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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/2
SEGUNDA PROVA(P2) – 18/02/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um pai de massa M brinca com seu filho de massa m
na super´ıcie horizontal de um lago congelado, onde o
atrito pode ser desprezado; considere M > m. Cada
um segura uma das extremidades de uma corda leve
e comprida. Eles devem puxar a corda para conseguir
pegar uma bola, colocada na metade da distaˆncia en-
tre os dois. Qual afirmac¸a˜o e´ verdadeira quando am-
bos puxam a corda?
(a) O resultado dependera´ do esforc¸o que cada um
fara´.
(b) O pai, alcanc¸ara´ a bola primeiro.
(c) O filho alcanc¸ara´ a bola primeiro, qualquer que
seja seu esforc¸o.
(d) Os dois sempre alcanc¸ara˜o a bola ao mesmo
tempo.
(e) Nenhuma das afirmac¸o˜es anteriores.
2. Uma esfera de massaM , raio R e momento de ine´rcia
I = (2/5)MR2, em relac¸a˜o ao eixo que passa pelo
seu centro de massa, desce um plano inclinado A-B
(ver figura), rolando sem deslizar. A esfera parte do
repouso e desce ate´ o final do plano inclinado (ponto
B), situado a uma altura h em relac¸a˜o ao solo. Neste
instante, ela tem velocidade angular ω0, e entra em
queda livre. Afirma-se que: I) Imediatamente an-
tes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera
e´ ω =
√
ω2
0
+ 10gh/7R2. II) Imediatamente antes
de tocar o solo, a velocidade angular da esfera con-
tinua com o valor ω0. III) O momento angular da
esfera mante´m-se perpendicular ao plano do movi-
mento. IV) Ao longo da queda livre, a energia cine´tica
de rotac¸a˜o da esfera permanece constante. Qual(ais)
da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima esta´(a˜o) incorreta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) I e IV.
(d) II e III.
(e) I e III.
1
3. Um treno´ de massa M move-se horizontalmente com
velocidade constante em um lago congelado. Ao pas-
sar por baixo de um viaduto, cai sobre ele vertical-
mente, um pacote de massa m ficando preso a ele. O
atrito entre a superf´ıcie do lago e o treno´ pode ser
desprezado. Ao comparar-se, o momento linear, a
velocidade e a energia cine´tica do sistema treno´-
pacote apo´s o pacote cair sobre o treno´, com estas
mesmas grandezas na situac¸a˜o inicial do treno´, e´ cor-
reto afirmar que:
(a) aumenta, diminui e aumenta.
(b) aumenta, permanece constante e aumenta;
(c) diminui, diminui e diminui;
(d) permanece constante, permanece constante e
permanece constante;
(e) permanece constante, diminui e diminui;
4. Um bloco A deslocando-se com momento linear ~pA =
(aıˆ − aˆ), colide com um bloco B de momento linear
~pB = (aıˆ + aˆ), onde a e´ uma constante. Suponha
que na˜o ha´ forc¸a externa. Apo´s a colisa˜o o centro de
massa do sistema segue, de acordo com o sistema de
coordenadas ortogonais XY Z e os respectivos vetores
unita´rios ıˆ, ˆ e kˆ:
(a) na direc¸a˜o x e sentido negativo;
(b) na direc¸a˜o y e sentido negativo;
(c) na direc¸a˜o x e sentido positivo;
(d) na direc¸a˜o y e sentido positivo;
(e) em uma direc¸a˜o formando um aˆngulo pi
4
com os
eixos OX e OY .
5. Uma bola desloca-se com velocidade ~v constante e co-
lide elasticamente na lateral de uma mesa, segundo o
aˆngulo α definido entre a direc¸a˜o de seu movimento e
a lateral da mesa e e´ claro que |~v| = |~v ′|; como mos-
tra a figura. O processo de colisa˜o dura um tempo
∆t. Na figura esta˜o indicadas 4 setas numeradas. A
opc¸a˜o correta para representar a forc¸a me´dia que atua
na bola durante a colisa˜o e´:
(a) 4;
(b) 2;
(c) 3;
(d) 1;
(e) nenhuma das respostas anteriores.
6. Um menino, de massa m, encontra-se na extremidade
esquerda de um barco de comprimento L e massa
M , distribu´ıda homogeneamente. Inicialmente o con-
junto, barco e menino, move-se para a direita com
velocidade constante ~V1, em relac¸a˜o a um referencial
inercial colocado na margem do lago. Num dado ins-
tante o menino move-se para a extremidade direita
do barco, onde permanece. Nesta situac¸a˜o o conjunto
move-se com velocidade constante ~V2 em relac¸a˜o ao
mesmo referencial inercial. Desprezando-se o atrito
entre o barco e a a´gua, pode-se afirmar, ao fim do
processo, que:
(a) | ~V1| 6= | ~V2|.
(b) |~V1| = |~V2|.
(c) |~V2| = 0.
(d) Na˜o se pode determinar |~V2|, pois na˜o se co-
nhece a forc¸a exercida pelo menino sobre o
barco.
(e) Na˜o se pode determinar |~V2|, pois na˜o se co-
nhece a velocidade inicial do centro de massa
do sistema barco-menino.
2
7.
U
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caracol
d
e
m
assa
m
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(b
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B
>
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B
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ω
′
>
ω
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I
B
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I
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ω
′
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ω
0
(e)
I
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ω
′
=
ω
0
8.
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e´
con
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f
=
ω
0 ,
e´
con
servad
a,
n
a˜o
e´
con
servad
o;
(d
)ω
f
=
ω
0 /2,
n
a˜o
e´
con
servad
a,
e´
con
servad
o;
(e)
ω
f
=
ω
0 /2,
e´
con
servad
a,
e´
con
servad
o.
9.
U
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10.
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m
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gu
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cid
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ois
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colisa˜o.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 18/02/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas - 0,5 ponto cada questa˜o
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1) - 2,5 pontos
a) valor=1,0 ponto
O momento linear total inicial do sistema composto pelas duas part´ıculas e´ dado por:
~P inicial = ~pinicial1 + ~p
inicial
2
= m~u+ 2m~v2
= m (−u cos θ1ıˆ− u sen θ1ˆ) + 2m(3uıˆ)
= (−mu cos θ1 + 6mu) ıˆ−musen θ1ˆ.
=
(
−3mu
5
+ 6mu
)
ıˆ− 4mu
5
ˆ.
=
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ. (1)
b) valor=1,0 ponto
Na auseˆncia de forc¸as externas, o momento linear total do sistema conserva-se: ~P inicial =
~P final. Comecemos calculando o momento linear total do sistema apo´s a colisa˜o
~P final = ~pfinal1 + ~p
final
2 = −mv1f ˆ+ 2mv2f ıˆ, (2)
onde v1f e v2f sa˜o os mo´dulos das velocidades, apo´s a colisa˜o das part´ıculas 1 e 2 respec-
tivamente. Como o momento linear conserva-se:
~P inicial = ~P final
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ = 2mv2f ıˆ−mv1f ˆ
paraa componente de ıˆ :
27mu
5
= 2mv2f =⇒ v2f = 27
10
u. (3)
para a componente de ˆ : − 4mu
5
=−mv1f =⇒ v1f = 4
5
u. (4)
c) valor=0,5 ponto
Como o momento linear conserva-se a velocidade do centro de massa do sistema na˜o se
altera devido a` colisa˜o. Podemos calcular a velocidade do centro de massa antes (ou
depois) da colisa˜o e argumentar que elas sa˜o iguais.
~V inicialCM =
~P inicial
m+ 2m
=
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ
3m
=
9u
5
ıˆ− 4u
15
ˆ. (5)
~V finalCM =
~P final
3m
=
27mu
5
ıˆ− 4mu
5
ˆ
3m
=
9u
5
ıˆ− 4u
15
ˆ = ~V inicialCM . (6)
2
Questa˜o discursiva 2) - 2,5 pontos
a) valor=1,0 ponto
Ate´ ocorrer a colisa˜o, a u´nica forc¸a que realiza trabalho sobre a barra e´ o peso, que e´ uma
forc¸a conservativa. Por conservac¸a˜o de energia mecaˆnica,
(1/2)Iω20 +Mg`/2 = Mg`
Iω20 = Mg` =⇒ ω0 =
√
Mg`/I =
√
3g/`
b) valor=0,5 ponto
A colisa˜o na˜o altera o momento angular total do sistema barra+peˆndulo em relac¸a˜o ao
pino, pois o torque externo total em relac¸a˜o ao pino e´ nulo durante o processo de colisa˜o.
c) valor=0,5 ponto
Como a colisa˜o e´ ela´stica,
(1/2)Iω′2 + (1/2)mv2 = (1/2)Iω20
I(ω20 − ω′2) = mv2
Expandindo a equac¸a˜o acima
I(ω0 + ω
′)(ω0 − ω′) = mv2 → (i)
Como o momento angular e´ conservado temos:
Iω′ +mv · (2/3)` = Iω0
I(ω0 − ω′) = (2/3)mv` → (ii)
Dividindo a equac¸a˜o (i) pela (ii),
ω0 + ω
′ = (3/2)v/` → (iii)
Apo´s a susbstituic¸a˜o de I = (1/3)M`2 na equac¸a˜o ii):
ω0 − ω′ = 2mv/M` → (iv)
As equac¸o˜es (iii) e (iv) formam um sistema de equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas ω′ e v;
w′ + 2(m/M)v/` = w0
w′ − (3/2)v/` = −wo
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es leva a,
ω′ =
1− (4/3)m/M
1 + (4/3)m/M
ω0 =
1− (4/3)m/M
1 + (4/3)m/M
√
3g/`
3
d) valor=0,5 ponto
(maneira 1)
A expressa˜o encontrada no item anterior mostra que ω′ se anula para
1− (4/3)m/M = 0 ⇒ m/M = 3/4
(maneira 2)
Calculemos a energia cine´tica do sistema imediatamente antes e depois da colisa˜o, im-
pondo a condic¸a˜o que a barra permanece em repouso apo´s a colisa˜o e que o peˆndulo
adquire velocidade v.
Ki =
1
2
I0ω
2 e Kf =
1
2
mv2
Como a energia cine´tica e´ conservada ∆K = 0, pois a colisa˜o e´ ela´stica,
I0ω
2
0 = mv
2 (v)
O momento angular e´ conservado, de acordo com a equac¸a˜o (ii) e impondo a condic¸a˜o de
que a velocidade angular da barra apo´s a colisa˜o ω′ e´ nula, temos,
Ioω0 =
2
3
m`v ∴ v = 3
2
I0ω0
m`
Substituindo o valor de v obtido anteriormente na equac¸a˜o (v):
I0ω
2
0 = m
(3
2
I0ω0
m`
)2
Apo´s algumas simplificac¸o˜es e subsituindo-se o valor de I0, obtemos,
m/M = 3/4
4