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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/2
PRIMEIRA PROVA – 22/05/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma massa m esta´ suspensa no campo gravitacional
por uma mola de contante ela´stica k presa ao teto.
Efeitos de atrito sa˜o desprez´ıveis e observa-se que o
sistema oscila verticalmente em torno de sua posic¸a˜o
de equil´ıibrio. A opc¸a˜o correta e´:
(a) A energia mecaˆnica do sistema na˜o se conserva,
pois ale´m da forc¸a gravitacional sobre a massa
ha´, adicionalmente, a forc¸a ela´stica exercida
pela mola.
(b) A energia mecaˆnica do sistema se conserva, se
considerarmos que esta e´ a soma das energias
cine´tica e energia potencial gravitacional da
massa.
(c) A energia mecaˆnica do sistema se conserva, se
considerarmos que esta e´ a soma das energias
cine´tica e energia potencial ela´stica da mola.
(d) A energia potencial total, dada como a soma
das contribuic¸o˜es de energia potencial gravi-
tacional e energia potencial elastica, e´ conser-
vada.
(e) A energia mecaˆnica do sistema se conserva, se
considerarmos que esta e´ a soma das energias
cine´tica e das energias potencial gravitacional
e potencial ela´stica da mola.
2. Um pequeno bloco de massa m sobre uma mesa ho-
rizontal comprime uma mola de constante ela´stica k
de uma distaˆncia d, a partir da posic¸a˜o relaxada da
mola em O, como mostra a figura. Liberado a partir
do repouso, ele realiza um movimento retil´ıneo hori-
zontal para a direita percorrendo depois da posic¸a˜o O
uma distaˆncia d ′, quando atinge o repouso; ha´ uma
forc¸a de atrito constante da superf´ıcie da mesa sobre
o bloco em toda a extensa˜o do movimento. O coefici-
ente de atrito cine´tico µc entre a superf´ıcie e o bloco
e´:
(a)
k
2mg
(d− d ′);
(b)
k
2mg
(d+ d ′);
(c)
k
mg
(d+ d ′);
(d)
k
mg
(d ′);
(e)
k
2mg
(d ′).
1
3. Forc¸as conservativas sa˜o tais que:
(a) Na˜o produzem variac¸a˜o de energia cine´tica.
(b) Na˜o produzem variac¸a˜ode energia potencial.
(c) Na˜o produzem trabalho jamais.
(d) Produzem trabalho em trajeto´rias fechadas
(e) Na˜o produzem trabalho em trajeto´rias fecha-
das.
4. Um proje´til e´ lanc¸ado do solo com uma velocidade que
faz um aˆngulo θ0 com a horizontal (0 < θ0 < π/2).
Ignorando efeitos de resisteˆncia do ar e considerando
o intervalo de tempo decorrido entre o instante do
lanc¸amento e o instante em que o proje´til atinge a
altura ma´xima, pode-se afirmar que o aˆngulo entre
o vetor velocidade me´dia e o vetor acelerac¸a˜o me´dia
e´:
(a) igual a θ0
(b) igual a θ0/2
(c) maior do que π + θ0/2
(d) menor do que π/2 + θ0
(e) igual a π/2− θ0
5. Dois carros A e B (considerados como part´ıculas) par-
tem da mesma posic¸a˜o no instante t = 0 e percorrem
estradas perpendiculares, seguindo para o norte e o
leste, respectivamente, com velocidades constantes ~vA
e ~vB. A distaˆncia d entre os dois carros no instante t
satisfaz a` relac¸a˜o
(a) |~vA| t < d < |~vB| t;
(b) |~vB| t < d < |~vA| t;
(c) d =
√
|~vA|2 + |~vB|2 t ;
(d) d =
√
|~vA|2 − |~vB|2 t;
(e) d = |~vA| t− |~vB| t.
6. A figura mostra um trilho no plano horizontal no qual
uma part´ıcula desloca-se da posic¸a˜o A para a posic¸a˜o
B. Dentre os vetores ~a1, ~a2 e ~a3 indicados na fi-
gura, na˜o pode(m) representar uma acelerac¸a˜o da
part´ıcula, nas respectivas posic¸o˜es 1, 2, e 3,
(a) ~a1;
(b) ~a2;
(c) ~a3;
(d) ~a1 e ~a2;
(e) ~a2 e ~a3;
7. Uma part´ıcula desloca-se ao longo do eixo x sob a
ac¸a˜o de uma forc¸a conservativa ~F , correspondente a
um potencial U(x), dado pela figura abaixo. Para este
potencial entre as opc¸o˜es abaixo a u´nica incorreta e´:
(a) na posic¸a˜o xB a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula;
(b) na posic¸a˜o xD, tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio
insta´vel;
(c) no deslocamento do corpo de xA para xB o tra-
balho realizado pela forc¸a ~F e´ negativo;
(d) o sentido da forc¸a ~F na posic¸a˜o xE e´ positivo;
(e) na posic¸a˜o xC a forc¸a ~F na˜o e´ nula.
2
8. Um bloco encontra-se em equil´ıbrio suspenso por
uma mola de constante ela´stica k, presa ao teto e com
alongamento d. O bloco e´ levantado ate´ a posic¸a˜o
em que o alongamento e´ nulo e abandonado a partir
do repouso. Ao descer uma altura d/2 o bloco ganha
uma energia cine´tica,
(a) (1/2)kd2 ;
(b) (1/4)kd2;
(c) (3/4)kd2;
(d) (3/8)kd2;
(e) 2kd2.
9. Uma part´ıcula de massa m esta´ dentro de um funil de
vidro e percorre a sua superf´ıcie interior com um mo-
vimento circular uniforme horizontal. Na˜o ha´ atrito
entre a parede do funil e a part´ıcula. O aˆngulo que a
parede do funil faz com o seu eixo de simetria e´ igual
a θ, como mostra a figura. Desprezando a presenc¸a do
ar, o mo´dulo da forc¸a da superf´ıcie sobre a part´ıcula
e o mo´dulo da acelerac¸a˜o centr´ıpeta da part´ıcula sa˜o,
respectivamente,
(a) mg/cosθ e g/tanθ
(b) mg/senθ e g/cotθ
(c) mg/cosθ e g/cotθ
(d) mg/senθ e g/senθ
(e) mg/senθ e g/tanθ
10. Em um lago tranquilo treˆs barcos A, B e C teˆm veloci-
dades respectivas ~vA=vıˆ−vˆ, ~vB=vıˆ e ~vC=−vıˆ+vˆ
(v uma constante dada), todas relativas ao referen-
cial constitu´ıdo por um oˆnibus estacionado na margem
com um sistema de eixos OXY Z, sendo OXY na ho-
rizontal, conforme a figura. Considere o barco A como
um referencial com sistema de eixos OAXAYAZA, cada
um deles com mesma direc¸a˜o e sentido dos respectivos
eixos de OXY Z. Em relac¸a˜o ao referencial do barco
A as velocidades do oˆnibus, do barco B e do barco C
sa˜o, respectivamente,
O X
Y
vA
OA XA
YA
vB
vC
(a) ~v ′
O
=−vıˆ+ vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=−2vıˆ+ 2vˆ.
(b) ~v ′
O
=vıˆ+ vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=2vıˆ+ 2vˆ
(c) ~v ′
O
=−vıˆ+ vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=−2vıˆ− 2vˆ
(d) ~v ′
O
=vıˆ− vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=2vıˆ+ 2vˆ
(e) nenhuma das respostas anteriores.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. A figura seguinte representa um sistema formado por duas cunhas A e B, ambas com massa igual a m, sobre uma
superf´ıcie horizontal perfeitamente lisa; na˜o ha´ contato entre a cunha A e essa superf´ıcie horizontal. O coeficiente
de atrito esta´tico entre as superf´ıcies das cunhas e´ igual a µe. Sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ~F horizontal constante,
aplicada em B, como mostra a figura, o sistema se move em movimento retil´ıneo uniformemente acelerado, sem
que a cunha A deslize sobre a cunha B. O mo´dulo de ~F e demais condic¸o˜es sa˜o tais que o atrito entre as cunhas
tem que impedir a cunha A de deslizar para cima sobre a B. Considere como dados m, µe, ~F , o aˆngulo θ indicado
na figura e a acelerac¸a˜o da gravidade ~g.
a) Determine a forc¸a resultante sobre a cunha A.
b) Calcule o mo´dulo da forc¸a total que a cunha B exerce sobre a cunha A.
c) Represente em um diagrama todas as forc¸as que agem sobre cada uma das cunhas.
d) Calcule o mo´dulo da forc¸a de atrito entre as cunhas.
e) Determine a ma´xima intensidade da forc¸a aplicada ~F , de modo que a cunha A ainda na˜o suba deslizando sobre
a cunha B.
2. Um objeto de massa m e dimenso˜es desprez´ıveis parte do repouso e de uma altura 4R, deslizando por uma rampa
suave ate´ encontrar uma superf´ıcie horizontal, por onde segue ate´ encontrar uma rampa circular de raio R, sobre a
qual continua seu movimento (veja a figura). Na˜o ha´ atrito em todo o percurso do objeto, que se da´ em um mesmo
plano vertical (da figura). Expressando suas respostas em termos dos unita´rios horizontal ıˆ e vertical ˆ indicados
na figura, determine
a) o vetor velocidade, ~v, nos pontos A, B e C;
b) o vetor de forc¸a normal, ~N , nos pontos A, B e C.
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Universidade Federal do Riode Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Primeira Prova de F´ısica IA - 22/05/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5.0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observac¸a˜o: a questa˜o 2 da prova A foi anulada e demais correspondentes das provas B,
C e D; tarja preta. O texto na˜o cita que o bloco esta´ permanentemente preso a` mola e o
desenho na˜o mostra esta condic¸a˜o, embora a u´nica opc¸a˜o compat´ıvel seja a resposta (a)
da questa˜o, admtindo que o bloco esta´ preso a` mola.
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2.5 pontos)
a) valor=0.5 ponto
Pela segunda lei de Newton, o sistema de massa 2m se move com uma acelerac¸a˜o dada por
~a = ~F/(2m). A cunha A se move com a mesma acelerac¸a˜o ~a do conjunto. A resultante
das forc¸as que atuam na cunha A corresponde a` soma vetorial das forc¸as ~NA, ~P e ~fe.
Usando a segunda lei de Newton para a cunha A,
~NA + ~P + ~fe = m~a = m ~F/(2m) = ~F/2,
ou diretamente neste caso:
~FA = m~a → ~FA = ~F/2
b) valor=0.5 ponto
A forc¸a total exercida pela cunha B na cunha A e´ dada pela soma ~NA+ ~fe. Pela equac¸a˜o
acima,
| ~NA + ~fe| = |~F/2− ~P | =
√
(F/2)2 + (−P )2 =
√
F 2/4 + (mg)2
c) valor=0.5 ponto
O diagrama de forc¸as das cunhas A e B sa˜o mostrados na figura abaixo, onde os vetores
indicados por (′) correspondem a`s reac¸o˜es das forc¸as correspondentes.
d) valor=0,5 ponto
Projetando as forc¸as nas direc¸o˜es dos eixos x e y, e aplicando a
segunda lei de Newton,


NAsenθ+ fe cos θ = max = F/2
NA cos θ − fesenθ = may = 0
Resolvendo esse sistema de equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas NA e
fe, obtemos o mo´dulo fe da forc¸a de atrito entre as cunhas:
fe = (1/2)Fcosθ −mg senθ
2
e) valor=0,5 ponto
A intensidade ma´xima Fmax da forc¸a aplicada corresponde a` situac¸a˜o em que a cunha A
esta´ na imineˆncia de deslizar sobre a cunha B. Nesse caso o mo´dulo da forc¸a de atrito
esta´tico atinge o seu valor ma´ximo µeN . Usando os resultados do item (d), obtemos o
mo´dulo da forc¸a normal N.
NA = (1/2)Fsenθ +mg cosθ
Com a condic¸a˜o de que o atrito ma´ximo dado por |~fe| = µeNA, temos:
(1/2)Fmax cosθ −mg senθ = µe [(1/2)Fmax senθ +mg cosθ]
∴ Fmax=2mg
(
senθ + µe cosθ
cosθ − µe senθ
)
3
Questa˜o discursiva 2 (valor=2.5 pontos)
a) valor=1,3 pontos
Usando a lei de conservac¸a˜o da energia mecaˆnica podemos calcular os mo´dulos das veloci-
dades em A, B e C. Os sentidos e direc¸o˜es dos vetores velocidade sa˜o dados em func¸a˜o do
movimento se dar de A→ B → C e de que o vetor velocidade e´ tangente a` trajeto´ria.
Em A: 4mgR = 1
2
mv2A. Assim, vA = 2
√
2gR → ~vA = 2
√
2gRıˆ.
Em B: 4mgR = mgR + 1
2
mv2B. Assim, vB =
√
6gR → ~vB =
√
6gRˆ.
Em C: 4mgR = 2mgR + 1
2
mv2C. Assim, vC = 2
√
gR → ~vC = −2
√
gRıˆ.
b) valor=1,2 pontos
No trecho circular do movimento ascendente, a projec¸a˜o da resultante na direc¸a˜o radial e´
identificada a` forca centr´ıpeta. Com os valores das velocidade obtidos do item anterior,
temos,
Em A: NA −mg = mv
2
A
R
= 8mg. Assim, NA = 9mg → ~NA = 9mgˆ.
Em B: NB =
mv2B
R
= 6mg. Assim, NB = 6mg → ~NB = −6mgıˆ.
Em C: NC +mg =
mv2C
R
= 4mg. Assim, NC = 3mg → ~NC = −3mgˆ.
4