
4. Um corpo de massa m esta´ suspenso por um fio de
massa desprez´ıvel enrolado numa polia de raio R. A
polia consiste em um disco r´ıgido do qual foi reti-
rado um pedac¸o, como mostra a (figura). A polia
tem massa M e gira sem atrito em torno de um eixo
que passa pelo seu centro. Se a massa desce com ace-
lerac¸a˜o de mo´dulo a, o momento de ine´rcia da polia
e´:
(a) mR2
(g
a
+ 1
)
;
(b) mR2
(
1− g
a
)
;
(c) (m+M)R2
(g
a
+ 1
)
;
(d) mR2
(g
a
− 1
)
;
(e) (m+M)R2
(g
a
− 1
)
;
5. Treˆs part´ıculas de massas m1, m2 e m3 diferentes
movem-se com a mesma velocidade vetorial ~v cons-
tante relativas a um dado referencial. SendoK a ener-
gia cine´tica do sistema e KCM a energia cine´tica do
seu centro de massa, relativas a esse referencial iner-
cial, e K ′ sua energia cine´tica relativa ao centro de
massa, e´ correto afirmar que:
(a) K = K ′ − KCM com K ′ e KCM ambas dife-
rentes de zero;
(b) K = K ′ + KCM com K
′ e KCM ambas dife-
rentes de zero;
(c) KCM e´ sempre nula;
(d) K ′ = KCM ;
(e) K ′ = 0.
6. Quatro contas esta˜o presas nos ve´rtices de um arame
quadrado de lado a, como mostra a figura. Duas con-
tas possuem massa m e as outras duas massa 2m.
Desprezando a massa do arame e de acordo com o
sistema de refereˆncia indicado na figura, a posic¸a˜o do
centro de massa do arranjo e´:
(a) xcm = 2a/5 e ycm = a/2;
(b) xcm = a/5 e ycm = a/2 ;
(c) xcm = a/4 e ycm = a/2;
(d) xcm = a/2 e ycm = a/2.
(e) xcm = 2a/3 e ycm = a/2;
2
7. Uma part´ıcula de massa m esta´ girando em torno
de um eixo (perpendicular a pa´gina) com movimento
de rotac¸a˜o uniformemente variado com acelerac¸a˜o ~a,
como mostra a figura; vista de cima. O raio da tra-
jeto´ria e´ R e o vetor acelerac¸a˜o da part´ıcula tem a sua
direc¸a˜o formando um aˆngulo δ com a direc¸a˜o radial.
Num dado instante ela tem velocidade angular ω e
acelerac¸a˜o angular α. Pode-se afirmar que:
(a) tan δ = ω2/α;
(b) tan δ = α/ω2 ;
(c) sen δ = α/
√
ω4 − α2;
(d) cos δ = ω2/
√
ω4 − α2;
(e) sen δ =
√
ω4 − α2/α.
8. A figura mostra um carrinho de massa m, sobre um
trilho de ar, que comprime de x uma mola de cons-
tante ela´stica k. O carrinho esta´ inicialmente preso
ao suporte do trilho por um fio. O fio e´ cortado, e
a mola expande-se empurrando o carrinho. Ao pas-
sar pela posic¸a˜o de equil´ıbrio da mola, O, o carrinho
perde contato com a mola. No trajeto ate´ perder con-
tato com a mola, o impulso fornecido ao carrinho foi
igual a:
(a) 2x(km)1/2;
(b) x
(
km
2
)1/2
;
(c) x(2km)1/2;
(d) x(km)1/2
(e)
x
2
(km)1/2.
9. Um haltere e´ formado por duas part´ıculas de massa
m, ligadas por uma barra r´ıgida de massa desprez´ıvel
e comprimento 2a, e gira com velocidade angular ω1
em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e pas-
sando pelo seu ponto me´dio. Um segundo haltere e´
formado por duas part´ıculas de massa m/2, ligadas
por uma barra r´ıgida de massa desprez´ıvel e compri-
mento 4a, e gira com velocidade angular ω2 em torno
de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo
seu ponto me´dio. Considerando que os halteres teˆm o
mesmo momento angular, podemos afirmar que:
(a) ω2 = ω1
(b) ω2 = 2ω1
(c) ω2 = ω1/2
(d) ω2 =
√
2ω1
(e) ω2 = ω1/
√
2
10. Duas part´ıculas 1 e 2 de massas m1 =m e m2 = 4m
movem-se em movimento retil´ıneo uniforme com ve-
locidades ~v1 = ~v/4 e ~v2 = −~v respectivamente. Num
dado instante ocorre uma colisa˜o entre elas totalmente
inela´stica, pode-se afirmar, sobre a velocidade ~Vcm do
centro de massa das part´ıculas que:
(a) depois da colisa˜o ~Vcm = ~0;
(b) antes da colisa˜o ~Vcm =
1
4
~v;
(c) depois da colisa˜o ~Vcm = −
3
4
~v;
(d) antes da colisa˜o ~Vcm = ~0 e depois da colisa˜o
~Vcm = −~v
(e) depois da colisa˜o ~Vcm =
3
4
~v;
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Uma corda de massa desprez´ıvel e inextens´ıvel esta´ enrolada ao redor de um disco uniforme de raio R e de massaM
e possui a outra extremidade fixada numa barra (conforme mostra a figura). O disco, liberado a partir do repouso,
cai com a corda na posic¸a˜o vertical e mante´m o seu eixo de rotac¸a˜o sempre na mesma direc¸a˜o. Dado: o momento
de ine´rcia de um disco de raioR e de massa M , segundo um eixo que passa pelo seu centro e perpendicular a sua
super´ıcie, e´ igual a (1/2)MR2.
a) Determine a acelerac¸a˜o do centro de massa do disco.
b) Qual e´ o mo´dulo da tensa˜o na corda?
c) Qual e´ a velocidade do centro de massa apo´s o disco ter descido uma altura h?
d) Qual e´ a raza˜o KR/KT entre as energias cine´ticas de rotac¸a˜o KR e de translac¸a˜o KT , na mesma situac¸a˜o do
item c)?
2. Dois objetos de mesma massa m e dimenso˜es desprez´ıveis colidem no espac¸o sideral, na auseˆncia de forc¸as externas.
A figura mostra um sistema de eixos OXY de um referencial inercial, com seus unita´rios ıˆ e ˆ. Antes da colisa˜o os
objetos se movem ao longo do eixo OX com velocidades de sentidos opostos, como indicado na figura, e mo´dulos
v1 = 3v e v2 = 2v, nos quais v e´ uma constante dada. Apo´s a colisa˜o, um dos objetos adquire velocidade
~v′
1
= −vıˆ+ vˆ (na figura da direita apenas um dos objetos e´ mostrado).
a) Determine a velocidade ~v ′
2
do outro objeto apo´s a colisa˜o, expressando sua resposta em termos da constante v e
dos unita´rios ıˆ e ˆ.
b) Determine a raza˜o K ′/K entre a energia cine´tica K ′ do par de objetos depois da colisa˜o e sua energia cine´tica
K antes da colisa˜o; esta colisa˜o e´ ela´stica ou inela´stica?
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 15/07/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5.0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2.5 pontos)
a) valor=1,2 pontos
O ioioˆ desloca-se com dois modos de movimento dados pela dinaˆmica de rotac¸a˜o e de translac¸a˜o.
translac¸a˜o :
∑
~F ext =M~aCM
rotac¸a˜o :
∑
~τ ext = I~α
Na direc¸a˜o e sentido do movimento de translac¸a˜o e considerando que o ioioˆ gira em torno
do seu centro de massa no sentido anti-hora´rio sem deslizar sobre o corda e que os torques sa˜o
calculados em relac¸a˜o centro de massa, temos:

Mg − T = MaCM
TR = Iα
aCM = αR
→


Mg − T = MaCM (i)
T = IaCM/R
2 (ii)
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter a acelerac¸a˜o do centro de massa,
aCM =
Mg
(I/R2 +M)
como I = (1/2)MR2 ∴ aCM =
2
3
g
b) valor=0.3 pontos
Para obter o valor da tensa˜o da corda podemos usar a equac¸a˜o (ii) do sistema deequac¸o˜es,
substituindo o valor da aCM obtido do item anterior. Logo,
T =
IaCM
R2
→ T =
1
3
Mg
c) valor=0.5 ponto
A velocidade do centro de massa do ioioˆ apo´s ele cair de uma altura h, pode ser obtida aplicando
o princ´ıpio da conservac¸a˜o de energia mecaˆnica. Assim temos:
Ei = Mgh e Ef = KR +KT =
1
2
Iω2 +
1
2
Mv2CM
Para Ei = Ef e ω = vCM/R,
v2CM =
2Mgh
(I/R2 +M)
com I = (1/2)MR2 → vCM =
√
4
3
gh
d) valor=0,5 ponto
A energia cine´tica de rotac¸a˜o e´KR = (1/2)Iω
2 e de translac¸a˜o KT = (1/2)Mv
2
CM . Portanto,
KR
KT
=
(1/2)Iω2
(1/2)Mv2CM
=
(1/2)MR2v2CM/R
2
Mv2CM
∴
KR
KT
=
1
2
Este resultado vale para qualquer instante t e tambe´m quando o ioioˆ cai de uma altura h.
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2.5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
Na˜o ha´ forc¸a externa sobre o sistema constitu´ıdo pelos dois objetos. Portanto, seu momento
linear se conserva, isto e´, m(−3vıˆ) +m 2vıˆ = m(−vıˆ+ vˆ) +m~v ′
2
, donde
~v ′
2
= −vˆ.
b) valor=1,5 pontos
Calculando a energia cine´tica total antes da colisa˜o temos:
K = (1/2)m(−3v)2 + (1/2)m(2v)2 = (13/2)mv2
Depois da colisa˜o,
K ′ = (1/2)m((−v)2 + v2) + (1/2)m(−v)2 = (3/2)mv2, donde
K ′/K = 3/13.
Concluimos assim que o choque e´ inela´stico, pois K ′ 6= K.
3
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/2
SEGUNDA PROVA(P2) – 18/02/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um pai de massa M brinca com seu filho de massa m
na super´ıcie horizontal de um lago congelado, onde o
atrito pode ser desprezado; considere M > m. Cada
um segura uma das extremidades de uma corda leve
e comprida. Eles devem puxar a corda para conseguir
pegar uma bola, colocada na metade da distaˆncia en-
tre os dois. Qual afirmac¸a˜o e´ verdadeira quando am-
bos puxam a corda?
(a) O resultado dependera´ do esforc¸o que cada um
fara´.
(b) O pai, alcanc¸ara´ a bola primeiro.
(c) O filho alcanc¸ara´ a bola primeiro, qualquer que
seja seu esforc¸o.
(d) Os dois sempre alcanc¸ara˜o a bola ao mesmo
tempo.
(e) Nenhuma das afirmac¸o˜es anteriores.
2. Uma esfera de massaM , raio R e momento de ine´rcia
I = (2/5)MR2, em relac¸a˜o ao eixo que passa pelo
seu centro de massa, desce um plano inclinado A-B
(ver figura), rolando sem deslizar. A esfera parte do
repouso e desce ate´ o final do plano inclinado (ponto
B), situado a uma altura h em relac¸a˜o ao solo. Neste
instante, ela tem velocidade angular ω0, e entra em
queda livre. Afirma-se que: I) Imediatamente an-
tes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera
e´ ω =
√
ω2
0
+ 10gh/7R2. II) Imediatamente antes
de tocar o solo, a velocidade angular da esfera con-
tinua com o valor ω0. III) O momento angular da
esfera mante´m-se perpendicular ao plano do movi-
mento. IV) Ao longo da queda livre, a energia cine´tica
de rotac¸a˜o da esfera permanece constante. Qual(ais)
da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima esta´(a˜o) incorreta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) I e IV.
(d) II e III.
(e) I e III.
1
3. Um treno´ de massa M move-se horizontalmente com
velocidade constante em um lago congelado. Ao pas-
sar por baixo de um viaduto, cai sobre ele vertical-
mente, um pacote de massa m ficando preso a ele. O
atrito entre a superf´ıcie do lago e o treno´ pode ser
desprezado. Ao comparar-se, o momento linear, a
velocidade e a energia cine´tica do sistema treno´-
pacote apo´s o pacote cair sobre o treno´, com estas
mesmas grandezas na situac¸a˜o inicial do treno´, e´ cor-
reto afirmar que:
(a) aumenta, diminui e aumenta.
(b) aumenta, permanece constante e aumenta;
(c) diminui, diminui e diminui;
(d) permanece constante, permanece constante e
permanece constante;
(e) permanece constante, diminui e diminui;
4. Um bloco A deslocando-se com momento linear ~pA =
(aıˆ − aˆ), colide com um bloco B de momento linear
~pB = (aıˆ + aˆ), onde a e´ uma constante. Suponha
que na˜o ha´ forc¸a externa. Apo´s a colisa˜o o centro de
massa do sistema segue, de acordo com o sistema de
coordenadas ortogonais XY Z e os respectivos vetores
unita´rios ıˆ, ˆ e kˆ:
(a) na direc¸a˜o x e sentido negativo;
(b) na direc¸a˜o y e sentido negativo;
(c) na direc¸a˜o x e sentido positivo;
(d) na direc¸a˜o y e sentido positivo;
(e) em uma direc¸a˜o formando um aˆngulo pi
4
com os
eixos OX e OY .
5. Uma bola desloca-se com velocidade ~v constante e co-
lide elasticamente na lateral de uma mesa, segundo o
aˆngulo α definido entre a direc¸a˜o de seu movimento e
a lateral da mesa e e´ claro que |~v| = |~v ′|; como mos-
tra a figura. O processo de colisa˜o dura um tempo
∆t. Na figura esta˜o indicadas 4 setas numeradas. A
opc¸a˜o correta para representar a forc¸a me´dia que atua
na bola durante a colisa˜o e´:
(a) 4;
(b) 2;
(c) 3;
(d) 1;
(e) nenhuma das respostas anteriores.
6. Um menino, de massa m, encontra-se na extremidade
esquerda de um barco de comprimento L e massa
M , distribu´ıda homogeneamente. Inicialmente o con-
junto, barco e menino, move-se para a direita com
velocidade constante ~V1, em relac¸a˜o a um referencial
inercial colocado na margem do lago. Num dado ins-
tante o menino move-se para a extremidade direita
do barco, onde permanece. Nesta situac¸a˜o o conjunto
move-se com velocidade constante ~V2 em relac¸a˜o ao
mesmo referencial inercial. Desprezando-se o atrito
entre o barco e a a´gua, pode-se afirmar, ao fim do
processo, que:
(a) | ~V1| 6= | ~V2|.
(b) |~V1| = |~V2|.
(c) |~V2| = 0.
(d) Na˜o se pode determinar |~V2|, pois na˜o se co-
nhece a forc¸a exercida pelo menino sobre o
barco.
(e) Na˜o se pode determinar |~V2|, pois na˜o se co-
nhece a velocidade inicial do centro de massa
do sistema barco-menino.
2
7.
U
m
caracol
d
e
m
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m
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velo
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S
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n
o
p
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O
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I
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m
om
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to
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e
in
e´rcia
d
o
sistem
a
com
relac¸a˜o
ao
eix
o
z
q
u
an
d
o
o
caracol
esta´
n
o
p
on
to
B
,
d
as
op
c¸o˜es
ab
aix
o,
a
correta
e´:
(a)
I
B
>
I
0 ;
ω
′
<
ω
0
(b
)
I
B
>
I
0 ;
ω
′
>
ω
0
(c)
I
B
<
I
0 ;
ω
′
>
ω
0
(d
)
I
B
<
I
0 ;
ω
′
<
ω
0
(e)
I
B
=
I
0 ;
ω
′
=
ω
0
8.
U
m
d
isco
u
n
iform
e
e´
m
on
tad
o
em
u
m
eix
o
h
orizon
-
tal
d
e
m
assa
d
esp
rez´ıvel,
em
torn
o
d
o
q
u
al
p
o
d
e
girar
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en
te,
com
o
m
ostra
o
d
iagram
a.
O
m
om
en
to
d
e
in
e´rcia
d
o
d
isco
em
relac¸a˜o
ao
eix
o
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O
d
isco
esta´
in
icialm
en
te
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d
o
com
velo
cid
ad
e
an
gu
lar
ω
0 ;
v
id
e
fi
gu
ra.
O
d
isco
e´
m
ov
id
o
h
orizon
talm
en
te
p
ara
esq
u
erd
a
ate´
q
u
e
su
a
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en
tre
em
con
tato
com
u
m
d
isco
id
eˆn
tico,
q
u
e
esta´
in
icialm
en
te
em
rep
ou
so.
D
e-
p
ois
d
e
u
m
p
eq
u
en
o
in
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d
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p
o,
os
d
ois
d
iscos
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-se
e
p
assam
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ju
n
tos
com
u
m
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velo
ci-
d
ad
e
an
gu
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fi
n
al
ω
f .
E
m
relac¸a˜o
a`s
gran
d
ezas:
v
e
lo
-
cid
a
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g
u
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r
fi
n
a
l,
e
n
e
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ia
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e´
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d
a
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c¸a˜
o
e
m
o
m
e
n
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g
u
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m
a
,
p
o
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afi
rm
ar
q
u
e
ao
fi
n
al
d
o
p
ro
cesso
d
e
acop
lam
en
to:
(a)
ω
f
=
ω
0 /2,
n
a˜o
e´
con
servad
a,
n
a˜o
e´
con
servad
o;
(b
)
2ω
f
=
ω
0 ,
e´
con
servad
a,
n
a˜o
e´
con
servad
o;
(c)
ω
f
=
ω
0 ,
e´
con
servad
a,
n
a˜o
e´
con
servad
o;
(d
)
ω
f
=
ω
0 /2,
n
a˜o
e´
con
servad
a,
e´
con
servad
o;
(e)
ω
f
=
ω
0 /2,
e´
con
servad
a,
e´
con
servad
o.
9.
U
m
a
ch
ap
a
m
eta´lica
q
u
ad
rad
a
d
e
lad
o
a
,
h
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ea
e
d
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assa
M
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em
rep
ou
so
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u
m
p
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o
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tal
X
Y
,
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com
o
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m
assa
lo
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o
n
a
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O
.
N
u
m
d
ad
o
in
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te
ap
licam
-
se
as
forc¸as
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2
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−
F
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e
~F
1
=
F
ˆ
em
d
ois
v
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d
a
ch
ap
a
com
o
m
ostra
a
fi
gu
ra.
A
op
c¸a˜o
q
u
e
corres-
p
on
d
e
ao
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u
e
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ltan
te
~τ
0
em
relac¸a˜o
ao
p
on
to
O
,
im
ed
iatam
en
te
ap
o´s
as
forc¸as
serem
ap
licad
as
e´:
(a)
~0;
(b
)
a
F
kˆ
;
(c)
a √
2F
kˆ
;
(d
)
−
a
F
kˆ
;
(e)
−
a √
2F
kˆ
.
10.
U
m
d
isco
d
e
m
assa
M
rola
sem
d
eslizar,
com
velo
ci-
d
ad
e
an
gu
lar
con
stan
te,
sob
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u
m
a
su
p
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h
orizon
-
tal,
m
an
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d
o-se
sem
p
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alin
h
ad
o
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en
te.
N
os
d
iagram
as
ab
aix
o,
I),
II),
III)
e
IV
),
aq
u
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u
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sen
ta
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en
te
os
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velo
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(in
d
icad
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p
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A
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C
,
d
a
p
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d
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B
o
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em
relac¸a˜o
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u
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p
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o
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a
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erra
e´:
(a)
n
en
h
u
m
d
eles
(b
)
I
(c)
II
(d
)
III
(e)
IV
3
S
e
c¸a˜
o
2
.
Q
u
e
sto˜
e
s
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iscu
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s
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2
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o
n
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s)
1.
U
m
a
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d
e
m
assa
m
m
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en
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a
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q
u
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gu
lo
d
e
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1
com
o
eix
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X
,
com
o
m
ostra
a
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gu
ra.
E
la
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e
com
u
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d
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art´ıcu
la
q
u
e
tem
d
u
as
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su
a
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e´
m
2
=
2m
,
q
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e
esta´
m
oven
d
o-se
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go
d
a
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irec¸a˜o
X
e
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velo
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e
d
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m
o´d
u
lo
treˆs
vezes
m
aior
q
u
e
u
,
ou
seja:
v
2
=
3u
.
D
ep
ois
d
a
colisa˜o,
a
p
rim
eira
p
art´ıcu
la
m
ove-se
ao
lon
go
d
a
d
irec¸a˜o
Y
e
sen
tid
o
n
egativo,
en
q
u
an
to
q
u
e
a
segu
n
d
a
p
art´ıcu
la
con
tin
u
a
a
m
over-se
ao
lon
go
d
o
eix
o
X
e
sen
tid
o
p
ositivo,
com
u
m
a
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u
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a.
C
on
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q
u
e
n
a˜o
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am
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ex
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sob
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p
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las.
S
e
n
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c¸a˜o
d
e
algu
m
item
ab
aix
o
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u
sad
a
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m
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d
e
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ju
stifi
q
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a)
D
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in
e
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om
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to
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p
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u
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p
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las;
b
)
C
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le
os
m
o´d
u
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d
as
velo
cid
ad
es
d
e
am
b
as
as
p
art´ıcu
las
d
ep
ois
d
a
colisa˜o
em
fu
n
c¸a˜o
d
os
d
ad
os
d
o
p
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lem
a;
c)
D
eterm
in
e
o
vetor
velo
cid
ad
e
d
o
cen
tro
d
e
m
assa
d
o
sistem
a
an
tes
e
d
ep
ois
d
a
colisa˜o.
D
ad
os:
cos
θ
1
=
3/5
;
sen
θ
1
=
4/5.
2.
U
m
a
b
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d
elgad
a
h
om
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ea
e
u
n
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e,
d
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u
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q
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u
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p
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L
ib
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a
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d
o
rep
ou
so
n
a
p
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h
orizon
tal,
a
b
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u
m
a
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com
u
m
p
eˆn
d
u
lo
ao
p
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p
ela
p
osic¸a˜o
vertical,
com
o
rep
resen
ta
a
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gu
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ab
aix
o.
O
p
eˆn
d
u
lo
e´
form
ad
o
p
or
u
m
a
h
aste
m
u
ito
fi
n
a
d
e
m
assa
d
esp
rez´ıvel,
com
p
rim
en
to
(2/3)ℓ,
e
u
m
a
m
assa
m
d
e
d
im
en
so˜es
d
esp
rez´ıveis
p
resa
a`
ex
trem
id
ad
e
d
a
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O
p
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d
u
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b
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p
o
d
e
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em
torn
o
d
o
p
in
o,
sem
atrito,
n
o
m
esm
o
p
lan
o
vertical
q
u
e
a
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arra.
S
ab
e-se
q
u
e
o
p
eˆn
d
u
lo
en
con
trava-se
em
rep
ou
so
an
tes
d
a
colisa˜o
com
a
b
arra,
e
q
u
e
o
m
om
en
to
d
e
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e´rcia
d
a
b
arra
em
relac¸a˜o
ao
eix
o
p
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en
d
icu
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ao
p
lan
o
vertical
e
q
u
e
p
assa
p
elo
p
in
o
e´
I
=
(1/3)M
ℓ
2.
a)
D
eterm
in
e
a
velo
cid
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gu
lar
d
a
b
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ω
0 ,
im
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iatam
en
te
an
tes
d
a
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com
o
p
eˆn
d
u
lo.
b
)
Q
u
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d
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segu
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d
ezas:
o
m
om
en
to
lin
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e
o
m
om
en
to
an
gu
lar
em
relac¸a˜o
a
O
sa˜o
con
servad
as
n
a
colisa˜o?
J
u
stifi
q
u
e
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su
a
resp
osta.
c)
D
eterm
in
e
a
velo
cid
ad
e
an
gu
lar
d
a
b
arra,
ω
′,
im
ed
iatam
en
te
ap
o´s
a
colisa˜o.
d
)
D
eterm
in
e
o
valor
d
a
raza˜o
m
/M
p
ara
q
u
e
a
b
arra
p
erm
an
ec¸a
em
rep
ou
so
d
ep
ois
d
a
colisa˜o.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de CieˆnciasMatema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 18/02/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas - 0,5 ponto cada questa˜o
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1) - 2,5 pontos
a) valor=1,0 ponto
O momento linear total inicial do sistema composto pelas duas part´ıculas e´ dado por:
~P inicial = ~pinicial1 + ~p
inicial
2
= m~u+ 2m~v2
= m (−u cos θ1ıˆ− u sen θ1ˆ) + 2m(3uıˆ)
= (−mu cos θ1 + 6mu) ıˆ−musen θ1ˆ.
=
(
−3mu
5
+ 6mu
)
ıˆ− 4mu
5
ˆ.
=
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ. (1)
b) valor=1,0 ponto
Na auseˆncia de forc¸as externas, o momento linear total do sistema conserva-se: ~P inicial =
~P final. Comecemos calculando o momento linear total do sistema apo´s a colisa˜o
~P final = ~pfinal1 + ~p
final
2 = −mv1f ˆ+ 2mv2f ıˆ, (2)
onde v1f e v2f sa˜o os mo´dulos das velocidades, apo´s a colisa˜o das part´ıculas 1 e 2 respec-
tivamente. Como o momento linear conserva-se:
~P inicial = ~P final
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ = 2mv2f ıˆ−mv1f ˆ
para a componente de ıˆ :
27mu
5
= 2mv2f =⇒ v2f = 27
10
u. (3)
para a componente de ˆ : − 4mu
5
=−mv1f =⇒ v1f = 4
5
u. (4)
c) valor=0,5 ponto
Como o momento linear conserva-se a velocidade do centro de massa do sistema na˜o se
altera devido a` colisa˜o. Podemos calcular a velocidade do centro de massa antes (ou
depois) da colisa˜o e argumentar que elas sa˜o iguais.
~V inicialCM =
~P inicial
m+ 2m
=
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ
3m
=
9u
5
ıˆ− 4u
15
ˆ. (5)
~V finalCM =
~P final
3m
=
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ
3m
=
9u
5
ıˆ− 4u
15
ˆ = ~V inicialCM . (6)
2
Questa˜o discursiva 2) - 2,5 pontos
a) valor=1,0 ponto
Ate´ ocorrer a colisa˜o, a u´nica forc¸a que realiza trabalho sobre a barra e´ o peso, que e´ uma
forc¸a conservativa. Por conservac¸a˜o de energia mecaˆnica,
(1/2)Iω20 +Mg`/2 = Mg`
Iω20 = Mg` =⇒ ω0 =
√
Mg`/I =
√
3g/`
b) valor=0,5 ponto
A colisa˜o na˜o altera o momento angular total do sistema barra+peˆndulo em relac¸a˜o ao
pino, pois o torque externo total em relac¸a˜o ao pino e´ nulo durante o processo de colisa˜o.
c) valor=0,5 ponto
Como a colisa˜o e´ ela´stica,
(1/2)Iω′2 + (1/2)mv2 = (1/2)Iω20
I(ω20 − ω′2) = mv2
Expandindo a equac¸a˜o acima
I(ω0 + ω
′)(ω0 − ω′) = mv2 → (i)
Como o momento angular e´ conservado temos:
Iω′ +mv · (2/3)` = Iω0
I(ω0 − ω′) = (2/3)mv` → (ii)
Dividindo a equac¸a˜o (i) pela (ii),
ω0 + ω
′ = (3/2)v/` → (iii)
Apo´s a susbstituic¸a˜o de I = (1/3)M`2 na equac¸a˜o ii):
ω0 − ω′ = 2mv/M` → (iv)
As equac¸o˜es (iii) e (iv) formam um sistema de equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas ω′ e v;
w′ + 2(m/M)v/` = w0
w′ − (3/2)v/` = −wo
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es leva a,
ω′ =
1− (4/3)m/M
1 + (4/3)m/M
ω0 =
1− (4/3)m/M
1 + (4/3)m/M
√
3g/`
3
d) valor=0,5 ponto
(maneira 1)
A expressa˜o encontrada no item anterior mostra que ω′ se anula para
1− (4/3)m/M = 0 ⇒ m/M = 3/4
(maneira 2)
Calculemos a energia cine´tica do sistema imediatamente antes e depois da colisa˜o, im-
pondo a condic¸a˜o que a barra permanece em repouso apo´s a colisa˜o e que o peˆndulo
adquire velocidade v.
Ki =
1
2
I0ω
2 e Kf =
1
2
mv2
Como a energia cine´tica e´ conservada ∆K = 0, pois a colisa˜o e´ ela´stica,
I0ω
2
0 = mv
2 (v)
O momento angular e´ conservado, de acordo com a equac¸a˜o (ii) e impondo a condic¸a˜o de
que a velocidade angular da barra apo´s a colisa˜o ω′ e´ nula, temos,
Ioω0 =
2
3
m`v ∴ v = 3
2
I0ω0
m`
Substituindo o valor de v obtido anteriormente na equac¸a˜o (v):
I0ω
2
0 = m
(3
2
I0ω0
m`
)2
Apo´s algumas simplificac¸o˜es e subsituindo-se o valor de I0, obtemos,
m/M = 3/4
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/1
SEGUNDA PROVA (P2) – 25/06/2012
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o,
fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas (de mu´ltipla
escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas (ou argumen-
tativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDIQUE CLARA-
MENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de tinta azul ou
preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o
5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formula´rio
sen2θ + cos2θ = 1, sen2θ = 2senθcosθ
sen(α± θ) = senαcosθ ± cosαsenθ, cos(α± θ) = cosαcosθ ∓ senαsenθ
d
dx
xn = nxn−1
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
(n 6= −1)
d
dx
senax = acosax,
d
dx
cosax = −asenax
Lei dos senos:
a
senα
=
b
senβ
=
c
senγ
Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Dois discos de mesmo raio R e de massas diferentes, onde
M1 > M2, esta˜o presos ao teto por fios ideais e enrola-
dos em suas bordas. Liberados a partir do repouso eles
caem verticalmente onde g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o lo-
cal da gravidade; o momento de ine´rcia de um disco em
torno do seu eixo de rotac¸a˜o que passa pelo seu centro
e´ igual (1/2)MR2. Os mo´dulos das trac¸o˜es nos fios em
cada disco sa˜o T1 e T2 e as acelerac¸o˜es dos seus centros de
massas sa˜o a
CM1
e a
CM2
respectivamente, a opc¸a˜o correta
abaixo e´:
(a) T1 = T2
(b) T1 = M1g; T2 = M2g
(c) a
CM1
= a
CM2
(d) a
CM1
> a
CM2
(e) a
CM1
< a
CM2
e T1 < T2
2. Uma part´ıcula de momento ~pi, proje´til, colide na˜o fron-
talmente, isto e´, colide bidimensionalmente, com uma ou-
tra part´ıcula, inicialmente em repouso, que chamamos
de alvo. Apo´s a colisa˜o o proje´til tem momento ~pf e o
alvo sai com momento ~k. A conservac¸a˜o do momento
linear, neste processo e´ corretamente representado pelo
diagrama:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) Nenhum diagrama esta´ correto
3. Um arame homogeˆneo e uniforme, de espessura des-
prez´ıvel, e´ moldado na forma de um quadrado de aresta
a. Retira-se enta˜o um segmento de comprimento a/2 de
duas arestas, reduzindo-as a` metade, como mostra a fi-
gura. No novo sistema a distaˆncia do centro de massa a`
origem e´ igual a,
(a)
3
7
√
2a
(b)
4
9
√
2a
(c)
1
4
√
2a
(d)
3
8
√
2a
(e)
1
3
√
2a
4. Considere um corpo r´ıgido constitu´ıdo por: hastes finas,
r´ıgidas, de massa desprez´ıvel e de comprimento l e um
conjunto de nove massas iguais a m (que podem ser con-
sideradas puntiformes) conforme a figura abaixo. O mo-
mento de ine´rcia IAB desse conjunto em torno do eixo
AB e´ dado por:
(a) IAB = 0
(b) IAB = ml
2
(c) IAB = 6ml
2
(d) IAB = 9ml
2
(e) IAB = m(4l
2 + 4(
√
2l)
2
)
5. Uma granada esta´ em repouso sobre uma mesa horizon-
tal e sem atrito. Num dado instante ela explode em dois
fragmentos de massas e velocidades diferentes, onde os
fragmentos permanecem movimentando-se sobre a mesa.
E´ poss´ıvel afirmar que:
(a) a energia cine´tica e´ conservada.(b) a posic¸a˜o do centro de massa das part´ıculas varia
com o tempo.
(c) o momento linear total do sistema na˜o e´ conser-
vado.
(d) a velocidade do centro de massa e´ nula apo´s a
explosa˜o.
(e) Nenhuma das opc¸o˜es acima esta´ correta.
6. Um disco que gira com velocidade angular ω0 e´ freado
uniformemente ate´ atingir o repouso. Durante a frena-
gem ele executa uma revoluc¸a˜o. Outro disco, ideˆntico
ao primeiro, tem velocidade angular ω1 = 5ω0 e´ freado
com mesma desacelerac¸a˜o que o primeiro. O nu´mero de
revoluc¸o˜es que ele executa ate´ atingir o repouso e´:
(a) 25
(b) 5
(c) 10
(d) 2, 5
(e) 15
7. Considere uma part´ıcula de massa m presa ao teto em
um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento
d, formando um peˆndulo. A part´ıcula e´ solta a partir do
repouso, com o fio esticado, a uma distaˆncia d/2 do teto;
g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o local da gravidade. Qual e´ o
mo´dulo do momento angular da part´ıcula com relac¸a˜o ao
ponto de sustentac¸a˜o do fio quando ela passa pelo ponto
mais baixo da trajeto´ria?
(a) L = md
√
2gd
(b) L = md
√
gd
(c) L = 0
(d) L = md
√
gd/2
(e) L = md
√
2gd/3
2
8. Uma esfera de raio R e massa M rola sem deslizar so-
bre uma mesa horizontal com velocidade angular ω cons-
tante. Sabendo-se que o momento de ine´rcia de uma
esfera segundo um eixo que passa pelo seu centro e´
ICM = (2/5)MR
2, a energia cine´tica desta esfera e´:
(a)
1
2
MR2ω2
(b)
1
7
MR2ω2
(c)
1
5
MR2ω2
(d)
5
7
MR2ω2
(e)
7
10
MR2ω2
9. Considere um sistema formado por uma part´ıcula e por
uma mola ideal, conforme a figura. A part´ıcula pode
mover-se sobre uma mesa horizontal lisa sob a ac¸a˜o da
forc¸a da mola, cuja outra extremidade esta´ presa a` mesa.
E´ correto afirmar que:
(a) O momento angular na˜o se conserva como con-
sequeˆncia da ac¸a˜o da forc¸a ela´stica.
(b) O trabalho da forc¸a ela´stica e´ nulo, pois trata-se
de uma forc¸a conservativa.
(c) O sentido de rotac¸a˜o em torno do centro de forc¸as
pode mudar pela ac¸a˜o da forc¸a ela´stica.
(d) A energia mecaˆnica sempre aumenta porque sem-
pre ha´ energia potencial armazenada na mola.
(e) O momento angular se conserva porque a reta
de ac¸a˜o da forc¸a ela´stica sobre a part´ıcula passa
pela origem O.
10. Sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa repousa um
sistema formado por duas pequenas massasm1 em2, liga-
das por uma mola de massa desprez´ıvel e que se encontra
relaxada. A partir do instante t = 0 passa a atuar sobre a
massam1 uma forc¸a externa constante ~F paralela a` mesa,
e uma forc¸a −3~F sobre a massa m2. Pode-se afirmar que
para t > 0
(a) o centro de massa do sistema se move ao longo
de uma reta
(b) o momento linear total do sistema se conserva
(c) a velocidade do centro de massa e´ uma func¸a˜o
quadra´tica do tempo
(d) a distaˆncia entre as massas m1 e m2 permanece
constante
(e) o momento angular total do sistema, referido ao
centro de massa, permanece constante
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Considere dois discos um de raio R1 e de massa M1 e outro de raio R2 e de massa M2 unidos concentricamente formando
um sistema(disco composto) r´ıgido, cujo momento de ine´rcia vale I quando gira livremente em torno do eixo fixo e
perpendicular ao plano dos discos passando pelo centro. Duas massas, m1 e m2, presas a cordas finas e inextens´ıveis
enroladas na periferia dos discos de raios R1 e R2 respectivamente, fazem girar o disco composto quando soltas; considere
que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o local da gravidade.
a) Isole os blocos e o disco composto e represente em um diagrama de corpo livre todas as forc¸as, identificando-as, que
atuam em cada um deles; use como refereˆncia a vista lateral do sistema.
b) Escreva as equac¸o˜es do movimento de rotac¸a˜o do disco composto e de translac¸a˜o dos blocos.
c) Determine a acelerac¸a˜o angular, α, do disco composto.
d) Determine matematicamente a condic¸a˜o para que o sistema esteja em equil´ıbrio.
2. Uma haste homogeˆnea e uniforme, de espessura desprez´ıvel, com massa M e comprimento ℓ, pode girar sem atrito em
torno de um pino que passa por uma de suas extremidades, como mostra a figura. O movimento da haste fica restrito a
um plano vertical e o mo´dulo da acelerac¸a˜o local da gravidade e´ igual g.
a) Sabendo-se que o momento de ine´rcia da haste em relac¸a˜o a um eixo perpendicular a` mesma, e que passe pelo seu
centro de massa e´ igual a ICM = (1/12)Mℓ
2, calcule o momento de ine´rcia da haste em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o
que passa pelo pino.
b) Se a haste for liberada na posic¸a˜o horizontal, a partir do repouso, determine sua velocidade angular no instante em
que passa pela posic¸a˜o vertical.
Ainda em relac¸a˜o a` situac¸a˜o descrita no ı´tem anterior, considere que ao passar pela vertical, a extremidade livre da haste
se choque com um pequeno corpo de massa m = M/9, originalmente em repouso. O corpo de massa m adere a` haste, e o
conjunto continua em movimento de rotac¸a˜o em torno do pino.
c) Calcule o momento de ine´rcia do sistema haste-corpo apo´s a colisa˜o em relac¸a˜o ao pino.
d) Qual e´ a velocidade angular do sistema haste-corpo de massa m, imediatamente apo´s a colisa˜o?
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 25/06/2012
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1
a) valor=0.5 pontos
Diagrama de forc¸as:
As forc¸as ~P1, ~P2 e ~PD sa˜o as forc¸as peso, ~T1 e ~T2 sa˜o as trac¸o˜es do fio nas massas 1 e 2,
respectivamente. ~Fs e´ a forc¸a de sutentac¸a˜o do eixo sobre o disco composto. ~T
′
1 e
~T ′2 sa˜o
as reac¸o˜es das trac¸o˜es sobre o disco.
b) valor=0.8 pontos
As equac¸o˜es do movimento para o disco composto e as massas sa˜o dadas por:
Disco :
∑
i
~τ exti = I~α massas 1 e 2 :
∑
i
~F exti = m~a
Para cada forc¸a agindo no disco e nas massas:
Disco :~τFS + ~τT ′1 + ~τT ′2 + ~τPD = I~α
massa 1: ~T1 + ~P1 = m~a1
massa 2: ~T2 + ~P2 = m~a2
2
c) valor=0.8 pontos
Dinamicamente, para o disco composto e para as massas 1 e 2, considerando que o disco
gira por hipo´tese no sentido anti-hora´rio:


T1 − P1 = −m1a1
T2 − P2 = m2a2
R1T
′
1 − R2T
′
2 = Iα
Como o fio e´ inextens´ıvel temos as condic¸o˜es adicionais:
∣∣∣~T1
∣∣∣ = ∣∣∣~T ′1
∣∣∣ , ∣∣∣~T2
∣∣∣ = ∣∣∣~T ′2
∣∣∣
A relac¸a˜o entre as acelerac¸o˜es de cada massa e a acelerac¸a˜o angular do disco composto
e´ dada por:
a1 = αR1
a2 = αR2
Com os dados acima obtemos a o sistema de equac¸o˜es:


T1 − P1 = −m1αR1
T2 − P2 = m2αR2 (i)
R1T1 − R2T2 = Iα
A soluc¸a˜o do sistema acima nos da´ a acelerac¸a˜o α,
α =
(
m1R1 −m2R2
m1R
2
1 +m2R
2
2 + I
)
g
d) valor= 0.4 pontos
A condic¸a˜o matema´tica para que o sistema esteja em equil´ıbrio e´ dada pelo valor de α
nulo. O que significa que o torque resultante sera´ nulo, pois τR = Iα. Logo do resultado
do item anterior,
m1R1 −m2R2 = 0 ⇒ m1R1 = m2R2
Uma outra alternativa e´ indicar que a condic¸a˜o de equil´ıbrio satisfaz a:


~τRes = ~0 → ~α = ~0
~F 1Res = ~0 → ~a1 = ~0
~F 2Res = ~0 → ~a2 = ~0
e de (i) obtermos tambe´m que m1R1 = m2R2.
3
Questa˜o discursiva 2
a) valor=0.5 pontos
Pelo teorema dos eixos paralelos,
IO = ICM +M(`/2)
2 = (1/12)M`2 + (1/4)M`2 = (1/3)M`2
b) valor=0.8 pontos
Durante a descida, a u´nica forc¸a que atua sobrea haste e que realiza trabalho e´ o peso,
que e´ uma forc¸a conservativa. Enta˜o, por conservac¸a˜o da energia mecaˆnica E = K + U .
Considerando a energia potencial de refereˆncia U0 = 0 na linha horizontal que passa
pela corpo antes da colisa˜o e que a energia potencial da haste, neste item, e´ calculada
tomando-se o seu centro de massa.
Ki + Ui = Kf + Uf
0 +Mg` = (1/2)IOω
2 +Mg`/2 ⇒ ω =
√
Mg`/IO =
√
3g/`
c) valor=0.4 pontos
O momento de ine´rcia do sistema haste-corpo apo´s a colisa˜o, em relac¸a˜o ao ponto fixo
O, e´ dado por:
I ′ = IO + Icorpo
I ′ =
1
3
M`2 +
1
9
M`2 ⇒ I ′ =
4
9
M`2
d) valor=0.8 pontos
Ha´ uma forc¸a externa exercida pelo pino sobre a haste, e assim o momento linear total
na˜o se mante´m constante. Essa forc¸a, pore´m, na˜o exerce torque em relac¸a˜o ao pino de
articulac¸a˜o (o brac¸o da alavanca e´ nulo), o que leva a` conservac¸a˜o do momento angular
total do sistema formado pela haste e pelo corpo de massa m, em relac¸a˜o ao pino:
~L(i)o =
~L(f)o
IOω = I
′ω′
ω′ = (IO/I
′)ω
De acordo com os resultados dos itens anteriores a) e d) temos,
ω′ =
(1/3)M`2
(4/9)M`2
√
3g/`
ω′ =
3
4
√
3g/`
4
Instituto de F´ısica - UFRJ
Segunda Prova de F´ısica IA - 2011/2
Obs: em todas as questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade
Questa˜o 1) Dois blocos de massas m1 = m e m2 = 2m esta˜o presos por uma barra fina, r´ıgida e
de massa desprez´ıvel. O sistema blocos-barra esta´ em repouso, sobre uma mesa horizontal sem
atrito, na configurac¸a˜o mostrada na figura abaixo de acordo com o sistema de coordenadas YOX.
Num dado instante t0=0s aplicam-se simultaneamente duas forc¸as ~F1 e ~F2 nas massas m1 e m2
respectivamente. Estas forc¸as teˆm mo´dulos F1 = 4F e F2 = F e sentidos opostos sendo as suas
direc¸o˜es paralelas ao eixo horizontal OX. As forc¸as aplicadas sa˜o mantidas constantes durante
um certo tempo t. Durante este tempo, considerando a translac¸a˜o do sistema, determine:
a) o vetor acelerac¸a˜o do centro de massa do sistema, ~aCM ;
b) as coordenadas do centro de massa do sistema RX(t) e RY (t) para um instante qualquer
entre t0 e t;
c) de acordo com o item anterior qual a trajeto´ria do centro de massa do sistema;
d) Se substituirmos a barra por uma mola(tambe´m de massa desprez´ıvel), o que acontece com
os resultados obtidos nos itens anteriores? Justifique a sua resposta.
Questa˜o 2) Uma part´ıcula de massa m e velocidade inicial ~u = uıˆ, colide elasticamente com
outra de massa M , inicialmente em repouso no referencial do laborato´rio. Apo´s a colisa˜o, a
part´ıcula de massa m foi defletida por um aˆngulo de 90◦, e o mo´dulo de sua velocidade foi
reduzido para u/
√
3. A part´ıcula de massa M emerge da colisa˜o com velocidade de mo´dulo v,
numa direc¸a˜o que faz um aˆngulo θ com a direc¸a˜o ıˆ. Determine:
a) o aˆngulo θ;
b) a raza˜o λ = M/m e o valor de v;
c) o vetor velocidade do centro de massa do sistema, antes da colisa˜o;
d) o vetor velocidade do centro de massa apo´s a colisa˜o.
e) Compare os resultados obtidos nos itens c) e d). Justifique a sua resposta.
Questa˜o 3) Dois patinadores, cada um com massa m, deslizando sobre uma pista de gelo de
atrito desprez´ıvel, aproximam-se um do outro com velocidades ~vA e ~vB de mo´dulos iguais a
v e de sentidos opostos, segundo retas paralelas separadas por uma distaˆncia d, como esque-
maticamente mostra a figura. Adote o sistema de refereˆncia indicado na figura, com o eixo z
apontando perpendicularmente para fora da folha.
a) Obtenha o vetor momento angular do sistema em relac¸a˜o ao centro de massa.
b) Quando os patinadores esta˜o frente a` frente e a distaˆncia entre eles e´ d, estendem os brac¸os
e da˜o-se as ma˜os, passando a girar em torno do centro de massa, mantendo entre eles a
distaˆncia d. Calcule a velocidade angular de rotac¸a˜o dos patinadores.
c) Calcule a energia cine´tica nesta situac¸a˜o.
d) Em um dado instante, os patinadores puxam-se um ao outro, reduzindo sua distaˆncia para
d/2. Qual a nova velocidade angular de rotac¸a˜o?
e) Qual a nova energia cine´tica? Ela se conserva? Por queˆ?
Questa˜o 4) Um carretel de massa M e momento de ine´rcia I = MR2, em relac¸a˜o ao eixo que
passa longitudinalmente pelo seu centro de massa, e´ colocado sobre uma fita fina e r´ıgida presa
a` parede e ao cha˜o inclinada de um aˆngulo θ em relac¸a˜o ao cha˜o. O carretel possui raios internos
e externos iguais a r e R respectivamente. Ele parte do repouso e durante o seu movimento rola
sem deslizar e na˜o tomba para os lados.
a) Escreva as equac¸o˜es de Newton para o movimento de translac¸a˜o e rotac¸a˜o do carretel.
b) Determine a acelerac¸a˜o do centro de massa do carretel.
c) Determine a inclinac¸a˜o ma´xima da fita para que o carretel role sem deslizar. Considere que
o coeficiente de atrito esta´tico entre o carretel e a fita e´ igual µe.
Questa˜o 1
a) valor = 1,0 pontos
O sistema esta´ sujeito a` ac¸a˜o de duas forc¸as constantes durante o intervalo de tempo
[t0, t]: ~F1 = 4F ıˆ e ~F2 = −F ıˆ. O movimento do centro de massa (CM) depende apenas
das forc¸as externas e a resultante sobre o sistema blocos-barra e´
~F ext = ~F1 + ~F2 = 3F ıˆ (1)
Sendo a forc¸a resultante constante, a acelerac¸a˜o tambe´m o e´. A segunda lei de Newton
para a translac¸a˜o do CM fica,
~F ext = (m1 +m2)~aCM
A massa total do sistema e´ m1 +m2 = 3m, portanto o vetor acelerac¸a˜o do CM e´,
~aCM =
F
m
ıˆ (2)
b) valor = 0,5 pontos
Como foi visto no item acima, a acelerac¸a˜o e´ constante e na˜o apresenta componente
na direc¸a˜o Y. Integrando a equac¸a˜o 2 duas vezes com relac¸a˜o ao tempo, e de acordo com
as condic¸o˜es iniciais, obtemos a posic¸a˜o ~RCM (t) do CM no instante t ≥ t0. Temos enta˜o
~RCM (t) = ~RCM (t0) + ~VCM (t0)(t− t0) + 1
2
~aCM(t− t0)2 (3)
Sabemos, contudo, que t0 = 0s e que o sistema parte do repouso, ou seja, a velocidade
inicial do CM, ~VCM (t0), e´ zero. A posic¸a˜o inicial do CM e´
~RCM (t0) =
1
(m1 +m2)
[m1~r1(t0) +m2~r2(t0)] =
d
3
ˆ (4)
de maneira que a posic¸a˜o do CM no instante t e´
~RCM (t) =
d
3
ˆ+
F
2m
t2ıˆ (5)
c) valor = 0,5 pontos
A equac¸a˜o 5 e´ vetorial, de forma que as equac¸o˜es hora´rias para as componentes RX(t)
e RY (t) do vetor posic¸a˜o do CM sa˜o:
RX(t) =
1
2
F
m
t2 e RY (t) =
d
3
(6)
onde vemos que a posic¸a˜o RY (t) do CM e´ constante, o que se deve ao fato de na˜o haver
velocidade inicial nem acelerac¸a˜o na direc¸a˜o Y . Por outro lado, o movimento na direc¸a˜o
X e´ uniformemente acelerado. Assim a trajeto´ria do CM (descrita pelo seu vetor posic¸a˜o)
no plano YOX e´ uma reta, paralela ao eixo X, atravessando o eixo Y em Y =
d
3
.
1
Figure 1: Trajeto´ria do centro de massa(CM) representada pela linha pontilhada.
d) valor = 0,5 pontos
A barra sem massa utilizada inicialmente produzira´ forc¸as sobre as massas adjacentes,
pore´m tais forc¸as sa˜o internas ao sistema, na˜o sendo capazes de alterar o estado de movi-
mento do CM. No caso de uma mola (sem massa) no lugar da barra, as respostas
anteriores na˜o se alterariam, visto que as forc¸as ela´sticas tambe´m seriam internas,
na˜o interferindo no movimento do CM, sujeito somente a` forc¸a externa resultante.
2
Questa˜o 2
a) valor = (0,5 pontos)
O momento linear total conserva-se pois a resultante das forc¸as externas sobre o sis-
tema e´ zero.


~PAntes = muıˆ
~PDepois = m
u√
3
ˆ+M (v cos θ ıˆ− v sen θ ˆ) = Mv cos θ ıˆ +
(
m
u√
3
−Mv sen θ
)
ˆ
(1)
Como o momento ~PAntes = ~PDepois, as componentes x e y da conservac¸a˜o do momento linear
sa˜o
x : mu = Mv cos θ, (2)
y : 0 = Mv sen θ −m u√
3
⇒ m u√
3
= Mv sen θ (3)
Para determinar θ, calcula-se (3)/(2):
Mvsen θ
Mv cos θ
=
mu√
3mu
⇒ tan θ = 1√
3
⇒ θ = 30◦. (4)
b) valor = (0,5 pontos)
A energia cine´tica conserva-se pois a colisa˜o e´ ela´stica, KAntes = KDepois. Enta˜o
m
2
u2 =
m
2
(
u√
3
)2
+
M
2
v2 ⇒
(
1− 1
3
)
u2 =
M
m
v2 ⇒ λv2 = 2u
2
3
. (5)
Elimina-se θ das equac¸o˜es da conservac¸a˜o do momento linear calculando-se (2)2 + (3)2:
M2v2
(
cos2θ + sen2θ
)
= m2
(
1 +
1
3
)
u2 ⇒ λv2 = 4u
2
3λ
. (6)
O valor de λ e´ obtido igualando as equac¸o˜es (5) e (6)
2u2
3
=
4u2
3λ
(7)
λ = 2. (8)
Substituindo (8) em (5), encontra-se v:
2v2 =
2u2
3
⇒ v2 = u
2
3
∴ v =
u√
3
. (9)
3
c) valor = (0,5 pontos)
A velocidade do centro de massa antes da colisa˜o e´ calculada pela definic¸a˜o de veloci-
dade do centro de massa, ~VCM =
∑
m~vi/
∑
mi, e usando que λ = 2:
~V AntesCM =
muıˆ
m+M
=
uıˆ
1 +M/m
⇒ ~V AntesCM =
u ıˆ
1 + λ
⇒ ~V AntesCM =
u
3
ıˆ. (10)
d) valor = (0,5 pontos)
Maneira 1
A velocidade do centro de massa apo´s a colisa˜o e´ calculada pela definic¸a˜o e usando os
resultados dos itens (a) e (b):
~V DepoisCM =
m u√
3
ˆ+M (v cos θ ıˆ− v sen θ ˆ)
m+M
=
u√
3
ˆ + λ
(
u√
3
cos 30◦ ıˆ− u√
3
sen 30◦ ˆ
)
1 + λ
=
u√
3
ˆ+ 2
(
u√
3
×
√
3
2
ıˆ− u√
3
× 1
2
ˆ
)
3
=
u
3
ıˆ+
1
3
(
u√
3
− u√
3
)
ˆ
=
u
3
ıˆ. (11)
Maneira 2
Neste caso, pode-se usar diretamente que como o momento linear se conserva, tem-se
que ~PAntes = ~PDepois.
Logo,
M~V AntesCM = M
~V DepoisCM
~V AntesCM =
~V DepoisCM =
u
3
ıˆ,
conforme calculado no item (c).
e) valor = (0,5 pontos)
~V AntesCM =
~V DepoisCM . A justificativa foi apresentada na segunda soluc¸a˜o para o item (d). A
velocidade do centro de massa mate´m-se invariante independentemente do tipo de colisa˜o!
4
Questa˜o 3
a) valor = (0,5 pontos)
Inicialmente, o momento angular do sistema e´ ~L = ~rA × ~pA + ~rB × ~pB , onde ~rA e ~rB
sa˜o os vetores posic¸a˜o dos patinadores em relac¸a˜o ao centro de massa. Assim,
~L = −(mvd
2
)kˆ − (mvd
2
)kˆ = −mvdkˆ.
b) valor = (0,5 pontos)
Como na˜o ha´ torques externos(~PA + ~NA = ~0 e ~PB + ~NB = ~0) e a forc¸a radial que
atua em cada patinador na˜o produz torque, o momento angular do sistema se conserva,
de modo que ~L = −mvdkˆ = I~ω. Como o momento de ine´rcia e´ I = 2×m
(
d
2
)2
=
md2
2
,
enta˜o,
~ω = −2v
d
kˆ.
c) valor = (0,5 pontos)
A energia cine´tica e´ K = 1
2
Iω2,
Temos do item anterior: I =
md2
2
e ~ω = −2v
d
kˆ.
Logo,
K =
1
2
md2
2
× (2v
d
)2 ⇒ K = mv2.
d) valor = (0,5 pontos)
Mais uma vez o momento angular do sistema se conserva, pois na˜o ha´ torques externos.
Assim, I~ω = I ′~ω′, onde I ′ e ~ω′ sa˜o, respectivamente, o momento de ine´rcia e a velocidade
angular depois do puxa˜o. O momento de ine´rcia I ′ = 2×m
(
d
4
)2
=
md2
8
, de modo que
obtemos assim a velocidade angular,
~ω′ = 4~ω = −8v
d
kˆ.
e) valor = (0,5 pontos)
A nova energia cine´tica e´ K ′ = 1
2
I ′ω′2 = 4mv2. A energia cine´tica aumenta, por conta
do trabalho realizado pelos patinadores ao puxarem-se um ao outro.
5
Questa˜o 4
a) valor = (1.0 pontos)
As forc¸as que agem no carretel sa˜o as forc¸as normal, ~N , peso ~P , e de atrito ~fat; vide
diagrama abaixo. As equac¸o˜es de Newton para translac¸a˜o e rotac¸a˜o sa˜o:
translac¸a˜o: ~N + ~P + ~fat = M~acm
rotac¸a˜o: ~τN + ~τP + ~τfat = I~α
b) valor = (1.0 pontos)
A relac¸a˜o entre a acelerac¸a˜o angular e a acelerac¸a˜o tangencial do carretel para a
rotac¸a˜o e´ dada por ~α×~r = ~aT . Como o carretel rola sem deslizar o mo´dulo da acelerac¸a˜o
tangencial |~aT | e´ igual ao mo´dulo da acelerac¸a˜o do centro de massa do carretel |~acm|.
Portanto de acordo com o sistema de coordenadas indicado e os torques obtidos com
relac¸a˜o ao centro do carretel(~τP e ~τN se anulam) temos:


(Psenθ − fat)ˆı = Macm ıˆ
rfat(−kˆ) = I(−αkˆ)
αr = acm
⇒
{
Psenθ − fat = Macm
fatr = Iacm/r
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita nos da´:
acm =
Psenθ
(I/r2 +M)
=
Mgsenθ
(MR2/r2 +M)
∴ acm =
r2gsenθ
(R2 + r2)
.
c) valor = (0,5 pontos)
Na condic¸a˜o de inclinac¸a˜o ma´xima(θmax) o carretel estara´ no limite do deslizamento.
A forc¸a de atrito limite sera´ dada por |~fat| = µe| ~N |. Nesta situac¸a˜o | ~N | = Mgcosθmax,
fat = µeMgcosθmax = acmI/r
2 ⇒ µeMgcosθmax = r
2gsenθmax
(R2 + r2)
× MR
2
r2
tan θmax = µe
(R2 + r2)
R2
.
6