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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FI´SICA FI´SICA III – 2011/2 SEGUNDA PROVA (P2) – 21/11/2011 VERSA˜O: A INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o, fornecido em separado. 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas (de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada. • uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDI- QUE CLARAMENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ). 4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o 5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc) 6. Seja organizado e claro. Formula´rio I = ∫ S J · nˆ dA , J = nqv F = qE + qv ×B , dF = Idℓ×B B = ∮ C dB = ∮ C µ0 4π Idℓ× rˆ r2 , ∮ S B · nˆ dA = 0 ∮ C B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦE dt , Eind = −dΦB dt ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB = 1 2 B2 µ0 1 Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos) 1. Considere uma espira circular condutora e um fio muito longo, coplanares. Uma corrente ele´trica flui pelo fio. O fio e a espira sa˜o arranjados de quatro maneiras diferentes, como mostrado na figura, onde o sentido da corrente e´ indicado pela seta na extremidade do fio. Marque a opc¸a˜o que indica o sentido correto da corrente ele´trica induzida na espira em cada um dos quatro casos. I aumentando I diminuindo I diminuindo I constante velocidade constante 1 2 3 4 (a) 1: hora´rio, 2: anti-hora´rio, 3: anti- hora´rio, 4: hora´rio. (b) 1: hora´rio, 2: hora´rio, 3: anti-hora´rio, 4: na˜o ha´ corrente. (c) 1: anti-hora´rio, 2: hora´rio, 3: anti- hora´rio, 4: hora´rio. (d) 1: hora´rio, 2: hora´rio, 3: hora´rio, 4: hora´rio. (e) 1: anti-hora´rio, 2: anti-hora´rio, 3: anti- hora´rio, 4: anti-hora´rio. (f) 1: hora´rio, 2: hora´rio, 3: anti-hora´rio, 4: hora´rio. 2. Em cada um de quatro fios retil´ıneos, muito lon- gos, perpendiculares aos ve´rtices de um quadrado de lado L, passa uma corrente estaciona´ria I, como mostra a figura. Quais sa˜o o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do campo magne´tico B no centro C do quadrado? (a) 4µ0I/(πL), da direita para a esquerda. (b) 2µ0I/(πL), da esquerda para a direita. (c) µ0I/(πL), da direita para a esquerda. (d) 4µ0I/(πL), da esquerda para a direita. (e) 2µ0I/(πL), da direita para a esquerda. 3. Considere as treˆs afirmac¸o˜es seguintes e assinale a alternativa que indique apenas quais delas sa˜o corretas: (I) para que a energia armazenada em um indutor qualquer seja dobrada sem que a in- dutaˆncia do mesmo seja alterada, a corrente que passa por ele tambe´m tem de ser dobrada; (II) o fluxo do campo magne´tico atrave´s de uma su- perf´ıcie fechada que conte´m somente a metade de um ı´ma˜ e´ positivo se essa metade contiver apenas o seu po´lo norte; (III) se em uma dada regia˜o hou- ver campos ele´tricos, enta˜o, nessa mesma regia˜o, necessariamente havera´ campos magne´ticos. (a) Nenhuma. (b) I. (c) II. (d) III. (e) I e II. (f) I e III. (g) II e III. (h) I, II e III. 2 4. Um fio condutor, pelo qual passa uma corrente (estaciona´ria) I, e´ enrolado N vezes, de modo a formar um soleno´ide com auto-indutaˆncia L. Se dobrarmos o nu´mero de espiras desse soleno´ide, mantendo o seu comprimento e sua a´rea de sec¸a˜o reta, e fizermos passar uma corrente equivalente a` metade da corrente original, quanto valera´ a nova indutaˆncia? (a) L. (b) 2L. (c) 4L. (d) L/2. (e) L/4. 5. Um pa´ssaro pousa numa linha de transmissa˜o ele´trica que transporta uma corrente de 2800 A. Se a linha tem uma resisteˆncia por unidade de comprimento de 2,5 × 10−5 Ω/m e os pe´s do pa´ssaro esta˜o afastados 4 cm um do outro, qual e´ a diferenc¸a de potencial entre eles? (a) 2,8× 10−4 V. (b) 2,8× 10−3 V. (c) 1,4× 10−3 V. (d) 1,4× 10−6 V. (e) 2,8× 103 V. 6. Em uma regia˜o onde ha´ um campo magne´tico B constante (estaciona´rio e uniforme), um pro´ton de massa mp e um ele´tron de massa me teˆm a mesma energia cine´tica (suponha que se movi- mentam com velocidades relativamente baixas perpendiculares ao campo magne´tico). Qual e´ a raza˜o dos raios Re/Rp de suas o´rbitas circulares? (a) mp/me. (b) me/mp. (c) √ mp/me. (d) √ me/mp. (e) (mp/me) 2. (f) (me/mp) 2. 7. Quatro fios muito longos sa˜o percorridos por correntes estaciona´rias de mesma intensidade, I. Qual e´ o campo magne´tico resultante no centro de simetria P da distribuic¸a˜o? A distaˆncia do ponto P aos ve´rtices dos fios e´, claro, a mesma, igual a ℓ. (a) µ0I 2πℓ zˆ. (b) −µ0I πℓ zˆ. (c) 0. (d) µ0I 2 √ 2πℓ zˆ. (e) − 4µ0I√ 2πℓ zˆ. 3 8. Uma espira circular condutora em repouso esta´ em uma regia˜o onde existe um campo magne´tico uniforme, dependente do tempo B = B(t)zˆ, cuja direc¸a˜o coincide com a do eixo perpendicular ao plano da espira. A func¸a˜o B(t) e´ dada pela fi- gura. Marque a opc¸a˜o que melhor representa a forc¸a eletromotriz induzida na espira. (a) (b) (c) (d) 9. Uma part´ıcula com carga Q = 1 C movimenta- se com velocidade v = (1 m/s) xˆ + (1 m/s) yˆ em uma regia˜o de campo magne´tico B = (1 T) zˆ. Qual dos campos ele´tricos abaixo permite que a part´ıcula mova-se ao longo de uma linha reta? (a) E = (2 V/m) xˆ+ (1 V/m) yˆ. (b) E = (1 V/m) xˆ+ (2 V/m) yˆ. (c) E = (1 V/m) xˆ+ (1 V/m) yˆ. (d) E = (−1 V/m) xˆ+ (1 V/m) yˆ. (e) E = (1 V/m) xˆ− (1 V/m) yˆ. 10. Condutores retil´ıneos (muito longos), cada um deles conduzindo uma corrente estaciona´ria I, sa˜o colocados um ao lado do outro formando uma placa plana, fina, que se estende indefinidamente, no plano xy. O nu´mero de condutores por unidade de comprimento ao longo da direc¸a˜o x vale n. Qual e´ o mo´dulo B do campo magne´tico em um ponto P , a uma distaˆncia a da placa? (a) µ0I/a. (b) µ0nI/2. (c) 2µ0I/a. (d) µ0nI. (e) µ0I/(2πa). (f) µ0nI/π. 4 Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos) 1. [2,5 pontos] Em uma casca cil´ındrica circular, espessa, condu- tora, muito longa, de raios interno a e externo b (b > a), esta´ definida uma densidade de corrente J = Cr2zˆ , onde C e´ uma constante, r e´ a distaˆncia ate´ o eixo da casca e zˆ e´ um vetor unita´rio (versor) na direc¸a˜o desse eixo. (a) Determine a intensidade de corrente total, Itot, que passa atrave´s de cada sec¸a˜o reta da casca [0,5 ponto]. Nos pro´ximos treˆs itens, deduza uma expressa˜o para o vetor campo magne´tico B (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) em um ponto gene´rico, a uma distaˆncia r do eixo tal que (b) 0 ≤ r ≤ a [0,5 ponto]. (c) b ≤ r <∞ [0,5 ponto]. (d) a ≤ r ≤ b [1,0 ponto]. 2. [2,5 pontos] Considere uma espira quadrada ABCD, com arestas de comprimento a, feita de material condutor cuja resisteˆncia total e´ R, movendo-se com velocidade v = vxˆ. Essa espira passa por uma regia˜o cu´bica, com arestas de comprimento L > a, onde ha´ um campo magne´tico constante (estaciona´rio e uniforme) B = −Bzˆ. Considere que, em t = 0, o segmento BC da espira se encontra na posic¸a˜o x = 0. (a) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente (hora´rio ou anti-hora´rio) e a forc¸a externa (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) necessa´ria para puxa´-la para dentro do campo, a velocidade constante, quando a espira estiver entrando no campomagne´tico [1,5 ponto]. (b) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente (hora´rio ou anti-hora´rio) quando a espira estiver totalmente imersa no campo magne´tico [0,5 ponto]. (c) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente (hora´rio ou anti-hora´rio) quando a espira estiver saindo do campo magne´tico [0,5 ponto]. 5 Gabarito para Versa˜o A Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos) 1. (f) 2. (e) 3. (a) 4. (c) 5. (b) 6. (d) 7. (c) 8. (a) 9. (d) 10. (b) 1 Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) Por definic¸a˜o, a (intensidade de) corrente I[S] que passa atrave´s de uma superf´ıcie orientada S, relaciona- se com a densidade de corrente J por I[S] = ∫ S J ·nˆdA , onde nˆ e´ o versor normal a` superf´ıcie. Destarte, Itot = ∫ sec¸a˜o reta Cr2 zˆ ·zˆ dA = ∫ sec¸a˜o reta Cr2 2πr dr = ∫ b r=a 2πCr3 dr , (1) ou seja, Itot = 1 2 πC ( b4 − a4) . (2) � (b) 0 ≤ r ≤ a: Devido a` simetria cil´ındrica, o campo magne´tico so´ tem componente azimutal (“circular”), dependente somente de r: B(r, ϕ) = Bϕ(r)ϕˆ(ϕ) . Logo, impo˜e-se a escolha de uma curva ampe`riana C que e´ uma circunfereˆncia de c´ırculo, de raio arbitra´rio r, no caso menor que a. Isso feito, obtemos, para a circulac¸a˜o de B ao longo de C, a seguinte expressa˜o Γ B [C] := ∮ C B ·dℓ = ∮ C Bϕϕˆ·dℓϕ = ∮ C Bϕ dℓ = Bϕ ∮ C dℓ = 2πrBϕ(r) . (3) Por outro lado, a correspondente corrente encerrada e´, nesse caso, obviamente, igual a zero: Ienc = 0 . (4) Logo, combinando, via a lei de Ampe`re, (3) e (4), obtemos B = 0 . � (c) b ≤ r <∞: 2 Pelos mesmos argumentos dos itens (a) e (b), escolhemos como curva ampe`riana ainda uma circunfereˆncia de c´ırculo, desta feita com raio, claro, entre b e ∞. Assim, a circulac¸a˜o na lei de Ampe`re tem a mesma expressa˜o que (3): Γ B [C] = 2πrBϕ(r) . (5) Por outro lado, agora a corrente encerrada e´ diretamente toda a corrente na casca (2), ou seja, Ienc = Itot = 1 2 πC ( b4 − a4) . (6) Logo, combinando, via a lei de Ampe`re, (5) e (6), obtemos B = µ0Itot 2πr ϕˆ , ou B = µ0 4r C ( b4 − a4) ϕˆ . Esse, como esperado, e´ igual ao campo de um fio retil´ıneo (infinito), coincidente com o eixo da casca, percorrido pela corrente total Itot. � (d) a ≤ r ≤ b: Pelos mesmos argumentos dos itens (a), (b) e (c), escolhemos como curva ampe`riana ainda uma circun- fereˆncia de c´ırculo, desta feita com raio, claro, entre a e b. Assim, a circulac¸a˜o na lei de Ampe`re tem a mesma expressa˜o que (3) ou (5): Γ B [C] = 2πrBϕ(r) . (7) Por outro lado, agora a corrente encerrada pode ser obtida pela mesma integral em (1), contanto que substituamos o limite superior por r (em vez de b), ou seja, Ienc = 1 2 πC ( r4 − a4) . (8) Logo, combinando, via a lei de Ampe`re, (7) e (8), obtemos B = µ0 4r C ( r4 − a4) ϕˆ . � 2. Resoluc¸a˜o: (a) Quando a espira entra na regia˜o de campo magne´tico ha´ uma variac¸a˜o do fluxo magne´tico na espira e pela lei de Faraday uma forc¸a eletromotriz induzida. Vamos orientar a superf´ıcie da espira no sentido −zˆ (entrando na pa´gina). O sentido positivo de percurso da curva e´ o sentido hora´rio (o mesmo, pois, de uma eventual corrente induzida de intensidade positiva). Seja x′ a porc¸a˜o horizontal da espira no interior do campo magne´tico. Portanto, ΦB = Bax ′ e pela lei de Faraday: E = −dΦB dt = −Bav . Como a espira tem uma resisteˆncia R I = −Bav R 3 e, portanto, a corrente circula no sentido anti-hora´rio. A parte da espira mergulhada na regia˜o do campo magne´tico sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a magne´tica dada por: dF = Idl ×B onde I e´ o mo´dulo da corrente. Nas partes horizontais da espira as forc¸as se anulam. Na parte vertical da espira: F = Iayˆ × (−Bzˆ) = −IaBxˆ e portanto a forc¸a externa necessa´ria e´ F = IaBxˆ = B2a2v R xˆ . � (b) Quando a espira estiver totalmente mergulhada na regia˜o de campo magne´tico, o fluxo sera´ constante, na˜o havera´ forc¸a eletromotriz induzida, a corrente sera´ nula. � (c) Quando a espira estiver saindo da regia˜o de campo magne´tico, mantendo-se a mesma convenc¸a˜o que no item (a), dx′/dt = −v ΦB = Bax ′ E = −dΦB dt = Bav I = Bav/R . e, portanto, a corrente esta´ circulando no sentido hora´rio. O mesmo resultado pode ser obtido rapidamente com o uso da lei de Lenz. Como o fluxo esta´ diminuindo na espira, a corrente gerada deve ser hora´ria e assim tentar manter o fluxo do campo magne´tico. � 4
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