P2 2011.1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2011/1
Segunda Prova (P2) – 29/06/2011
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,0 pontos.
3. A PARTE OBJETIVA DEVE SER PREENCHIDA A CANETA.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
I =
∫
S
J · nˆ dA J = nqv
F = qE + qv ×B , dF = Idℓ×B
B =
∮
C
dB =
∮
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
S
B · nˆ dA = 0 ,
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Seis fios condutores planos, mostrados nos paine´is
de (a) a (f), sa˜o todos percorridos por uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade I; em todos
eles a distaˆncia entre o ponto p e o ponto q e´
a mesma, igual a 2L. Todos eles esta˜o sujeitos
a um mesmo campo magne´tico constante (esta-
ciona´rio e uniforme). Em relac¸a˜o ao mo´dulo Fi
(i = a, b, c, d, e, f) da forc¸a magne´tica sobre a
sec¸a˜o do fio entre os pontos p e q, podemos afirmar
que:
(a) Fa > Fb > Fc > Fd > Fe > Ff .
(b) Fa = Fc = Fe < Fb = Fd = Ff .
(c) Fa = Fb = Fc = Fd = Fe = Ff .
(d) Fa = Fb = Fe < Fc = Fd = Ff .
(e) Fa = Fb = Fe > Fc = Fd = Ff
2. Temos treˆs situac¸o˜es relativas a` figura a seguir:
(1) a chave S e´ aberta depois de ficar um longo
tempo fechada, com todo o aparato em repouso;
(2) a chave S esta´ fechada ha´ um longo tempo
e a bobina A aproxima-se da bobina B, que se
mante´m em repouso; (3) a chave S esta´ fechada
ha´ um longo tempo, com todo o aparato em re-
pouso, mas a resisteˆncia R, no circuito da bobina
A, esta´ diminuindo. Qual das respostas abaixo
corresponde ao sentido da corrente induzida I que
passa atrave´s do resistor ab, de resisteˆncia Rab,
indicado no circuito da bobina B, nas correspon-
dentes situac¸o˜es acima?
(a) (1): corrente de a para b (sentido anti-ho-
ra´rio); (2): corrente de b para a (sentido
hora´rio); (3): corrente de a para b (senti-
do anti-hora´rio).
(b) (1): corrente de a para b (sentido anti-ho-
ra´rio); (2): corrente de a para b (sentido
anti-hora´rio); (3): corrente de b para a
(sentido hora´rio).
(c) (1): corrente de b para a (sentido hora´rio);
(2): corrente de b para a (sentido hora´rio);
(3): corrente de b para a (sentido hora´rio).
(d) (1): corrente de a para b (sentido anti-ho-
ra´rio); (2): corrente de b para a (sentido
hora´rio); (3) corrente de b para a (sentido
hora´rio).
(e) (1): corrente de b para a (sentido hora´rio);
(2): corrente de a para b (sentido anti-ho-
ra´rio); (3): corrente de a para b (sentido
anti-hora´rio).
2
3. Uma part´ıcula com carga q e massa m move-
se em uma regia˜o do espac¸o onde existe um
campo magne´tico constante (estaciona´rio e uni-
forme) B = Bxˆ (B > 0). Ela segue uma tra-
jeto´ria helicoidal (ou espiral), com eixo coinci-
dente com o eixo X . Qual deve ser a raza˜o entre
os mo´dulos das componentes paralela e transver-
sal ao campo magne´tico do vetor velocidade dessa
part´ıcula para que sua trajeto´ria tenha o seu passo
igual a` metade do seu raio?
(a) 1/(4π).
(b) 4π.
(c) 2π
(d) 1/(2π)
(e) 2.
(f) 1/2.
4. A figura mostra quatro arranjos de espiras circu-
lares de raios r ou 2r, centradas em eixos verticais
(perpendiculares a`s espiras) e transportando cor-
rentes de igual intensidade nos sentidos indicados.
Em todos os quatro arranjos, as espiras envol-
vidas encontram-se a` mesma distaˆncia do ponto
p. Qual das alternativas a seguir corresponde a
uma ordenac¸a˜o correta dos mo´dulos dos campos
magne´ticos resultantes, no ponto p?
(a) BA > BB > BC > BD.
(b) BC > BB > BD > BA.
(c) BD > BA > BC > BB.
(d) BC > BB > BA > BD.
(e) BA > BB > BD > BC .
5. Uma bu´ssola e´ colocada horizontalmente com sua
agulha imantada apontando para o po´lo Norte
(N). Dispomos de um fio retil´ıneo longo AB, onde
passa uma corrente de intensidade I no sentido de
A para B. Podemos colocar o fio num plano hori-
zontal, de modo que ele se encontre em diferentes
orientac¸o˜es, conforme listadas nas opc¸o˜es a seguir.
Em qual delas, com uma corrente suficientemente
grande, a agulha imantada sera´ desviada para o
sentido Nordeste (NE)?
(a) AB no sentido de Leste (E) para Oeste
(O), em cima da bu´ssola.
(b) AB no sentido de Sul (S) para Norte (N),
embaixo da bu´ssola.
(c) AB no sentido de Oeste (O) para Leste
(E), embaixo da bu´ssola.
(d) AB no sentido de Leste (E) para Oeste
(O), embaixo da bu´ssola.
(e) AB no sentido de Sul (S) para Norte (N),
em cima da bu´ssola.
6. Duas barras retil´ıneas imantadas ideˆnticas sa˜o sol-
tas, simultaˆneamente, do repouso, a partir de al-
turas iguais, com o seu eixo ao longo da vertical.
A barra A cai sobre um anteparo de terra pura e
a barra B cai sobre um anteparo de metal. Qual
das barras atinge primeiro o anteparo?
(a) A barra A.
(b) A barra B.
(c) Ambas chegam no mesmo instante.
(d) Aquela que estiver com o seu po´lo norte
apontando para baixo.
(e) Aquela que estiver com o seu po´lo sul
apontando para baixo.
3
7. No painel (a) da figura, representamos um so-
leno´ide ideal longo de raio r, atrave´s do qual flui
uma corrente quase-estaciona´ria de intensidade
I(t) crescente, no pro´prio sentido indicado. Em
torno desse soleno´ide, temos uma espira condu-
tora circular de raio R, com centro no eixo do
soleno´ide e perpendicular a tal eixo. No painel
(b) da figura, representamos essa mesma espira,
agora olhando-a de baixo para cima, no sentido
−zˆ, portanto. Qual das afirmativas abaixo cor-
responde a` direc¸a˜o e sentido do campo ele´trico
induzido E, no ponto P da espira, e ao mo´dulo
da forc¸a eletromotriz induzida ao longo do arco
de c´ırculo aPb da espira? O mo´dulo E do campo
ele´trico induzido e´ conhecido.
espira
espira
(a) E = Exˆ; E = 2πRE.
(b) E = Ezˆ; E = 3πRE/2.
(c) E = −Eyˆ; E = 3πRE/4.
(d) E = −Exˆ; E = πER.
(e) E = −Eyˆ; E = 3πRE/2.
8. Considere duas bobinas pro´ximas uma da outra,
conforme mostra a figura. A bobina 1 tem N1
espiras e e´ percorrida por uma corrente i1(t).
A bobina 2 tem N2 espiras. As duas bobinas
esta˜o em repouso. Seja E1 a contribuic¸a˜o para
a forc¸a eletromotriz na bobina 1 devida somente
a` pro´pria corrente i1(t) e seja E2 a contribuic¸a˜o
para a forc¸a eletromotriz na bobina 2 devida so-
mente a` corrente i1(t) na bobina 1. Com essas
informac¸o˜es, podemos concluir que a relac¸a˜o en-
tre a auto-indutaˆncia L da bobina 1 e a indutaˆncia
mu´tua M entre as duas bobinas e´ tal que:
(a) E1L = E2M .
(b) E2L = E1M .
(c) L =M .
(d) N2L = N1M .
(e) N1L = N2M .
9. Um volt´ımetro ideal esta´ conectado aos terminais
de uma bateria enquanto ha´ variac¸a˜o de corrente.
A figura mostra o gra´fico da leitura do volt´ımetro
em func¸a˜o da corrente I que passa na bateria.
Qual das afirmativas a seguir corresponde a` forc¸a
eletromotriz E e a` resisteˆncia r interna da bateria?
(a) E = 4,5 V; r = 2,0 Ω.
(b) E = 9,0 V; r = 1,0 Ω.
(c) E = 4,5 V; r = 4,5Ω.
(d) E = 9,0 V; r = 4,5 Ω.
(e) E = 9,0 V; r = 3,0 Ω.
4
10. Na figura, mostramos o corte plano de duas
regio˜es cil´ındricas circulares, muito longas, I e
II, dentro de cada uma das quais (e somente ne-
las) existem campos magne´ticos BI = −f(t)zˆ e
BII = 2f(t)zˆ, respectivamente [f(t) > 0]. Os
mo´dulos de ambos os campos diminuem, de modo
que df/dt < 0. Qual das afirmativas seguintes cor-
responde a` relac¸a˜o correta entre as forc¸as eletro-
motrizes induzidas Ei (i = 1, 2, 3) em cada uma
das treˆs curvas fechadas orientadas mostradas?
Cuidado com os sinais!
(a) E3 > E2 > E1.
(b) E1 > E2 > E3.
(c) E2 > E1 > E3.
(d) E2 > E3 > E1.
(e) E3 > E1 > E2.
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial
cil´ındrico circular, muito longo, e´ representada na
figura ao lado. Ele constitui-se de dois so´lidos
cil´ındricos circulares coaxiais: (i) o primeiro e´ um
cilindro circular macic¸o, condutor, de raio R, ao
longo do qual passa uma corrente, de intensidade
I, uniformemente distribu´ıda atrave´s de suas sec¸o˜es
retas; (ii) o segundo e´ uma casca cil´ındrica, espessa,
tambe´m condutora, de raios 2R e 3R, ao longo da
qual passa uma corrente, de intensidade 2I, tambe´m
uniformemente distribu´ıda atrave´s de suas sec¸o˜es
retas, mas, desta feita, com sentido oposto a` daquela
no cilindro interno.
(a) Determine o vetor campo magne´tico B num
ponto gene´rico da regia˜o 0 ≤ r ≤ R. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B num
ponto gene´rico da regia˜o R ≤ r ≤ 2R. [0,5 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B num
ponto gene´rico da regia˜o 2R ≤ r ≤ 3R. [1,0 ponto]
(d) Determine o vetor campo magne´tico B num
ponto gene´rico da regia˜o 3R ≤ r <∞. [0,5 ponto]
6
2. [2,5 pontos] Numa certa regia˜o do espac¸o, para um
instante gene´rico t > 0, temos um campo magne´tico
na˜o estaciona´rio e na˜o uniforme dado por
B(t, r) =
Ct
r
ϕˆ ,
onde r e´ a distaˆncia desde um eixo de refereˆncia Z e
ϕˆ e´ o usual vetor unita´rio circular em torno do eixo
de refereˆncia Z, como mostrado na figura ao lado.
Ale´m disso, temos uma espira retangular, de lados
a e b, com a qual o eixo de refereˆncia e´ coplanar;
tal espira e´ condutora, oˆhmica, de resisteˆncia R. O
lado mais pro´ximo de tal espira encontra-se a uma
distaˆncia L do dito eixo.
(a) Determine o mo´dulo do fluxo do campo magne´tico
atrave´s da superf´ıcie plana interna do retaˆngulo, para
um instante gene´rico t > 0. [0,8 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da forc¸a eletromotriz indu-
zida correspondente, ao longo da espira, no mesmo
instante t > 0. [0,5 ponto]
(c) Determine, justificando criteriosamente, o sentido
da corrente induzida correspondente, no mesmo
instante t > 0. [0,5 ponto]
(d) Determine o vetor forc¸a magne´tica resultante
correspondente sobre a espira, no mesmo instante
t > 0. [0,7 ponto]
8
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (c)
2. (d)
3. (a)
4. (c)
5. (b)
6. (a)
7. (e)
8. (b)
9. (d)
10. (e)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
Devido a` simetria cil´ındrica, em todas as quatro regio˜es, aplicaremos a lei de Ampe`re, escolhendo como
curva ampe`riana uma circunfereˆncia de c´ırculo, centrado no eixo do cabo, de raio gene´rico r, tendo em
conta que o campo magne´tico deve ser tangencial a tal circunfereˆncia. Destarte, a circulac¸a˜o de B ao longo
de tal ampe`riana e´ ∮
C
B ·dℓ = Bϕ(r)2πr .
(a) 0 < r < R:
Nesta regia˜o, a corrente encerrada pela ampe`riana sera´:
Ienc = I
πr2
πR2
;
logo, pela lei de Ampe`re, temos
B =
µ0Ir
2πR2
ϕˆ
�
(b) R < r < 2R:
Nesta regia˜o, a corrente encerrada pela ampe`riana sera´ toda a corrente I do cilindro so´lido interno; logo,
pela lei de Ampe`re, temos
B =
µ0I
2πr
ϕˆ .
�
(c) 2R < r < 3R:
Nesta regia˜o, a corrente encerrada pela ampe`riana tera´ duas contribuic¸o˜es: (i) uma do cilindro so´lido
interno., que vale, obviamente,
Isol = I; (1)
(ii) outra de parte da casca cil´ındrica externa, que pode ser calculada da seguinte maneira. Na casca a
densidade superficial de corrente uniforme e´
Jcas = −
2I
π[(3R)2 − (2R)2]
zˆ
= −
2I
5πR2
zˆ . (2)
Logo, a contribuic¸a˜o, devido a` parte da casca, para a corrente encerrada pela ampe`riana em questa˜o, e´
Icas =
∫
Scas
Jcas ·nˆ dA
= −Jcas π
[
r2 − (2R)2
]
= −
2I
5R2
(
r2 − 4R2
)
. (3)
Usando, enta˜o, (1) e (3), obtemos, finalmente, a corrente total encerrada pela amp˜‘eriana:
Ienc =
1
5
(
13−
2r2
R2
)
I .
Logo, pela lei de Ampe`re, o campo nesta regia˜o sera´ dado por
B =
µ0I
10πr
(
13−
2r2
R2
)
ϕˆ .
2
�
(d) 3R < r <∞:
Nesta regia˜o, a corrente encerrada pela ampe`riana sera´, obviamente, I−2I = −I; logo, pela lei de Ampe`re,
temos
B = −
µ0I
2πr
ϕˆ .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s da espira e´
ΦB :=
∫
S
B ·nˆdA,
onde S e´ a superf´ıcie plana interna da espira. De acordo com o sistema de coordenadas indicado na figura,
dA nˆ = drdz ϕˆ.
Logo, podemos escrever
ΦB =
∫ b
0
dz
∫ L+a
L
Ct
r
dr
= bCt
∫ L+a
L
dr
r
ou, finalmente,
ΦB = bCt ln
(
L+ a
L
)
.
�
(b) De acordo com a lei de Faraday, a forc¸a eletromotriz induzida na espira e´ dada por
E = −
d
dt
ΦB.
Logo,
E = −bC ln
(
L+ a
L
)
.
�
(c) Para t > 0, o fluxo do campo magne´tico atrave´s da espira aumenta com o tempo. De acordo com a
lei de Lenz, a forc¸a eletromotriz induzida e´ tal que gera um campo magne´tico no sentido oposto ao do
campo externo para compensar o aumento do fluxo magne´tico. Logo, o sentido da forc¸a eletromotriz e´
anti-hora´rio.
�
(d) A forc¸a magne´tica sobre um condutor retil´ıneo conduzindo uma corrente e´ dada por
F = IL×B,
onde L e´ um vetor cujo mo´dulo e´ o comprimento do condutor, a direc¸a˜o e´ a do eixo do condutor e o sentido
e´ dado pela corrente.
A corrente que flui na espira e´ dada por
I =
E
R
.
3
A forc¸a magne´tica sobre o segmento vertical esquerdo da espira e´
F ve = I(−bzˆ)×
(
Ct
L
ϕˆ
)
=
IbCt
L
rˆ.
A forc¸a sobre o segmento vertical direito da espira e´
F vd = I(bzˆ)×
(
Ct
L+ a
ϕˆ
)
= −
IbCt
L+ a
rˆ.
A forc¸a sobre um elemento do segmento horizontal superior e´
dF hs = Idℓ×B = I(−drrˆ)×
(
Ct
r
ϕˆ
)
= −ICt
dr
r
zˆ.
A forc¸a sobre um elemento do segmento horizontal inferior e´
dF hi = Idℓ×B = I(drrˆ)×
(
Ct
r
ϕˆ
)
= ICt
dr
r
zˆ.
Integrando ambas em r de L a L+ a, temos que as contribuic¸o˜es dos segmentos horizontais se anulam.
Logo, a forc¸a resultante sobre a espira e´
FR = IbCt
(
1
L
−
1
L+ a
)
rˆ =
IbCta
L(L+ a)
rˆ.
�
4