Questões resolvidas
Considere uma esfera de raio R. Determine a figura geométrica à qual pertence o lugar geométrico dos vértices dos triedros nos quais as três arestas estão tangentes a essa esfera e formam, duas a duas, ângulos de 60º.
Dois círculos de raio R e r são, ao mesmo tempo, bases de um tronco de cone e bases de dois cones opostos de mesmo vértice e mesmo eixo. Seja k a razão entre o volume do tronco e a soma dos volumes dos dois cones opostos e seja m a razão r R. Determine m em função de k.
Prove que as tangentes ao círculo circunscrito a um triângulo, passando nos seus vértices, interceptam os lados opostos em três pontos colineares.
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http://www.penbadu.cjb.net IME MATEMÁTICA II 1990 01) Determine o valor de: 24 11 sen 24 7 sen 24 50 sen 24 senp pipipipi= 02) Seja AB um diâmetro de um círculo de centro O e raio R. Sobre o prolongamento de AB escolhemos um ponto P ( )PAPB < . Partindo de O tomamos uma secante que corta o círculo nos pontos M e N ( )PNPM < , de modo que RANPM == . a) Mostre que a corda MB é um lado de um polígono regular inscrito de dezoito lados. b) Encontre a distância de P ao centro do círculo em função de R. 03) Considere uma esfera de raio R. Determine a figura geométrica à qual pertence o lugar geométrico dos vértices dos triedros nos quais as três arestas estão tangentes a essa esfera e formam, duas a duas, ângulos de 60º. 04) Dois círculos de raio R e r são, ao mesmo tempo, bases de um tronco de cone e bases de dois cones opostos de mesmo vértice e mesmo eixo. Seja k a razão entre o volume do tronco e a soma dos volumes dos dois cones opostos e seja m a razão r R . Determine m em função de k. 05) Seja O um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-o em seis triângulos, quatro dos quais têm áreas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura. Calcule a área do triângulo ABC. 06) Seja um segmento fixo AO de comprimento a e uma semi-reta variável Ox tal que AÔX = α, o ângulo agudo,pertencentes a um plano fixo pi. Seja a perpendicular ao plano pi em A e seja B pertencente a esta perpendicular tal que AB = a. Seja C o pé da perpendicular traçada de B sobre Ox. Pedidos: a) Qual a propriedade comum a todas as faces do tetraedro OABC? b) Calculo o comprimento das seis arestas de OABC em função de a e α. c) Calcule o volume v do tetraedro em função de a e α. d) Determine α de modo que 24 3a v 3 = (existem dois valores). e) Determine o volume comum aos dois sólidos encontrados no item anterior. 07) a) Obtenha a expressão para α3tan em função de xtan =α . b) Utilize o item anterior para determinar as soluções da equação: 0mx3mx3x 23 =+−− , onde m é um número real dado. 08) Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado intermediário mede � . Sabendo-se que o maior ângulo excede o menor em 90º, calcule a razão entre os lados. 09) Prove que as tangentes ao círculo circunscrito a um triângulo, passando nos seus vértices, interceptam os lados opostos em três pontos colineares. 10) Seja um triângulo ABC cujos lados são tangentes a uma parábola. Prove que o círculo circunscrito ao triângulo passa pelo foco.
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